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2.8. Ejemplo de movimiento helicoidal

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Velocidad y aceleración iniciales)
(→Velocidad y aceleración iniciales)
Línea 66: Línea 66:
<center><math>\vec{v} = \dot{s}\vec{T}=\Omega_0\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}\left(\frac{1}{\sqrt{A^2+{b^2}/{4\pi^2}}}\left(A\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right)\right)=\Omega_0\left(A\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right)</math></center>
<center><math>\vec{v} = \dot{s}\vec{T}=\Omega_0\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}\left(\frac{1}{\sqrt{A^2+{b^2}/{4\pi^2}}}\left(A\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right)\right)=\Omega_0\left(A\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right)</math></center>
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También se puede llegar a esta expresión directamente, sustituyendo la ley horaria en la ecuación de la trayectoria, para obtener la ecuación horaria
==Triedro de Frenet==
==Triedro de Frenet==
[[Categoría:Problemas de cinemática del punto material (G.I.T.I.)]]
[[Categoría:Problemas de cinemática del punto material (G.I.T.I.)]]

Revisión de 08:18 6 oct 2010

Contenido

1 Enunciado

Una partícula se mueve a lo largo de la hélice descrita por la ecuación paramétrica

\vec{r}(\theta)=A\cos(\theta)\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}+\frac{b\theta}{2\pi}\vec{k}

donde A y b son constantes conocidas. El movimiento de la partícula sigue la ley horaria

\theta(t) = \Omega_0 t + \beta t^2\,

donde Ω0 y β son constantes conocidas.

  1. Determine el parámetro arco de la hélice descrita, como función del parámetro θ y como función del tiempo.
  2. Halle la rapidez del movimiento.
  3. Calcule la componente tangencial de la aceleración de la partícula en todo instante.
  4. Para el instante t = 0 calcule la velocidad y la aceleración de la partícula.
  5. Para el mismo instante, halle los vectores del triedro de Frenet, así como el radio de curvatura de la partícula y su aceleración normal.

2 Parámetro arco

Podemos determinar el parámetro arco empleando la variable θ según la relación

\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}=\left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\right|

Derivando y calculando el módulo

\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}=-A\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+A\cos(\theta)\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}

El módulo de este vector vale

\left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\right|=\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}

Puesto que el módulo es independiente de θ, su integración es inmediata

\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}=\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}   \Rightarrow    s=\theta\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}

3 Celeridad

Hallamos la rapidez por aplicación de la regla de la cadena

v=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}\,\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}

El primer factor ya lo conocemos; para el segundo derivamos la expresión del enunciado

\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=\Omega_0+2\beta t

con lo que

v = \dot{s} = \sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}\left(\Omega_0+2\beta t\right)

4 Aceleración tangencial

Obtenemos la componente tangencial de la aceleración derivando la celeridad respecto al tiempo

a_t = \ddot{s}= 2\beta \sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}

Puesto que esta aceleración tangencial es constante, el movimiento a lo largo de la hélice es uniformemente acelerado.

5 Velocidad y aceleración iniciales

Para el instante inicial hallamos el vector tangente a la circunferencia normalizando la derivada del vector de posición respecto al parámetro

\vec{T}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}/\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s/\mathrm{d}\theta}=\frac{1}{\sqrt{A^2+{b^2}/{4\pi^2}}}\left(-A\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+A\cos(\theta)\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right)

Cuando t = 0, θ = 0, por lo que esta expresión se reduce a

\vec{T}(t=0)=\frac{1}{\sqrt{A^2+{b^2}/{4\pi^2}}}\left(A\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right)

La velocidad inicial es igual al producto de la celeridad inicial por el vector tangente

\vec{v} = \dot{s}\vec{T}=\Omega_0\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}\left(\frac{1}{\sqrt{A^2+{b^2}/{4\pi^2}}}\left(A\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right)\right)=\Omega_0\left(A\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right)

También se puede llegar a esta expresión directamente, sustituyendo la ley horaria en la ecuación de la trayectoria, para obtener la ecuación horaria

6 Triedro de Frenet

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/2.8._Ejemplo_de_movimiento_helicoidal"

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