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==Introducción==
La Dinámica es la parte de la Mecánica que estudia el movimiento atendiendo a las causas que lo producen. 

En principio, la Dinámica trata de cualquier sistema, formado por un número arbitrario de partículas, interactuando entre sí y con el fuerzas externas.

En este tema nos limitaremos a considerar la dinámica de una sola partícula (o punto material), considerada como cuerpo sin dimensiones y con una masa finita. A partir del estudio de la dinámica de partículas individuales puede tratarse el estudio de los sistemas de partículas y la dinámica del sólido rígido.

La Dinámica se basa en tres leyes fundamentales, conocidas como Principios de la Dinámica, o leyes de Newton.

==Principios de la Dinámica==
Los ''principios de la dinámica'' o ''Leyes de Newton'' son los axiomas por los que se rigen las partículas y sistemas en la dinámica clásica. Fueron enunciados por Newton, basándose en los trabajos de Galileo, en sus ''Principia Mathematica''.

Una versión de estos principios, enunciada de forma moderna, es la siguiente, donde encabezamos cada principio con el nombre con el que se lo conoce habitualmente:

===Primer principio: Principio de inercia===
El primer principio de la dinámica, también conocido como ''Primera Ley de Newton'' puede formularse como

:&ldquo;''Toda partícula libre de interacciones permanece en reposo o en estado de movimiento rectilíneo y uniforme, cuando se observa desde un sistema de referencia inercial.''&rdquo;

Normalmente se formula usando &ldquo;fuerzas&rdquo; en lugar de &ldquo;interacciones&rdquo; pero puesto que ello requiere el haber definido previamente el concepto de fuerza es preferible enunciarlo de una manera más genérica.

Este principio fue enunciado inicialmente por Galileo.

Lo que nos dice esta ley es que el espacio que nos rodea no está curvado de niguna forma (es ''euclídeo'') ya que las trayectorias de las partículas libres de interacciones son rectas y no otras curvas, como circunferencias (como ocurriría en la superficie de una esfera) o hélices (como ocurriría en la superficie de un cilindro). 

El primer principio de la dinámica conlleva la clasificación de los [[Cinemática_del_punto_material_(G.I.T.I.)#Sistemas_de_referencia|sistemas de referencia]] en ''inerciales'' (aquellos desde los cuales una partícula libre de interacciones se observa en reposo o movimiento rectilíneo y uniforme) y ''no inerciales'' (aquellos respecto a los que no se cumple este principio de inercia).

El principio de inercia se ve modificado en la teoría general de la relatividad, que corrige y generaliza las leyes de Newton.

===Segundo principio: Segunda Ley de Newton===
El segundo principio de la dinámica requiere previamente la definición de la ''cantidad de movimiento'' (o ''momento lineal'') <math>\vec{p}</math> de una partícula, como

<center><math>\vec{p}=m\vec{v}</math></center>

Esta cantidad mide la combinación de masa (cuanto mayor masa, más cantidad de movimiento) y de velocidad (a mayor velocidad, mayor cantidad de movimiento). Su unidad en el SI es 1&thinsp;kg&middot;m/s.

En términos de la cantidad de movimiento, la segunda ley de Newton se enuncia

:&ldquo;''La derivada respecto al tiempo de la cantidad de movimiento de una partícula es igual a la resultante de las fuerzas aplicadas sobre ella.''&rdquo;

En forma matemática

<center><math>\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=\dot{\vec{p}} = \sum_i \vec{F}_i</math></center>

Puesto que la masa de una partícula es una constante la derivada de la cantidad de movimiento es igual a

<center><math>\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t} = \overbrace{\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}}^{=0}\vec{v}+m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = m \vec{a}</math></center>

de donde llegamos a la forma habitual de expresar la segunda ley de Newton

<center><math>\vec{F}=m\vec{a}\,</math></center>

con <math>\vec{F}</math> la ''resultante'' de las fuerzas aplicadas sobre la partícula, hallada como suma ''vectorial'' de ellas.

;Principio de superposición: Si sobre un mismo punto material actúan dos fuerzas simultáneamente, la aceleración que adquiere es la suma ''vectorial'' de las aceleraciones que le comunicarían cada una de las dos fuerzas por separado.

:También se conoce a éste como principio de ''independencia de acción de las fuerzas'', y se puede generalizar para un número arbitrario de fuerzas.

La segunda ley de Newton implica que la aceleración que adquiere una partícula es proporcional a la fuerza neta aplicada sobre ella, siendo la constante de proporcionalidad, <math>m</math>, una propiedad de cada partícula, conocida como ''masa inercial''.

Esta ley requiere el conocimiento de las fuerzas aplicadas, como un dato del problema. Estas fuerzas deben ser obtenidas independientemente para que la ley tenga verdadero significado. Por ello, precisamos de algún modelo físico que nos proporcione la expresión de la fuerza. Entre estos modelos se encuentran:

*La ley de Hooke, para el oscilador armónico

<center><math>\vec{F}=-k\vec{r}\,</math></center>

*La ley de Newton de la Gravitación Universal, para el movimiento de una masa en el campo gravitatorio de otra

<center><math>\vec{F}=-G\frac{m_1m_2(\vec{r}_2-\vec{r}_1)}{|\vec{r}_2-\vec{r}_1|^3}</math></center>

:Esta ley contiene al caso particular e importante del movimiento de una masa pequeña en las proximidades de la superficie terrestre

<center><math>\vec{F}=m\vec{g}\,</math></center>

*La [[ley de Lorentz]], para el movimiento de una partícula en un campo electromagnético

<center><math>\vec{F}=q\left(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\right)\,</math></center>

:Un caso particular de esta ley es la [[Electrostática_en_el_vacío#Ley_de_Coulomb|ley de Coulomb]], para la fuerza producida por una carga en reposo

<center><math>\vec{F}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2(\vec{r}_2-\vec{r}_1)}{|\vec{r}_2-\vec{r}_1|^3}</math></center>

Una característica común a todas estas leyes de fuerza es que proporcionan una fuerza dependiente de la posición y de la velocidad instantáneas de la partícula.

===Tercer principio: ley de acción y reacción===
Los dos primeros principios de la dinámica nos dicen cómo se comportan las partículas en ausencia de fuerzas o sometidas a una fuerza conocida. El tercer principio de la dinámica establece una propiedad básica de esas fuerzas de interacción entre partículas:

:&ldquo;''Si una partícula A ejerce en un instante dado una fuerza sobre una partícula B, la partícula B ejerce sobre A una fuerza de igual módulo e igual dirección, pero de sentido contrario.''&rdquo;

Matemáticamente

<center><math>\vec{F}_{A\to B} = -\vec{F}_{B\to A}</math></center>

Hay que destacar que estas dos fuerzas '''no''' se anulan mutuamente, ya que se ejercen sobre partículas distintas. Sólo en el caso de que se encuentren rígidamente unidas se cancelarán sus efectos.

Ambas fuerzas actúan simultáneamente. Por ello, hay que señalar que el nombre de &ldquo;acción y reacción&rdquo;, con el que se conoce habitualmente a esta ley, es engañoso en cuanto a que sugiere a que primero actúa la acción y posteriormente la reacción. No es así y no existe distinción alguna que convierta a una de las fuerzas en acción y a la otra en reacción.

La experiencia muestra que las fuerzas que verifican la tercera ley de Newton poseen la propiedad adicional de que las fuerzas entre dos partículas son ''centrales'': van en la dirección de la recta que une ambas partículas y su módulo además depende exclusivamente de la distancia entre ellas

<center><math>\vec{F}_{A\to B}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>|\vec{F}_{A\to B}| = f(|\overrightarrow{AB}|)</math></center>

No todas las fuerzas de la naturaleza cumplen la tercera ley de Newton. Las que sí lo hacen se denominan fuerzas ''newtonianas''. Entre las fuerzas newtonianas se encuentran los ejemplos importantes de la ley de la Gravitación Universal, la ley de Hooke y la ley de Coulomb, por lo que las consecuencias del principio de acción y reacción se aplican a la mayoría de los casos prácticos.

==Tipos de problemas en dinámica==
La segunda ley de Newton relaciona la segunda derivada de la posición con la fuerza que actúa sobre la partícula, la cuál es a su vez una función de la posición, la velocidad y el tiempo;

<center><math>m\ddot{\vec{r}}=\vec{F}(\vec{r},\dot{\vec{r}},t)</math></center>

La solución de esta ecuación constituye el problema fundamental de la dinámica.

Dependiendo de cuáles sean nuestros datos y nuestras incógnitas, podemos tener diferentes clases de problemas:

* Si conocemos la expresión de la fuerza, junto con las condiciones iniciales del problema (posición y velocidad iniciales de la partícula), podemos emplearla para determinar la posición de la partícula en <math>t>0</math>. Es lo que se conoce como la dinámica de una partícula no vinculada. Como ejemplos típicos tenemos la caída libre, el oscilador armónico o el movimiento planetario.
* Si la posición de la partícula está restringida por alguna limitación geométrica o cinemática (por ejemplo, obligada a moverse sobre una superficie), entonces el problema consiste en la determinación del movimiento compatible con esas ligaduras, más la determinación de las fuerzas que producen dichas ligaduras (fuerzas de reacción vincular). Esta es la dinámica de la partícula vinculada.
* Si conocemos completamente el estado de movimiento de la partícula, podemos emplear la segunda ley de Newton para determinar la fuerza que actúa sobre la partícula. Este es el principio de los dinamómetros, tanto estáticos (con la partícula en equilibrio), como dinámicos (partícula en movimiento).
* Como caso particular podemos buscar en qué condiciones la partícula permanece en equilibrio y qué fuerzas actúan sobre ella en ese caso. Este es el objeto de la ''estática''.

==Dinámica de la partícula no vinculada==
Cuando lo que se conoce son las fuerzas que actúan sobre la partícula así como su posición y velocidad iniciales, la pregunta es ¿cómo se mueve la partícula?

Nuestro punto de partida es la llamada ''ecuación de movimiento'':

<center><math>\ddot{\vec{r}}=\frac{1}{m}\vec{F}(\vec{r},\dot{\vec{r}},t)</math></center>

junto con las condiciones iniciales

<center><math>\vec{r}(t=0) = \vec{r}_0</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}(t=0)=\vec{v}_0</math></center>

La incógnita de este problema es la ecuación horaria <math>\vec{r}=\vec{r}(t)</math>, o equivalentemente, las tres funciones <math>x(t)</math>, <math>y(t)</math>, <math>z(t)</math> (o variables equivalentes). El que debamos determinar tres coordenadas nos dice que el número de grados de libertad del problema es 3.

<center><math>r = 3\,</math></center>

En el caso de que conozcamos la fuerza como función del tiempo solamente, la respuesta es sencilla: basta con integrar dos veces respecto al tiempo

<center><math>\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \int_0^t\frac{\vec{F}(t)}{m}\,\mathrm{d}t</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{r}(t) = \vec{r}_0+\int_0^t\vec{v}(t)\,\mathrm{d}t</math></center>

Lo normal, sin embargo, es que la fuerza no se conozca como función del tiempo, sino como función de la posición (como en el caso de la ley de la Gravitación Universal), de la velocidad (por ejemplo, la fuerza de Lorentz sobre una carga en movimiento es proporcional a la velocidad) y en ocasiones del tiempo. Esto quiere decir que para poder determinar la posición como función del tiempo, debemos integrar una función... que no conocemos hasta que hayamos determinado la propia posición. Esta aparente circularidad convierte a esta fórmula en lo que se conoce como una ''ecuación diferencial'' y hace que su integración no sea en absoluto trivial. De hecho, en solo algunos casos es posible determinar analíticamente la posición incluso aunque se conozca perfectamente la fuerza.

En numerosas situaciones de interés, es preciso recurrir a la integración numérica, en la cual se obtiene la posición, con una cierta precisión, con ayuda de ordenadores. Por ejemplo, el movimiento de la Tierra respecto al Sol puede determinarse exactamente, si solo consideramos estos dos astros, pero el movimiento del sistema Tierra-Luna alrededor del Sol es imposible de resolver analíticamente y requiere de técnicas aproximadas.

La segunda ley de Newton puede descomponerse en un sistema de ecuaciones para las coordenadas cartesianas de la partícula

<center><math>m\ddot{x} = F_x</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>m\ddot{y}=F_y</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>m\ddot{z}=F_z</math></center>

siendo <math>F_x</math>, <math>F_y</math> y <math>F_z</math> las componentes cartesianas de la fuerza

<center><math>F_x = \vec{F}\cdot\vec{\imath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>F_y = \vec{F}\cdot\vec{\jmath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>F_z = \vec{F}\cdot\vec{k}</math>
</center>

Estas ecuaciones no son independientes porque cada componente de la fuerza dependerá en general de las tres coordenadas.
<!--
En el caso de un movimiento que se restringe al plano XY también podemos usar las [[Cinemática_del_punto_material_(G.I.T.I.)#Expresiones_en_coordenadas_polares|coordenadas polares]], quedando las ecuaciones

<center><math>m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2\right)=F_\rho</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>m\left(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta}\right)=F_\theta</math></center>

siendo

<center><math>F_\rho = \vec{F}\cdot\vec{u}_\rho</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>F_\theta = \vec{F}\cdot\vec{u}_\theta</math></center>

las componentes radial y acimutal de la fuerza.
-->

Como ilustración de un problema importante de dinámica de partícula no vinculada tenemos el caso de la [[caída libre de un cuerpo]], con y sin rozamiento con el aire.

==Partícula vinculada. Principio de liberación==
===Concepto de vínculo. Clasificación===
A menudo una partícula no posee libertad de movimiento en el espacio, sino que se encuentra sometida a ''vínculos'' (o ''ligaduras''). Un vínculo es una restricción sobre la posición, la velocidad, o una combinación de ambas. Por ejemplo, una partícula suspendida de un péndulo rígido se ve sometida a la restricción <math>x^2+y^2+z^2 = l^2\,</math>. Tal como ocurre en este ejemplo, la mayoría de los vínculos (los denominados bilaterales) se traduce matemáticamente en la obligación de la partícula de satisfacer una ecuación adicional a las ecuaciones de movimiento. Es la denominada ''ecuación de ligadura'', de expresión general

<center><math>f(\vec{r},\dot{\vec{r}},t) = 0</math></center>

El efecto de un vínculo es la reducción del número de grados de libertad de la partícula, según la ecuación

<center><math>r = 3 - h\,</math></center>

siendo <math>r</math> el número de grados de libertad y <math>h</math> el número de ecuaciones de ligadura. Para el caso del péndulo, tendremos <math>r=2</math>. Si además está obligado a moverse sobre un plano vertical, <math>h=2</math> y <math>r=1</math>.

Los vínculos pueden clasificarse atendiendo a diferentes criterios.

;Unilaterales y bilaterales: Cuando el vínculo impide un desplazamiento en un sentido, pero no en el opuesto, se dice que el vínculo es unilateral. Si impide el movimiento en los dos sentidos, es bilateral. Matemáticamente, un vínculo unilateral se expresa mediante una desigualdad; uno bilateral por una igualdad (ecuación de ligadura).

:Por ejemplo, un péndulo que cuelga de un hilo flexible supone un vínculo unilateral, expresable como <math>x^2+y^2+z^2\leq l_0^2</math>. Si cuelga de una barra rígida es bilateral, cumpliéndose <math>x^2+y^2+z^2= l_0^2</math>

;Geométricos y cinemáticos: Se denomina vínculo geométrico a aquel que se puede expresar como una relación sobre las coordenadas de la partícula, es decir, aquel en cuya ecuación de ligadura no aparece explícitamente ninguna componente de la velocidad. Si además liga a las velocidades, el vínculo es cinemático. Todo vínculo geométrico produce uno cinemático, pero no a la inversa.

:Por ejemplo, una partícula obligada a moverse en el extremo de un péndulo rígido está sometida a la condición geométrica

<center><math>x^2+y^2+z^2=l_0^2</math></center>

:Derivando en esta expresión respecto al tiempo llegamos a la condición cinemática

<center><math>x\dot{x}+y\dot{y}+z\dot{z}=0</math></center>

:Una esfera que rueda sobre un plano verifica que la velocidad en el punto de contacto debe ser nula pero de esta condición cinemática no se deduce ningún vínculo geométrico (en ese caso, al vínculo se le llama ''no holónomo'').
<!--
;Holónomos y no holonómos: Relacionado con lo anterior, un vínculo geométrico o uno cinemático que puede integrarse para dar uno geométrico, se denomina vínculo ''holónomo''. Si es uno cinemático que no conduce a uno geométrico, es ''no holónomo''.
-->
;Reónomos y esclerónomos: Un vínculo se denomina ''esclerónomo'' si es independiente del tiempo, es decir, si el tiempo no aparece explícitamente en la ecuación de ligadura asociada. Si sí depende del tiempo, el vínculo es ''reónomo''.
:Por ejemplo, el vínculo de una partícula en el extremo de un péndulo es esclerónomo; una partícula en el [[Partícula_en_el_interior_de_un_tubo|interior de un tubo]] en rotación uniforme está sometida al vínculo reónomo.

<center><math>y/x =\,\mathrm{tg}\,(\omega t)</math></center>

;Lisos y rugosos: Si el vínculo no ejerce rozamiento se denomina ''liso''. En caso contrario, el vínculo es ''rugoso''.

===Fuerzas de reacción vincular===
Según hemos visto, cada vínculo introduce una ecuación adicional en el problema dinámico, con lo que ahora tenemos cuatro o más ecuaciones: las tres componentes de la segunda ley de Newton (ecuaciones de movimiento), más las de las ligaduras presentes (que pueden ser una, dos o tres)

<center><math>\ddot{\vec{r}}=\frac{1}{m}\vec{F}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>f_i(\vec{r},\dot{\vec{r}},t)=0</math></center>

Esto plantea el problema de que tengamos más ecuaciones que incógnitas, ya que en principio, nuestro objetivo seguiría siendo determinar las tres funciones <math>x(t)</math>, <math>y(t)</math>, <math>z(t)</math>. Para que el sistema tenga solución, deberán incluirse tantas incógnitas adicionales como ecuaciones de ligadura haya. ¿Cuáles son estas incógnitas?

Desde el punto de vista físico, podemos preguntarnos por el mecanismo por el cual el vínculo ejerce su limitación.

Si la posición se ve limitada, también su aceleración se ve afectada. De acuerdo con la segunda ley de Newton, un cambio en la aceleración se debe a la presencia de una fuerza. Por tanto, la presencia de un vínculo se manifiesta como una fuerza adicional ejercida sobre la partícula. Esta fuerza es conocida como ''fuerza de reacción vincular''.

[[Archivo:fuerzas-pendulo.png|right]]

Consideremos el problema dinámico de las [[Tensión de un péndulo|oscilaciones de un péndulo]]. Puesto que la partícula no cae verticalmente hacia abajo, es claro que sobre la lenteja debe haber alguna fuerza actuando además de su peso. Esta fuerza es la tensión de la cuerda, que conjuntamente con el peso, es responsable de que la partícula se mueva según un arco de circunferencia. Podemos entonces sustituir la cuerda de la que pende, por una tensión equivalente, que será una incógnita del problema, junto con la ecuación adicional de que la partícula se encuentra a una distancia fija del anclaje.

Hay que destacar que el valor de la fuerza de reacción vincular en una situación dinámica no coincide con el valor de la fuerza de reacción en una situación estática, esto es, depende del estado de movimiento de la partícula. 

Generalizando, tenemos el

;Principio de liberación: Todo punto material o sistema de puntos materiales sometido a vínculos puede ser tratado como si estuviese libre de los mismos si se sustituyen dichos vínculos por las denominadas fuerzas de reacción vincular <math>\vec{\Phi}_k</math>, las cuales presentan las siguientes características:

:* Cumplen la misma función que los vínculos sustituidos, es decir, se oponen a cualquier estado de reposo o movimiento que sea incompatible con ellos;
:* Son perpendiculares a los vínculos geométricos cuando éstos consisten en superficies o curvas lisas (sin rozamiento).

Por tanto, el tratamiento de la dinámica de un punto material vinculado requiere, en virtud del principio de liberación, la incorporación a las ecuaciones de las ''fuerzas de reacción vincular'' <math>\vec{\Phi}_k</math>, las cuales, por ser desconocidas ''a priori'', introducen nuevas ''incógnitas'' en el problema matemático.

<center><math>
\begin{cases}\displaystyle\ddot{\vec{r}}=\frac{1}{m}\left[\sum_{i=1}^n\vec{F}_i(t,\vec{r},\dot{\vec{r}}\,)+
\sum_{k=1}^m\vec{\Phi}_k\right] & \\ & \\ \displaystyle f_j(\vec{r},\dot{\vec{r}},t)=0\;\;\;\;\;
(\mbox{con}\; j=1,...,h)\;\longrightarrow\; \mbox{ecuaciones de ligadura} & \end{cases}</math></center>

En esta expresión <math>\vec{F}_i</math> son las llamadas ''fuerzas activas'', que son aquellas que no son de ligadura, y que se suponen conocidas. En el caso de una partícula no vinculada, todas las fuerzas son activas.

Por último, señalaremos la importancia de asignar la dirección correcta a las fuerzas de reacción vincular en la medida en que dicha dirección esté predeterminada (por ejemplo, teniendo presente la ortogonalidad de dichas fuerzas a los vínculos geométricos lisos). En buena parte en esto radica el "saber desvincular" una partícula, ya que no podemos olvidar que la compatibilidad del sistema de ecuaciones exige que el número de incógnitas introducidas a través de las fuerzas de reacción vincular sea igual (y no superior) al número <math>h</math> de ecuaciones de ligadura.

==Determinación de fuerzas==
En ocasiones, conocemos completamente el estado de movimiento o de reposo de una partícula, bien porque hemos medido su posición y velocidad, bien porque se encuentra sometida a tres vínculos independientes que definen de forma unívoca el estado de la partícula.

En ese caso, la segunda ley de Newton nos sirve como herramienta para determinar la fuerza que actúa sobre la partícula.

<center><math>\vec{F}= m\vec{a}</math></center>

;Caso estático: En el caso de una partícula en reposo (caso estático) la aceleración es nula, por lo que la resultante de las fuerzas aplicadas debe anularse. Si conocemos el valor de todas las fuerzas salvo una, podemos usar esta ecuación para hallar la fuerza desconocida. 

:Este es el principio de los dinamómetros de resorte. Se aplica una fuerza que tensa un muelle. Se sabe que la fuerza que ejerce el resorte es proporcional a su elongación, por lo que debe cumplirse

<center><math>-kx + F = 0\qquad\Rightarrow\qquad F = kx</math></center>

:Midiendo cuánto se estira el muelle tenemos el valor de la fuerza.

;Caso dinámico:Si tenemos una partícula en un movimiento conocido, podemos determinar la aceleración y a partir de ella determinar la fuerza que está actuando sobre la partícula.

:Por ejemplo, la tercera ley de Kepler establece que el cuadrado del periodo orbital de los planetas es proporcional al cubo de los radios de las órbitas. 

<center><math>T^2 = k R^3\,</math></center>

:Si suponemos órbitas circulares y que la fuerza es central (apunta permanentemente hacia el sol y sólo depende de la distancia al sol), entonces el movimiento es circular uniforme y

<center><math>F = m\frac{v^2}{R} = \frac{m}{R}\left(\frac{2\pi R}{T}\right)^2 = \frac{4\pi^2 mR}{T^2} = \frac{4\pi^2m}{k}\,\frac{1}{R^2}</math></center>

:Por tanto, la fuerza gravitatoria ejercida por el Sol debe ir como la inversa del cuadrado de la distancia, tal como afirma la ley de la Gravitación Universal.

==Estática de la partícula==
La estática es la parte de la mecánica que trata de las situaciones de equilibrio de los
cuerpos. Un estado de equilibrio es aquél en el que el sistema se encuentra en reposo,
permaneciendo en él indefinidamente.

El análisis del equilibrio de un sistema se compone de dos elementos:

* Establecer las condiciones en las que se produce el estado del equilibrio
* Establecer la estabilidad del equilibrio, esto es, determinar si el sistema, separado de su estado de equilibrio, vuelve a él o por el contrario se aleja de él.

===Condición de equilibrio===
Para el caso de una partícula material, la condición de equilibrio es una consecuencia inmediata de la segunda ley de Newton. Si la partícula se encuentra en un estado de reposo permanente, su aceleración es nula y por tanto

<center><math>\vec{F}=m\vec{a}=\vec{0}</math></center>

La condición de equilibrio de una partícula es que se anule la resultante de las fuerzas que actúan sobre ella.

Cuando tenemos fuerzas dependientes de la posición, este principio sirve para determinar las posiciones de equilibrio, mediante la solución de la ecuación

<center><math>\vec{F}(\vec{r},\vec{0})=\vec{0}</math></center>

donde el segundo argumento de la fuerza es la velocidad, que será nula en una posición de equilibrio.

Por ejemplo, supongamos una masa sujeta a la acción de la gravedad y que cuelga de un resorte vertical, que verifica la ley de Hooke. Sumando las componentes verticales del peso y de la fuerza elástica tenemos que, en el equilibrio

<center><math>0 = -mg + k(l-l_0)\,</math>{{tose}}<math>l = l_0+\frac{mg}{k}</math> </center>

Si lo que se conoce es la posición de equilibrio y parte de las fuerzas actuantes, la condición de equilibrio sirve para determinar la fuerza restante.

===Estabilidad del equilibrio===
El que una posición sea de equilibrio no garantiza que, en una situación real, el sistema vaya a permanecer en ella indefinidamente. La razón es que siempre existen pequeñas fluctuaciones en las fuerzas, que pueden separar levemente al sistema del equilibrio. Para que el sistema permanezca en la misma posición, no basta con que su posición sea de equilibrio. Éste debe ser ''estable''.

Consideremos, por ejemplo, un péndulo simple formado por una masa que cuelga de un punto de anclaje sujeto por una barra rígida sin masa. Este sistema posee dos posiciones de equilibrio: que la masa está en el punto más bajo del péndulo, o que esté en el punto más alto. Es claro que las dos posiciones no son equivalentes. Mientras que en la posición inferior la masa tiende a permanecer en ella, si se encuentra en el extremo superior cualquier pequeña perturbación hace que la masa caiga.

{| class="bordeado"
|-
| [[Archivo:pendulo-estable.png]]
| [[Archivo:pendulo-inestable.png]]
|-
! Estable
! Inestable
|-
|}

Los puntos de equilibrio se clasifican en:

;Estables: Ante una pequeña perturbación, tienden a retornar a la posición de equilibrio. El ejemplo representativo lo supone una  partícula que rueda dentro de un cuenco, o una masa sujeta a un resorte.

;Inestables: Una pequeña perturbación separa a la masa del equilibrio, y ésta tiende a alejarse de esta posición. Es el caso de una masa situada en lo alto de una cima o del péndulo invertido.  También es el caso de una [[partícula en el interior de un tubo]] en rotación. Cuando se separa del centro, la inexistencia de una fuerza centrípeta hace que se aleje aun más.

;Indiferente: La partícula no tiende a retornar a la posición de equilibrio, pero tampoco a alejarse de ella. Es el caso de una bola situada sobre una mesa horizontal.

{| class="bordeado"
|-
| [[Archivo:equilibrio-estable.png]]
| [[Archivo:equilibrio-inestable.png]]
| [[Archivo:equilibrio-indiferente.png]]
|-
! Estable
! Inestable
! Indiferente
|}

La clasificación se complica en 3 dimensiones por el hecho de que una posición de equilibrio puede ser estable respecto a fuerzas aplicadas en una dirección e inestable frente a otras aplicadas en una diferente. 

También puede ocurrir que una misma posición de equilibrio pueda ser estable para ciertos valores de los parámetros (por ejemplo, la masa de la partícula) e inestable para valores diferentes.

La forma más directa de abordar el problema de la estabilidad consiste en suponer una posición muy próxima a la de equilibrio y analizar el sentido de la fuerza para un desplazamiento dado. Por ejemplo, en el caso del resorte que cuelga verticalmente hacemos

<center><math>l = l_\mathrm{eq}+x = l_0+\frac{mg}{k}+x</math>{{tose}}<math>F = -kx\,</math></center>

Esto quiere decir que cuando x es positivo, la fuerza es negativa, es decir, tiende a disminuir |x|. Igualmente, si x es negativo, F es positiva, con lo que también tiende a disminuir |x|. El punto de equilibrio es, por tanto, estable. 

Una de las herramientas más intuitivas para el análisis de la estabilidad es el uso de las curvas de energía potencial, que veremos al analizar la ley de conservación de la energía mecánica.

==Integrales primeras==
Una '''constante de movimiento''' o '''integral primera''' es una magnitud función de la posición, velocidad de la partícula (o de las partículas, si hay más de una) y en ocasiones del tiempo, cuyo valor es constante en el tiempo, pese a que la posición y la velocidad sí son variables en el tiempo

<center><math>\frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}t}(\vec{r},\vec{v},t)=0\quad\forall t</math>{{tose}}<math>C(\vec{r},\vec{v},t)=\mathrm{cte.}</math></center>

Por ejemplo, supongamos una partícula que describe el movimiento circular

<center><math>\vec{r}(t) = A\cos(\omega t)\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}</math></center>

Este movimiento verifica las relaciones

<center><math>x^2 + y^2 = A^2\qquad\qquad z=0</math></center>

Así, aunque tanto <math>x</math> como <math>y</math> son funciones del tiempo, una combinación de las dos coordenadas permanece constante. Si hubiéramos conocido esta constancia antes de determinar la ley horaria, sabríamos que la trayectoria es una circunferencia, aunque la rapidez pudiera ser desconocida.

El ejemplo más intuitivo, que veremos más adelante, es el de la energía mecánica. Cuando un cuerpo cae, su posición varía y su velocidad aumenta, pero la energía mecánica, que es una cierta combinación de la posición y la velocidad, permanece constante.

Se denominan ''integrales primeras'' porque estas cantidades suelen obtenerse integrando una vez las ecuaciones de movimiento.

El hallazgo de una constante de movimiento en un problema simplifica la solución de éste, ya que permite establecer relaciones entre las variables y limita el número de soluciones posibles.

El valor concreto de una constante de movimiento puede calcularse a partir de las condiciones iniciales (o de los valores de la posición y velocidad en cualquier instante)

<center><math>C(\vec{r},\vec{v},t)=C(\vec{r}_0,\vec{v}_0,0)\,</math></center>

Las integrales primeras pueden tener una interpretación física directa (como la energía o el momento cinético) o ser combinaciones más o menos abstractas válidas para un solo problema concreto. Por ejemplo, en el movimiento planetario se conserva el llamado vector de Laplace-Runge-Lenz, que carece de interpretación sencilla.

Puede parecer raro que se diga que una cantidad función del tiempo no depende del tiempo. Lo que se afirma es que aunque en la ''función'' puede aparecer explícitamente la variable <math>t</math>, el ''valor'' de la función es el mismo en todo instante como consecuencia de que esa dependencia explícita del tiempo se ve neutralizada por otras dependencias implícitas del tiempo a través de la posición y/o la velocidad.

A continuación estudiaremos tres magnitudes, construidas a partir de la posición y la velocidad, cuyas leyes de evolución pueden determinarse a partir de las leyes de Newton. Estas cantidades, si se dan las condiciones adecuadas, son candidatas a ser constantes de movimiento, y por tanto son las primeras candidatas cuando en un problema se buscan integrales primeras. Estas magnitudes son:

*La cantidad de movimiento
*El momento cinético
*La energía (cinética, potencial y mecánica).

==Cantidad de movimiento==
===Definición===
Se define la cantidad de movimiento de una partícula como el producto de su masa por su velocidad

<center><math>\vec{p}=m\vec{v}\,</math></center>

===Impulso===
En ocasiones, no nos interesa tanto saber cómo cambia la cantidad de movimiento en un intervalo de tiempo infinitesimal, sino saber cuánto varía durante un cierto periodo. Supongamos una partícula que viaja libremente y por tanto con cantidad de movimiento constante <math>\vec{p}_1</math>. Entonces es sometida a una fuerza <math>\vec{F}(t)</math> durante un intervalo entre <math>t_1</math> y <math>t_2</math> (por ejemplo, durante una [[colisiones|colisión]], a partir del cual vuelve a moverse libremente, con cantidad de movimiento constante <math>\vec{p}_2</math>. Se trata de hallar el incremento en la cantidad de movimiento durante la colisión. Integrando en la segunda ley de Newton obtenemos

<center><math>\Delta \vec{p}=\vec{p}_2-\vec{p}_1 = \int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)\,\mathrm{d}t</math></center>


[[Imagen:raquetbol.gif|right]]

Esta integral de la fuerza sobre un intervalo recibe el nombre de '''impulso''', por lo que la igualdad anterior establece que 

:&ldquo;''El incremento de la cantidad de movimiento es igual al impulso recibido''&rdquo;

Esta relación, aparentemente trivial, tiene su importancia en la teoría de [[Colisiones_de_dos_part%C3%ADculas|colisiones]] y de percusiones, donde se ignora el valor exacto de la fuerza, pero sí se conoce el valor del impulso.

===Teorema de conservación===
De la segunda ley de Newton es inmediato que:

:&ldquo;''La cantidad de movimiento de una partícula permanece constante cuando la resultante de las fuerzas que actúan sobre ella es nula durante un intervalo de tiempo''&rdquo;

<center><math>\vec{0}=\vec{F} = \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{p}=\vec{p}_0=\mathrm{cte}</math></center>

Puesto que la masa de la partícula permanece constante, si la cantidad de movimiento se conserva, la velocidad también permanece constante

<center><math>\vec{p}=\vec{p}_0=\mathrm{cte}</math>{{tose}}<math>\vec{v}=\frac{\vec{p}}{m}=\mathrm{cte}</math></center>

Por tanto, si la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula se anula durante un intervalo de tiempo, la partícula se mueve uniformemente durante dicho periodo. 

Esto no es exactamente lo mismo que lo que dice la Primera Ley de Newton, pues esta ley habla de partícula no sometida a ninguna interacción, mientras que el teorema de conservación se refiere a una partícula sometida a diferentes fuerzas, pero tales que su resultante es nula.

Para el caso de una partícula este teorema de conservación aporta poca información nueva. Sin embargo, su extensión al caso de un [[cantidad de movimiento de un sistema de partículas|sistema de partículas]] es extremadamente útil.

==Momento cinético==
===Definiciones===
;Momento cinético: Se define el ''momento cinético'' (o ''momento angular'') de una partícula respecto a un punto fijo O como

<center><math>\vec{L}_O = \overrightarrow{OP}\times\vec{p}=m\overrightarrow{OP}\times\vec{v}</math></center>

;Momento de una fuerza: Se define el ''momento de una fuerza'' respecto a un punto fijo O como

<center><math>\vec{M}_O = \overrightarrow{OP}\times\vec{F}</math></center>

Si tenemos varias fuerzas actuando sobre la misma partícula, el momento resultante es igual al momento de la resultante

<center><math>\vec{M}_O=\sum_i \vec{M}_{iO}=\sum_i\overrightarrow{OP}\times\vec{F}_i = \overrightarrow{OP}\times\sum_i\vec{F}_i =\overrightarrow{OP}\times\vec{F}</math></center>

===Derivada del momento cinético (Teorema del momento cinético)===
Como consecuencia de la segunda ley de Newton, la derivada del momento cinético de una partícula es igual al momento resultante sobre ella

<center><math>\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t} =m\left(\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\overrightarrow{OP})\right)\times\vec{v}+m\,\overrightarrow{OP}\times\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=m\overbrace{\vec{v}\times\vec{v}}^{=\vec{0}}+\overrightarrow{OP}\times\vec{F}=\vec{M}_O</math></center>

===Teorema de conservación===
De la expresión para la derivada del momento cinético se deduce su teorema de conservación:

:''Si la resultante de los momentos de las fuerzas que actúan sobre una partícula es nula, el momento cinético de dicha partícula permanece constante.''

<center><math>\vec{0} = \vec{M}_0=\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}</math>{{tose}}<math>\vec{L}_O=\mathrm{cte}</math></center>

===Fuerzas centrales===
Las fuerzas centrales constituyen  un caso particular e importante de las diferentes fuerzas presentes en la naturaleza. Una ''fuerza central'' es aquella que en todos los puntos del espacio posee dirección radial desde un punto fijo O, siendo además dependiente solo de la distancia a dicho punto

<center><math>\vec{F}(P) = f(|\overrightarrow{OP}|)\frac{\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{OP}|}</math></center>

En particular, si tomamos el origen de coordenadas en el centro de las fuerzas (<math>\vec{r}_O = \vec{0}</math>)

<center><math>\vec{F}(\vec{r}) = f(r)\vec{r}</math></center>

Ejemplos de fuerzas centrales son la fuerza de la gravedad debida a un objeto masivo (como la atracción que el Sol ejerce sobre la Tierra), o la fuerza eléctrica debida a una carga en reposo.

Se tiene que

:''El momento cinético respecto a un punto O de una partícula sometida a la acción de una fuerza central, con centro O, permanece constante.''

La demostración es inmediata, ya que el vector de posición relativo y la fuerza son vectores paralelos

<center><math>\vec{M}_O = \overrightarrow{OP}\times\left(f(|\overrightarrow{OP}|)\frac{\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{OP}|}\right) = \vec{0}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{L}_O = \mathrm{cte}</math></center>

Una consecuencia inmediata de la conservación del momento cinético para una fuerza central es:

:''La trayectoria de una partícula sometida a una fuerza central es plana.''

El plano en el que ocurre la trayectoria es el definido por el centro de fuerzas, la posición inicial y la velocidad inicial.

Puesto que el momento cinético se conserva tenemos que si multiplicamos escalarmente el vector de posición relativo por este vector constante

<center><math> \vec{L}_O\cdot\overrightarrow{OP}=m\overbrace{\left(\overrightarrow{OP}\times\vec{v}\right)}^{\perp\overrightarrow{OP}}\cdot\overrightarrow{OP} = 0</math></center>

Esta es la ecuación vectorial de un plano que pasa por O y es normal a la dirección de <math>\vec{L}_O</math>.

Este resultado también es válido para fuerzas no centrales que conservan el momento cinético.

===Segunda ley de Kepler===
[[Archivo:segunda-ley-kepler-planeta.gif|right]]

La segunda ley de Kepler fue formulada inicialmente para el movimiento planetario, pero se trata de una consecuencia general de la ley de conservación del momento cinético. 

:''Una partícula cuyo momento cinético permanece constante barre áreas iguales en tiempos iguales''

Aquí la velocidad con la que se &ldquo;barren áreas&rdquo; hay que entenderla empleando la '''velocidad areolar''': para una trayectoria plana se mide el ritmo con el que varía el área del triángulo mixtilíneo formado por el vector de posición inicial (medido desde el punto <math>O</math> respecto al cual se conserva el momento cinético), el vector de posición instantáneo, respecto al mismo origen, y el arco de trayectoria comprendido entre los dos puntos.

<center><math>V_A = \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}</math></center>

Puesto que posee dimensiones de L&sup2;/T, no se trata realmente de una velocidad, sino de un ritmo de variación.

En forma vectorial, si <math>\vec{B}</math> es el vector perpendicular al plano que contiene a la trayectoria

<center><math>\vec{V}_A = \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}\vec{B} = \frac{\mathrm{d}\vec{A}}{\mathrm{d}t}</math></center>

En un intervalo infinitesimal <math>\mathrm{d}t</math> el área barrida es la correspondiente a un triángulo que tiene por lados el vector de posición relativo 

<center><math>\overrightarrow{OP}=\vec{r}-\vec{r}_O</math></center>

y el desplazamiento diferencial

<center><math>\mathrm{d}\vec{r} = \vec{r}(t+\mathrm{d}t)-\vec{r}(t)</math></center>

el área de este triángulo es

<center><math>\mathrm{d}\vec{A}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OP}\times\mathrm{d}\vec{r}</math></center>

y la velocidad areolar es igual a

<center><math>\vec{V}_A = \frac{\mathrm{d}\vec{A}}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OP}\times\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{\vec{L}_O}{2m}</math></center>

Por tanto, si el momento cinético permanece constante, la velocidad areolar también es una integral primera y tenemos la segunda ley de Kepler.

La consecuencia inmediata de este teorema es que un cuerpo sometido a una fuerza central, por ejemplo, un planeta, se mueve más rápidamente cuando se encuentra en las proximidades del centro de fuerzas que cuando se encuentra más alejado de él. 

Para el caso de la órbita terrestre, podemos comprobar que en invierno, la distancia Tierra-Sol es menor que en verano, pues mientras entre el equinoccio de Otoño (23 de septiembre) y el de Primavera (21 de marzo) hay 179 días, entre el de Primavera y el de Otoño hay 184 días, esto es, el invierno es más corto que el verano, debido a la mayor proximidad. Concretamente, el perihelio (punto más próximo) es en torno al 4 de enero, mientras que el afelio (punto más alejado) es en torno al 4 de Julio.

Este resultado también es aplicable al caso de una trayectoria abierta, incluyendo ahí el caso particular de un movimiento rectilíneo uniforme. 

<!--
===Expresión en coordenadas polares===
El teorema del momento cinético presenta una expresión extremadamente sencilla en el caso de una partícula que efectúa un movimiento plano, si se emplean [[Cinemática_del_punto_material_(G.I.T.I.)#Expresiones_en_coordenadas_polares|coordenadas polares]].

Para un movimiento plano, el vector de posición de una partícula es 

<center><math>\vec{r}=\rho\vec{u}_\rho</math></center>

y su velocidad

<center><math>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{u}_\rho+\rho\dot{\theta}\vec{u}_\theta</math></center>

Multiplicando vectorialmente estas dos cantidades obtenemos la velocidad areolar y el momento cinético respecto al origen de coordenadas

<center><math>\vec{V}_A=\frac{\rho^2\dot{\theta}}{2}\vec{k}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{L}=m\rho^2\dot{\theta}\vec{k}</math></center>

La derivada temporal de esta expresión nos da

<center><math>\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\rho^2\dot{\theta})=M_z</math></center>

En el caso de una fuerza central, esta se expresa en polares

<center><math>\vec{F}=F(\rho)\vec{u}_\rho</math></center>

y la ecuación de movimiento correspondiente

<center><math>\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2=\frac{1}{m}F(\rho)</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta}=0</math></center>

La segunda ecuación es equivalente a la ley de conservación del momento cinético

<center><math>\rho^2\dot{\theta}=\frac{L_0}{m}</math></center>

Despejando de aquí y sustituyendo en la componente radial de la aceleración queda

<center><math>\ddot{\rho}=\frac{L_0^2}{m^2\rho^3}+F(\rho)</math></center>

que matemáticamente es equivalente a una ecuación de movimiento rectilíneo, con un término de fuerza adicional.
-->

===Conservación parcial del momento cinético===
Existen ocasiones en que el momento cinético no se conserva. Sin embargo, incluso en esos casos es a menudo posible obtener una ley de conservación más restringida.

Para ello, tenemos en cuenta que el momento cinético es un vector y posee tres componentes. Puede ocurrir que aunque el vector como tal no sea constante, una de sus componentes sí lo sea. Sea <math>\vec{u}</math> un vector unitario fijo. La componente del momento angular según la dirección de <math>\vec{u}</math> es

<center><math>L_{u}=\vec{L}_O\cdot\vec{u}\,</math></center>

Derivando aquí respecto al tiempo

<center><math>\frac{\mathrm{d}L_u}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}\cdot\vec{u}=\vec{M}_O\cdot\vec{u}=M_u</math></center>

Si se anula la componente en la dirección de <math>\vec{u}</math> del momento de las fuerzas aplicadas, la componente del momento cinético en dicha dirección permanece constante.

==Energía mecánica==
===Trabajo y potencia===
Se define el trabajo elemental realizado por una fuerza <math>\vec{F}</math> sobre una partícula que realiza un desplazamiento diferencial <math>\mathrm{d}\vec{r}</math> como la cantidad

<center><math>\delta W=\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}</math></center>

Vemos que:

* El trabajo es una cantidad escalar, con signo.
* Las unidades en las que se mide el trabajo son las de una fuerza por una distancia, siendo la unidad SI 1&thinsp;julio = 1&thinsp;newton&middot;m
* No se realiza trabajo si se ejerce una fuerza pero no se produce desplazamiento.
* Una fuerza perpendicular al desplazamiento no realiza trabajo alguno. 

[[Archivo:trabajo-rectificado.png|right]]

A partir de aquí obtenemos el trabajo realizado sobre una partícula que se mueve desde un punto A a un punto B recorriendo una curva C como la suma de los trabajos elementales a lo largo de dicha curva

<center><math>W_{A\to B} = \int_{\!\!\!\!\!\!\!\!\! C\ A}^B \delta W = \int_{\!\!\!\!\!\!\!\!\! C\ A}^B \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}</math></center>

Igualmente, se define la potencia desarrollada por la fuerza como el trabajo que realiza durante un tiempo <math>\mathrm{d}t</math>, dividido por dicho intervalo

<center><math>P = \frac{\delta W}{\mathrm{d}t}=\vec{F}\cdot\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\vec{F}\cdot\vec{v}</math></center>

===Energía cinética. Teorema de la fuerzas vivas===
Aplicando la segunda ley de Newton el trabajo realizado por una fuerza a lo largo de una curva puede transformarse como

<center><math>W_{A\to B}=\int_A^B \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r} =\int_A^B m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=\int_A^B m\,\mathrm{d}\vec{v}\cdot\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\int_A^B m\vec{v}\cdot\mathrm{d}\vec{v}=\left.\frac{1}{2}mv^2\right|_A^B=K_B-K_A</math></center>

siendo <math>K</math> la ''energía cinética'' de la partícula

<center><math>K = \frac{1}{2}mv^2</math></center> 

La identidad

<center><math>W_{A\to B} = K_B-K_A\,</math></center>

se conoce como ''teorema de las fuerzas vivas'' (o ''teorema trabajo-energía cinética''):

:&ldquo;''El trabajo realizado sobre una partícula entre dos puntos equivale al incremento de la energía cinética de dicha partícula entre ambos puntos.''&rdquo; 

El trabajo realizado no tiene por qué ser necesariamente positivo. Si la partícula se ve frenada, su energía cinética disminuye y el trabajo resultante es negativo.

Empleando la potencia podemos expresar el equivalente al teorema de las fuerzas vivas para cada instante de tiempo:

<center><math>P = \mathrm{m}\vec{a}\cdot\vec{v}= m\vec{v}\cdot\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}mv^2\right)=\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}</math></center>

====Teorema de conservación de la energía cinética====
Este teorema implica, entre otras resultados, que 

:&ldquo;''Una partícula sometida a una fuerza puramente normal a su trayectoria (o nula) en todo momento mantiene constante su energía cinética y por tanto se mueve de manera uniforme (aunque la dirección de movimiento sea cambiante).''&rdquo;

Ejemplo de fuerzas permanentemente normales a la trayectoria son:
* La fuerza magnética <math>\vec{F}_m = q\vec{v}\times\vec{B}</math> 
* La fuerza de Coriolis que aparece en sistemas no inerciales.
* Las fuerzas de reacción vincular debidas a vínculos esclerónomos lisos (sin rozamiento).

Esta última propiedad es especialmente importante porque permite aplicar el teorema de conservación de la energía mecánica a partículas vinculadas, sin necesidad de considerar las fuerzas de reacción a la hora de calcular la energía. Por ejemplo, puede hallarse la velocidad de una masa que desciende por un plano inclinado empleando razonamientos energéticos sin incluir la reacción normal al plano.

===Energía potencial===
El trabajo realizado por una fuerza cuando una partícula se mueve desde un punto A a un punto B depende en general del camino recorrido. Por ejemplo, una fuerza de rozamiento realiza un trabajo mayor cuanto mayor sea la distancia recorrida, aunque los puntos iniciales y finales sean los mismos en todos los caminos.

Existe una clase de fuerzas, denominadas ''[[fuerzas conservativas]]'', para las cuales el trabajo entre dos puntos es independiente del camino que se emplea para ir de uno a otro

<center><math>W_{A\to B}=\int_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! C_1\ A}^B \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=\int_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! C_2\ A}^B \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}</math></center>

Esto permite definir una función denominada ''energía potencial'' como el trabajo, cambiado de signo, para ir desde un punto fijo (el ''origen de potencial'') hasta un punto fijo

<center><math>U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^\vec{r} \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}</math></center>

Entre los casos importantes de fuerzas conservativas tenemos:

* El [[Cálculo_de_energías_potenciales#Peso|peso]], para el cual, si el origen de potencial es la superficie terrestre y <math>z</math> la altura sobre ella:

<center><math>U(\vec{r}) = mg z\,</math></center>

* Más en general la [[Cálculo_de_energías_potenciales#Gravitaci.C3.B3n|fuerza gravitatoria]] producida por un cuerpo fijo sobre otro, tomando como origen de potencial el infinito, tiene una energía potencial

<center><math>U(\vec{r}) = -\frac{GMm}{|\vec{r}|}\,</math></center>

* El [[Cálculo_de_energías_potenciales#Resorte|oscilador armónico]], que cumple la ley de Hooke, tomando el origen de potencial en el punto de equilibrio

<center><math>U(\vec{r}) = \frac{1}{2}k|\vec{r}|^2\,</math></center>

Conocida la energía potencial, puede hallarse la fuerza calculando su ''gradiente'':

<center><math>\vec{F}=-\nabla U = -\frac{\partial U}{\partial x}\vec{\imath}-\frac{\partial U}{\partial y}\vec{\jmath}-\frac{\partial U}{\partial z}\vec{k}</math></center>

que en el caso de una función dependiente de una sola coordenada se reduce a una derivada ordinaria.

===Conservación de la energía mecánica===
Cuando existe una energía potencial de la cual deriva la fuerza que trabaja sobre una partícula se cumple la siguiente identidad

<center><math>W_{A\to B} = \int_A^B \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=U(A)-U(B) = -\Delta U</math></center>

esto es, el trabajo realizado sobre la partícula es igual a la disminución de su energía potencial.

Combinando este teorema con el de las fuerzas vivas obtenemos

<center><math>-\Delta U = U(A) - U(B) = W_{A\to B} = K(B) - K(A) = \Delta K\,</math></center>

esto es, la que disminuye la energía potencial es igual a lo que aumenta la energía cinética (o viceversa). Reagrupando términos y definiendo la ''energía mecánica'' de la partícula como la suma de su energía cinética más la potencial obtenemos

<center><math>E(A) = K(A) + U(A) = K(B) + U(B) = E(B) = \mathrm{cte}\,</math></center>

lo que se conoce como ''teorema de conservación de la energía mecánica'':

:&ldquo;''En ausencia de fuerzas trabajadoras no conservativas, la energía mecánica de una partícula permanece constante.''&rdquo;

Este teorema deja de cumplirse cuando sobre la partícula trabajan fuerzas no conservativas, como el rozamiento. Las fuerzas que reducen la energía mecánica (normalmente transformándola en calor) se conocen como ''fuerzas disipativas''.

Si sobre una partícula trabajan tanto fuerzas conservativas como no conservativas, las consideramos por separado. Aplicando el teorema de las fuerzas vivas

<center><math>\Delta K = W_c+W_{nc}\,</math></center>

El trabajo de las fuerzas conservativas es igual a la disminución de su energía potencial

<center><math>\Delta K = -\Delta U + W_{nc}\,</math></center>

Agrupando términos resulta que el incremento de la energía mecánica es igual al trabajo de las fuerzas no conservativas

<center><math>\Delta E = W_{nc}\,</math></center>

En el caso particular de una fuerza de rozamiento, este trabajo es negativo y la energía mecánica disminuye como consecuencia de la fricción.

Si en lugar de considerar un incremento finito, calculamos la derivada respecto al tiempo obtenemos

<center><math>\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\vec{F}\cdot\vec{v}=P_{nc}</math></center>

esto es, la derivada temporal de la energía mecánica es la potencia desarrollada por las fuerzas no conservativas.

===Ejemplos===
El uso de razonamientos basados en la energía permite simplificar numerosos cálculos al prescindir del carácter vectorial de las magnitudes y poder omitir las fuerzas de reacción vincular que no realizan trabajo.

Entre los ejemplos inmediatos de aplicación están:

* La velocidad de impacto en la [[caída libre de un cuerpo]] o de un [[Partícula en el interior de un aro|cuerpo sometido a vínculos lisos]].
* La velocidad de oscilación de un [[Tensión de un péndulo|péndulo]]
* El intercambio entre energía cinética y potencial en un [[oscilador armónico]].
* La [[Cálculo_de_energías_potenciales#Velocidad_de_escape|velocidad de escape]] de un campo gravitatorio.

===Curvas de potencial===
[[Archivo:curva-energia-potencial.png|right]]

El análisis de la energía mecánica es especialmente útil en el caso de movimientos unidimensionales. Si tenemos una partícula cuyo movimiento se produce a lo largo de un eje OX, sometida a una fuerza dependiente sólo de la coordenada <math>x</math>

<center><math>\vec{r}(t) = x(t)\vec{\imath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{F}=F(x)\vec{\imath}</math></center>

Para una fuerza de este tipo siempre existe una energía potencial dada por su integral respecto a <math>x</math>

<center><math>U(x) = -\int_{x_0}^x F(x)\,\mathrm{d}x</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>F(x) = -\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x}</math></center>

de forma que la ley de conservación de la energía mecánica se escribe

<center><math>\frac{1}{2}mv^2 + U(x) = E=\mathrm{cte}</math></center>

Si trazamos la gráfica de la energía potencial <math>U=U(x)</math> como función de la posición <math>x</math>, podemos establecer varias propiedades del movimiento, que ilustraremos con el ejemplo de la figura.

* En primer lugar, es importante tener claro que esta gráfica ''no'' representa una curva bidimensional. No es una especie de montaña rusa en la que una bolita suba o baje, aunque comparta varias propiedades con este tipo de superficie. En la curva de potencial, la única coordenada es <math>x</math>. El eje de ordenadas representa la energía, no una distancia vertical.
* La curva de potencial permite establecer los puntos de equilibrio, así como la estabilidad de estos. 
**Los puntos de equilibrio son aquellos para los que la fuerza sobre la partícula se anula. Esto corresponde a los extremos (máximos o mínimos) de la función <math>U(x)</math>. En el ejemplo serían las posiciones A, B y C.
**Dado que la fuerza sobre la partícula es la pendiente de la curva cambiada de signo, un mínimo de la energía potencial es un punto de equilibrio estable (A y B en el ejemplo), mientras que un máximo es un punto de equilibrio inestable (C en la figura).
* Un valor de la energía mecánica constante puede representarse como una recta horizontal en la gráfica (<math>E=E_1</math>, por ejemplo). En ese caso la diferencia entre esta recta y el valor de la curva en el mismo punto nos da el valor de la energía cinética, <math>K</math>.
* Puesto que la energía cinética no puede tener un valor negativo, el movimiento está acotado entre los puntos donde la recta de la energía mecánica corta a la curva de energía potencial.
* Los puntos donde la recta corta a la curva (D y G en la figura) son de energía cinética nula. En ellos la partícula queda en una posición de reposo instantáneo y la velocidad cambia de signo. Se denominan ''puntos de retorno''.
* Para un valor dado de la energía mecánica, puede existir varios estados de movimiento posibles. Así, para <math>E=E_2</math> la partícula puede oscilar en torno al punto A o en torno al punto B, pero no las dos cosas a la vez. Le es imposible atravesar la barrera de potencial situada en el máximo en C.

Como ilustración de casos sencillo, las siguientes son las curvas de potencial correspondientes a una pelota que se mueve verticalmente, sometida a la acción del peso y cuyo movimiento está limitado por el suelo, y el caso de un oscilador armónico, que describe un movimiento armónico simple.

<center>
{| class="bordeado"
|-
| [[Archivo:curva-potencial-peso.png]]
| [[Archivo:curva-potencial-oscilador.png]]
| [[Archivo:curva-potencial-oscilador-rozamiento.png]]
|-
! Caída libre
! Oscilador armónico
! Oscilador armónico con rozamiento
|-
|}
</center>

En el caso de que haya fuerzas de fricción no conservativas la energía mecánica disminuye progresivamente y la partícula termina parándose en un punto de equilibrio estable.

==Problemas==
{{ac|Problemas de dinámica del punto material (G.I.T.I.)}}
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