4.7. Ejemplo de movimiento de precesión

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 21:34 3 ago 2010

Contenido

1 Enunciado
2 Campo de velocidades
3 Campo de aceleraciones
4 Componentes intrínsecas
- 4.1 Punto A

1 Enunciado

El movimiento de precesión de una peonza puede describirse como una rotación en torno a un eje instantáneo que a su vez está rotando, manteniéndose fijo el punto de apoyo. Supongamos el caso particular

$\vec{v}^O = \vec{0}$ $\vec{\omega}=3\cos(t)\vec{\imath}+3\,\mathrm{sen}\,(t)\vec{\jmath}+4\vec{k}$

Determine el campo de velocidades del sólido.
Determine el campo de aceleraciones del sólido. ¿Es la aceleración de un punto igual a la derivada de la velocidad en ese punto respecto al tiempo?
Halle, para cada instante las componentes intrínsecas de la aceleración y el radio de curvatura de los puntos

$\overrightarrow{OA}=5\vec{k}\qquad \overrightarrow{OB}=5\vec{\imath}$

2 Campo de velocidades

Por tratarse de una rotación pura

$\vec{v}^P = \overbrace{\vec{v}^O}^{=\vec{0}} + \vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}=\vec{\omega}\times\vec{r}= \left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k}\\ 3\cos(t) & 3\,\mathrm{sen}(t) & 4 \\ x & y & z\end{matrix}\right|$

Separando en componentes cartesianas

$\begin{matrix} v_x & = & \omega_y z - \omega_z y & = &3z\,\mathrm{sen}(t)-4y\\ v_y & = & \omega_z x - \omega_x z & = &4x - 3z\cos(t)\\ v_z & = & \omega_x y - \omega_y x & = &3y\cos(t)-3x\,\mathrm{sen}(t) \end{matrix}$

3 Campo de aceleraciones

El campo de aceleraciones tiene la expresión general

$\vec{a}^P = \vec{a}^O + \vec{\alpha}\times\overrightarrow{OP}+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP})$

En este caso la aceleración de O es nula, por estar permanentemente en reposo, mientras que la aceleración angular vale

$\vec{a}^O = \frac{\mathrm{d}\vec{v}^O}{\mathrm{d}t}=\vec{0}$ $\vec{\alpha}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}=-3\,\mathrm{sen}(t)\vec{\imath}+3\cos(t)\vec{\jmath}$

Sustituyendo y separando en componentes cartesianas obtenemos

$\begin{matrix} a_x & = & -16x + 15z\cos(t)+9 y \cos(t)\,\mathrm{sen}(t)-9 x \,\mathrm{sen}^2(t)\\ && \\ a_y & = & -16 y-9 y \cos^2(t)+15 z \,\mathrm{sen}(t)+9 x \cos(t) \,\mathrm{sen}(t)\\ && \\ a_z & = & 9 x \cos(t)-9 z \cos^2(t)+9 y \,\mathrm{sen}(t)-9 z \,\mathrm{sen}^2(t) \end{matrix}$

Puede comprobarse de manera inmediata que

$a_x \neq \frac{\partial v_x}{\partial t}=3z\cos(t)$

y lo mismo para el resto de las componentes: la aceleración de un punto no es igual a la derivada de la velocidad instantánea de dicho punto respecto al tiempo. La razón es que al tener una velocidad no solo cambia la velocidad porque varía $t$ . También $x$ , $y$ y $z$ varían al desplazarse la partícula y por tanto deben ser incluidas en la derivación respecto al tiempo mediante la regla de la cadena.

4 Componentes intrínsecas

4.1 Punto A

Particularizando para $x = y = 0$ , $z = 1$ obtenemos

$\vec{v}^A = 3\,\mathrm{sen}(t)\vec{\imath}-3\cos(t)\vec{\jmath}$ $\vec{a}^A = 15\cos(t)\vec{\imath}+15\,\mathrm{sen}(t)\vec{\jmath}-9\vec{k}$

Una vez que tenemos los vectores velocidad aceleración podemos hallar las componentes intrínsecas de la aceleración.

Aceleración tangencial: Proyectando sobre la velocidad

$\vec{a}^A_t = \frac{(\vec{a}^A\cdot\vec{v}^A)\vec{v}^A}{(v^A)^2} = \vec{0}$

Aceleración normal: Puesto que la aceleración tangencial es nula, toda la aceleración es normal

$\vec{a}^A_n = \vec{a}^A = 15\cos(t)\vec{\imath}+15\,\mathrm{sen}(t)\vec{\jmath}-9\vec{k}$

@@ Línea 49: / Línea 49: @@
 ==Componentes intrínsecas==
+===Punto A===
+Particularizando para <math>x = y = 0</math>, <math>z=1</math> obtenemos
+<center><math>\vec{v}^A = 3\,\mathrm{sen}(t)\vec{\imath}-3\cos(t)\vec{\jmath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}^A = 15\cos(t)\vec{\imath}+15\,\mathrm{sen}(t)\vec{\jmath}-9\vec{k}</math></center>
+Una vez que tenemos los vectores velocidad aceleración podemos hallar las componentes intrínsecas de la aceleración.
+;Aceleración tangencial: Proyectando sobre la velocidad
+<center><math>\vec{a}^A_t = \frac{(\vec{a}^A\cdot\vec{v}^A)\vec{v}^A}{(v^A)^2} = \vec{0}</math></center>
+;Aceleración normal: Puesto que la aceleración tangencial es nula, toda la aceleración es normal
+<center><math>\vec{a}^A_n = \vec{a}^A = 15\cos(t)\vec{\imath}+15\,\mathrm{sen}(t)\vec{\jmath}-9\vec{k}</math></center>
 [[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido]]

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