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3.6. Oscilador armónico en el plano

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Momento cinético)
Línea 60: Línea 60:
===Energía mecánica===
===Energía mecánica===
 +
Demostramos que es una integral primera derivándola respecto al tiempo
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==Valor del momento cinético==
+
<center><math>\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\frac{m}{2}(2\dot{x}\ddot{x}+2\dot{y}\ddot{y}+\dot{z}\ddot{z})+
-
Al estar limitada la trayectoria al plano OXY, el momento cinético posee solo componente
+
\frac{k}{2}(2x\dot{x}+2y\dot{y}+2z\dot{z})</math></center>
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en la dirección de OZ. la expresión de \vec{L} es
+
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<center><math>\vec{L}=m\vec{r}\times\vec{v} = m\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} &
+
Agrupando términos y aplicando de nuevo la ley de Hooke
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\vec{k} \\ x & y & 0 \\ \dot{x} & \dot{y} & 0\end{matrix}\right| =
+
-
m(x\dot{y}-y\dot{x})\vec{k}</math></center>
+
-
Podemos demostrar directamente la constancia de esta cantidad derivándola respecto al
+
<center><math>\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\dot{x}(m\ddot{x}+kx)
-
tiempo
+
\dot{y}(m\ddot{y}+ky) +\dot{z(m\ddot{z}+kz)= 0</math></center>
 +
Por tanto, la energía mecánica es una constante de movimiento. Su valor lo obtenemos igualándola a su valor inicial
 +
<center><math>E = \frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)+\frac{k}{2}(x^2+y^2+z^2) =
 +
\frac{mv_0^2}{2}+\frac{kx_0^2}{2}</math></center>
-
De la constancia del momento cinético deducimos que la partícula no puede llegar a
 
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detenerse en ningún momento (cosa que sí ocurre en el oscilador armónico en una
 
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dimensión), ya que no podemos hacer simultáneamente <math>\dot{x}=\dot{y}=0</math>.
 
-
Por una razón análoga vemos que el oscilador no puede pasar por el origen de coordenadas,
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Al ser constante el momento cinético, la trayectoria es plana, siendo el plano de la
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sino que habrá un valor mínimo de la distancia al origen.
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órbita el definido por el vector de posición inicial (medido desde el centro de fuerzas)
 +
y la velocidad inicial.
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==Energía mecánica==
+
En este caso tenemos que
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La energía mecánica de un oscilador armónico es la suma de la cinética más la
+
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correspondiente energía potencial
+
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<center><math>E = \frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kr^2</math></center>
+
<center><math>\vec{r}_0=x_0\vec{\imath}\qquad\qquad\vec{v}_0=v_0\vec{\jmath}</math></center>
-
que para el caso bidimensional queda
+
El plano definido por estos dos vectores y el centro de fuerzas es el plano OXY, por lo
-
 
+
que la trayectoria se limita a este plano.
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<center><math>E = \frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2)+\frac{k}{2}(x^2+y^2)</math></center>
+
-
 
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Demostramos que es una integral primera derivándola respecto al tiempo
+
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<center><math>\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\frac{m}{2}(2\dot{x}\ddot{x}+2\dot{y}\ddot{y})+
+
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\frac{k}{2}(2x\dot{x}+2y\dot{y})</math></center>
+
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Agrupando términos y aplicando de nuevo la ley de Hooke
+
-
 
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<center><math>\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\dot{x}(m\ddot{x}+kx)
+
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\dot{y}(m\ddot{y}+ky) = 0</math></center>
+
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Por tanto, la energía mecánica es una constante de movimiento. Su valor lo obtenemos
+
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igualándola a su valor inicial
+
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<center><math>E = \frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2)+\frac{k}{2}(x^2+y^2) =
+
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\frac{mv_0^2}{2}+\frac{kx_0^2}{2}</math></center>
+
[[Categoría:Problemas de dinámica del punto material (G.I.T.I.)]]
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Revisión de 22:53 18 oct 2010

Contenido

1 Enunciado

Una partícula de masa m se encuentra sujeta a un resorte de constante k y longitud natural nula, que ejerce una fuerza

\vec{F}=-k\vec{r}

La posición inicial de la masa y su velocidad inicial son:

\vec{r}_0=x_0\vec{\imath}        \vec{v}_0=v_0\vec{\jmath}
  1. Exprese el momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas, O, y la energía mecánica de la partícula en función de x, y, z y sus derivadas temporales, \dot{x}, \dot{y} y \dot{z}.
  2. Demuestre que las dos magnitudes anteriores son integrales primeras y evalúelas en función de las condiciones iniciales.
  3. Demuestre que el movimiento de esta partícula se restringe al plano OXY y que su velocidad areolar respecto al punto O es constante.

2 Momento cinético y energía

2.1 Momento cinético

Obtenemos el momento cinético multiplicando el vector de posición por la cantidad de movimiento. Separando en coordenadas cartesianas

\vec{L}=m\vec{r}\times\vec{v}=m\left|\begin{matrix} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ x & y & z \\ \dot{x} & \dot{y} & \dot{z}\end{matrix}\right| = m(y\dot{z}-z\dot{y})\vec{\imath}+m(z\dot{x}-x\dot{z})\vec{\jmath} + (x\dot{y}-y\dot{x})\vec{k}

2.2 Energía mecánica

La energía mecánica es suma de la cinética

K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)

y la potencial

U = \frac{1}{2}kr^2 = \frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2)

Resultando la energía

E = K + U = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2) + \frac{1}{2}kr^2 = \frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2)

3 Integrales primeras

3.1 Momento cinético

La constancia del momento cinético es una consecuencia inmediata de que la fuerza producida por un oscilador armónico sea una fuerza central.

\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}= \vec{r}\times\vec{F}=-k\vec{r}\times\vec{r}=\vec{0}

Podemos llegar a este resultado a partir de la expresión componente a componente. Así, para la componente z del momento cinético

\frac{\mathrm{d}L_z}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(m(x\dot{y}-y\dot{x})\right) = m\left(\dot{x}\dot{y}+x\ddot{y}-\dot{y}\dot{x}-y\ddot{x}\right) = x(m\ddot{y})-y(m\ddot{x})

Sustituyendo aquí la ley de Hooke

m\ddot{x}=-kx        m\ddot{y}=-ky

queda

\frac{\mathrm{d}L_z}{\mathrm{d}t}=-kxy+kxy=0

El valor del momento cinético lo obtenemos sustituyendo las condiciones iniciales

\vec{L}=m\vec{r}_0\times\vec{v}_0 = mx_0v_0\vec{k}

y, separando en sus componentes cartesianas

L_x = m(y\dot{z}-z\dot{y})=0        L_y=m(z\dot{x}-x\dot{z})=0        L_z=m(x\dot{y}-y\dot{x})=mx_0v_0

3.2 Energía mecánica

Demostramos que es una integral primera derivándola respecto al tiempo

\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\frac{m}{2}(2\dot{x}\ddot{x}+2\dot{y}\ddot{y}+\dot{z}\ddot{z})+ \frac{k}{2}(2x\dot{x}+2y\dot{y}+2z\dot{z})

Agrupando términos y aplicando de nuevo la ley de Hooke

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\dot{x}(m\ddot{x}+kx) \dot{y}(m\ddot{y}+ky) +\dot{z(m\ddot{z}+kz)= 0

Por tanto, la energía mecánica es una constante de movimiento. Su valor lo obtenemos igualándola a su valor inicial

E = \frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)+\frac{k}{2}(x^2+y^2+z^2) = \frac{mv_0^2}{2}+\frac{kx_0^2}{2}


Al ser constante el momento cinético, la trayectoria es plana, siendo el plano de la órbita el definido por el vector de posición inicial (medido desde el centro de fuerzas) y la velocidad inicial.

En este caso tenemos que

\vec{r}_0=x_0\vec{\imath}\qquad\qquad\vec{v}_0=v_0\vec{\jmath}

El plano definido por estos dos vectores y el centro de fuerzas es el plano OXY, por lo que la trayectoria se limita a este plano.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/3.6._Oscilador_arm%C3%B3nico_en_el_plano"

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