3.1. Cálculo de energías potenciales

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 21:09 22 oct 2010

Contenido

1 Enunciado
2 Energía potencial
3 Curvas de potencial
4 Resorte con peso
5 Velocidad de escape

1 Enunciado

Para las siguientes fuerzas, consideradas en una dimensión

Peso: $F = - m g$
Elástica: $F = - k (x - l 0)$
Gravitatoria: $F = - G M m / x 2$

Determine la energía potencial de la que deriva cada una.
Trace las curvas de potencial para las tres fuerzas.
Considere el caso de una partícula sometida simultáneamente a una fuerza elástica y al peso, ¿cuál es la energía potencial como función de la posición? ¿Qué forma tiene su curva de potencial? ¿Qué movimiento describe una partícula sometida a estas dos fuerzas a la vez?
Para el caso de la fuerza gravitatoria, calcule la velocidad de escape, definida como aquella que partiendo de la superficie de un planeta, permite llegar al infinito con velocidad nula.

2 Energía potencial

Una fuerza se denomina conservativa cuando el trabajo que realiza para ir de un punto a otro

$W_{A\to B} = \int_A^B \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$

Es independiente del camino que une los dos puntos. En ese caso podemos definir la energía potencial mediante la integral

$U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^\vec{r}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$

desde un cierto origen de potencial $\vec{r}_0$ hasta un punto variable, a lo largo de un camino arbitrario.

En el caso de una fuerza que actúa sobre un solo eje y depende sólo de la posición a lo largo de dicho eje

$\vec{F}=F(x)\vec{\imath}$

la energía potencial se reduce a la integral escalar

$U(x) = -\int_{x_0}^x F(x)\mathrm{d}x$

2.1 Peso

En el caso del peso, la fuerza siempre actúa en la dirección vertical, sobre la cual se alinea normalmente el eje OY o el OZ. Considerando que el eje OZ es el vertical y hacia arriba, el peso de una partícula se expresa

$\vec{F}=-mg\vec{k}$

y la energía potencial medida desde una altura $z = 0$

$U(z) = -\int_0^z(-mg)\mathrm{d}z=mgz$

2.2 Resorte

En el caso de un resorte que verifica la ley de Hooke

$\vec{F}=-k\vec{r}$

esta fuerza es siempre radial desde el punto de equilibrio del resorte, $\vec{r}=\vec{0}$ . Dado un punto del espacio, podemos calcular la energía potencial elástica tomando el eje OX como el que pasa por el punto de equilibrio y el punto en que queramos hallar la energía. En ese caso, sobre este eje, la fuerza se reduce a

$\vec{F}=-kx\vec{\imath}$

y la energía potencial medida desde la posición central es

$U(x) = -\int_0^x (-kx)\mathrm{d}x = \frac{1}{2}kx^2$

$x$ es aquí la distancia al punto central. Expresando este resultado para cualquier punto del espacio

$U(r) = \frac{1}{2}kr^2 = \frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2)$

2.3 Gravitación

Para el caso de la atracción gravitatoria debida a una masa fija, la fuerza estambién radial y dependiente solo de la distancia al centro

$\vec{F}=-\frac{GMm}{r^2}\vec{u}_r$

Como en el caso de la ley de Hooke, para cada punto podemos tomar el eje OX como aquél que pasa por el centro de fuerzas y el punto para el cual queremos hallar la energía y escribir la fuerza como

$\vec{F}=-\frac{GMm}{x^2}\vec{\imath}$

(siendo $x > 0$ ). A diferencia del caso elástico, no podemos tomar el origen de energías potenciales en el centro de fuerzas, $\vec{r}=\vec{0}$ , ya que en ese punto la fuerza tiende a infinito, lo que hace que la integral diverja. En su lugar tomamos como origen de energías potenciales un punto infinitamente alejado del cuerpo atractor, de forma que la integral queda

$U(x) = -\int_{\infty}^x \left(-\frac{GMm}{x^2}\right)\mathrm{d}x = -\left.\frac{GMm}{x}\right|_{\infty}^x = -\frac{GMm}{x}$

Generalizando para cualquier punto, sea cual sea la orientación respecto a los ejes

$U(\vec{r})=-\frac{GMm}{r}$

3 Curvas de potencial

Consideradas como función de una sola variable, cada una de las energías anteriores puede representarse como función de la coordenada $x$ (o equivalente), resultando en las correspondientes curvas de potencial.

La energía potencial asociada al peso aumenta linealmente con la altura y por tanto, su gráfica será una recta con una pendiente igual a $m g$ .
La energía potencial elástica crece cuadráticamente con la distancia al centro, siendo su gráfica una parábola.
La energía potencial gravitatoria se representa por una hipérbola, que tiende a $-\infty$ para $r\to 0$ y tiene por asíntota el eje $U = 0$ . Si se quiere extender a valores negativos de $x$ , hay que tener cuidado ya que en la enegría parece la distancia al centro, sin signo, y por tanto, en su expresión debe figurar $| x |$ en lugar de $x$ .

Peso	Elástica	Gravitatoria

4 Resorte con peso

Cuando sobre una partícula actúan simultáneamente dos fuerzas, su energía potencial es la suma de las energías potenciales correspondientes

$U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^\vec{r}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r} = -\int_{\vec{r}_0}^\vec{r}(\vec{F}_1+\vec{F}_2)\cdot\mathrm{d}\vec{r} = -\int_{\vec{r}_0}^\vec{r}\vec{F}_1\cdot\mathrm{d}\vec{r} -\int_{\vec{r}_0}^\vec{r}\vec{F}_2\cdot\mathrm{d}\vec{r} = U_1(\vec{r})+U_2(\vec{r})$

5 Velocidad de escape

La velocidad de escape se define como la mínima velocidad que es preciso comunicar a un cuerpo ligero para salir del campo gravitatorio de otro masivo.

Esta velocidad mínima es la que permite llegar al infinito con velocidad nula. Una velocidad menor no permitiría salir del “pozo” de energía potencial gravitatoria.

La energía mecánica de una partícula en un campo gravitatorio es

$E = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r}$

Imponiendo que $v\to 0$ cuando $r\to\infty$ queda

$\frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r}=0$ $\Rightarrow$ $v = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$

Aquí $r$ es la distancia de partida. En el caso de un cohete que parte de la superficie terrestre $r = R T$ . El valor de $G M$ lo podemos obtener del valor de la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre

$g = \frac{GM}{R_T^2}$ $\Rightarrow$ $v = \sqrt{2gR_T}\simeq 11.2\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$

Esta es la velocidad necesaria para salir del campo gravitatorio terrestre. Aparte habrá que comunicarle la velocidad necesaria para enviarlo al destino deseado, teniendo en cuenta la energía potencial gravitatoria debida al Sol.

@@ Línea 94: / Línea 94: @@
 ==Resorte con peso==
+Cuando sobre una partícula actúan simultáneamente dos fuerzas, su energía potencial es la suma de las energías potenciales correspondientes
+<center><math>U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^\vec{r}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r} = -\int_{\vec{r}_0}^\vec{r}(\vec{F}_1+\vec{F}_2)\cdot\mathrm{d}\vec{r} = -\int_{\vec{r}_0}^\vec{r}\vec{F}_1\cdot\mathrm{d}\vec{r} -\int_{\vec{r}_0}^\vec{r}\vec{F}_2\cdot\mathrm{d}\vec{r} = U_1(\vec{r})+U_2(\vec{r})</math></center>
 ==Velocidad de escape==
 La velocidad de escape se define como la mínima velocidad que es preciso comunicar a un cuerpo ligero para salir del campo gravitatorio de otro masivo.

3.1. Cálculo de energías potenciales

De Laplace

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1 Enunciado

2 Energía potencial

2.1 Peso

2.2 Resorte

2.3 Gravitación

3 Curvas de potencial

4 Resorte con peso

5 Velocidad de escape

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