Movimiento cicloidal

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 18:38 4 nov 2010

Contenido

1 Enunciado
2 Ecuaciones horarias
3 Velocidad y aceleración
- 3.1 Velocidad
- 3.2 Aceleración
4 Celeridad y ley horaria
5 Componentes intrínsecas de la aceleración

1 Enunciado

Una cicloide es la curva que describe un punto del borde de un disco que rueda sobre una superficie plana.

Suponga que tenemos un disco de radio $R$ que rueda uniformemente sobre una línea horizontal. Deseamos analizar la trayectoria del punto del borde que toca la superficie en la posición inicial.

Si la velocidad del centro del disco es $\vec{v}_C=v_0\vec{\imath}$ ,

¿Cuanto ha avanzado el disco entre $t = 0$ y un instante $t$ ? ¿Cuánto ha girado? ¿Cuál es la posición $\vec{r}(t)$ del punto P del disco que se encontraba en contacto con el suelo en $t = 0$ ?
Para este mismo punto P determine su velocidad y aceleración en cada instante.
Halle la ley horaria que sigue el punto P. ¿Cuál es la distancia total recorrida por este punto cuando el disco completa una vuelta?
Determine las componentes intrínsecas de la aceleración, el radio de curvatura y la posición del centro de curvatura para el mismo periodo anterior.

2 Ecuaciones horarias

Puesto que el disco avanza a velocidad constante, la posición del centro C del disco sigue un movimiento rectilíneo y uniforme. Tomando el origen de coordenadas en la posición inicial de punto P, el eje $X$ el tangente al suelo y el Y el perpendicular a él, tenemos para C

$x_c = v_0 t\,$ $y_c =R\,$

o, en forma vectorial

$\overrightarrow{OC} = v_0t\vec{\imath}+R\vec{\jmath}$

El disco, a la vez que avanza, va girando. El ángulo girado hasta un momento dado, puesto que no hay deslizamiento, es igual al arco partido por el radio

$\theta = \frac{L}{R}=\frac{v_0}{R}t=\Omega t$ $\omega \equiv\frac{v_0}{R}$

por tanto, el vector de posición relativa que va del centro del disco al punto P del borde es

$\overrightarrow{CP}=R\left(-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}-\cos(\theta)\vec{\jmath}\right) = -R\left(\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}-\cos(\omega t)\vec{\jmath}\right)\vec{\imath}$

Sumando estos dos vectores obtenemos la posición instantánea del punto P

$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CP} = \left(v_0 t - R\,\mathrm{sen}(\omega t)\right)\vec{\imath}+\left(R-R\cos(\omega t)\right)\vec{\jmath}$

Tenemos las ecuaciones horarias

$x = v_0 t -b\,\mathrm{sen}(\omega t)$ $y = b(1-\cos(\omega t))\,$

Veamos en primer lugar que corresponden a un punto del borde del disco. Hallamos la posición relativa al centro del disco

$\vec{r}-\vec{r}_O = ((v_0 t -b\,\mathrm{sen}(\omega t))-v_0t)\vec{\imath}+(b(1-\cos(\omega t))-R)\vec{\jmath}=-b(\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}+\cos(\omega t)\vec{\jmath})$

El módulo de este vector es

$\left|\vec{r}-\vec{r}_O\right| = b\sqrt{\mathrm{sen}^2(\omega t)+\cos^2(\omega t)} = b$

Luego efectivamente se encuentra sobre la circunferencia exterior.

Derivamos ahora respecto al tiempo para calcular las componentes cartesianas de la velocidad

$\dot{x}=v_0-b\,\omega\cos(\omega t) = v_0(1-\cos(\omega t))$ $\dot{y}=b\,\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t) = v_0\,\mathrm{sen}\,(\omega t)$

Es inmediato comprobar que esta solución cumple las ecuaciones diferenciales enunciadas anteriormente:

$\dot{x}=v_0(1-\cos(\omega t)) = \frac{v_0}{b}y=\omega y$ $\dot{y}=v_0\,\mathrm{sen}\,(\omega t) = \frac{v_0}{b}\left(v_0t-x\right) = -\omega(x-v_0t)$

3 Velocidad y aceleración

3.1 Velocidad

Las componentes de la velocidad ya las hemos calculado. Expresándolas en forma vectorial

$\vec{v}=v_0(1-\cos(\omega t))\vec{\imath}+v_0\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\vec{\jmath}$

3.2 Aceleración

Derivando de nuevo

$\vec{a}=v_0\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\vec{\imath}+v_0\omega\cos(\omega t)\vec{\jmath}=\omega^2b\left(\mathrm{sen}\,(\omega t)\vec{\imath}+\cos(\omega t)\vec{\jmath}\right)$

Vemos que resulta una aceleración de módulo constante, pero dirección variable. por ello el movimiento no es uniformemente acelerado.

4 Celeridad y ley horaria

Usando las relaciones trigonométricas

$1-\cos\alpha = 2\,\mathrm{sen}^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$ $\mathrm{sen}\,\alpha = 2\,\mathrm{sen}\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

podemos escribir la velocidad en la forma

$\vec{v}=2v_0\,\mathrm{sen}\left(\frac{\omega t}{2}\right)\left(\mathrm{sen}\left(\frac{\omega t}{2}\right)\vec{\imath}+\cos\left(\frac{\omega t}{2}\right)\vec{\jmath}\right)$

puesto que el vector entre paréntesis es unitario es claro que la celeridad y el vector tangente valen

$v = 2v_0\,\mathrm{sen}\left(\frac{\omega t}{2}\right)$ $\vec{T}=\,\mathrm{sen}\left(\frac{\omega t}{2}\right)\vec{\imath}+\cos\left(\frac{\omega t}{2}\right)\vec{\jmath}$

Conocida la celeridad, podemos obtener el parámetro arco como función del tiempo

$\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=v=2v_0\,\mathrm{sen}\left(\frac{\omega t}{2}\right)$ $\Rightarrow$ $s = \int_0^t v\,\mathrm{d}t = \left.-4\frac{v_0}{\omega}\cos\left(\frac{\omega t}{2}\right)\right|_0^t = 4b\left(1-\cos\left(\frac{\omega t}{2}\right)\right)$

La distancia total recorrida en una vuelta completa es

$s(T) = 4b\left(1-\cos\left(\frac{\omega}{2}\,\frac{2\pi}{\omega}\right)\right)=8b$

Vemos que aunque la rueda avanza una distancia $2\pi b\simeq 6.28b$ , un punto del borde recorre una distancia mayor, ya que no solo se mueve horizontalmente, sino también en vertical.

5 Componentes intrínsecas de la aceleración

5.1 Aceleración tangencial

El módulo de la aceleración tangencial es la derivada temporal de la celeridad

$a_t=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=v_0\omega\cos\left(\frac{\omega t}{2}\right)=\omega^2b\cos\left(\frac{\omega t}{2}\right)$

En forma vectorial

$\vec{a}_t=a_t\vec{T}=\omega^2b\cos\left(\frac{\omega t}{2}\right)\left(\mathrm{sen}\left(\frac{\omega t}{2}\right)\vec{\imath}+\cos\left(\frac{\omega t}{2}\right)\vec{\jmath}\right)=\frac{\omega^2b}{2}\left(\mathrm{sen}\left(\omega t\right)\vec{\imath}+\left(1+\cos\left(\omega t\right)\right)\vec{\jmath}\right)$

5.2 Aceleración normal

Hallamos la aceleración normal restando la tangencial de la completa y resulta

$\vec{a}_n=\vec{a}-\vec{a}_t=\frac{\omega^2b}{2}\left(\mathrm{sen}\,(\omega t)\vec{\imath}-\left(1-\cos(\omega t)\right)\vec{\jmath}\right)$

Empleando de nuevo las mismas relaciones trigonométricas

$\vec{a}_n=\omega^2b\,\mathrm{sen}\left(\frac{\omega t}{2}\right)\left(\cos\left(\frac{\omega t}{2}\right)\vec{\imath}-\,\mathrm{sen}\left(\frac{\omega t}{2}\right)\vec{\jmath}\right)$

de donde hallamos el vector normal

$\vec{N}=\cos\left(\frac{\omega t}{2}\right)\vec{\imath}-\,\mathrm{sen}\left(\frac{\omega t}{2}\right)\vec{\jmath}$

y el módulo de la aceleración normal

$a_n=\omega^2b\,\mathrm{sen}\left(\frac{\omega t}{2}\right)$

Podíamos haber llegado a este módulo directamente a partir de los de la aceleración completa y la aceleración tangencial, empleando el teorema de Pitágoras

$a_n = \sqrt{a^2-a_t^2}=\sqrt{(\omega^2b)^2-(\omega^2b)^2\cos^2\left(\frac{\omega t}{2}\right)}=\omega^2b\,\mathrm{sen}\left(\frac{\omega t}{2}\right)$

5.3 Radio de curvatura

Conocidas la celeridad y la aceleración normal tenemos el radio de curvatura

$R=\frac{v^2}{a_n}=4b\,\mathrm{sen}\left(\frac{\omega t}{2}\right)$

Este radio es nulo en el punto inicial, en el que la trayectoria tiene un vértice, crece hasta un valor máximo $4 b$ y vuelve a disminuir a cero en el siguiente vértice.

5.4 Centro de curvatura

Prolongando en la dirección del vector normal llegamos a

$\vec{r}_c=\vec{r}+ R\vec{N}= \left(v_0 t +b\,\mathrm{sen}(\omega t)\right)\vec{\imath}-b(1-\cos(\omega t))\vec{\jmath}$

Este resultado indica que la curva formada por los centros de curvatura (lo que se denomina la evoluta) es otra cicloide.

@@ Línea 12: / Línea 12: @@
 ==Ecuaciones horarias==
+Puesto que el disco avanza a velocidad constante, la posición del centro C del disco sigue un movimiento rectilíneo y uniforme. Tomando el origen de coordenadas en la posición inicial de punto P, el eje <math>X</math> el tangente al suelo y el Y el perpendicular a él, tenemos para C
-El sistema anterior
+<center><math>x_c = v_0 t\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>y_c =R\,</math></center>
-<center><math>\begin{array}{rcl}\dot{x} & = & v_0 + \omega(y-b) = \omega y \\ && \\ \dot{y} & = & -\omega(x-v_0t)\end{array}</math></center>
+o, en forma vectorial
+<center><math>\overrightarrow{OC} = v_0t\vec{\imath}+R\vec{\jmath}</math></center>
+El disco, a la vez que avanza, va girando. El ángulo girado hasta un momento dado, puesto que no hay deslizamiento, es igual al arco partido por el radio
+<center><math>\theta = \frac{L}{R}=\frac{v_0}{R}t=\Omega t</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\omega \equiv\frac{v_0}{R}</math></center>
+por tanto, el vector de posición relativa que va del centro del disco al punto P del borde es
+<center><math>\overrightarrow{CP}=R\left(-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}-\cos(\theta)\vec{\jmath}\right) = -R\left(\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}-\cos(\omega t)\vec{\jmath}\right)\vec{\imath}</math></center>
+Sumando estos dos vectores obtenemos la posición instantánea del punto P
+<center><math>\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CP} = \left(v_0 t - R\,\mathrm{sen}(\omega t)\right)\vec{\imath}+\left(R-R\cos(\omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>
-nos relaciona la velocidad (esto es, cómo cambia la posición con el tiempo) como función de la posición. Esto es, para determinar la posición necesitamos conocer la posición. Esta aparente circularidad (que no es tal, ya que en realidad es, para conocer la posición en <math>t+\mathrm{d}t</math> necesitamos conocer la posición en <math>t</math>) es lo que se conoce como una ecuación diferencial. Existen toda una serie de técnicas estándar para resolver este tipo de ecuaciones, pero aquí nos limitaremos a comprobar que unas determinadas ecuaciones horarias son soluciones de ellas.
 Tenemos las ecuaciones horarias

Movimiento cicloidal

De Laplace

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1 Enunciado

2 Ecuaciones horarias

3 Velocidad y aceleración

3.1 Velocidad

3.2 Aceleración

4 Celeridad y ley horaria

5 Componentes intrínsecas de la aceleración

5.1 Aceleración tangencial

5.2 Aceleración normal

5.3 Radio de curvatura

5.4 Centro de curvatura

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