Problemas de vectores libres (G.I.T.I.)
De Laplace
(→Seno y coseno de una suma) |
(→Teoremas del seno y del coseno) |
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| Línea 43: | Línea 43: | ||
Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno | Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno | ||
| - | <center><math>c^2 = a^2 + b^2 -2ab\,cos(\gamma)</math> | + | <center><math>c^2 = a^2 + b^2 -2ab\,cos(\gamma)</math></center> |
y del seno | y del seno | ||
| + | |||
<center><math>\frac{\mathrm{sen}\,\alpha}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,\beta}{b}=\frac{\mathrm{sen}\,\gamma}{c}</math></center> | <center><math>\frac{\mathrm{sen}\,\alpha}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,\beta}{b}=\frac{\mathrm{sen}\,\gamma}{c}</math></center> | ||
Revisión de 16:40 14 sep 2010
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1 Formulas posiblemente incorrectas
De las siguientes expresiones, indique cuáles son necesariamente incorrectas. Aquí las diferentes letras representan las magnitudes definidas en el problema de ejemplos de análisis dimensional, R es una distancia y 
el vector de posición; t es el tiempo:
- (a)
- (b)
- (c)
- (d)
- (e)
- (f)
- (g)
- (h)
2 Ejemplo de clasificación de vectores
De los sigueinetes vectores ligados con sus respectivos puntos de aplicación:
- a)
en 
- b)
en 
- c)
en 
- d)
en 
- e)
en 
indique cuáles pueden representar al mismo vector deslizante y cuáles al mismo vector libre.
3 Arco capaz
Sean A y B dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea P otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores \overrightarrow{AP} y \overrightarrow{BP} son ortogonales.
Inversamente, sean A, B y P tres puntos tales que 
. Sea C el punto medio entre A y B. Pruebe que 
4 Diagonales de un rombo
Demuestre que las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí.
5 Seno y coseno de una diferencia
A partir del producto escalar y del vectorial de dos vectores del plano, con módulo unidad, demuestre las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de una diferencia de dos ángulos.
6 Teoremas del seno y del coseno
Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno
y del seno
en un triángulo de lados a, b y c y ángulos opuestos α, β y γ.
7 Ejemplo de construcción de una base
Dados los vectores
Construya una base ortonormal dextrógira, tal que
- El primer vector vaya en la dirección de
- El segundo esté contenido en el plano definido por y
- El tercero sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha.
8 Base dual
Sea 
una base vectorial arbitraria. Sean 
tres vectores definidos por
- 1. Demuestre que el conjunto
es también una base (llamada base dual de B1). ¿Cuánto vale el producto mixto de sus vectores?
- 2. Pruebe que se cumple
- 3. Demuestre que las componentes de un vector en la base B1 pueden calcularse proyectando sobre la base B2, esto es, si
- la componente k viene dada por
- 4. Halle la base dual de la base
- 5. Calcule las componentes del vector
- en la base del apartado anterior.
