Partícula oscilando en parábola
De Laplace
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| Línea 35: | Línea 35: | ||
La coordenada x la obtenemos de la ecuación de la parábola | La coordenada x la obtenemos de la ecuación de la parábola | ||
| - | <center><math>x(t) = \frac{a}{b^2}y(t) = a\cos^2(k | + | <center><math>x(t) = \frac{a}{b^2}y(t) = a\cos^2(k t)</math></center> |
Por tanto, el vector de posición instantánea es | Por tanto, el vector de posición instantánea es | ||
| - | <center><math>\vec{r}(t) = a\cos^2( | + | <center><math>\vec{r}(t) = a\cos^2(kt)\vec{\imath}+b\cos(k t)\vec{\jmath}</math></center> |
A partir de la posición obtenemos la velocidad | A partir de la posición obtenemos la velocidad | ||
| - | <center><math>\vec{v}(t) = -2ak\cos( | + | <center><math>\vec{v}(t) = -2ak\cos(kt)\,\mathrm{sen}(kt)\vec{\imath}-bk\,\mathrm{sen}(kt)\vec{\jmath}</math></center> |
[[Categoría:Problemas de cinemática del punto material (G.I.T.I.)]] | [[Categoría:Problemas de cinemática del punto material (G.I.T.I.)]] | ||
Revisión de 17:13 5 oct 2010
1 Enunciado
Un punto material P se mueve en el plano OXY describiendo una trayectoria parabólica de ecuación y2 = (b2 / a)x. Se sabe que la partícula se halla inicialmente en reposo en la posición x = a, y = b; y que la componente y de su aceleración verifica en todo instante la expresión: ay = − k2y (con k = cte). Determine en función del tiempo la posición, velocidad y aceleración. ¿Cuál es la siguiente posición de reposo, y cuánto tiempo tarda en alcanzarla?
2 Solución
El movimiento de la partícula puede descomponerse en sus componentes cartesianas
siendo la aceleración
En este caso conocemos la relación entre la componente vertical de la aceleración y la coordenada correspondiente
que nos dice que en la coordenada y experimenta un movimiento armónico simple, con solución
Las constantes A y β las obtenemos de las condiciones iniciales. Sabemos que inicialmente la partícula se encuentra en y = b y su velocidad inicial es nula, por lo que
de donde
y la coordenada y en cada instante es
La coordenada x la obtenemos de la ecuación de la parábola
Por tanto, el vector de posición instantánea es
A partir de la posición obtenemos la velocidad
