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==Fuerza sobre cargas puntuales==
===Ley de Lorentz===
Según se ve en el tema de ''[[Electrostática en el vacío]]'', la fuerza eléctrica sobre una carga puntual en reposo viene dada por

<center><math>\mathbf{F}=q\mathbf{E}(\mathbf{r})</math></center>

Sin embargo, si dicha carga se encuentra en movimiento, la experiencia muestra que se ve sometida a una fuerza adicional. Esta fuerza, que llamaremos ''fuerza magnética'', verifica que es:

* Proporcional a la carga
* Proporcional al módulo de su velocidad
* Perpendicular a la velocidad

Con estas condiciones, la fuerza magnética debe ser de la forma

<center><math>\mathbf{F}_m=q\mathbf{v}\times\mathbf{B}(\mathbf{r})</math></center>

siendo <math>\mathbf{B}</math> un nuevo campo, conocido como campo magnético. La fuerza total sobre una carga puntual es entonces

<center><math>\mathbf{F}=q\left(\mathbf{E}(\mathbf{r})\mathbf{v}\times\mathbf{B}(\mathbf{r})\right)</math></center>

Esta expresión, que es válida en general, tanto para situaciones estáticas como dinámicas, se denomina ''Fuerza de Lorentz''.

===Unidades del campo magnético===
De la expresión de la fuerza magnética resulta que, en el SI, <math>\mathbf{B}</math> se mide en

<center><math>[B] = \frac{{[F]}}{{[q][v]}} = \frac{{\left( {1\,{\rm{N}}} \right)}}{{\left( {1{\rm{C}}} \right)\,\left( {1{\rm{m}}/{\rm{s}}} \right)}} = \frac{{1\,{\rm{N}}}}{{{\rm{A}}\cdot{\rm{m}}}} = 1\,{\rm{T}}</math></center>
 
A esta unidad se la denomina ''Tesla'', en honor del científico e ingeniero Nikola Tesla.

===¿Y los imanes?===
El concepto de campo magnético suele asociarse sobre todo con los imanes. Sin embargo, las experiencias de Øersted de 1820 mostraron que:
Las corrientes eléctricas producen fuerzas magnéticas sobre los imanes.

A partir de ahí, Ampère por un lado y Biot y Savart por otro, postularon la expresión simétrica: 

<blockquote>''Los imanes producen fuerzas magnéticas sobre las corrientes eléctricas''</blockquote>

Y por tanto

<blockquote>''Las corrientes eléctricas producen fuerzas magnéticas entre sí''</blockquote>

Ampère postuló además que también las fuerzas magnéticas entre imanes son interacciones entre corrientes. 
Puesto que las corrientes eléctricas no son más que conjuntos de cargas en movimiento:

<blockquote>''El magnetismo se reduce a la interacción entre cargas''</blockquote>

===La regla de la mano derecha===
Es indispensable al estudiar el campo magnético: Si el índice apunta según v y el corazón según B, el pulgar indica la fuerza.

<center>[[Imagen:reglamanoderecha.gif]]</center>

==Movimiento de una carga en un campo magnético==
¿Cómo se conocen las propiedades de la fuerza magnética indicadas anteriormente? 
Una posibilidad es estudiando el movimiento de una carga en un campo uniforme. 

Supongamos un campo magnético <math>\mathbf{B} = B \mathbf{u}_z</math>, y una carga q que penetra en el campo con velocidad inicial v0. Tenemos tres casos: 

===Velocidad inicial paralela===
En este caso la fuerza inicial es nula
 
<center><math>\left.m\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = \mathbf{F} = q\mathbf{v}_0\times\mathbf{B}=\mathbf{0}</math></center>

La velocidad no cambia ni entonces ni más tarde, por lo que el movimiento es rectilíneo y uniforme paralelo a <math>B</math>

===Velocidad inicial perpendicular===
Como la fuerza es perpendicular a <math>\mathbf{B}</math>, se cumple que <math>\mathbf{v}\perp\mathbf{B}</math> en todo instante.

Escribiendo la 2ª ley de Newton en componentes intrínsecas
 
<center><math>m\left(\mathbf{a}_t + \mathbf{a}_n\right) = q(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\qquad \left(\perp\mathbf{v}\right)</math></center>

La fuerza es puramente normal a <math>\mathbf{v}</math>, por lo que la aceleración tangencial es nula
 
<center><math>a_t = \frac{\mathrm{d}\left|\mathbf{v}\right|}{\mathrm{d}t} = 0</math>{{tose}}<math>\left|\mathbf{v}\right| = \left|\mathbf{v}_0\right| =\mathrm{cte}</math></center>

y, al ser la celeridad constante

<center><math>a_n = \frac{v_0^2}{R} = \frac{qv_0B}{m}</math>{{tose}}<math>R = \frac{{m{v_0}}}{{qB}} = \mathrm{cte.}</math></center>
 
Resultan una celeridad y un radio de curvatura constantes, por tanto el movimiento es circular y uniforme alrededor del campo magnético.

<center>[[Imagen:orbitas-B.gif|300px]]</center>

===Velocidad inicial arbitraria===
Descomponiendo el movimiento en los dos casos anteriores, resulta una superposición de un movimiento circular alrededor del campo, combinado con uno rectilíneo paralelo a éste.

El resultado es un movimiento helicoidal uniforme

<center>[[Imagen:mov-helicoidal.png|300px]]</center>

==Fuerza sobre una distribución de corriente==
Normalmente las cargas eléctricas no están aisladas, sino agrupadas por millones formando una distribución de corriente. La fuerza neta sobre la distribución será la resultante de las fuerzas individuales
	 
<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m} = \sum_{q_i} q_i\left(\mathbf{v}_i\times\mathbf{B}(\mathbf{r}_i)\right)</math></center>
	
Como en otras ocasiones, no resulta factible hallar la fuerza mediante el sumatorio, ya que para empezar desconocemos la posición y la velocidad de cada partícula, ni siquiera sabemos cuántas hay. Por ello, es necesario pasar a una descripción macroscópica. Supongamos que tenemos un volumen τ, en el interior del cual hay una distribución de corriente de volumen J. La fuerza neta sobre la distribución es
	 
<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m} = \int_\tau  \mathbf{J} \times \mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

El mismo razonamiento que para una distribución volumétrica se puede aplicar a una superficial, resultando la fuerza

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m} = \int_\tau  \mathbf{K} \times \mathbf{B}\,\mathrm{d}S</math></center>

===Demostración===
En lugar de sumar las cargas en cualquier orden, dividimos el volumen en elementos <math>\Delta\tau</math>, y sumamos primero dentro de cada elemento

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}= \sum_{q_i} q_i\left(\mathbf{v}_i\times\mathbf{B}(\mathbf{r}_i)\right)=\sum_{\Delta\tau}\left(\sum_{q_i\in\Delta \tau}q_i\left(\mathbf{v}_i\times\mathbf{B}(\mathbf{r}_i)\right)\right)</math></center>
 
Hacemos la aproximación de que, dentro de un elemento, todas las cargas ven el mismo campo promedio y se puede sacar como factor común

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}= \sum_{\Delta\tau}\left(\sum_{q_i\in\Delta \tau}q_i\left(\mathbf{v}_i\times\mathbf{B}(\mathbf{r}_i)\right)\right)\simeq \sum_{\Delta\tau}\left(\sum_{q_i\in\Delta \tau}q_i\left(\mathbf{v}_i\right)\right)\times\mathbf{B}(\mathbf{r})</math></center> 

El sumatorio de las cargas por las velocidades equivale a la densidad de corriente por el elemento de volumen

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}\simeq \sum_{\Delta\tau}\left(\sum_{q_i\in\Delta \tau}q_i\left(\mathbf{v}_i\right)\right)\times\mathbf{B}(\mathbf{r})=\sum_{\Delta\tau}\Delta\tau\,\mathbf{J}\times\mathbf{B}(\mathbf{r})</math></center>  

Y, considerando los elementos como de tamaño diferencial, resulta finalmente la integral

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m} = \int_\tau  \mathbf{J} \times \mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Aunque en el proceso hemos realizado algunas aproximaciones, en el límite <math>\Delta\tau\to 0</math> se convierten en identidades.

==Fuerza sobre una corriente lineal==
El caso importante de la fuerza sobre una corriente filiforme puede deducirse de la expresión para una distribución volumétrica. El resultado es que si tenemos una corriente <math>I</math> circulando a lo largo de una curva <math>\Gamma</math> (abierta o cerrada) la fuerza magnética sobre la corriente es<center>

<math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=I\int_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{B}</math></center>

===Demostración===
Una corriente filiforme no es más que una corriente de volumen en el interior de un tubo. Podemos tomar como elemento de volumen un segmento de ese tubo, cumpliéndose <math>\mathrm{d}\tau = \mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}</math> (volumen igual a base por altura), por lo que
 
<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m} = \int_\tau  \mathbf{J} \times \mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau   = \int_\Gamma \int_S \mathbf{J} \times \mathbf{B}\,\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}</math></center>

En un cable, tanto la densidad de corriente <math>\mathbf{J}</math> como el desplazamiento <math>\mathrm{d}\mathbf{r}</math> son vectores que apuntan a lo largo del cable, <math>\mathbf{J} = J\mathbf{u}</math>, <math>\mathrm{d}\mathbf{r} = \mathrm{d}l\mathbf{u}</math>. Por tanto, en la expresión anterior pueden intercambiarse

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}  =\int_\Gamma \int_S \mathbf{J} \times \mathbf{B}\,\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}  = \int_\Gamma  \int_S J\left(\mathbf{u} \times \mathbf{B}\right)\left(\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\mathbf{u}\right)\,\mathrm{d}l  = \int_\Gamma  \int_S \left( \mathrm{d}\mathbf{r} \times\mathbf{B}\right)\left(\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\mathbf{J}\right)</math></center>

La integral sobre una sección del cable de la densidad de corriente no es otra cosa que la intensidad de corriente <math>I</math>, que es la misma a todo lo largo del cable. Por tanto

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int_S \left(\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\mathbf{J}\right)\int_\Gamma  \left( \mathrm{d}\mathbf{r} \times\mathbf{B}\right)=I\int_\Gamma  \mathrm{d}\mathbf{r} \times\mathbf{B}</math></center>

===Espira sumergida totalmente en un campo===
[[Imagen:espiratotal.gif|left|300px]]Supongamos una espira cerrada por la que circula una corriente <math>I</math>, completamente inmersa en un campo magnético uniforme <math>\mathbf{B}_0</math>. ¿Cuánto vale la fuerza sobre la espira?
 
Al ser el campo uniforme, se puede extraer de la integral (¡ojo al orden!)

<center><math>\mathbf{F}_\mathbf{m}= I\oint_\Gamma  \mathrm{d}\mathbf{r} \times \mathbf{B}  = I\left( \oint_\Gamma  \mathrm{d}\mathbf{r}\right) \times \mathbf{B}_0 = \mathbf{0}</math></center>

La integral sobre una curva cerrada de dr, es Δr, el desplazamiento entre el punto inicial y el final, que se anula para una curva cerrada.

===Espira sumergida parcialmente en un campo===

[[Categoría:Campo magnético de corrientes estacionarias|10]]