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Teorema de Poynting para un condensador

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Campo magnético)
(→Vector de Poynting y flujo de energía)
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===Vector de Poynting y flujo de energía===
===Vector de Poynting y flujo de energía===
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Conocidos los campos eléctrico y magnético, el cálculo del vector de Poynting es inmediato
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<math>\mathbf{N}=\mathbf{E}\times\mathbf{H}= -\frac{\rho V}{2a^2}\left(\sigma V+\varepsilon
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\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}\right)\mathbf{u}_{\rho}</math></center>
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El vector de Poynting apunta en la dirección radial, ortogonal a <math>\mathbf{E}</math> (que es vertical) y a <math>\mathbf{H}</math> (que es acimutal).
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===Balance energético===
===Balance energético===
[[Categoría:Problemas de ecuaciones de Maxwell]]
[[Categoría:Problemas de ecuaciones de Maxwell]]

Revisión de 12:41 2 jun 2008

Contenido

1 Enunciado

El espacio entre dos placas circulares perfectamente conductoras, planas y paralelas, se encuentra lleno de un material óhmico, de permitividad \varepsilon, conductividad σ, y permeabilidad magnética μ. El radio de las placas es b, y la distancia entre ellas es a (a\ll b). La placa superior está permanentemente a tierra, mientras que el centro de la inferior se encuentra a una tensión V(t).
  1. Despreciando los efectos de borde y la inducción electromagnética, halle el campo eléctrico entre las placas y la corriente total que fluye entre ellas.
  2. Calcule el campo magnético entre las placas, teniendo en cuenta que en el eje \mathbf{B}=\mathbf{0}.
  3. Halle el vector de Poynting en el espacio entre las placas, así como su flujo a través de una superficie cilíndrica de radio b y altura a, concéntrica con el sistema.
  4. ¿A qué equivale este flujo del vector de Poynting? ¿En qué caso es nulo? ¿Qué representa este caso?

2 Solución

2.1 Campo eléctrico y corriente

Si despreciamos los efectos de borde y los efectos de la inducción electromagnética, el campo eléctrico en este sistema es análogo al de un condensador de placas planas y paralelas en electrostática

\mathbf{E}=\frac{V(t)}{a}\mathbf{u}_{z}

Una vez conocido el campo eléctrico el cálculo de la corriente es inmediato. En este caso tenemos dos densidades de corriente :

2.1.1 Corriente de conducción

Verifica la ley de Ohm

\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}=\frac{\sigma V}{a}\mathbf{u}_{z}

2.2 Corriente de desplazamiento=

\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}=\frac{\varepsilon}{a}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}\mathbf{u}_{z}

Ambas corrientes van en la dirección perpendicular a las placas.

Estas expresiones nos permiten comparar la importancia relativa de la corriente de desplazamiento frente a la de conducción en un medio óhmico. Supongamos que $V(t)$ varía sinusoidalmente. Las corrientes serán

\mathbf{J}_c=\sigma\frac{V_0}{a}\mathrm{sen}(\omega t)\mathbf{u}_{z}\qquad \mathbf{J}_d=\varepsilon_0\frac{V_0}{a}\omega\cos(\omega t)\mathbf{u}_{z}

La importancia relativa será

\frac{J_d}{J_c}=\frac{\varepsilon_0\omega}{\sigma}=\omega \tau

Esta cantidad es dependiente de la frecuencia no sólo por que aparece en la expresión, sino porque \varepsilon y σ dependen también de ella. Para frecuencias bajas, la corriente de desplazamiento es mucho más pequeña que la de conducción. Por ejemplo, para el agua de mar,

\varepsilon\simeq 7\times 10^{-10}\, \frac{\mathrm{F}}{\mathrm{m}}\qquad \sigma\simeq 4\,\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{m}}

para una frecuencia f=50\,\mathrm{Hz} resulta

\frac{J_d}{J_c}\simeq \frac{7\times 10^{-10} {\cdot}2{\cdot}\pi{\cdot} 50}{4}\simeq 5.5\times 10^{-8}

esto es, que la corriente de conducción es veinte millones de veces más grande que la de desplazamiento. Para el agua destilada \sigma\simeq 10^{-4}\,\mathrm{S}{\cdot}\mathrm{m}^{-1} esta proporción disminuye, pero aun sigue siendo una diezmilésima. Hay que aumentar la frecuencia hasta los megahercios para que sea realmente apreciable.

En un medio conductor, como el cobre \sigma\simeq 5.7\times 10^{7}\,\mathrm{S}{\cdot}\mathrm{m}^{-1} la corriente de desplazamiento es absolutamente despreciable incluso a muy altas frecuencias.

2.3 Campo magnético

El campo magnético es debido a las dos corrientes anteriores. Por la simetría del sistema, se deduce que debe ser de la forma

\mathbf{H}=H(\rho)\mathbf{u}_{\varphi}

análogamente al caso de un cable cilíndrico o de un condensador sin pérdidas.

Si aplicamos la ley de Ampère--Maxwell en medios materiales

\oint \mathbf{H}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}=I_c+I_d

a una circunferencia concéntrica con el eje del sistema tenemos por un lado

\oint \mathbf{H}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}=2\pi\rho H(\rho)

y, por otro,

I_c+I_d=\int\left(\mathbf{J}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\right){\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}= \left(\frac{\sigma V}{a}+\frac{\varepsilon}{a}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}\right)\pi \rho^2

En las dos integrales anteriores hemos aplicado que los integrandos son uniformes en el dominio de integración. Igualando los dos miembros resulta, para el campo magnético

\mathbf{H}=\frac{\rho}{2a}\left(\sigma V+\varepsilon \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}\right)\mathbf{u}_{\varphi}

2.4 Vector de Poynting y flujo de energía

Conocidos los campos eléctrico y magnético, el cálculo del vector de Poynting es inmediato

\mathbf{N}=\mathbf{E}\times\mathbf{H}= -\frac{\rho V}{2a^2}\left(\sigma V+\varepsilon \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}\right)\mathbf{u}_{\rho}

El vector de Poynting apunta en la dirección radial, ortogonal a \mathbf{E} (que es vertical) y a \mathbf{H} (que es acimutal).

2.5 Balance energético

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Teorema_de_Poynting_para_un_condensador"

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