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==Enunciado==

\begin{solucion}
Al soltarse la barra, la gravedad hace que descienda aceleradamente.
Sin embargo, al hacerlo, se modifica el área del circuito contenida en
el campo magnético, dando lugar a una fuerza electromotriz, que
generará una corriente. Esta corriente recorre todo el circuito, en
particular la propia varilla, inmersa en el campo magnético. De acuerdo
con la ley de Lorentz, aparecerá una fuerza sobre ésta, que será,
simultáneamente, ortogonal a la corriente y al campo magnético, yendo
por tanto en la dirección vertical y modificando el movimiento de la
barra. También habrá fuerzas sobre el resto de los conductores, pero
supondremos que éstos son rígidos y no se ven afectados por ella.

Consideraremos el origen de coordenadas justo en el borde inferior de
la zona ocupada por el campo magnético, de forma que la altura a la
que se encuentra la barra vendrá dada por el valor de $y$.

Según la segunda ley de Newton, la ecuación de movimiento para la
barra es
\[
m\dtot[2]{y}{t}=m\dtot{v}{t}=-mg+F_m
\]
donde directamente ya estamos suponiendo que todas las fuerzas son
verticales.

\dibujops{b13-23}
Supongamos un sentido de recorrido del circuito, tal que la
normal a él vaya en el mismo sentido que el campo
magnético. En este caso, la corriente que atraviesa la
barra irá en la dirección de $-\bu{x}$, con lo que la
fuerza magnética será
\[
\bF_m=(-Ib\bu{x})\times(B_0\bu{z})=IbB_0\bu{y}
\]
y la ecuación de movimiento
\[
m\dtot{v}{t}=-mg+IbB_0
\]
Para hallar una ecuación para la intensidad empleamos la
ley de Faraday. En el circuito habrá una fuerza
electromotriz debida al campo magnético que valdrá
\[
\fem_\mathrm{ext}=-\dtot{\Phi_m}{t}=-\dtot{\
}{t}\left(B_0by\right)=-vbB_0
\]
Esta fuerza electromotriz equivaldrá a la caída de tensión en el
elemento de circuito exterior, esto es, será igual a
\[
-vbB_0=\cases{IR & en el caso de una resistencia \cr
       & \cr
       \dfrac{Q}{C} & en el caso de un condensador \cr
       & \cr
       L\dtot{I}{t} & en el caso de un solenoide}
\]
En cada caso resultará una ecuación de movimiento diferente
\begin{listnum}
\item Para una resistencia se tiene el sistema
\ba
 m\dtot{v}{t} & = & -mg+IbB_0 \\
 IR & = & -vbB_0
\ea
Reduciéndolo a una ecuación para la velocidad queda la ecuación
diferencial
\[
m\dtot{v}{t} = -\frac{b^2B_0^2}{R}v-mg
\]
cuya solución para el caso de que la barra parta del reposo es
\[
v=-g\tau\left(1-\ee^{-t/\tau}\right) \qquad
\tau=\frac{mR}{b^2B_0^2}
\]
Vemos que la velocidad crece --con signo negativo--, pero no de forma
uniforme, sino que tiende a un valor constante, para el cual se
igualan la fuerza de la gravedad y la fuerza magnética.

La posición se obtiene integrando la ecuación anterior.
\[
y=y_0-g\tau t+g\tau^2(1-\ee^{-t/\tau})
\]
\item Para el caso de un condensador tenemos el sistema
\[
 m\dtot{v}{t}  =  -mg+IbB_0 \]\[
 \frac{Q}{C}  =  -vbB_0 \qquad \dtot{Q}{t}  =  I
\]
que, reducido a una sola ecuación es
\[
m\dtot{v}{t}=-mg+bB_0\dtot{Q}{t}=-mg-Cb^2B_0^2\dtot{v}{t}
\]
\[
\tose (m+Cb^2B_0^2)\dtot{v}{t}=-mg
\]
La solución de esta ecuación es
\[
v=-\frac{mg}{m+Cb^2B_0^2}t
\]
Vemos que la velocidad crece con el tiempo de forma uniforme, pero lo
hace más lentamente que si no hubiera campo magnético.

La posición sigue la ecuación de un movimiento uniformemente
acelerado
\[
y=y_0-\frac{mg}{2(m+Cb^2B_0^2)}t^2
\]
\item Por último, para el caso de que haya una
autoinducción presente tenemos que
\ba
 m\dtot{v}{t} & = & -mg+IbB_0 \\
 L\dtot{I}{t} & = & -vbB_0
\ea
Reducimos este sistema derivando una vez
\[
m\dtot[2]{v}{t} = bB_0\dtot{I}{t}=-m\omega^2 v\qquad
\omega=\frac{bB_0}{\sqrt{mL}}
\]
Esta es la ecuación de un oscilador armónico de frecuencia $\omega$.
La solución de esta ecuación, suponiendo que tanto la velocidad como
la corriente inicial son nulas, es
\[
v=-\frac{g}{\omega}\sen\omega t\qquad
I=g\sqrt{\frac{m}{L}}\left(1-\cos\omega t\right)
\]
Según esto, tanto la velocidad como la intensidad de corriente
oscilan armónicamente. La barra unas veces baja y otras sube. En
cuanto a la posición, integrando una segunda vez
\[
y=y_0+\frac{g}{\omega^2}(\cos\omega t-1)
\]
Esta es también una función oscilante. La barra baja hasta una altura
mínima de valor
\[
y_\mathrm{min}=y_0-\frac{2g}{\omega^2}=y_0-\frac{2 g m L}{b^2B_0^2}
\]
Si este valor no es negativo, lo que indicaría que la barra ha salido
del campo magnético, la barra comienza a subir de nuevo hasta la
posición inicial.
\item En cuanto a la energía, obtenemos su ecuación
multiplicando la ecuación de movimiento por la velocidad
\[
m v\dtot{v}{t}=-m g v+ IbB_0 v
\]
Reagrupando términos resulta
\[
mv\dtot{v}{t}+mgv=I v b B_0
\]
o, equivalentemente,
\[
\dtot{\
}{t}\left(\frac{1}{2}mv^2+mgy\right)=-I\fem
\]
Esta ecuación expresa que la disminución de la energía mecánica,
cinética más potencial, se debe al trabajo realizado sobre la
corriente.

Para el caso de una resistencia, esta ecuación se convierte en
\[
\dtot{W_\mathrm{mec}}{t}=-I^2R
\]
Dado que el segundo miembro es siempre negativo, esta ecuación nos
dice que la energía mecánica se esta perdiendo, en forma de calor,
debido a la acción del campo magnético.

Si se trata de un condensador tenemos
\[
\dtot{W_\mathrm{mec}}{t}=-I
\frac{Q}{C}=-\frac{1}{C}Q\dtot{Q}{t}=-\dtot{\
}{t}\left(\frac{Q^2}{2C}\right)
\]
o, equivalentemente,
\[
\frac{1}{2}mv^2+mgy+\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}=
W_\mathrm{mec}+W_e=\mathrm{cte}
\]
En este caso no hay pérdida de energía, sino que la energía potencial
gravitatoria se transforma en parte en energía cinética y en parte en
energía eléctrica almacenada en el condensador.

Por último, para el caso de una autoinducción, se tiene que
\[
\dtot{W_\mathrm{mec}}{t}=-LI\dtot{I}{t}=
-\dtot{\ }{t}\left(\frac{1}{2}LI^2\right)
\]
o, lo que es lo mismo,
\[
\frac{1}{2}mv^2+mgy+\frac{1}{2}LI^2=W_\mathrm{mec}+W_m=
\mathrm{cte}
\]
Esta situación es similar a la del condensador, sólo que la energía
mecánica se transforma en energía magnética. Esta energía es
convertida en energía mecánica de nuevo, siguiendo un proceso
oscilante.
\end{listnum}
\end{solucion}