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Despolarización de una esfera

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Nueva página: ==Enunciado== Una esfera de radio <math>a</math> se despolariza según la ley <center><math>\mathbf{P}(\mathrm{r},t)= k\mathrm{e}^{-\lambda t} r\mathbf{u}_{r}</math></center> Determ...)
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Las densidades de carga de polarización pueden ser de volumen o de
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Las densidades de carga de polarización pueden ser de volumen o de superficie. En el primer caso  
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densidad uniforme,
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Q_v = \int \rho_p \,d\tau =
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\left(\frac{4\pi}{3}a^3\right)\left(-3k\mathrm{e}^{-\lambda t}\right)
\left(\frac{4\pi}{3}a^3\right)\left(-3k\mathrm{e}^{-\lambda t}\right)
  = -4\pi a^3 k\mathrm{e}^{-\lambda t}
  = -4\pi a^3 k\mathrm{e}^{-\lambda t}
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Las densidades de carga superficiales se encontrarán en $r=a$
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Las densidades de carga superficiales se encontrarán en <math>r=a</math>
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\sigma_p = -\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{P}]= -\mathbf{u}_{r}{\cdot}\left(0-k\mathrm{e}^{-\lambda
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siendo la carga total almacenada en la superficie
siendo la carga total almacenada en la superficie
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<math>Q_s =\int \sigma_p\,\mathrm{d}S =\left(4\pi a^2\right)\left(ka\mathrm{e}^{-\lambda t} \right)= 4\pi a^3 \mathrm{e}^{-\lambda t}</math></center>
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Tanto la carga de volumen como la de superficie disminuyen en magnitud a lo largo del tiempo. La carga total de polarización será nula en todo instante
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Tanto la carga de volumen como la de superficie disminuyen en magnitud
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\indent La densidad de corriente de polarización valdrá en el interior
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\mathbf{J}_p = \frac{\partial{}\mathbf{P}}{\partial{}t} = -\lambda k \mathrm{e}^{-\lambda t} r\mathbf{u}_{r}
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y será nula en el exterior.
y será nula en el exterior.
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Esta densidad de corriente verifica la ley de conservación de la carga
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Esta densidad de corriente verifica la ley de conservación de la carga para <math>\rho_p</math> y para <math>\sigma_p</math>. En el primer caso tenemos
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Para las superficiales empleamos la condición de salto  
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Para las superficiales empleamos la condición de salto
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<math>\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{J}_p]= \mathbf{u}_{r}{\cdot}\left(0+\lambda k \mathrm{e}^{-\lambda t}a\mathbf{u}_{r}\right) =
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\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{J}_p]= \mathbf{u}_{r}{\cdot}\left(0+\lambda k \mathrm{e}^{-\lambda t}a\mathbf{u}_{r}\right) =
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\lambda k a \mathrm{e}^{-\lambda t}
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\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{J}]=-\frac{\partial{}\sigma_s}{\partial{}t}</math></center>
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Por supuesto, la ley de conservación de la carga puede demostrarse de forma general a partir de la definición de <math>\rho_p</math>, <math>\sigma_p</math> y <math>\mathbf{J}_p</math>
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Por supuesto, la ley de conservación de la carga puede demostrarse de
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forma general a partir de la definición de $\rho_p$, $\sigma_p$ y
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<center><math>\rho_p = -\nabla{\cdot}\mathbf{P} \qquad \mathbf{J}_p = \frac{\partial{}\mathbf{P}}{\partial{}t}
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\rho_p = -\nabla{\cdot}\mathbf{P} \qquad \mathbf{J}_p = \frac{\partial{}\mathbf{P}}{\partial{}t}
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y análogamente para las densidades de superficie
y análogamente para las densidades de superficie
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\sigma_p = -\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{P}]
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[[Categoría:Problemas de corriente eléctrica]]
[[Categoría:Problemas de corriente eléctrica]]

Revisión de 09:35 12 jun 2008

1 Enunciado

Una esfera de radio a se despolariza según la ley

\mathbf{P}(\mathrm{r},t)= k\mathrm{e}^{-\lambda t} r\mathbf{u}_{r}

Determine las densidades de carga de polarización, así como la densidad de corriente de polarización. ¿Se verifica la ley de conservación de la carga para ρp y σp?

2 Solución

Las densidades de carga de polarización pueden ser de volumen o de superficie. En el primer caso

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \rho_p = -\nabla{\cdot}\mathbf{P} = -k\mathrm{e}^{-\lambda t}\nabla{\cdot}\br = -3k\mathrm{e}^{-\lambda t}

en el interior de la esfera ($r<a$), mientras que en su exterior esta densidad es nula, ya que no hay polarización.

La carga de polarización almacenada en el volumen valdrá, por ser la densidad uniforme,

Q_v = \int \rho_p \,d\tau = \left(\frac{4\pi}{3}a^3\right)\left(-3k\mathrm{e}^{-\lambda t}\right) = -4\pi a^3 k\mathrm{e}^{-\lambda t}

Las densidades de carga superficiales se encontrarán en r = a

\sigma_p = -\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{P}]= -\mathbf{u}_{r}{\cdot}\left(0-k\mathrm{e}^{-\lambda t}a\mathbf{u}_{r}\right)=k\mathrm{e}^{-\lambda t}a

siendo la carga total almacenada en la superficie

Q_s =\int \sigma_p\,\mathrm{d}S =\left(4\pi a^2\right)\left(ka\mathrm{e}^{-\lambda t} \right)= 4\pi a^3 \mathrm{e}^{-\lambda t}

Tanto la carga de volumen como la de superficie disminuyen en magnitud a lo largo del tiempo. La carga total de polarización será nula en todo instante

Qp = Qv + Qs = 0

La densidad de corriente de polarización valdrá en el interior de la esfera

\mathbf{J}_p = \frac{\partial{}\mathbf{P}}{\partial{}t} = -\lambda k \mathrm{e}^{-\lambda t} r\mathbf{u}_{r}

y será nula en el exterior.

Esta densidad de corriente verifica la ley de conservación de la carga para ρp y para σp. En el primer caso tenemos

\nabla{\cdot}\mathbf{J}_p = -3\lambda k\mathrm{e}^{-\lambda t}

    \frac{\partial{}\rho_p}{\partial{}t} = 3\lambda k \mathrm{e}^{-\lambda t}     \nabla{\cdot}\mathbf{J}_p+\frac{\partial{}\rho_p}{\partial{}t}=0

Para las superficiales empleamos la condición de salto

\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{J}_p]= \mathbf{u}_{r}{\cdot}\left(0+\lambda k \mathrm{e}^{-\lambda t}a\mathbf{u}_{r}\right) = \lambda k a \mathrm{e}^{-\lambda t}     \frac{\partial{}\sigma_s}{\partial{}t} = -\lambda k a \mathrm{e}^{-\lambda t}\qquad \mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{J}]=-\frac{\partial{}\sigma_s}{\partial{}t}

Por supuesto, la ley de conservación de la carga puede demostrarse de forma general a partir de la definición de ρp, σp y \mathbf{J}_p

\rho_p = -\nabla{\cdot}\mathbf{P} \qquad \mathbf{J}_p = \frac{\partial{}\mathbf{P}}{\partial{}t}     

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \nabla{\cdot}\mathbf{J}_p = \nabla{\cdot}\left(\frac{\partial{}\mathbf{P}}{\partial{}t}\right) = \frac{\partial{}\ }{\partial{}t}\left(\nabla{\cdot}\mathbf{P}\right)= -\frac{\partial{}\rho_p}{\partial{}t}

y análogamente para las densidades de superficie

\sigma_p = -\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{P}]

     No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{J}_p] = \mathbf{n}{\cdot}\left[\frac{\partial{}\mathbf{P}}{\partial{}t}\right] = \frac{\partial{}\ }{\partial{}t}\left(\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{P}]\right)= -\frac{\partial{}\sigma_p}{\partial{}t}

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Despolarizaci%C3%B3n_de_una_esfera"

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