Esfera conductora sumergida en dieléctrico
De Laplace
(→Potencial y campo eléctrico) |
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<center><math>\mathbf{E}(|\mathbf{r}|<a)=\mathbf{0}\mathrm{;}\qquad\phi(|\mathbf{r}|<a)=\phi(|\mathbf{r}|<a^+)=V_0\mathrm{;}\qquad\mathbf{D}(|\mathbf{r}|<a)=\mathbf{0}</math></center> | <center><math>\mathbf{E}(|\mathbf{r}|<a)=\mathbf{0}\mathrm{;}\qquad\phi(|\mathbf{r}|<a)=\phi(|\mathbf{r}|<a^+)=V_0\mathrm{;}\qquad\mathbf{D}(|\mathbf{r}|<a)=\mathbf{0}</math></center> | ||
| - | Este resultado está | + | Este resultado está directamente relacionado con que en los puntos del interior de la esfera no puede haber carga eléctrica neta (libre o de polarización); no obstante, ésta puede distribuirse en la superficie conductora <math>\partial\mathrm{C}:\ r=a</math> |
===Ecuación para el potencial=== | ===Ecuación para el potencial=== | ||
Revisión de 13:55 18 jun 2010
Contenido |
1 Enunciado
Una esfera conductora de radio a se encuentra conectada a una fuente de tensión de valor V0. La esfera se encuentra semisumergida en un líquido dieléctrico ideal de permitividad 
.
- Obtenga la expresión del potencial electrostático y del campo eléctrico en todo el espacio. Suponga que el potencial sólo depende de la distancia al centro de la esfera.
- Obtenga la expresión del vector desplazamiento en todo el espacio. Calcule la cantidad de carga libre en la esfera conductora.
- Determine las distribuciones de carga libre y de polarización que hay en el sistema descrito.
- Calcule la energía electrostática almacenada en el sistema.
- Si, sin desconectar la fuente, se retira el líquido dieléctrico, ¿cuánto cambia la energía almacenada? ¿Cuánto trabajo realiza el generador?
2 Potencial y campo eléctrico
2.1 Planteamiento
. De esta forma, la superficie 
de la esfera conductora y la interfaz Σ entre los dieléctricos estarán descritas en coordenadas esféricas por las expresiones
; 
Asumiendo que el sistema se halla en equilibrio electrostático cuando la esfera conductora está conectada a la fuente de tensión constante, se tendrá que el campo eléctrico 
es irrotacional y deriva, por tanto de un potencial electrostático 
,
Además, tanto si el conductor consiste en una esfera conductora maciza, o bien presenta huecos (pero sin carga eléctrica en su interior), el campo eléctrico en toda la región r < a debe ser nulo. En consecuencia, el potencial va a ser constante, y como este campo escalar debe ser continuo, el valor del potencial en el interior de la esfera conductora va a ser igual al que tiene en , que es superficie equipotencial de valor V0, fijado por la fuente. Por otra parte, considerando que el interior de la esfera (maciza o hueca) es un medio lineal que se comporta como un conductor ideal, se tendrá que el vector desplazamiento es también nulo en dicha región:
Este resultado está directamente relacionado con que en los puntos del interior de la esfera no puede haber carga eléctrica neta (libre o de polarización); no obstante, ésta puede distribuirse en la superficie conductora
2.2 Ecuación para el potencial
Las ecuaciones que determinan los campos en presencia de dieléctricos lineales son
En este caso tenemos que las únicas cargas libres son las situadas sobre la esfera conductora, por lo que tanto en el vacío como en el líquido dieléctrico se cumple
La condición de que el campo electrostático es irrotacional implica que deriva de un potencial
Sustituyendo esta relación y la ley constitutiva en la ley de Gauss para cada región queda
