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Ejemplo de un sistema de partículas

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Aceleración de cada partícula)
(Aceleración de cada partícula)
Línea 67: Línea 67:
===Aceleración de cada partícula===
===Aceleración de cada partícula===
-
Dividiendo por la masa de cada partícula obtenemos la aceleración de cada una
+
Dividiendo la fuerza sobre cada partícula por la masa de cada una obtenemos su aceleración:
<center>
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Línea 75: Línea 75:
! <math>m_i</math> (kg)
! <math>m_i</math> (kg)
! <math>\mathbf{F}_i</math> (m)
! <math>\mathbf{F}_i</math> (m)
-
! <math>\mathbf{a}_i=\mathbf{F}_i/m_i</math> (m/s<sup>2</sup>)
+
! <math>\mathbf{a}_i</math> (m/s<sup>2</sup>)
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Revisión de 18:04 28 feb 2010

Contenido

1 Enunciado

Tres partículas puntuales se encuentran en un cierto instante en los vértices de un triángulo. Las masas, posiciones y velocidades de las partículas son, en el SI,

i mi (kg) \mathbf{r}_i (m) \mathbf{v}_i (m/s)
1 5 \mathbf{0} \mathbf{0}
2 4 3\mathbf{i} 3\mathbf{j}
3 3 4\mathbf{j} -4\mathbf{i}

Las tres partículas están conectadas por resortes con la misma constante k = 30N / m y longitud natural nula. No hay más fuerzas actuando en el sistema. Para el instante indicado:

  1. Determina la aceleración de cada partícula.
  2. Calcula la posición, velocidad y aceleración del CM.
  3. Calcula el momento cinético del sistema respecto al origen y respecto al CM.
  4. Halla la energía cinética del sistema respecto al origen y respecto al CM.
  5. Calcula las derivadas respecto al tiempo de la cantidad de movimiento, del momento cinético y de la energía cinética.

2 Aceleraciones

La aceleración de cada partícula la hallamos dividiendo la fuerza que actúa sobre la partícula entre su masa

\mathbf{a}_i=\frac{\mathbf{F}_i}{m_i}

2.1 Fuerza sobre cada partícula

La fuerza sobre una partícula situada en un punto B debida a un oscilador armónico cuyo otro extremo se encuentra en un punto A es

\mathbf{F}_B=-k\vec{AB}=-k\left(\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A\right)

La fuerza sobre la partícula A, de acuerdo con la 3ª ley de Newton, es igual y de sentido contrario a esta.

En este caso, que cada partícula está sujeta a dos muelles, la fuerza sobre una de ella será la resultante de dos fuerzas como la anterior. Para la partícula 1, en el SI,

\mathbf{F}_1=\mathbf{F}_{2\to 1}+\mathbf{F}_{3\to 1}=-k(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)-k(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_3)=-30(-3\mathbf{i}-4\mathbf{j})=90\mathbf{i}+120\mathbf{j}

donde hemos tenido en cuenta que las dos constantes de los resortes son iguales a 30 N/m.

Operando del mismo modo para la partícula 2

\mathbf{F}_2=\mathbf{F}_{1\to 2}+\mathbf{F}_{3\to 2}=-k(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1)-k(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_3)=-30(3\mathbf{i}+(3\mathbf{i}-4\mathbf{j}))=-180\mathbf{i}+120\mathbf{j}

y para la partícula 3

\mathbf{F}_3=\mathbf{F}_{1\to 3}+\mathbf{F}_{2\to 3}=-k(\mathbf{r}_3-\mathbf{r}_1)-k(\mathbf{r}_3-\mathbf{r}_2)=-30(4\mathbf{j}+(-3\mathbf{i}+4\mathbf{j}))=90\mathbf{i}-240\mathbf{j}

Por tratarse de fuerzas internas, la suma de ellas es nula

\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2+\mathbf{F}_3=\mathbf{0}\,

2.2 Aceleración de cada partícula

Dividiendo la fuerza sobre cada partícula por la masa de cada una obtenemos su aceleración:

i mi (kg) \mathbf{F}_i (m) \mathbf{a}_i (m/s2)
1 5 90\mathbf{i}+120\mathbf{j} 18\mathbf{i}+24\mathbf{j}
2 4 -180\mathbf{i}+120\mathbf{j} -45\mathbf{i}+30\mathbf{j}
3 3 90\mathbf{i}-240\mathbf{j} 30\mathbf{i}-80\mathbf{j}

3 Propiedades del CM

4 Momento cinético

5 Energía cinética

6 Derivada de L y K

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