Fasor
De Laplace
(→Vectores rotatorios) |
(→Amplitudes complejas (fasores)) |
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<center><math>x = A\cos(\omega t+\phi)\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>A=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2}}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\phi=-\mathrm{arctg}\frac{b}{a}=-\mathrm{arctg}\frac{v_0}{\omega x_0}</math></center> | <center><math>x = A\cos(\omega t+\phi)\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>A=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2}}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\phi=-\mathrm{arctg}\frac{b}{a}=-\mathrm{arctg}\frac{v_0}{\omega x_0}</math></center> | ||
| - | Aplicando | + | Aplicando la fórmula de Euler a la expresión anterior |
| - | <center><math>x = A \cos(\omega t + \ | + | <center><math>x = A \cos(\omega t + \phi) = \mathrm{Re}\left(A \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t + \phi)}\right) = \mathrm{Re}\left(\tilde{x}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)</math></center> |
donde | donde | ||
| - | <center><math>\tilde{x}=A\mathrm{e}^{\mathrm{j}\ | + | <center><math>\tilde{x}=A\mathrm{e}^{\mathrm{j}\phi}</math></center> |
| - | es la llamada ''amplitud compleja'' o ''fasor'' de la variable <math>x</math>. | + | es la llamada ''amplitud compleja'' o ''fasor'' de la variable <math>x</math>. El movimiento armónico simple se puede ver entonces como la proyección sobre el eje real de un vector que gira en el plano complejo y cuyo valor en el instante <math>t=0</math> es la amplitud compleja <math>\tilde{x}</math>. |
| - | + | Se define entonces, en general, la ''amplitud compleja'' o ''fasor'' <math>\tilde{f}</math> de una cantidad oscilante <math>f(t)</math> como aquel número complejo ''constante'' que cuando se multiplica por <math>\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}</math> y se halla la parte real del producto, resulta la cantidad <math>f(t)</math>. | |
| - | + | <center><math>f(t) = \mathrm{Re}\left(\tilde{f}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)</math></center> | |
| - | <center><math>\tilde{x}= A\cos(\ | + | Este número complejo tiene por módulo la amplitud de las oscilaciones y por argumento la constante de fase |
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| + | <center><math>\tilde f = \left|\tilde{f}|\mathrm{e}^{\mathrm{j}\phi}</math></center> | ||
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| + | Aplicando de nuevo la fórmula de Euler obtenemos la parte real y la imaginaria del fasor de la posición | ||
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| + | <center><math>\tilde{x}= A\cos(\phi)+\mathrm{j}A\,\mathrm{sen}(\phi)=a-\mathrm{j}b=x_0-\frac{v_0}{\omega}\mathrm{j}</math></center> | ||
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| + | esto es, la amplitud compleja queda completamente determinada por las condiciones iniciales del movimiento. | ||
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| + | ==Derivación e integración de fasores== | ||
| + | La gran ventaja de la definición de | ||
Revisión de 11:33 10 feb 2010
Contenido |
1 Fórmula de Euler
Existe una forma expresar el movimiento armónico simple. La fórmula de Euler establece una relación entre la exponencial de un número imaginario y las funciones trigonométricas
o, equivalentemente,
2 Vectores rotatorios
La parte real de este número complejo rotatorio, esto es, su proyección sobre el eje de abscisas, representa una oscilación cosenoidal. La parte imaginaria oscila igualmente, pero como un seno, esto es, desfasada un cuarto de periodo.
3 Amplitudes complejas (fasores)
La solución general del movimiento armónico simple, en función de las condiciones iniciales, es
y, en función de la amplitud y la fase
Aplicando la fórmula de Euler a la expresión anterior
donde
es la llamada amplitud compleja o fasor de la variable x. El movimiento armónico simple se puede ver entonces como la proyección sobre el eje real de un vector que gira en el plano complejo y cuyo valor en el instante t = 0 es la amplitud compleja 
.
Se define entonces, en general, la amplitud compleja o fasor 
de una cantidad oscilante f(t) como aquel número complejo constante que cuando se multiplica por ejωt y se halla la parte real del producto, resulta la cantidad f(t).
Este número complejo tiene por módulo la amplitud de las oscilaciones y por argumento la constante de fase
Aplicando de nuevo la fórmula de Euler obtenemos la parte real y la imaginaria del fasor de la posición
esto es, la amplitud compleja queda completamente determinada por las condiciones iniciales del movimiento.
4 Derivación e integración de fasores
La gran ventaja de la definición de
