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Incertidumbre de una magnitud función de otra(s)

De Laplace

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En muchos casos, no obstante, debemos trabajar con cantidades indirectas, obtenidas a partir de las medidas. Estas pueden depender de
En muchos casos, no obstante, debemos trabajar con cantidades indirectas, obtenidas a partir de las medidas. Estas pueden depender de
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una sola variable experimental <math>z= f(x</math> o de varias magnitudes diferentes <math>z = f(x,y,\dots)</math>.
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una sola variable experimental <math>z= f(x)</math> o de varias magnitudes diferentes <math>z = f(x,y,\dots)</math>.
==Función de una sola variable==
==Función de una sola variable==
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A modo de ejemplo, supongamos que, dado el diámetro <math>D_0=12.5\pm 0.3\,\mathrm{cm}</math> de un cable, debemos determinar el área de su sección, de la que sabemos que es circular. El cálculo de la sección es inmediato
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<center><math>A = \frac{\pi D_0^2}{4}=122.718\,\mathrm{cm}^2</math></center>
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pero si el diámetro es una cantidad con una cierta incertidumbre, medida por su banda de error, ¿cuál es la banda de error del área?
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Podemos hacer una primera estimación. Supongamos que <math>E_D</math> es el error del diámetro, de forma que hay un 95% de probabilidad de que <math>D</math> se encuentre en el intervalo
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<center><math>D\in (D_0-E_D, D_0+ E_D) = (12.2\,\mathrm{cm},12.8\,\mathrm{cm})</math></center>
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de forma que el área posee un 95% de probabilidad de encontrarse en el intervalo
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<center><math>A\in\left(\frac{\pi(D_0-E_D)^2}{4},\frac{\pi(D_0+E_D)^2}{4}\right)=\left(116.899\,\mathrm{cm}^2,128.680\,\mathrm{cm}^2\right)</math></center>\end{equation}
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Esta estimación, aun siendo correcta, tiene el inconveniente de que proporciona una banda de error asimétrica, ya que el valor de <math>A</math> indicado antes no se encuentra en el punto medio de este intervalo (que se halla en 122.789&thinsp;cm&sup2;). O, equivalentemente, que el punto medio del intervalo no es la mejor aproximación para el área.
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Podemos simplificar las fórmulas en el caso de que el error <math>E_x</math> sea mucho menor que la propia cantidad <math>x</math> (lo que ocurre a menudo, pero no siempre). En este caso, tal como se detalla en otro artículo resulta, en primer orden
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<center><math>E_f = \left|\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\right| E_x</math></center>
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de forma que la cantidad derivada se expresará como
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<center><math>f = f(x) \pm \left|\\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\right| E_x</math></center>
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El valor absoluto de la derivada se debe a que debemos obtener siempre un error positivo de la magnitud.
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Así, para el caso del área, tendremos
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<center><math>\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}D} = \frac{\pi D}{2} \qquad A = \frac{\pi D^2}{4}\pm \frac{\pi D E_D}{2} = 122.718\pm
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5.890\,\mathrm{cm}^2 = 123\pm 6 \,\mathrm{cm}^2</math></center>
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Puede comprobarse que esto es lo que resulta en el intervalo que hallamos antes si suponemos <math>E_D\ll D</math>.
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De esta fórmula hay varios casos particulares de interés
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;Proporcionalidad: Para una variable proporcional a otra
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<center><math>y = K x\,</math></center>
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:con $K$ una constante ''sin error'' (por ejemplo, 2 ó &pi;)
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<center><math>E_y = K E_x\,</math></center>
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;Exponencial: Para la función exponencial
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<center><math>y = a \mathrm{e}^{x}\,</math></center>
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:resulta
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:o, lo que es equivalente
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<center><math>\epsilon_y = \frac{E_y}{y} = E_x</math></center>
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: esto es, el error relativo de $y$ coincide con el error absoluto de <math>x</math>.
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;Logaritmo: Para el logaritmo tenemos la relación inversa
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<center><math>y = \ln(x)\,</math>{{tose}}<math>E_y = \frac{E_x}{x} = \epsilon_x</math></center>
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:El error absoluto de <math>y</math> coincide con el relativo de <math>x</math>.

Revisión de 17:26 19 mar 2010

Contenido

Cuando se tienen una o varias medidas directas de una magnitud, es inmediato dar expresiones para la incertidumbre en las medidas.

En muchos casos, no obstante, debemos trabajar con cantidades indirectas, obtenidas a partir de las medidas. Estas pueden depender de una sola variable experimental z = f(x) o de varias magnitudes diferentes z = f(x,y,\dots).

Función de una sola variable

A modo de ejemplo, supongamos que, dado el diámetro D_0=12.5\pm 0.3\,\mathrm{cm} de un cable, debemos determinar el área de su sección, de la que sabemos que es circular. El cálculo de la sección es inmediato

A = \frac{\pi D_0^2}{4}=122.718\,\mathrm{cm}^2

pero si el diámetro es una cantidad con una cierta incertidumbre, medida por su banda de error, ¿cuál es la banda de error del área?

Podemos hacer una primera estimación. Supongamos que ED es el error del diámetro, de forma que hay un 95% de probabilidad de que D se encuentre en el intervalo

D\in (D_0-E_D, D_0+ E_D) = (12.2\,\mathrm{cm},12.8\,\mathrm{cm})

de forma que el área posee un 95% de probabilidad de encontrarse en el intervalo

A\in\left(\frac{\pi(D_0-E_D)^2}{4},\frac{\pi(D_0+E_D)^2}{4}\right)=\left(116.899\,\mathrm{cm}^2,128.680\,\mathrm{cm}^2\right)
\end{equation}

Esta estimación, aun siendo correcta, tiene el inconveniente de que proporciona una banda de error asimétrica, ya que el valor de A indicado antes no se encuentra en el punto medio de este intervalo (que se halla en 122.789 cm²). O, equivalentemente, que el punto medio del intervalo no es la mejor aproximación para el área.

Podemos simplificar las fórmulas en el caso de que el error Ex sea mucho menor que la propia cantidad x (lo que ocurre a menudo, pero no siempre). En este caso, tal como se detalla en otro artículo resulta, en primer orden

E_f = \left|\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\right| E_x

de forma que la cantidad derivada se expresará como

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): f = f(x) \pm \left|\\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\right| E_x

El valor absoluto de la derivada se debe a que debemos obtener siempre un error positivo de la magnitud.

Así, para el caso del área, tendremos

\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}D} = \frac{\pi D}{2} \qquad A = \frac{\pi D^2}{4}\pm \frac{\pi D E_D}{2} = 122.718\pm 5.890\,\mathrm{cm}^2 = 123\pm 6 \,\mathrm{cm}^2

Puede comprobarse que esto es lo que resulta en el intervalo que hallamos antes si suponemos E_D\ll D.

De esta fórmula hay varios casos particulares de interés

Proporcionalidad
Para una variable proporcional a otra
y = K x\,
con $K$ una constante sin error (por ejemplo, 2 ó π)
E_y = K E_x\,
Exponencial
Para la función exponencial
y = a \mathrm{e}^{x}\,
resulta
E_y = a \mathrm{e}^{x} E_x = y E_x\,
o, lo que es equivalente
\epsilon_y = \frac{E_y}{y} = E_x
esto es, el error relativo de $y$ coincide con el error absoluto de x.
Logaritmo
Para el logaritmo tenemos la relación inversa
y = \ln(x)\,   \Rightarrow   E_y = \frac{E_x}{x} = \epsilon_x
El error absoluto de y coincide con el relativo de x.
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Incertidumbre_de_una_magnitud_funci%C3%B3n_de_otra(s)"

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