2.8. Ejemplo de movimiento helicoidal
De Laplace
(→Aceleración tangencial) |
(→Triedro de Frenet) |
||
Línea 78: | Línea 78: | ||
El vector binormal lo hallamos normalizando el producto vectorial de la velocidad y la aceleración: | El vector binormal lo hallamos normalizando el producto vectorial de la velocidad y la aceleración: | ||
- | <center><math>\vec{v}\times\vec{a}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & \Omega_0A & \Omega_0b/2\pi \\-\Omega_0^2A &2\beta A & b\beta/\pi\end{matrix}\right|=A\Omega_0^3\left(-\frac{b}{2 \pi}\vec{\jmath}+A\vec{k}\right)</math></center> | + | <center><math>\vec{v}(0)\times\vec{a}(0)=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & \Omega_0A & \Omega_0b/2\pi \\-\Omega_0^2A &2\beta A & b\beta/\pi\end{matrix}\right|=A\Omega_0^3\left(-\frac{b}{2 \pi}\vec{\jmath}+A\vec{k}\right)</math></center> |
Resulta el vector | Resulta el vector | ||
- | <center><math>\vec{B} = \frac{1}{\sqrt{A^2+{b^2}/{4\pi^2}}}\left(-\frac{b}{2\pi}\vec{\jmath}+A\vec{k}\right)</math></center> | + | <center><math>\vec{B}(0) = \frac{1}{\sqrt{A^2+{b^2}/{4\pi^2}}}\left(-\frac{b}{2\pi}\vec{\jmath}+A\vec{k}\right)</math></center> |
que es claramente ortogonal al vector tangente | que es claramente ortogonal al vector tangente | ||
Línea 88: | Línea 88: | ||
Multiplicando estos dos hallamos el vector normal | Multiplicando estos dos hallamos el vector normal | ||
- | <center><math>\vec{N}=\vec{B}\times\vec{T} = \frac{1}{A^2+b^2/4\pi^2}\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\0 & -b\beta/\pi & A \\ 0 & A & b/2\pi \end{matrix}\right|=-\vec{i}</math></center> | + | <center><math>\vec{N}(0)=\vec{B}(0)\times\vec{T}(0) = \frac{1}{A^2+b^2/4\pi^2}\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\0 & -b\beta/\pi & A \\ 0 & A & b/2\pi \end{matrix}\right|=-\vec{i}</math></center> |
que es ortogonal a los dos anteriores. | que es ortogonal a los dos anteriores. | ||
Línea 94: | Línea 94: | ||
De aquí tenemos que la aceleración normal en el instante inicial es igual a | De aquí tenemos que la aceleración normal en el instante inicial es igual a | ||
- | <center><math>a_n = \vec{a}\cdot(-\vec{\imath})= A\Omega_0^2</math></center> | + | <center><math>a_n(0) = \vec{a}(0)\cdot(-\vec{\imath})= A\Omega_0^2</math></center> |
y el radio de curvatura inicial vale | y el radio de curvatura inicial vale |
Revisión de 12:46 8 oct 2010
Contenido |
1 Enunciado
Una partícula se mueve a lo largo de la hélice descrita por la ecuación paramétrica

donde A y b son constantes conocidas. El movimiento de la partícula sigue la ley horaria

donde Ω0 y β son constantes conocidas.
- Determine el parámetro arco de la hélice descrita, como función del parámetro θ y como función del tiempo.
- Halle la rapidez del movimiento.
- Calcule la componente tangencial de la aceleración de la partícula en todo instante.
- Para el instante t = 0 calcule la velocidad y la aceleración de la partícula.
- Para el mismo instante, halle los vectores del triedro de Frenet, así como el radio de curvatura de la partícula y su aceleración normal.
2 Parámetro arco
Podemos determinar el parámetro arco empleando la variable θ según la relación

Derivando y calculando el módulo

El módulo de este vector vale

Puesto que el módulo es independiente de θ, su integración es inmediata



Y para obtener el parámetro arco en función del tiempo, basta sustituir en s(θ) la ley horaria θ(t) del enunciado

3 Celeridad
El cálculo de la rapidez es inmediato por derivación respecto al tiempo del parámetro arco

4 Aceleración tangencial
Obtenemos la componente tangencial de la aceleración derivando la celeridad respecto al tiempo

Puesto que esta aceleración tangencial es constante, el movimiento a lo largo de la hélice es uniformemente acelerado.
5 Velocidad y aceleración iniciales
Hallamos la ecuación horaria sustituyendo la ley horaria en la ecuación de la trayectoria

Derivando en esta expresión respecto al tiempo

Haciendo t = 0

Obtenemos la aceleración derivando la velocidad respecto al tiempo


Haciendo aquí t = 0

6 Triedro de Frenet
Para el instante inicial hallamos el vector tangente a la circunferencia normalizando la velocidad

El vector binormal lo hallamos normalizando el producto vectorial de la velocidad y la aceleración:

Resulta el vector

que es claramente ortogonal al vector tangente
Multiplicando estos dos hallamos el vector normal

que es ortogonal a los dos anteriores.
De aquí tenemos que la aceleración normal en el instante inicial es igual a

y el radio de curvatura inicial vale

Puede demostrarse que este radio de curvatura es constante a lo largo de todo el movimiento.