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==Enunciado==
Sean <math>A</math> y <math>B</math> dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea <math>P</math> otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores <math>\overrightarrow{AP}</math> y <math>\overrightarrow{BP}</math> son ortogonales.

Inversamente, sean <math>A</math>, <math>B</math> y <math>P</math> tres puntos tales que <math>\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{BP}</math>. Sea <math>C</math> el punto medio entre <math>A</math> y <math>B</math>. Pruebe que <math>|\overrightarrow{CP}| = |\overrightarrow{CA}|</math>.

==Solución==
Para ver que son ortogonales calculamos el producto escalar de los dos vectores. 

<center><math>\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CP})\cdot(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP})</math></center>

Desarrollando en esta expresión

<center><math>\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP}\cdot(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{CP}</math></center>

[[Archivo:arco-capaz.png|right]]

Ahora bien, por ser puntos diametralmente opuestos, <math>\overrightarrow{AC}</math> y <math>\overrightarrow{BC}</math> son vectores del mismo módulo <math>R</math>, misma dirección y sentido contrario, por lo que

<center><math>\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC} = \vec{0}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}=-|\overrightarrow{AC}|^2</math></center>

lo que nos lleva a

<center><math>\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP} = -|\overrightarrow{AC}|^2 + 0+|\overrightarrow{CP}|^2</math></center>

Puesto que A y P se encuentran sobre la circunferencia, equidistan del punto C:

<center><math>|\overrightarrow{AC}|=R</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>|\overrightarrow{CP}|=R</math></center>

y por tanto

<center><math>\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP} = -R^2 + R^2 = 0</math></center>

El producto escalar es nulo y los vectores son, por tanto, ortogonales.

El resultado es independiente del punto <math>P</math>, siempre que se encuentre sobre la circunferencia. A esta construcción se la denomina arco capaz.

[[Archivo:escalera-pared.png|left]] 

Para el proceso inverso, se trata de ver que la situación es la misma, aunque la figura esté girada. Tenemos dos vectores <math>\overrightarrow{AP}</math> y <math>\overrightarrow{BP}</math> de los que sabemos que son ortogonales, esto es

<center><math>\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=0</math></center>

Tenemos el punto C, que es el punto medio de A y B y por tanto verifica

<center><math>\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AC}=-\frac{\overrightarrow{AB}}{2}</math></center>

Se trata de demostrar que 

<center><math>|\overrightarrow{AC}| \stackrel{?}{=} |\overrightarrow{CP}|</math></center>

La demostración del enunciado recíproco es completamente análoga a la anterior. Operando exactamente como antes llegamos de nuevo a la igualdad

<center><math>\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP} = -|\overrightarrow{AC}|^2+|\overrightarrow{CP}|^2</math></center>

siendo ahora el dato que el primer miembro es nulo y por tanto

<center><math>0 = -|\overrightarrow{AC}|^2+|\overrightarrow{CP}|^2</math>{{tose}}<math>|\overrightarrow{CP}|=|\overrightarrow{AC}|=\frac{|\overrightarrow{AB}|}{2}</math></center>

y por tanto el punto C se encuentra siempre a la misma distancia de P, siendo esta distancia igual a la mitad de la distancia entre A y B.

Esta construcción es útil en Mecánica. Imaginemos una escalera apoyada sobre una pared y el suelo. Cuando la escalera resbala, deslizándose sobre la pared y el suelo, ¿qué trayectoria describe el punto medio de la escalera? En este caso P es la esquina y A y B son los extremos de la escalera. C es su punto medio. Si L es la longitud de la escalera, este resultado prueba que <math>|\overrightarrow{PC}| = L/2</math> y por tanto el punto C describe un arco de circunferencia.

[[Categoría:Problemas de vectores libres (G.I.T.I.)]]