|
|
| (153 ediciones intermedias no se muestran.) |
| Línea 1: |
Línea 1: |
| - | ==[[1.1. Expresión que carece de sentido|Expresión que carece de sentido]]== | + | ==[[Ejemplo de construcción de una base]]== |
| - | Si <math>\,\vec{a}</math>, <math>\vec{b}</math>, <math>\vec{c}\,</math> y <math>\,\vec{d}\,</math> son vectores
| + | |
| - | libres, y <math>\,\lambda\,</math> es un escalar, ¿cuál de las cuatro siguientes
| + | |
| - | expresiones carece de sentido en el álgebra vectorial?
| + | |
| - | | + | |
| - | :(1) <math>\frac{\lambda\,\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{c}\times\vec{d}\,|}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :(2) <math>\frac{\vec{a}\times\vec{b}}{(\vec{c}\cdot\vec{d}\,)}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :(3) <math>\vec{a}\cdot[\vec{b}\times(\vec{c}\cdot\vec{d}\,)]</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :(4) <math>\vec{a}\times[(\vec{b}\times\vec{c}\,)+\lambda\,\vec{d}\,\,]</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[1.2. Paralelogramo en cuadrilátero|Paralelogramo en cuadrilátero]]==
| + | |
| - | Sea ABCD un cuadrilátero arbitrario. Demuestre, usando el álgebra vectorial, que los puntos medios de sus cuatro lados constituyen los vértices de un paralelogramo.
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[1.3. Lados de un triángulo rectángulo (Ex.Nov/11)|Lados de un triángulo rectángulo (Ex.Nov/11)]]==
| + | |
| - | ¿Cuál de las siguientes ternas de vectores libres podría corresponder a los tres lados de un triángulo rectángulo?
| + | |
| - | | + | |
| - | :(1) <math>\,\,\,\vec{a}=(-\vec{\imath}+4\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\,
| + | |
| - | \vec{b}=(2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\,
| + | |
| - | \vec{c}=(-\vec{\imath}-5\,\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :(2) <math>\,\,\,\vec{a}=(3\,\vec{\imath}+2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\,
| + | |
| - | \vec{b}=(2\,\vec{\imath}-3\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\,
| + | |
| - | \vec{c}=(5\,\vec{\imath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :(3) <math>\,\,\,\vec{a}=(\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}+3\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\,
| + | |
| - | \vec{b}=(-2\,\vec{\imath}+3\,\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\,
| + | |
| - | \vec{c}=(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :(4) <math>\,\,\,\vec{a}=(3\,\vec{\jmath}+3\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\,
| + | |
| - | \vec{b}=(\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\,
| + | |
| - | \vec{c}=(2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[1.4. Arco capaz|Arco capaz]]==
| + | |
| - | Sean <math>A</math> y <math>B</math> dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea <math>P</math> otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores <math>\overrightarrow{AP}</math> y <math>\overrightarrow{BP}</math> son ortogonales.
| + | |
| - | | + | |
| - | Inversamente, sean <math>A</math>, <math>B</math> y <math>P</math> tres puntos tales que <math>\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{BP}</math>. Sea <math>C</math> el punto medio entre <math>A</math> y <math>B</math>. Pruebe que <math>|\overrightarrow{CP}| = |\overrightarrow{CA}|</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[1.5. Ejemplo de ecuación vectorial de un plano|Ejemplo de ecuación vectorial de un plano]]==
| + | |
| - | Obtenga la ecuación del plano perpendicular al vector libre <math>\vec{a}= 2\vec{\imath}+3\vec{\jmath}+6\vec{k}</math> y que contiene a un punto <math>P</math>, cuya posición respecto del origen de un sistema de referencia <math>OXYZ</math> viene dada por el radiovector <math>\vec{r} = \vec{\imath} + 5\vec{\jmath} + 3\vec{k}</math>. Calcule la distancia que separa a dicho plano del origen <math>O</math>. (Unidades del SI)
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[1.6. Teoremas del seno y del coseno|Teoremas del seno y del coseno]]==
| + | |
| - | | + | |
| - | [[Archivo:Ejemplo_triangulo.png|right]]
| + | |
| - | | + | |
| - | Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno
| + | |
| - | | + | |
| - | <center><math>c^2 = a^2 + b^2 -2ab\,\mathrm{cos}(\gamma)</math></center>
| + | |
| - | | + | |
| - | y del seno
| + | |
| - | | + | |
| - | <center><math>\frac{\mathrm{sen}\,\alpha}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,\beta}{b}=\frac{\mathrm{sen}\,\gamma}{c}</math></center>
| + | |
| - | | + | |
| - | en un triángulo de lados <math>a</math>, <math>b</math> y <math>c</math>, y ángulos opuestos <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> y <math>\gamma</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[1.7. Seno y coseno de una diferencia|Seno y coseno de una diferencia]]==
| + | |
| - | | + | |
| - | A partir del producto escalar y del producto vectorial de dos vectores unitarios en un plano, demuestre las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de la diferencia de dos ángulos:
| + | |
| - | | + | |
| - | <center><math>\begin{array}{rcl}\cos(\beta-\alpha) & = & \cos(\alpha)\cos(\beta)+\,\mathrm{sen}(\alpha)\,\mathrm{sen}(\beta) \\ && \\ \mathrm{sen}(\beta-\alpha) & = &\cos(\alpha)\,\mathrm{sen}(\beta)-\,\mathrm{sen}(\alpha)\cos(\beta)\end{array}</math></center>
| + | |
| - | | + | |
| - | <center>[[Archivo:diferencia-angulos.png]]</center>
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[1.8. Ejemplo de clasificación de vectores|Ejemplo de clasificación de vectores]]==
| + | |
| - | De los siguientes vectores ligados con sus respectivos puntos de aplicación:
| + | |
| - | | + | |
| - | :a) <math>\vec{v}_1 = 2\vec{\imath}-\vec{\jmath} + \vec{k}</math> en <math>A(3,1,1)\,</math>
| + | |
| - | :b) <math>\vec{v}_2 = 2\vec{\imath}+\vec{\jmath} + \vec{k}</math> en <math>B(1,2,0)\,</math>
| + | |
| - | :c) <math>\vec{v}_3 = 2\vec{\imath}-\vec{\jmath} + \vec{k}</math> en <math>C(-1,3,-1)\,</math>
| + | |
| - | :d) <math>\vec{v}_4 = 2\vec{\imath}-\vec{\jmath} + \vec{k}</math> en <math>D(-3,4,-1)\,</math>
| + | |
| - | :e) <math>\vec{v}_5 = 2\vec{\imath}+\vec{\jmath} + \vec{k}</math> en <math>E(7,5,3)\,</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | indique cuáles pueden representar al mismo vector deslizante y cuáles al mismo vector libre.
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[1.9. Longitud de una sombra (Ex.Nov/11)|Longitud de una sombra (Ex.Nov/11)]]==
| + | |
| - | En cierto sistema de coordenadas cartesianas, el suelo viene definido por el plano de ecuación <math>x-2y+2z=0\,</math> y en él se halla clavada una varilla rectilínea representada por el vector <math>\overrightarrow{OP}=(4\,\vec{\imath}-3\,\vec{\jmath}\,)\,\mathrm{m}</math>. Suponiendo que es mediodía y los rayos solares inciden
| + | |
| - | perpendicularmente al suelo, ¿cuál es la longitud de la sombra que la varilla proyecta sobre el suelo?
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[1.10. Volumen de un paralelepípedo|Volumen de un paralelepípedo]]==
| + | |
| - | Sean los puntos de coordenadas (en el SI) <math>O(1,0,2)</math>, <math>A(3,2,4)</math>, <math>B(2,6,8)</math> y <math>C(2,-3,1)</math>. Determine el volumen del paralelepípedo definido por los vectores <math>\overrightarrow{OA}</math>, <math>\overrightarrow{OB}</math> y <math>\overrightarrow{OC}</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | Halle del mismo modo el volumen del paralelepípedo definido por los vectores <math>\overrightarrow{AO}</math>, <math>\overrightarrow{AB}</math> y <math>\overrightarrow{AC}</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | Calcule igualmente el volumen del tetraedro irregular definido por estos cuatro puntos.
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[1.11. Vectores con tres condiciones (Ex.Nov/11)|Vectores con tres condiciones (Ex.Nov/11)]]==
| + | |
| - | Determine todos los vectores libres que cumplen simultáneamente las tres siguientes condiciones:
| + | |
| - | | + | |
| - | 1) Tener una longitud de <math>14</math> m.
| + | |
| - | | + | |
| - | 2) Ser ortogonal al vector <math>(3\,\vec{\imath}+\vec{k}\,)\,</math> m.
| + | |
| - | | + | |
| - | 3) Formar junto a los vectores <math>\,\vec{\imath}\,\,</math> m y
| + | |
| - | <math>\,\vec{k}\,</math> m un paralelepípedo de volumen igual a <math>6</math> m<math>^{3}</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[1.12. Ejemplo de construcción de una base|Ejemplo de construcción de una base]]==
| + | |
| | Dados los vectores | | Dados los vectores |
| | | | |
| - | <center><math>\vec{v}=\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}=6\vec{\imath}+9\vec{\jmath}+6\vec{k}</math></center> | + | <center><math>\vec{v}=3\vec{\imath}+4\vec{\jmath}-12\vec{k}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}=12\vec{\imath}-16\vec{\jmath}+29\vec{\k}</math></center> |
| - | | + | |
| - | Construya una base ortonormal dextrógira cuyos vectores cumplan las siguientes condiciones:
| + | |
| - | | + | |
| - | * El primer vector tiene la dirección y sentido de <math>\vec{v}</math>
| + | |
| - | * El segundo vector está contenido en el plano definido por <math>\vec{v}</math> y <math>\vec{a}</math>, y apunta hacia el mismo semiplano (respecto de <math>\vec{v}</math>) que el vector <math>\vec{a}</math>.
| + | |
| - | * El tercer vector es perpendicular a los dos anteriores, y está orientado según la regla de la mano derecha.
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[No Boletín - Aplicación de la regla del paralelogramo (Ex.Oct/14)]]==
| + | |
| - | [[Archivo:pipedo.png|right]]
| + | |
| - | | + | |
| - | Las ternas de vectores <math>\{\overrightarrow{AC}\,,\,\overrightarrow{AF}\,,\,\overrightarrow{AH}\,\}\,</math> y <math>\{\overrightarrow{AB}\,,\,\overrightarrow{AD}\,,\,\overrightarrow{AE}\,\}\,</math> están asociadas al paralelepípedo de la figura. Corresponden, respectivamente, a las diagonales de vértice común de tres caras contiguas y a las tres aristas que concurren en ese mismo vértice. Observe que la regla del
| + | |
| - | paralelogramo para la suma vectorial permite establecer relaciones entre los vectores de una y otra terna.
| + | |
| - | | + | |
| - | ¿Cuál de las siguientes relaciones de equivalencia es correcta?
| + | |
| - | | + | |
| - | ('''NOTA''': sólo una de las cuatro opciones es correcta).
| + | |
| - | | + | |
| - | :(1) <math>\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AH}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :(2) <math>\overrightarrow{AB}=\displaystyle\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AF})</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :(3) <math>\overrightarrow{AB}=\displaystyle\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AH})</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :(4) <math>\overrightarrow{AB}=\displaystyle\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AH})</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[No Boletín - Area de un cuadrilátero (Ex.Nov/12)]]==
| + | |
| - | [[Archivo:cuadrilatero.png|right]]
| + | |
| - | | + | |
| - | ¿Corresponde la siguiente fórmula al área del cuadrilátero <math>ABCD\,</math>?
| + | |
| - | | + | |
| - | <center><math>
| + | |
| - | \frac{1}{2}\,|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{BD}\,|
| + | |
| - | </math></center>
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[No Boletín - Area de un paralelogramo (Ex.Oct/15)]]==
| + | |
| - | Si <math>\,\vec{a}\,\,</math> y <math>\,\vec{b}\,\,</math> son dos vectores libres que forman un ángulo <math>\theta\,</math> (siendo <math>0<\theta<\pi\,\,\mathrm{rad}\,</math>), ¿cuánto vale el área del paralelogramo que tiene por lados a los vectores <math>\,\vec{a}+\vec{b}\,\,</math> y <math>\,\vec{a}-\vec{b}\,\,</math>?
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[No Boletín - Arista de un tetraedro (Ex.Oct/13)]]==
| + | |
| - | [[Archivo:tetraedro.png|right]]
| + | |
| - | | + | |
| - | El triángulo definido por los vectores <math>\overrightarrow{OA}=(-\vec{\imath}-\vec{\jmath}-\vec{k}\,)\, \mathrm{m}\,</math> y
| + | |
| - | <math>\overrightarrow{OB}=2\,\vec{k}\,\,\mathrm{m}\,</math> constituye la base de un tetraedro. Sabiendo que la altura de dicho tetraedro es <math>3\sqrt{2}\,\mathrm{m}\,</math> y que <math>C\,</math> es el vértice opuesto a su base, ¿cuál de los siguientes vectores puede
| + | |
| - | definir la arista <math>OC\,</math> del tetraedro descrito?
| + | |
| - | | + | |
| - | :(1) <math>\overrightarrow{OC}=(\vec{\imath}+\vec{\jmath}-\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :(2) <math>\overrightarrow{OC}=(\vec{\jmath}-\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :(3) <math>\overrightarrow{OC}=(\sqrt{2}\,\vec{\jmath}+3\sqrt{2}\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :(4) <math>\overrightarrow{OC}=(-2\,\vec{\imath}+4\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[No Boletín - Arista de un tetraedro II (Ex.Oct/15)]]==
| + | |
| - | [[Archivo:tetraedro-regular.png|right]]
| + | |
| - | Los puntos <math>\,O\,</math>, <math>A\,</math>, <math>B\,</math> y <math>C\,\,</math> son los vértices de un tetraedro regular cuyas caras son triángulos equiláteros con lados de longitud igual a <math>1\,\mathrm{m}\,</math>. Se elige el triedro cartesiano <math>OXYZ\,</math> de la figura, de tal modo que las aristas <math>\,OA\,</math> y <math>OB\,\,</math> del tetraedro quedan definidas por los vectores:
| + | |
| - | <center><math>
| + | |
| - | \overrightarrow{OA}=\displaystyle\frac{1}{2}(\sqrt{3}\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,\,)\,\mathrm{m}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,
| + | |
| - | \overrightarrow{OB}=\vec{\jmath}\,\,\mathrm{m}
| + | |
| - | </math></center>
| + | |
| - | Determine el vector <math>\,\overrightarrow{OC}\,</math>, por el que queda definida la arista <math>OC\,</math> del tetraedro.
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[No Boletín - Calcular el ángulo entre dos vectores]]==
| + | |
| - | Halle el ángulo que forman los vectores
| + | |
| - | | + | |
| - | <center><math>\vec{A}=24\vec{\imath}-32\vec{k}\qquad\mbox{y}\qquad \vec{B}=16\vec{\jmath}+12\vec{k}</math></center>
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[No Boletín - Cálculo de distancia entre dos rectas]]==
| + | |
| - | Sean las rectas <math>r_1</math>, que pasa por los puntos <math>A(-2,5,1)</math> y <math>B(7,-7,1)</math>, y <math>r_2</math> que pasa por <math>C(5,4,-3)</math> y <math>D(5,4,2)</math> (todas las unidades en el SI). Empleando el álgebra vectorial, determine la distancia entre estas dos rectas.
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[No Boletín - Cálculo de la altura de un paralelepípedo (Ex.Jun/13)]]==
| + | |
| - | Sea el paralelepípedo que tiene como aristas a los tres vectores siguientes:
| + | |
| - | <math>
| + | |
| - | \overrightarrow{OA}=(2\vec{\imath}-3\vec{\jmath}+\vec{k})\,\mathrm{m}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
| + | |
| - | \overrightarrow{OB}=(\vec{\imath}-\vec{k})\,\mathrm{m}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
| + | |
| - | \overrightarrow{OC}=(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+4\,\vec{k})\,\mathrm{m}
| + | |
| - | </math>
| + | |
| - | | + | |
| - | ¿Cuánto mide la altura de este paralelepípedo si se considera que su base es la cara que tiene como lados a
| + | |
| - | <math>\overrightarrow{OA}\,</math> y <math>\overrightarrow{OB}\,</math>?
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[No Boletín - Cálculo de las componentes de un vector]]==
| + | |
| - | De una fuerza <math>\vec{F}_1</math> se sabe que tiene de intensidad 10 N y que los ángulos que forma con los semiejes OX y OY positivos valen 60°. Determine las componentes cartesianas de esta fuerza. ¿Existe solución? ¿Es única?
| + | |
| - | | + | |
| - | Si a esta fuerza se le suma otra <math>\vec{F}_2 = (-10\vec{\imath}-10\vec{\jmath})\,\mathrm{N}</math>, ¿qué ángulo forma la resultante con los ejes coordenados?
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[No Boletín - Cálculo de una diagonal (Ex.Ene/13)]]==
| + | |
| - | Sea el rombo cuyos lados quedan definidos por los vectores <math>\vec{a}=(-\vec{\jmath}+3\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,</math> y
| + | |
| - | <math>\vec{b}=(\sqrt{2}\,\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,</math>. ¿Cuál es la longitud de su diagonal mayor?
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[No Boletín - Camino más corto entre dos rectas no paralelas (Ex.Oct/15)]]==
| + | |
| - | Dadas dos rectas no paralelas: <math>\,r_1\,</math> (que pasa por el punto <math>A\,</math> y es paralela al vector <math>\,\vec{a}\,</math>) y <math>\,r_2\,</math> (que pasa por el punto <math>B\,</math> y es paralela al vector <math>\,\vec{b}\,).</math> ¿Cuál de los siguientes vectores coincide con el camino más corto que lleva desde <math>\,r_1\,</math> hasta <math>\,r_2\,</math>?
| + | |
| - | | + | |
| - | :(1) <math>\displaystyle\frac{[(\vec{a}\times\vec{b}\,)\times
| + | |
| - | \overrightarrow{AB}\,]\times(\vec{a}\times\vec{b}\,)}{|\vec{a}\times\vec{b}\,|^2}\,</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :(2) <math>\displaystyle\frac{[\,\overrightarrow{AB}\cdot
| + | |
| - | (\vec{a}\times\vec{b}\,)]\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|^2}\,</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :(3) <math>\displaystyle\frac{[(\vec{a}\times\vec{b}\,)\cdot
| + | |
| - | \overrightarrow{AB}\,](\vec{a}\times\vec{b}\,)}{|\vec{a}\times\vec{b}\,|^2}\,</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :(4) <math>\displaystyle\frac{[(\vec{a}\times\vec{b}\,)\cdot
| + | |
| - | \overrightarrow{AB}\,](\vec{a}\times\vec{b}\,)}{|\overrightarrow{AB}|^2}\,</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[No Boletín - Camino más corto entre un punto y una recta (Ex.Oct/14)]]==
| + | |
| - | En un sistema cartesiano <math>OXYZ\,</math> se define el punto <math>P\,</math> (de posición <math>\overrightarrow{OP}=\vec{\imath}+\vec{k}\,</math>) y la recta <math>r\,</math> (que pasa por el punto <math>Q\,</math> de posición <math>\overrightarrow{OQ}=3\,\vec{\imath}+5\,\vec{k}\,</math>, y es paralela al vector <math>\vec{w}=3\,\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,</math>). Determine el vector que coincide con el camino más corto que lleva desde el punto <math>P\,</math> hasta la recta <math>r\,</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[No Boletín - Determinación de un vector a partir de sus proyecciones]]==
| + | |
| - | Se tiene un vector conocido no nulo, <math>\vec{A}</math>, y uno que se desea determinar, <math>\vec{X}</math>. Se dan como datos su producto escalar y su
| + | |
| - | producto vectorial por <math>\vec{A}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | <center><math>\vec{A}\cdot\vec{X}=k\qquad \vec{A}\times\vec{X} = \vec{C}</math></center>
| + | |
| - | | + | |
| - | Determine el valor de <math>\vec{X}</math>. ¿Es suficiente una sola de las dos ecuaciones para hallar <math>\vec{X}</math>?
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[No Boletín - Diagonales de un rombo]]==
| + | |
| - | Demuestre que las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí.
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[No Boletín - Ejemplo de operaciones con dos vectores]]==
| + | |
| - | Dados los vectores
| + | |
| - | | + | |
| - | <center><math>\vec{v}=2.0\,\vec{\imath}+3.5\,\vec{\jmath}-4.2\,\vec{k}\qquad\qquad\vec{a}=4.5\,\vec{\imath}-2.2\,\vec{\jmath}+1.5\,\vec{k}</math></center>
| + | |
| - | | + | |
| - | # ¿Qué ángulo forman estos dos vectores?
| + | |
| - | # ¿Qué área tiene el paralelogramo que tiene a estos dos vectores por lados?
| + | |
| - | # Escriba <math>\vec{a}</math> como suma de dos vectores, uno paralelo a <math>\vec{v}</math> y otro ortogonal a él.
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[No Boletín - Equivalencia entre dobles productos vectoriales (Ex.Sep/14)]]== | + | |
| - | Si <math>\vec{a}\,</math>, <math>\vec{b}\,</math> y <math>\vec{c}\,</math> son tres vectores libres arbitrarios, ¿cuál de los siguientes dobles productos vectoriales es equivalente a <math>\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}\,)\,</math>?
| + | |
| - | | + | |
| - | ('''NOTA''': sólo una de las cuatro opciones es correcta).
| + | |
| - | | + | |
| - | :(1) <math>\vec{b}\times(\vec{c}\times\vec{a}\,)</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :(2) <math>(\vec{a}\times\vec{b}\,)\times\vec{c}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :(3) <math>(\vec{c}\times\vec{b}\,)\times\vec{a}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :(4) <math>\vec{a}\times(\vec{c}\times\vec{b}\,)</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[No Boletín - Expresión que carece de sentido II (Ex.Oct/14)]]==
| + | |
| - | Si <math>\,\vec{a}</math>, <math>\vec{b}</math>, <math>\vec{c}\,</math> y <math>\,\vec{d}\,</math> son vectores
| + | |
| - | libres, ¿cuál de las siguientes expresiones carece de sentido en el álgebra vectorial?
| + | |
| - | | + | |
| - | ('''NOTA''': sólo una de las cuatro expresiones carece de sentido).
| + | |
| - | | + | |
| - | :(1) <math>(\vec{a}\times\vec{b}\,)\cdot(\vec{c}\times\vec{d}\,)</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :(2) <math>(\vec{a}\cdot\vec{b}\,)+(\vec{c}\times\vec{d}\,)</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :(3) <math>(\vec{a}\cdot\vec{b}\,)(\vec{c}\times\vec{d}\,)</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :(4) <math>(\vec{a}\times\vec{b}\,)\times(\vec{c}\times\vec{d}\,)</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[No Boletín - La coplanariedad de tres vectores (Ex.Oct/13)]]==
| + | |
| - | En un triedro cartesiano <math>OXYZ\,</math> se consideran los puntos <math>A(-2,1,1)\,</math>, <math>B(0,3,1)\,</math> y
| + | |
| - | <math>C(-1,q,2)\,</math>. ¿Cuál es el valor de <math>q\,</math> si los vectores <math>\overrightarrow{OA}\,</math>,
| + | |
| - | <math>\overrightarrow{AB}\,</math> y <math>\overrightarrow{BC}\,</math> son coplanarios?
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[No Boletín - Ortogonalidad de dos vectores (Ex.Nov/12)]]==
| + | |
| - | En un triedro cartesiano OXYZ (coordenado en unidades SI) se consideran los puntos A(1,2,1) y B(p,1,2). ¿Cuál es el valor de p si los vectores <math>\overrightarrow{OA}</math> y <math>\overrightarrow{AB}</math> son ortogonales?
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[No Boletín - Sistema de ecuaciones vectoriales]]==
| + | |
| - | Demuestre que si se cumplen simultáneamente las condiciones
| + | |
| - | | + | |
| - | <center><math>\vec{A}\cdot\vec{B} = \vec{A}\cdot\vec{C}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{A}\times\vec{B} = \vec{A}\times\vec{C}</math></center>
| + | |
| - | | + | |
| - | siendo <math>\vec{A}\neq \vec{0}</math>, entonces <math>\vec{B} = \vec{C}</math>; pero si se cumple una de ellas y la otra no, entonces <math>\vec{B}\neq\vec{C}</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[No Boletín - Suma y resta de dos vectores con módulos iguales (Ex.Sep/15)]]==
| + | |
| - | Sean <math>\,\vec{a}\,</math> y <math>\vec{b}\,\,</math> dos vectores libres no nulos y no paralelos (<math>\vec{a}\times\vec{b}\neq\vec{0}\,</math>), pero con módulos iguales (<math>|\vec{a}\,|=|\vec{b}\,|\,</math>). ¿Cuál de las siguientes relaciones existe con carácter general entre el vector diferencia <math>(\vec{a}-\vec{b}\,)\,</math> y el vector suma <math>(\vec{a}+\vec{b}\,)\,</math>?
| + | |
| - | | + | |
| - | ('''NOTA''': sólo una de las cuatro opciones es correcta).
| + | |
| - | | + | |
| - | :(1) <math>\vec{a}-\vec{b}=-\,(\vec{a}+\vec{b}\,)\,</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :(2) <math>(\vec{a}-\vec{b}\,)\parallel(\vec{a}+\vec{b}\,)\,</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :(3) <math>|\,\vec{a}-\vec{b}\,|=|\,\vec{a}+\vec{b}\,|\,</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :(4) <math>(\vec{a}-\vec{b}\,)\perp(\vec{a}+\vec{b}\,)\,</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[No Boletín - Volumen de un paralelepípedo II (Ex.Oct/14)]]==
| + | |
| - | Sea <math>\theta\,</math> el ángulo formado por dos vectores libres <math>\vec{a}\,</math> y <math>\vec{b}\,</math>. ¿Cuál es el volumen del paralelepípedo cuyas aristas vienen definidas por la terna <math>\{\vec{a}\,,\,\vec{b}\,,\,\vec{a}\times\vec{b}\,\}\,</math>?
| + | |
| - | | + | |
| - | <!--
| + | |
| - | ==[[Cálculo de base dual]]==
| + | |
| - | Sea <math>B_1=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\}</math> una base vectorial arbitraria. Sean <math>\{\vec{w}_1,\vec{w}_2,\vec{w}_3\}</math> tres vectores definidos por
| + | |
| - | | + | |
| - | <center><math>\vec{w}_1=\frac{\vec{v}_2\times\vec{v}_3}{\Delta}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{w}_2=\frac{\vec{v}_3\times\vec{v}_1}{\Delta}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{w}_3=\frac{\vec{v}_1\times\vec{v}_2}{\Delta}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\Delta =\vec{v}_1\cdot(\vec{v}_2\times\vec{v}_3)</math></center>
| + | |
| - | | + | |
| - | : 1. Demuestre que el conjunto <math>B_2=\{\vec{w}_1,\vec{w}_2,\vec{w}_3\}</math> es también una base (llamada ''base dual'' de <math>B_1</math>). ¿Cuánto vale el producto mixto de sus vectores?
| + | |
| - | : 2. Pruebe que se cumple
| + | |
| - | | + | |
| - | <center><math>\vec{v}_i\cdot\vec{w}_k=\begin{cases} 1 & i = k \\ 0 & i\neq 0\end{cases}</math></center>
| + | |
| - | | + | |
| - | : 3. Demuestre que las componentes de un vector en la base <math>B_1</math> pueden calcularse proyectando sobre la base <math>B_2</math>, esto es, si
| + | |
| - | | + | |
| - | <center><math>\vec{F} = F_1\vec{v}_1 + F_2\vec{v}_2 + F_3\vec{v}_3</math></center>
| + | |
| - | | + | |
| - | : la componente k viene dada por
| + | |
| - | | + | |
| - | <center><math>F_k = \vec{F}\cdot\vec{w}_k</math></center>
| + | |
| - | | + | |
| - | : 4. Halle la base dual de la base
| + | |
| - | | + | |
| - | <center><math>B_1 =\{\vec{\imath},\vec{\imath}+\vec{\jmath},\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\}</math></center>
| + | |
| - | | + | |
| - | : 5. Calcule las componentes del vector
| + | |
| - | | + | |
| - | <center><math>\vec{F} = 2\vec{\imath}-3\vec{\jmath}+\vec{k}</math></center>
| + | |
| - | | + | |
| - | : en las bases del apartado anterior.
| + | |
| - | | + | |
| - | ==[[2.1. Fórmulas potencialmente incorrectas|Fórmulas potencialmente incorrectas]]==
| + | |
| - | De las siguientes expresiones, indique cuáles son necesariamente incorrectas. Aquí las diferentes letras representan las magnitudes definidas en el problema de [[ejemplos de análisis dimensional]], y <math>R</math> es una distancia:
| + | |
| - | | + | |
| - | :(a) <math>\vec{F} = m\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{\vec{v}}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :(b) <math>\vec{F}\times(\vec{v}\times\vec{a}) = (\vec{p}\cdot\vec{a})\times\vec{a}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :(c) <math>\frac{\vec{L}}{R} = \vec{F}t-\vec{v}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :(d) <math>(\vec{r}\times\vec{p})\vec{L} = R(\vec{r}\cdot\vec{p})\vec{p}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :(e) <math>\frac{\vec{F}-\vec{p}/t}{m} = \frac{\vec{r}-\vec{v}t}{t^2-t}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :(f) <math>\frac{1}{\vec{r}} = \frac{\vec{r}}{r^2}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | :(g) <math>L = \vec{r}\times\vec{p}</math>
| + | |
| | | | |
| - | :(h) <math>\frac{W}{t} = \vec{F}\times\left(\vec{v}-\frac{R}{t}\right)</math>
| + | Construya una base ortonormal dextrógira, tal que |
| - | -->
| + | |
| | | | |
| - | [[Categoría:Problemas de vectores libres (G.I.T.I.)|0]]
| + | * El primer vector vaya en la dirección de <math>\vec{v}</math> |
| - | [[Categoría:vectores libres (G.I.T.I.)]]
| + | * El segundo esté contenido en el plano definido por \vec{v} y \vec{a} |
| - | [[Categoría:Problemas de Física I (G.I.T.I.)|2]]
| + | * El tercero sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha. |
| | | | |
| - | [[Categoría:Problemas de Álgebra Vectorial]] | + | [[Categoría:Problemas de vectores libres (G.I.T.I)|0]] |
| | + | [[Categoría:Vectores libres (G.I.T.I.)]] |
No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \vec{a}=12\vec{\imath}-16\vec{\jmath}+29\vec{\k}
