Ver código fuente

==Enunciado==
En cierto sistema de coordenadas cartesianas, el suelo viene definido por el plano de ecuación <math>x-2y+2z=0\,</math> y en él se halla clavada una varilla rectilínea representada por el vector <math>\overrightarrow{OP}=(4\,\vec{\imath}-3\,\vec{\jmath}\,)\,\mathrm{m}</math>. Suponiendo que es mediodía y los rayos solares inciden
perpendicularmente al suelo, ¿cuál es la longitud de la sombra que la varilla proyecta sobre el suelo?

==Solución==
Por inspección de la ecuación del plano-suelo, deducimos de inmediato un vector <math>\vec{N}\,</math> normal al suelo, y dividiéndolo por su módulo (normalización) obtenemos un vector unitario <math>\vec{u}_N\,</math> en su misma dirección:

<center><math>x-2y+2z=0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \vec{N}=(\vec{\imath}-2\vec{\jmath}+2\vec{k})\,\mathrm{m}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \vec{u}_N=\frac{\vec{N}}{|\vec{N}|}=\left(\frac{1}{3}\,\vec{\imath}-\frac{2}{3}\,\vec{\jmath}+\frac{2}{3}\,\vec{k}\right)\,</math></center>

Pues bien, la sombra de la varilla sobre el suelo al mediodía (incidencia ortogonal de los rayos solares) es la proyección ortogonal del vector <math>\overrightarrow{OP}\,</math> sobre el plano-suelo, es decir, su proyección sobre la dirección perpendicular al vector <math>\vec{N}\,</math>. Por tanto, la longitud <math>L\,</math> de dicha sombra se puede calcular como el módulo del producto vectorial del vector <math>\overrightarrow{OP}\,</math> por el vector unitario en la dirección normal al suelo <math>\vec{u}_N\,</math>:

<center><math>L=\mathrm{proy}_{\perp \vec{N}}\left[\overrightarrow{OP}\right]=\left|\overrightarrow{OP}\times\vec{u}_N\right|=\left|-2\,\vec{\imath}-\frac{8}{3}\,\vec{\jmath}-\frac{5}{3}\,\vec{k}\,\right|\,\mathrm{m}=\sqrt{\frac{125}{9}}\,\mathrm{m}=\frac{5\sqrt{5}}{3}\,\mathrm{m}</math></center>
[[Categoría:Problemas de vectores libres (G.I.T.I.)]]