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==Descripción del sistema==

[[Archivo:energia_conductores.gif|right]]

Sea un sistema formado por <math>N</math> conductores ideales, <math>\mathrm{C}_1,\ldots,\mathrm{C}_i\ldots,\mathrm{C}_N</math>, con carga eléctrica distribuidas en sus superficies:

<center><math>\big\{Q|_{\partial\mathrm{C}_i}=Q_i\big\}_{i=1,\ldots,N}</math></center>

Dicha distribución de carga generá un campo eléctrico y, por consiguiente, un campo escalar de potencial electrostático <math>V(\mathbf{r})</math>. Como se sabe, si el sistema se encuentra en equilibrio electrostático, todos los puntos de cada conductor se hallan al mismo potencial y, por tanto, las superficies conductoras son equipotenciales; es decir, dicho campo escalar va a ser tal que en los puntos de cada superficie <math>\partial\mathrm{C}_i</math> tendrá el mismo valor <math>V_i</math>, medido respecto de cualquier otro conductor que se halle conectado &ldquo;a tierra&rdquo; (conductor <math>\mathrm{C}_0</math>) y que, por tanto, consideramos a potencial cero:

<center><math>\forall, P^\prime \in \partial\mathrm{C}_i\mathrm{,}\;\, V(P^\prime)=V_i\quad \Longrightarrow \quad\big\{V|_{\partial\mathrm{C}_i}(\mathbf{r}^\prime)=V_i\big\}_{i=1,\ldots,N}</math></center>

==Cálculo de la energía electrostática almacenada en el sistema==

En un sistema electrostático donde la carga eléctrica se distribuye de forma continua en una determinada región de fuentes <math>\mathcal{F}</math>, la energía electrostática almacenada en el sistema responde a la expresión,

<center><math>U_e=\frac{1}{2}\int_\mathcal{F}\! V(\mathbf{r}^\prime)\!\ \mathrm{d}q^\prime</math></center>

donde <math>V(\mathbf{r})</math> es el potencial electrostático creado por la distribución. Como se recordará, esta energía es el trabajo externo que  ha sido necesario realizar para, mediante una serie de procesos cuasi--estáticos, configurar dicha distribución de carga eléctrica estática.

La región <math>\mathcal{F}</math> no ha de ser necesariamente conexa; es decir, puede estar formada por diferentes regiones, conectadas o no. En el caso del sistema bajo estudio, formado por conductores cargados, dicha región de fuentes está constituida por las superficies de los <math>N</math> conductores. En consecuencia, integral extendida a la región <math>\mathcal{F}</math> es equivalente a la suma de las <math>N</math> integrales correspondientes a las distintas superficies conductoras:

<center><math>\mathcal{F}=\partial\mathrm{C}_1\cup\ldots\cup\partial\mathrm{C}_N\quad\Longrightarrow\quad U_e=\frac{1}{2}\ \sum_{i=1}^N\int_{\partial C_i}\! V(\mathbf{r}^\prime)\!\ \mathrm{d}q^\prime</math></center>

Para calcular cada uno de los sumando de la anterior expresión tenemos en cuenta que la superficie de cada conductor es equipotencial por lo que, al evaluar el potencial <math>V(\mathbf{r}^\prime)</math> en todos los puntos de la superficie <math>\partial\mathrm{C}_i</math>, siempre se obtiene idéntico valor <math>V_i</math>. Por otra parte, la suma de todas las cargas infinitesimales <math>\mathrm{d}q^\prime</math> distribuidas de forma continua sobre dicha superficie, es igual a la cantidad total de carga total <math>Q_i</math> almacenada en ella. Se tendrá, por tanto:

<center><math>\left.\begin{array}{l} V(\mathbf{r}^\prime)\big\rfloor_{\partial \mathrm{C}_i}=V_i\\ \\ \displaystyle Q\big\rfloor_{\partial \mathrm{C}_i}=\int_{\partial \mathrm{C}_i}\!\! \mathrm{d}q^\prime=Q_i\end{array}\right\}\quad\Longrightarrow\quad \int_{\partial C_i}\!\! V(\mathbf{r}^\prime)\!\ \mathrm{d}q^\prime=V_i \int_{\partial \mathrm{C}_i}\!\! \mathrm{d}q^\prime=V_i\!\ Q_i</math></center>

En consecuencia, la energía electrostática almacenada en un sistema de <math>N</math> conductores cargados es igual a la mitad de la suma de los productos de la carga distribuida en cada superficie conductora por el valor del potencial en la misma:

<center><math style="border:solid purple 2px;padding:10px">U_e=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^NQ_i\!\ V_i=\frac{1}{2}\!\ \bigg(Q_1V_1+\ldots+Q_jV_j+\ldots+Q_NV_N\bigg)</math></center>