Coordenadas polares
De Laplace
(→Coordenadas cartesianas en función de polares) |
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puede obtenerse a partir de la figura. | puede obtenerse a partir de la figura. | ||
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| - | Teniendo en cuenta | + | Teniendo en cuenta el triángulo rectángulo formado por los catetos de longitud <math>x </math> e <math>y </math> y |
| + | la hipotenusa de longitud <math>\rho </math> tenemos | ||
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| - | <math> | + | {| style="text-align: center; width: 400px; height: 200px; border: 1px solid black; cellpading='0'" |
| - | + | |- | |
| - | x = \rho\,\cos\theta \\ | + | !style="border: 1px solid black; background: lavender"|Polares → cartesianas |
| - | y = \rho\,\mathrm{sen}\,\theta | + | !style="border: 1px solid black; background: lavender"|Cartesianas → polares |
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| - | </math> | + | |style="border: 1px solid black;"| <math>x = \rho\,\cos\theta </math> |
| + | |style="border: 1px solid black;"| <math>\rho=\sqrt{x^2+y^2} </math> | ||
| + | |- | ||
| + | |style="border: 1px solid black;"| <math>y = \rho\,\mathrm{sen}\,\theta </math> | ||
| + | |style="border: 1px solid black;"| <math>\theta = \mathrm{arctan}(y/x) </math> | ||
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Revisión de 10:20 23 nov 2010
Contenido |
1 Definición
En el caso del movimiento bidimensional de un punto material resulta útil en muchas ocasiones trabajar con coordenadas polares. Usaremos la figura para definirlas.
Sea un punto P situado en el plano OXY con coordenadas cartesianas (x,y). Su vector de posición respecto al origen del sistema de referencia es
Las coordenadas polares (ρ,θ) se definen de la siguiente forma
- La coordenada ρ es la distancia del punto P al punto O. Puede variar entre los valores 0 y
.
- La coordenada θ es el ángulo que forma el vector
con el eje OX. Puede variar entre los valores 0 y 2π.
Estas dos coordenadas permiten describir de forma unívoca la posición de cualquier punto en el plano OXY.
El intervalo para θ es abierto a la derecha para evitar llegar al valor de 2π. De lo contrario, los puntos del eje OX aparecerían dos veces, para θ = 0 y para θ = 2π.
2 Relación con las coordenadas cartesianas
Cada par de valores (x,y) corresponde unívocamente a un par de valores ρ,θ. La relación entre estos dos pares puede obtenerse a partir de la figura.
2.1 Realción entre cartesianas y polares
Teniendo en cuenta el triángulo rectángulo formado por los catetos de longitud x e y y la hipotenusa de longitud ρ tenemos
| Polares → cartesianas | Cartesianas → polares |
|---|---|
| 
|
| θ = arctan(y / x) |
2.2 Coordenadas polares en función de cartesianas
Usando el teorema de Pitágoras, la distancia ρ es la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos de longitud x e y. Y usando la definición de tangente tenemos
