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Problemas de cinemática del punto material (G.I.T.I.)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Partícula oscilando en parábola)
(→Evolvente de una circunferencia)
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La ''evolvente'' de una circunferencia es la curva plana que se obtiene cuando se desenrolla un hilo tenso de un carrete circular. Suponga que se tiene una bobina de radio <math>A</math> que se va desenrollando a ritmo constante, de forma que el punto de contacto del hilo con el carrete forma un ángulo <math>\theta=\omega t</math> con el punto inicial. Una partícula material se encuentra en el extremo del hilo, moviéndose con este extremo a medida que el hilo se va desenrollando.
La ''evolvente'' de una circunferencia es la curva plana que se obtiene cuando se desenrolla un hilo tenso de un carrete circular. Suponga que se tiene una bobina de radio <math>A</math> que se va desenrollando a ritmo constante, de forma que el punto de contacto del hilo con el carrete forma un ángulo <math>\theta=\omega t</math> con el punto inicial. Una partícula material se encuentra en el extremo del hilo, moviéndose con este extremo a medida que el hilo se va desenrollando.

Revisión de 21:48 3 oct 2010

Contenido

1 Ejemplo de movimiento rectilíneo

Una partícula efectúa un movimiento rectilíneo tal que si x(t) es la posición a lo largo de la recta y v(t) la componente de la velocidad en dicha dirección, se cumple en todo instante

v = \sqrt{k x}
  1. Determine la aceleración en cada punto. ¿Qué tipo de movimiento efectúa la partícula?
  2. Si en t = 0 la partícula se encuentra en x = x0, ¿cuál es su posición en cualquier instante posterior?

2 Cinemática del tiro parabólico

Supóngase el movimiento de un proyectil que se caracteriza por poseer una aceleración constante

\vec{a}(t)=-g\vec{k}

una posición inicial nula (\vec{r}_0=\vec{0}) y una velocidad inicial que forma un ángulo α con la horizontal y tiene rapidez inicial v0.

  1. Determine el vector de posición, la velocidad y la aceleración en cada instante.
  2. Calcule la celeridad y el vector tangente en el instante inicial, en el instante en que se encuentra a mayor altura y en el momento en que vuelve a impactar con el suelo.
  3. Halle la aceleración tangencial y la aceleración normal, así como el vector unitario normal en los tres instantes anteriores.
  4. Calcule el radio de curvatura y el centro de curvatura en el punto más alto de la trayectoria.
  5. Para este mismo punto, halle las componentes intrínsecas de la velocidad y la aceleración, así como el radio de curvatura, si \alpha = 45^\circ, v_0=25.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} y g=9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2.

3 Ejemplo de movimiento plano en 3D

Una partícula describe un movimiento según la ecuación horaria

\vec{r}(t) = 4A\cos^2(\omega t)\vec{\imath}+5A\cos(\omega t)\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}-3A\cos^2(\omega t)\vec{k}
  1. Calcule la velocidad y la aceleración instantáneas de este movimiento.
  2. Determine el parámetro arco como función del tiempo y escriba la ecuación de la trayectoria como función del parámetro arco.
  3. Calcule el triedro de Frenet asociado a la trayectoria en cada instante, así como las componentes intrínsecas de la aceleración
  4. Halle el radio de curvatura y la posición del centro de curvatura en cada instante.

4 Ejemplo de movimiento helicoidal

Una partícula se mueve a lo largo de la hélice descrita por la ecuación paramétrica

\vec{r}(\theta)=A\cos(\theta)\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}+\frac{b\theta}{2\pi}\vec{k}

donde A y b son constantes conocidas. El movimiento de la partícula sigue la ley horaria

θ(t) = Ω0t + βt2

donde Ω0 y β son constantes conocidas.

  1. Determine el parámetro arco de la hélice descrita, como función del parámetro θ y del tiempo.
  2. Halle la rapidez del movimiento.
  3. Calcule la componente tangencial de la aceleración de la partícula en todo instante.
  4. Para el instante t = 0 calcule la velocidad y la aceleración de la partícula.
  5. Para el mismo instante, halle los vectores del triedro de Frenet, así como el radio de curvatura de la partícula y su aceleración normal.

5 Evolvente de una circunferencia

La evolvente de una circunferencia es la curva plana que se obtiene cuando se desenrolla un hilo tenso de un carrete circular. Suponga que se tiene una bobina de radio A que se va desenrollando a ritmo constante, de forma que el punto de contacto del hilo con el carrete forma un ángulo θ = ωt con el punto inicial. Una partícula material se encuentra en el extremo del hilo, moviéndose con este extremo a medida que el hilo se va desenrollando.

  1. Determine el vector de posición de la partícula.
  2. Calcule la velocidad y la aceleración de la partícula.
  3. Determine la ley horaria s = s(t).
  4. Halle los vectores tangente y normal a la trayectoria.
  5. Halle el radio de curvatura y el centro de curvatura.

6 Movimiento de partícula sujeta de un hilo

Una barra rígida AB de longitud a se mueve en un plano vertical OXY, manteniendo su extremo A articulado en un punto del eje horizontal de coordenadas \overrightarrow{OA}= a \vec{\imath}, y verificando la ley horaria θ(t) = 2ωt, con 0 \leq \theta \leq \pi y siendo ω = cte. Un hilo inextensible de longitud 2a tiene uno de sus extremos conectado al origen del sistema de referencia (punto O), mientras que del otro cuelga una partícula P que mantiene al hilo siempre tenso. El hilo se apoya sobre una pequeña polea de radio despreciable situada en el extremo B de la barra, de forma que el tramo \overline{BP} permanece siempre paralelo al eje OY (ver figura). Se pide:

  1. Ecuaciones horarias del punto P, \overrightarrow{OP} = \vec{r}(t) =x(t) \vec{\imath} + y(t) \vec{\jmath}.
  2. Instante del tiempo tM en que la partícula alcanza su altura máxima.
  3. Radio de curvatura de la trayectoria seguida por P, en el instante considerado en el apartado anterior.

7 Rotación y traslación terrestres

La Tierra rota uniformemente con respecto a su eje con velocidad angular ω constante. Encuentre en función de la latitud λ, la velocidad y la aceleración de un punto sobre la superficie terrestre, debidas a dicha rotación (radio de la Tierra: R = 6370\,\mathrm{km})

Compare los módulos de los valores anteriores para el caso de un punto en el Ecuador, con los correspondientes al movimiento de traslación alrededor del Sol (distancia Tierra-Sol aproximadamente constante e igual a d=0.15\,\mathrm{Tm}).

8 Partícula oscilando en parábola

Un punto material P se mueve en el plano OXY describiendo una trayectoria parabólica de ecuación y2 = (b2 / a)x. Se sabe que la partícula se halla inicialmente en reposo en la posición x = a, y = b; y que la componente y de su aceleración verifica en todo instante la expresión: ay = − k2y (con k = cte). Determine en función del tiempo la posición, velocidad y aceleración. ¿Cuál es la siguiente posición de reposo, y cuánto tiempo tarda en alcanzarla?

9 Rotación en torno a un eje oblicuo

Una partícula gira alrededor de un eje que pasa por el origen de coordenadas y está orientado según el vector \vec{v}=\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}. La aceleración angular de este movimiento es constante y de módulo 6\,rad/s². La velocidad angular inicial es nula. Si en t = 2\,\mathrm{s} la partícula se encuentra en \vec{r}=(3\vec{i}-4\vec{j}+5\vec{k})\,\mathrm{m} calcule, para este instante

  1. La velocidad y la aceleración.
  2. Las componentes intrínsecas de la aceleración.

10 Movimiento cicloidal

Un punto de un disco que rueda a velocidad constante sobre una superficie plana en y = 0 tiene por velocidad

\vec{v}=\vec{v}_O+\vec{\omega}\times\vec{r}

donde

\vec{v}_O=v_0\vec{i}        \vec{\omega}=-\omega\vec{k}        v_0=\omega R\,

son la velocidad de traslación del centro del disco y la velocidad angular de rotación alrededor de él, respectivamente.

  1. Halle la expresión de la velocidad en función de las coordenadas de un punto del disco y del tiempo.
  2. Pruebe que las ecuaciones horarias
x = v_0 t -R\,\mathrm{sen}(\omega t)        y = R(1-\cos(\omega t))\,
son soluciones de las ecuaciones obtenidas en el primer apartado para un punto del borde del disco.
  1. Para el movimiento anterior, calcule la velocidad y la aceleración instantáneas
  2. Halle la celeridad instantánea, así como la ley horaria s(t) para intervalo 0 < t < T con T el periodo de revolución del disco.
  3. Determine las componentes intrínsecas de la aceleración, el radio de curvatura y la posición del centro de curvatura para el mismo periodo anterior.

11 Movimiento circular no uniforme

Una partícula describe un movimiento según la ecuación horaria

\vec{r}(t) = \frac{A(T^2-t^2)}{T^2+t^2}\vec{\imath}+\frac{2ATt}{T^2+t^2}\vec{\jmath}
  1. Calcule la aceleración y la velocidad instantáneas de este movimiento.
  2. Determine el parámetro arco como función del tiempo y escriba la ecuación de la trayectoria como función del parámetro arco.
  3. Calcule los vectores tangente y normal a la trayectoria en cada instante, así como las componentes intrínsecas de la aceleración.
  4. Halle el radio de curvatura y la posición del centro de curvatura en cada instante.

12 Espiral logarítmica

Una partícula recorre la espiral logarítmica de ecuación

\vec{r} = R (\cos(\theta)\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}\,(\theta)\vec{\jmath})\mathrm{e}^{-\theta\,\mathrm{tg}\,\alpha}

donde R y α son constantes. El movimiento es uniforme a lo largo de la curva, con celeridad constante v0. En el instante inicial la partícula se encuentra en θ = 0

  1. Determine la ley horaria θ = θ(t).
  2. Calcule el tiempo que tarda en llegar a \vec{r}=\vec{0}. ¿Cuántas vueltas da para ello?
  3. Halle el vector aceleración y sus componentes intrínsecas en cada punto de la trayectoria.
  4. Determine la posición de los centros de curvatura de este movimiento.
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