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==Enunciado==
Un anillo de radio R se encuentra en el plano OXY con centro el origen de coordenadas. El anillo almacena una distribución de carga con densidad lineal

<center><math>\lambda=\lambda_0\cos^2\left(\frac{\theta'}{2}\right)</math></center>

siendo θ' el ángulo que forma con el eje OX el vector de posición de los puntos del anillo. Para esta distribución, halle
# La carga total almacenada
# El potencial eléctrico en el origen de coordenadas
# El campo eléctrico en el origen de coordenadas.

==Carga total==
La carga total es la suma de la de todos los elementos que forman el anillo

<center><math>Q=\int_Q \mathrm{d}q=\int \lambdaº,\mathrm{d}\ell'=\int_{-\pi}^\pi \lambda_0\cos^2\left(\frac{\theta'}{2}\right)\,R\,\mathrm{d}\theta'</math></center>

El resultado de esta integral es

<center><math>Q=\lambda_0 R\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2\left(\frac{\theta'}{2}\right)\mathrm{d}\theta'=\frac{\lambda_0 R}{2}\int_{-\pi}^\pi (1-\cos(\theta'))\mathrm{d}\theta'=\lambda_0\pi R</math></center>
==Potencial en el centro==
Para el potencial en un punto del espacio, la expresión general es

<center><math>V(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\mathrm{d}q'}{|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}|}</math></center>

En este caso <math>\vec{r}=\vec{0}</math> ya que queremos el potencial en el centro del anillo. Por tanto

<center><math>|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}|=|\vec{r}^{\,\prime}| = R</math></center>

para todos los puntos del anillo. Por ello

<center><math>V(\vec{0})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\mathrm{d}q'}{R}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0R}\int \mathrm{d}q'=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}=\frac{\lambda_0}{4\varepsilon_0}</math></center>
==Campo en el centro==
El campo eléctrico en cualquier punto del espacio se cacula mediante la integral

<center><math>\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{(\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime})\mathrm{d}q'}{|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}}</math></center>

Por la misma razón que para el potencial

<center><math>\vec{E}(\vec{0})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0R^3}\int (-\vec{r}^{\,\prime})\mathrm{d}q'</math></center>

Nótese que en el numerador si hay que mantener el vector <math>\vec{r}^{\,\prime}</math> ya que no es constante en la integral. Sólo su módulo lo es. Para los términos que aparecen

<center><math>\vec{r}'=R\left(\cos(\theta')\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\theta')\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad \mathrm{d}q'=\frac{\lambda_0(1+\cos(\theta')}{2}R\,\mathrm{d}\theta'</math></center>

lo que nos da

<center><math>\vec{E}(\vec{0})=-\frac{\lambda_0}{8\pi\varepsilon_0R}\int_{-\pi}^\pi \left(\cos(\theta')\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\theta')\vec{\jmath}\right)\left(1+\cos(\theta')\right)\,\mathrm{d}\theta'=-\frac{\lambda_0}{8\varepsilon_0R}\vec{\imath}</math></center>

[[Categoría:Problemas de electrostática en el vacío (GIOI)]]