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==Enunciado==
Se tiene un sistema de tres conductores esféricos. Uno de ellos (&ldquo;2&rdquo;) es una esfera de radio 54&thinsp;mm con dos huecos esféricos, de radios 36&thinsp;mm y 18&thinsp;mm. En el centro de cada hueco se encuentran sendas esferas metálicas de radio 12&thinsp;mm,
siendo &ldquo;1&rdquo; la que está en el hueco grande y &ldquo;3&rdquo; la que está en el pequeño. Entre las esferas hay vacío y no hay  más conductores ni cargas en el sistema.

Inicialmente la esfera &ldquo;1&rdquo; contiene una carga 120&thinsp;nC mientras que los otros dos conductores están aislados y descargados.

# Halle el potencial de cada conductor, así como la energía almacenada en el sistema.
# Se conectan las dos esferas interiores mediante un hilo de resistencia 1&thinsp;k&Omega;. Una vez que se ha vuelto a alcanzar el estado final, ¿cuáles son los nuevos potenciales de los conductores?
# ¿Cuál es la nueva energía almacenada? ¿Cuánta energía se ha disipado en la resistencia?
# Halle la potencia instantánea disipada en el cable justo tras la conexión.

<center>[[Archivo:tres-esferas-conductoras.png|300px]]</center>

Tómese
<center><math>\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\simeq 9\times 10^9\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{F}}</math></center>

==Potenciales antes de la conexión==
La forma más sencilla de resolver este problema es mediante la construcción de un circuito equivalente. 

En este caso, tenemos tres condensadores:

* Uno esférico entre la esfera 1 y la pared del hueco de 2, de capacidad

<center><math>C_a=\frac{4\pi\varepsilon_0 a b}{b-a}=\frac{(12\times 10^{-3})(36\times 10^{-3})}{(9\times 10^9)(36-12)\times 10^{-3}}\mathrm{F}=2\,\mathrm{pF}</math></center>

* Otro esférico entre la esfera 3 y la pared del hueco de 2, de capacidad

<center><math>C_b=\frac{4\pi\varepsilon_0 a b}{b-a}=\frac{(12\times 10^{-3})(18\times 10^{-3})}{(9\times 10^9)(18-12)\times 10^{-3}}\mathrm{F}=4\,\mathrm{pF}</math></center>

* Uno entre la superficie exterior del conductor 2 y el infinito, que se puede calcular a partir de la capacidad de un conductor esférico o de un condensador esférico con <math>b\to\infty</math>

<center><math>C_c=4\pi\varepsilon_0a =\frac{54\times 10^{-3}}{9\times 10^9}\mathrm{F}=6\,\mathrm{pF}</math></center>

No hay más condensadores en el circuito equivalente. Aparte, habrá que colocar una resistencia entre los nodos 1 y 3, aunque en este primer apartado no es necesaria.

Una vez que tenemos las capacidades, podemos relacionar las cargas en cada conductor con los voltajes, sumando la carga de condensador conectado a cada nodo

<center><math>\begin{array}{rclcl}
Q_1& = & 2(V_1-V_2) & = & 2V_1-2V_2\\
Q_2 & = & 2(V_2-V_1)+4(V_2-V_3)+6V_2& = &-2V_1+12V_2-4V_3 \\
Q_3 & = & 4(V_3-V_2) & = & -4V_2+4V_3
\end{array}</math></center>

donde hemos medido la carga en nC, el voltaje en kV y la capacidad en pF 8de esta forma resultan cantidades sin exponentes).

A estas ecuaciones debemos añadir 3 más que completen el sistema. En este caso es que conocemos la carga de los tres conductores

<center><math>Q_1=Q_0=120\,\mathrm{nC}\qquad Q_2=0\qquad Q_3 = 0</math></center>

Llevando esto al sistema de arriba obtenemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

<center><math>\begin{array}{rcl}
2V_1-2V_2 & = &120\\
-2V_1+12V_2-4V_3 & = & 0\\
-4V_2+4V_3 & = & 0
\end{array}</math></center>

que tiene por solución

<center><math>V_1= 80\,\mathrm{kV} \qquad\qquad V_2=V_3=20\,\mathrm{kV}</math></center>

Alternativamente, podemos resolverlo analizando exclusivamente el circuito equivalente. Inicialmente tenemos que el conductor 3 no está cargado, por lo que la carga del condensador <math>C_b</math> es nula y no hay diferencia de potencial entre sus placas, es decir

<center><math>V_2 = V_3\,</math></center>

En términos electromagnéticos, lo que ocurre es que por el teorema de Faraday, si no hay carga en el interior del hueco, no hay campo en ese hueco.

El conductor 1 sí está cargado, con 120&thinsp;nC, por lo que

<center><math>Q_1=C_a(V_1-V_2)\qquad\Rightarrow\qquad 120 = 2(V_1-V_2)</math></center>

donde la carga se mide en nC, la capacidad en pF y el voltaje en kV.

El conductor 2 está descargado, por lo que

<center><math>0 = C_a(V_2-V_1) + C_b\overbrace{(V_2-V_3)}^{=0}+C_cV_2\qquad\Rightarrow\qquad 0=2(V_2-V_1)+6V_2\qquad \Rightarrow\qquad V_1=4V_2</math></center>

y llevando esto a la relación de arriba queda

<center><math>V_1 = 80\,\mathrm{kV}\qquad\qquad V_2=V_3=20\,\mathrm{kV}</math></center>

De otra forma, podemos ver que en este caso el sistema se reduce a solo dos condensadores puestos en serie (pues el b, es como si no estuviera), siendo la capacidad equivalente

<center><math>C_\mathrm{eq}=\frac{C_aC_c}{C_a+C_c}=\frac{2\times 6}{2+6}\mathrm{pF}=1.5\,\mathrm{pF}</math></center>

y conociendo la capacidad obtenemos el potencial del conductor 1

<center><math>V_1=\frac{Q_1}{C_\mathrm{eq}}=\frac{120\,\mathrm{nC}}{1.5\,\mathrm{pF}}=80\,\mathrm{kV}</math></center>

y puesto que los dos conductores están en serie, la carga del condensador <math>C_c</math>, lo que nos da el potencial del conductor 2 (y del 3)

<center><math>V_2=\frac{120\,\mathrm{nC}}{6\,\mathrm{pF}}=20\,\mathrm{kV}\qquad\qquad V_3=V_2=20\,\mathrm{kV}</math></center>

Una vez que tenemos las cargas y potenciales de los tres conductores es inmediato el cálculo de la energía almacenada

<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}Q_1V_1+\frac{1}{2}\overbrace{Q_2}^{=0}V_2+\frac{1}{2}\overbrace{Q_3}^{=0}V_3=\frac{1}{2}(120\,\mathrm{nC})(80\,\mathrm{kV})=4800\,\mu\mathrm{J}</math></center>

También podemos hallar esta energía sumando la almacenada en cada condensador

<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_a(V_1-V_2)^2+\frac{1}{2}C_b(V_3-V_2)^2+\frac{1}{2}C_cV_2^2=\left(\frac{1}{2}2(80-20)^2+\frac{1}{2}4(20-20)^2+\frac{1}{2}6\times 20^2\right)\mu\mathrm{J}=4800\,\mu\mathrm{J}</math></center>

o directamente con la capacidad equivalente

<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{Q_1^2}{2C_\mathrm{eq}}=\frac{120^2}{2\times 1.5}\mu\mathrm{J}=4800\,\mu\mathrm{J}</math></center>

==Estado tras la conexión==
Cuando se cierra el interruptor, comienza a fluir una corriente desde el conductor a más potencial (el 1) al de menos (el 3), reduciéndose el voltaje del primero y aumentando el del segundo. El proceso cesa cuando se igualan los potenciales. En el nuevo estado de equilibrio

<center><math>V'_1=V'_3\,</math></center>

Volviendo al sistema de ecuuaciones se trataría de completar el sistema

<center><math>\begin{array}{rcl}
2V'_1-2V'_2 & = & Q'_1\\
-2V'_1+12V'_2-4V'_3 & = & Q'_2\\
-4V'_2+4V'_3 & = & Q'_3
\end{array}</math></center>

con las tres ecuaciones

<center><math>Q'_1+Q'_3 = 120\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q'_2=0\qquad\qquad V'_1=V'_3</math></center>

Despejando y sustituyendo, obtenemos la solución para los potenciales

<center><math>V'_1=V'_3=40\,\mathrm{kV}\qquad \qquad V'_2=20\,\mathrm{kV}</math></center>

Vemos que el voltaje del conductor 1 se ha reducido a la mitad del que tenía, mientras que el del 3 ha aumentado al doble. Para las cargas

<center><math>Q'_1=40\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q'_2=0\qquad\qquad Q'_3=80\,\mathrm{nC}</math></center>

Podemos resolverlo empleando exclusivamente el circuito equivalente. En éste, los condensadores <math>C_a</math> y <math>C_b</math> están en paralelo, siendo la capacidad equivalente a estos dos

<center><math>C_{ab}=C_a+C_b=6\,\mathrm{pF}</math></center>

y la total del sistema

<center><math>C'_\mathrm{eq}=\frac{C_{ab}C_c}{C_{ab}+C_c}=\frac{6\times 6}{6+6}\mathrm{pF}=3\,\mathrm{pF}</math></center>

Esto nos da el nuevo voltaje del conductor 1 (y del 3)

<center><math>V'_1=\frac{Q_0}{C'_\mathrm{eq}}=\frac{120\,\mathrm{nC}}{3\,\mathrm{pF}}=40\,\mathrm{kV}\qquad\qquad V'_3=V'_1=40\,\mathrm{kV}</math></center>

El voltaje del conductor 2, en cambio, no se ve modificado

<center><math>V'_2=\frac{Q_0}{C_c}=\frac{120\,\mathrm{nC}}{6\,\mathrm{pF}}=20\,\mathrm{kV}</math></center>

Una vez que tenemos la diferencia de potencial podemos hallar la carga de cada conductor

<center><math>Q'_1=C_a(V'_1-V'_2) = 2(40-20)\,\mathrm{nC}=40\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q'_3=C_a(V'_3-V'_2) = 4(40-20)\,\mathrm{nC}=80\,\mathrm{nC}</math></center>

==Cambio en la energía almacenada==
La energía almacenada en el estado final se calcula como la inicial, siendo ahora

<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}Q_{1f}V_{1f}+\frac{1}{2}Q_{2f}V_{2f}+\frac{1}{2}Q_{3f}V_{3f}=\left(\frac{1}{2}(40\mathrm{n})(40\,\mathrm{k})+\frac{1}{2}(80\mathrm{n})(40\,\mathrm{k})+\frac{1}{2}(0\,\mathrm{n})(20\,\mathrm{k})\right)\mathrm{J}=2400\,\mu\mathrm{J}</math></center>

Lo que nos da una disipación de energía

<center><math>\Delta U_\mathrm{e} =U_{\mathrm{e}f}-U_{\mathrm{e}i}=2400\,\mu\mathrm{J}</math></center>

==Potencia disipada==
La potencia disipada en el instante inicial la obtenemos mediante la ley de Joule

<center><math>P=\frac{(\Delta V)^2}{R}</math></center>

siendo <math>\Delta V</math> la diferencia de potencial entre los extremos de la resistencia, que son los conductores 1 y 3. Por tanto

<center><math>\Delta V = V_1-V_3=80\,\mathrm{kV}-20\,\mathrm{kV}=60\,\mathrm{kV}</math></center>

y por tanto

<center><math>P = \frac{(60\,\mathrm{kV})^2}{1\,\mathrm{k}\Omega}=3.6\,\mathrm{MW}</math></center>
[[Categoría:Problemas de electrostática en medios materiales (GIE)]]