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Fasor

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Velocidad en un MAS)
m (→Velocidad en un MAS)
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La derivada de una parte real es la parte real de la derivada, y <math>\tilde{x}</math> es una cantidad constante, por lo que
La derivada de una parte real es la parte real de la derivada, y <math>\tilde{x}</math> es una cantidad constante, por lo que
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<center><math>v = \mathrm{Re}\left(\tilde{x}\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(ºmathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)\right) = \mathrm{Re}\left(\mathrm{j}\omega\tilde{x}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)</math></center>
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<center><math>v = \mathrm{Re}\left(\tilde{x}\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)\right) = \mathrm{Re}\left(\mathrm{j}\omega\tilde{x}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)</math></center>
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Esto es, la velocidad también se puede escribir en forma fasorial
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<center><math>v(t) = \mathrm{Re}\left(\tilde{v}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)</math></center>
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donde
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es decir, para calcular el fasor de la derivada de una magnitud, solo necesitamos multiplicar el fasor de dicha magnitud por <math>\mathrm{j}\omega</math>. El uso de fasores transforma las derivadas en multiplicaciones.

Revisión de 11:58 10 feb 2010

Contenido

1 Fórmula de Euler

Existe una forma expresar el movimiento armónico simple. La fórmula de Euler establece una relación entre la exponencial de un número imaginario y las funciones trigonométricas

\mathrm{e}^{\mathrm{j}x} = \cos(x)+\mathrm{j}\,\mathrm{sen}(x)        \mathrm{j}=\sqrt{-1}

o, equivalentemente,

\cos(x) = \mathrm{Re}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j}x}\right)        \mathrm{sen}(x) = \mathrm{Im}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j}x}\right)

2 Vectores rotatorios

Si consideramos que el exponente en la fórmula de Euler es proporcional al tiempo, el resultado es un vector rotatorio en el plano complejo
\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t} = \cos(\omega t)+\mathrm{j}\,\mathrm{sen}(\omega t)

La parte real de este número complejo rotatorio, esto es, su proyección sobre el eje de abscisas, representa una oscilación cosenoidal. La parte imaginaria oscila igualmente, pero como un seno, esto es, desfasada un cuarto de periodo.

3 Amplitudes complejas (fasores)

La solución general del movimiento armónico simple, en función de las condiciones iniciales, es

x = x_0\cos(\omega t) + b\,\mathrm{sen}(\omega t)=x_0\cos(\omega t) + \frac{v_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)

y, en función de la amplitud y la fase

x = A\cos(\omega t+\phi)\,        A=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2}}        \phi=-\mathrm{arctg}\frac{b}{a}=-\mathrm{arctg}\frac{v_0}{\omega x_0}

Aplicando la fórmula de Euler a la expresión anterior

x = A \cos(\omega t + \phi) = \mathrm{Re}\left(A \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t + \phi)}\right) = \mathrm{Re}\left(\tilde{x}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)

donde

\tilde{x}=A\mathrm{e}^{\mathrm{j}\phi}

es la llamada amplitud compleja o fasor de la variable x. El movimiento armónico simple se puede ver entonces como la proyección sobre el eje real de un vector que gira en el plano complejo y cuyo valor en el instante t = 0 es la amplitud compleja \tilde{x}.

Se define entonces, en general, la amplitud compleja o fasor \tilde{f} de una cantidad oscilante f(t) como aquel número complejo constante que cuando se multiplica por ejωt y se halla la parte real del producto, resulta la cantidad f(t).

f(t) = \mathrm{Re}\left(\tilde{f}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)

Este número complejo tiene por módulo la amplitud de las oscilaciones y por argumento la constante de fase

\tilde f = \left|\tilde{f}\right|\mathrm{e}^{\mathrm{j}\phi}

Aplicando de nuevo la fórmula de Euler obtenemos la parte real y la imaginaria del fasor de la posición

\tilde{x}= A\cos(\phi)+\mathrm{j}A\,\mathrm{sen}(\phi)=a-\mathrm{j}b=x_0-\frac{v_0}{\omega}\mathrm{j}

esto es, la amplitud compleja queda completamente determinada por las condiciones iniciales del movimiento.

4 Derivación e integración de fasores

La gran ventaja de la definición de los fasores es que simplifican enormemente las derivadas e integrales.

4.1 Velocidad en un MAS

Si derivamos la expresión fasorial obtenemos la velocidad instantánea de una partícula en un MAS

v = \dot{x}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\mathrm{Re}\left(\tilde{x}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)\right)

La derivada de una parte real es la parte real de la derivada, y \tilde{x} es una cantidad constante, por lo que

v = \mathrm{Re}\left(\tilde{x}\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)\right) = \mathrm{Re}\left(\mathrm{j}\omega\tilde{x}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)

Esto es, la velocidad también se puede escribir en forma fasorial

v(t) = \mathrm{Re}\left(\tilde{v}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)

donde

\tilde{v}=\mathrm{j}\omega \tilde{x}

es decir, para calcular el fasor de la derivada de una magnitud, solo necesitamos multiplicar el fasor de dicha magnitud por jω. El uso de fasores transforma las derivadas en multiplicaciones.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Fasor"

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