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2.8. Ejemplo de movimiento helicoidal

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Velocidad y aceleración iniciales)
(→Triedro de Frenet)
Línea 76: Línea 76:
==Triedro de Frenet==
==Triedro de Frenet==
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Para el instante inicial hallamos el vector tangente a la circunferencia normalizando la derivada del vector de posición respecto al parámetro
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Para el instante inicial hallamos el vector tangente a la circunferencia normalizando la velocidad
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<center><math>\vec{T}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}/\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s/\mathrm{d}\theta}=\frac{1}{\sqrt{A^2+{b^2}/{4\pi^2}}}\left(-A\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+A\cos(\theta)\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right)</math></center>
+
<center><math>\vec{T}(0)=\frac{\vec{v}(0)}{v(0)}=\frac{1}{\sqrt{A^2+{b^2}/{4\pi^2}}}\left(A\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right)</math></center>
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Cuando <math>t=0</math>, <math>\theta=0</math>, por lo que esta expresión se reduce a
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<center><math>\vec{T}(t=0)=\frac{1}{\sqrt{A^2+{b^2}/{4\pi^2}}}\left(A\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right)</math></center>
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La velocidad inicial es igual al producto de la celeridad inicial por el vector tangente
La velocidad inicial es igual al producto de la celeridad inicial por el vector tangente

Revisión de 08:35 6 oct 2010

Contenido

1 Enunciado

Una partícula se mueve a lo largo de la hélice descrita por la ecuación paramétrica

\vec{r}(\theta)=A\cos(\theta)\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}+\frac{b\theta}{2\pi}\vec{k}

donde A y b son constantes conocidas. El movimiento de la partícula sigue la ley horaria

\theta(t) = \Omega_0 t + \beta t^2\,

donde Ω0 y β son constantes conocidas.

  1. Determine el parámetro arco de la hélice descrita, como función del parámetro θ y como función del tiempo.
  2. Halle la rapidez del movimiento.
  3. Calcule la componente tangencial de la aceleración de la partícula en todo instante.
  4. Para el instante t = 0 calcule la velocidad y la aceleración de la partícula.
  5. Para el mismo instante, halle los vectores del triedro de Frenet, así como el radio de curvatura de la partícula y su aceleración normal.

2 Parámetro arco

Podemos determinar el parámetro arco empleando la variable θ según la relación

\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}=\left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\right|

Derivando y calculando el módulo

\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}=-A\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+A\cos(\theta)\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}

El módulo de este vector vale

\left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\right|=\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}

Puesto que el módulo es independiente de θ, su integración es inmediata

\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}=\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}   \Rightarrow    s=\theta\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}

3 Celeridad

Hallamos la rapidez por aplicación de la regla de la cadena

v=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}\,\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}

El primer factor ya lo conocemos; para el segundo derivamos la expresión del enunciado

\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=\Omega_0+2\beta t

con lo que

v = \dot{s} = \sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}\left(\Omega_0+2\beta t\right)

4 Aceleración tangencial

Obtenemos la componente tangencial de la aceleración derivando la celeridad respecto al tiempo

a_t = \ddot{s}= 2\beta \sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}

Puesto que esta aceleración tangencial es constante, el movimiento a lo largo de la hélice es uniformemente acelerado.

5 Velocidad y aceleración iniciales

Hallamos la ecuación horaria sustituyendo la ley horaria en la ecuación de la trayectoria

\vec{r}(t)=A\cos(\Omega_0 t + \beta t^2)\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}(\Omega_0 t + \beta t^2)\vec{\jmath}+\frac{b(\Omega_0 t + \beta t^2)}{2\pi}\vec{k}

Derivando en esta expresión respecto al tiempo

\vec{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\left(\Omega_0+2\beta t\right)\left(-A\,\mathrm{sen}(\Omega_0 t + \beta t^2)\vec{\imath}+A\cos(\Omega_0 t + \beta t^2)\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right)

Haciendo t = 0

\vec{v}(0)=\Omega_0\left(A\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right)

Obtenemos la aceleración derivando la velocidad respecto al tiempo

\vec{a}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=2\beta\left(-A\,\mathrm{sen}(\Omega_0 t + \beta t^2)\vec{\imath}+A\cos(\Omega_0 t + \beta t^2)\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right) +\left(\Omega_0+2\beta t\right)^2\left(-A\cos(\Omega_0 t + \beta t^2)\vec{\imath}-A\,\mathrm{sen}(\Omega_0 t + \beta t^2)\vec{\jmath}\right)

Haciendo aquí t = 0

\vec{a}(0)=-\Omega_0^2A\vec{\imath} + 2\beta A\vec{\jmath}+\frac{b\beta}{\pi}\vec{k}

6 Triedro de Frenet

Para el instante inicial hallamos el vector tangente a la circunferencia normalizando la velocidad

\vec{T}(0)=\frac{\vec{v}(0)}{v(0)}=\frac{1}{\sqrt{A^2+{b^2}/{4\pi^2}}}\left(A\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right)

La velocidad inicial es igual al producto de la celeridad inicial por el vector tangente

\vec{v} = \dot{s}\vec{T}=\Omega_0\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}\left(\frac{1}{\sqrt{A^2+{b^2}/{4\pi^2}}}\left(A\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right)\right)=\Omega_0\left(A\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right)
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