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Ejemplo de un sistema de partículas

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Posiciones y velocidades relativas)
Línea 122: Línea 122:
Una vez que tenemos la posición y la velocidad del centro de masas podemos hallar las posiciones y velocidades de las partículas respecto al CM
Una vez que tenemos la posición y la velocidad del centro de masas podemos hallar las posiciones y velocidades de las partículas respecto al CM
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<center><math>\mathbf{r}'_i=\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_C\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{v}'_i=\mathbf{v}_i-\mathbf{v}_C\,</math</center>
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<center><math>\mathbf{r}'_i=\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_C\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{v}'_i=\mathbf{v}_i-\mathbf{v}_C\,</math></center>
y resultan los valores
y resultan los valores

Revisión de 18:48 28 feb 2010

Contenido

1 Enunciado

Tres partículas puntuales se encuentran en un cierto instante en los vértices de un triángulo. Las masas, posiciones y velocidades de las partículas son, en el SI,

i mi (kg) \mathbf{r}_i (m) \mathbf{v}_i (m/s)
1 5 \mathbf{0} \mathbf{0}
2 4 3\mathbf{i} 3\mathbf{j}
3 3 4\mathbf{j} -4\mathbf{i}

Las tres partículas están conectadas por resortes con la misma constante k = 30N / m y longitud natural nula. No hay más fuerzas actuando en el sistema. Para el instante indicado:

  1. Determina la aceleración de cada partícula.
  2. Calcula la posición, velocidad y aceleración del CM.
  3. Calcula el momento cinético del sistema respecto al origen y respecto al CM.
  4. Halla la energía cinética del sistema respecto al origen y respecto al CM.
  5. Calcula las derivadas respecto al tiempo de la cantidad de movimiento, del momento cinético y de la energía cinética.

2 Aceleraciones

La aceleración de cada partícula la hallamos dividiendo la fuerza que actúa sobre la partícula entre su masa

\mathbf{a}_i=\frac{\mathbf{F}_i}{m_i}

2.1 Fuerza sobre cada partícula

La fuerza sobre una partícula situada en un punto B debida a un oscilador armónico cuyo otro extremo se encuentra en un punto A es

\mathbf{F}_B=-k\vec{AB}=-k\left(\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A\right)

La fuerza sobre la partícula A, de acuerdo con la 3ª ley de Newton, es igual y de sentido contrario a esta.

En este caso, que cada partícula está sujeta a dos muelles, la fuerza sobre una de ella será la resultante de dos fuerzas como la anterior. Para la partícula 1, en el SI,

\mathbf{F}_1=\mathbf{F}_{2\to 1}+\mathbf{F}_{3\to 1}=-k(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)-k(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_3)=-30(-3\mathbf{i}-4\mathbf{j})=90\mathbf{i}+120\mathbf{j}

donde hemos tenido en cuenta que las dos constantes de los resortes son iguales a 30 N/m.

Operando del mismo modo para la partícula 2

\mathbf{F}_2=\mathbf{F}_{1\to 2}+\mathbf{F}_{3\to 2}=-k(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1)-k(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_3)=-30(3\mathbf{i}+(3\mathbf{i}-4\mathbf{j}))=-180\mathbf{i}+120\mathbf{j}

y para la partícula 3

\mathbf{F}_3=\mathbf{F}_{1\to 3}+\mathbf{F}_{2\to 3}=-k(\mathbf{r}_3-\mathbf{r}_1)-k(\mathbf{r}_3-\mathbf{r}_2)=-30(4\mathbf{j}+(-3\mathbf{i}+4\mathbf{j}))=90\mathbf{i}-240\mathbf{j}

Por tratarse de fuerzas internas, la suma de ellas es nula

\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2+\mathbf{F}_3=\mathbf{0}\,

2.2 Aceleración de cada partícula

Dividiendo la fuerza sobre cada partícula por la masa de cada una obtenemos su aceleración:

i m_i\, (kg) \mathbf{F}_i (m) \mathbf{a}_i (m/s2)
1 5 90\mathbf{i}+120\mathbf{j} 18\mathbf{i}+24\mathbf{j}
2 4 -180\mathbf{i}+120\mathbf{j} -45\mathbf{i}+30\mathbf{j}
3 3 90\mathbf{i}-240\mathbf{j} 30\mathbf{i}-80\mathbf{j}

3 Propiedades del CM

3.1 Posición del CM

La posición del centro de masas es la media ponderada (según la masa) de las posiciones de las partículas

\mathbf{r}_C=\frac{m_1\mathbf{r}_1+m_2\mathbf{r}_2+m_3\mathbf{r}_3}{m_1+m_2+m_3}=\frac{5(\mathbf{0})+4(3\mathbf{i})+3(4\mathbf{j})}{12}=\mathbf{i}+\mathbf{j}

3.2 Velocidad del CM

Del mismo modo, la velocidad del centro de masas es la media ponderada (según la masa) de las velocidades de las partículas

\mathbf{v}_C=\frac{m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2+m_3\mathbf{v}_3}{m_1+m_2+m_3}=\frac{5(\mathbf{0})+4(3\mathbf{j})+3(-4\mathbf{i})}{12}=-\mathbf{i}+\mathbf{j}

La cantidad que aparece en el numerador de esta fracción es la cantidad de movimiento total del sistema

\mathbf{p}=\mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2+\mathbf{p}_3=-12\mathbf{i}+\mathbf{j}\,

3.3 Aceleración del CM

Siguiendo la misma regla, la aceleración del centro de masas es

\mathbf{a}_C=\frac{m_1\mathbf{a}_1+m_2\mathbf{a}_2+m_3\mathbf{a}_3}{m_1+m_2+m_3}

la cantidad del numerador es la resultante de las fuerzas que actúan sobre las partículas. Puesto que en este sistema son todas fuerzas internas, esta resultante es nula

\mathbf{a}_C=\frac{\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2+\mathbf{F}_3}{m_1+m_2+m_3}=\mathbf{0}

3.4 Posiciones y velocidades relativas

Una vez que tenemos la posición y la velocidad del centro de masas podemos hallar las posiciones y velocidades de las partículas respecto al CM

\mathbf{r}'_i=\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_C\,        \mathbf{v}'_i=\mathbf{v}_i-\mathbf{v}_C\,

y resultan los valores

i mi (kg) \mathbf{r}'_i (m) \mathbf{v}'_i (m/s)
1 5 -\mathbf{i}-\mathbf{j} \mathbf{i}-\mathbf{j}
2 4 2\mathbf{i}-\mathbf{j} \mathbf{i}+2\mathbf{j}
3 3 -\mathbf{i}+3\mathbf{j} -3\mathbf{i}-\mathbf{j}

4 Momento cinético

5 Energía cinética

6 Derivada de L y K

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Ejemplo_de_un_sistema_de_part%C3%ADculas"

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