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= Enunciado =
Un bloque de masa <math>m_1</math> se desliza sin rozamiento sobre una cuña de masa <math>m_2</math> que forma un ángulo <math>\beta</math> con la horizontal. El conjunto está sobre una balanza de muelle. El plato de la balanza permanece en reposo durante toda la experiencia.
#Determina la aceleración de la masa <math>m_1</math> al desplazarse sobre la cuña.
#Calcula la aceleración del cento de masas del sistema cuña-masa.
#¿Cuál es la lectura en la balanza mientras cae la masa?

= Solución =

Nos dice el enunciado que el plato de la balanza no su mueve durante todo 
el proceso, es decir, se comporta como si fuese el suelo fijo. Para simplificar vamos a sustituir la balanza por un suelo y al final recuperaremos la balanza.

== Aceleración del bloque ==
[[Imagen:F1GIC-bloque-cuna-balanza-m1.png|right]]
La imagen de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la masa <math>m_1</math>, a saber, el peso y la fuerza vincular de la cuña (el contacto es liso, por lo que esta fuera es perpendicular a la cuña). La Segunda Ley de Newton aplicada al bloque da
<center>
<math>
m_1\vec{a}_1 = \vec{P}_1 + \vec{F}_{2\to1}
</math>
</center>
La aceleración debe ser paralela a la superficie de la cuña, es decir
<center>
<math>
m_1\vec{a}_1 = m_1a_1\,(\cos\beta\,\vec{\imath} - \mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\jmath}).
</math>
</center>
Para las fuerzas tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{P}_1 = - m_1g\,\vec{\jmath},\\
\\
\vec{F}_{2\to1} = N_2\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\imath} + N_2\cos\beta\,\vec{\jmath}.
\end{array}
</math>
</center>
La Segunda Ley nos da dos ecuaciones escalares, una por cada componente
<center>
<math>
\begin{array}{lclr}
m_1a_1\cos\beta & = & N_2\,\mathrm{sen}\,\beta, & \qquad (1)\\
&&&\\
-m_1a_1\,\mathrm{sen}\,\beta & = & -m_1g + N_2\cos\beta. & \qquad (2)
\end{array}
</math>
</center>
Multiplicando la ecuación (1) por <math>\cos\beta</math>, la ecuación (2) por <math>-\mathrm{sen}\,\beta </math> y sumando obtenemos
<center>
<math>
a_1 = g\,\mathrm{sen}\,\beta.
</math>
</center>
La aceleración de la masa <math>m_1</math> es
<center>
<math>
\vec{a}_1 = g\,\mathrm{sen}\,\beta\,(\cos\beta\,\vec{\imath} - \mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\jmath}).
</math>
</center>

== Aceleración del centro de masas del sistema cuña-bloque ==
La cuña permanece en reposo, es decir, <math>\vec{a}_1=\vec{0}</math>. Entonces la aceleración del centro de masas puede calcularse como
<center>
<math>
(m_1+m_2)\,\vec{a}_{CM} = m_1\vec{a}_1 + m_2\vec{a}_2 = m_1\vec{a}_1
\Longrightarrow
\vec{a}_{CM} = \dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,\vec{a}_1
=
\dfrac{m_1g\mathrm{sen}\,\beta}{m_1+m_2}\,(\cos\beta\vec{\imath} - \mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\jmath}).
</math>
</center>
== Lectura de la balanza ==
[[Imagen:F1GIC-bloque-cuna-balanza-m2.png|right]]
Aplicamos la Segunda Ley de Newton para sistemas al conjunto cuña+bloque. 
<center>
<math>
(m_1+m_2)\,\vec{a}_{CM} = \vec{F}_{neta}^{ext}.
</math>
</center>
Las fuerzas externas son el peso de las dos masas y la fuerza que ejerce el suelo sobre la cuña. Las fuerzas entre la cuña y el bloque no aparecen pues son fuerzas internas del sistema cuña-bloque.

Hemos visto en el apartado anterior que <math>\vec{a}_{CM}</math> es paralela a <math>\vec{a}_1</math>. Como los pesos sólo tienen componente vertical, es necesario que la fuerza que ejerce el suelo tenga una componente horizontal, para dar cuenta de la componente horizontal de <math>\vec{a}_{CM}</math>. La figura de la derecha indica como son las fuerzas externas.

La Segunda Ley queda
<center>
<math>
(m_1+m_2)\,\vec{a}_{CM} = \vec{P}_1 + \vec{P}_2 + \vec{F}_s.
</math>
</center>
De aquí podemos despejar la fuerza que ejerce el suelo sobre la cuña
<center>
<math>
\vec{F}_s = (m_1+m_2)\,\vec{a}_{CM} - \vec{P}_1 - \vec{P}_2 =
m_1g\,\mathrm{sen}\,\beta\cos\beta\,\vec{\imath} + (m_1\cos^2\beta+m_2)g\,\vec{\jmath}.
</math>
</center>
Si en vez del suelo es el plato de la balanza, la lectura de ésta es el módulo de la componente vertical de esta fuerza, es decir
<center>
<math>
|\vec{F}_{sy}| = (m_1\cos^2\beta+m_2)g.
</math>
</center>
Vemos que no es, en general, el peso de las dos masas. Cuando hay movimiento la normal no es igual al peso, en general. Hay dos casos límite interesantes. Si <math>\beta=0</math> el bloque no se mueve, la situación es estática y la lectura de la balanza debe ser el peso de las masas: <math>(m_1+m_2)g</math>. Vemos que esto es lo que ocurre. Si <math>\beta=\pi/2</math>, el bloque no se apoya sobre la cuña, por lo que la balanza no debe sentir el efecto de su masa y debe medir sólo el peso de la cuña: <math>m_2g</math>. Vemos que esto es también lo que sucede.


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