Coordenadas polares

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 10:20 23 nov 2010

1 Definición

En el caso del movimiento bidimensional de un punto material resulta útil en muchas ocasiones trabajar con coordenadas polares. Usaremos la figura para definirlas.

Sea un punto $P$ situado en el plano $O X Y$ con coordenadas cartesianas $(x, y)$ . Su vector de posición respecto al origen del sistema de referencia es

$\vec{r} = \overrightarrow{OP}$

Las coordenadas polares $(ρ,θ)$ se definen de la siguiente forma

La coordenada $ρ$ es la distancia del punto $P$ al punto $O$ . Puede variar entre los valores 0 y $\infty$ .
La coordenada $θ$ es el ángulo que forma el vector $\vec{r}$ con el eje $O X$ . Puede variar entre los valores 0 y $2π$ .

Estas dos coordenadas permiten describir de forma unívoca la posición de cualquier punto en el plano $O X Y$ .

$\begin{array}{ccc} P(\rho,\theta)\qquad\qquad & \rho\in[0,\infty)\qquad\qquad & \theta\in[0,2\pi) \end{array}$

El intervalo para $θ$ es abierto a la derecha para evitar llegar al valor de $2π$ . De lo contrario, los puntos del eje $O X$ aparecerían dos veces, para $θ = 0$ y para $θ = 2π$ .

2 Relación con las coordenadas cartesianas

Cada par de valores $(x, y)$ corresponde unívocamente a un par de valores $ρ,θ$ . La relación entre estos dos pares puede obtenerse a partir de la figura.

2.1 Realción entre cartesianas y polares

Teniendo en cuenta el triángulo rectángulo formado por los catetos de longitud $x$ e $y$ y la hipotenusa de longitud $ρ$ tenemos

Polares → cartesianas	Cartesianas → polares
$x = \rho\,\cos\theta$	$\rho=\sqrt{x^2+y^2}$
$y = \rho\,\mathrm{sen}\,\theta$	$θ = arctan(y / x)$

@@ Línea 51: / Línea 51: @@
 |style="border: 1px solid black;"| <math>\theta = \mathrm{arctan}(y/x) </math>
 |}
-</center>
-===Coordenadas polares en función de cartesianas ===
-Usando el teorema de Pitágoras, la distancia <math>\rho </math> es
-la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos de longitud
-<math>x </math> e <math>y </math>. Y usando la definición de tangente tenemos
-<center>
-<math>
-\begin{array}{l}
-\rho = \sqrt{x^2+y^2} \\ \\
-\theta = \mathrm{arctan}\,\dfrac{y}{x}
-\end{array}
-</math>
 </center>

Coordenadas polares

De Laplace

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1 Definición

2 Relación con las coordenadas cartesianas

2.1 Realción entre cartesianas y polares

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