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==Enunciado==
Una partícula se mueve con aceleración constante, de forma que en tres instantes sucesivos ocupa las siguientes posiciones
{| class="bordeado"
|-
! <math>t (\mathrm{s})</math>
! <math>\vec{r} (\mathrm{m})</math>
|-
| <math>0\,</math>
| <math>-0.60\vec{\jmath}+0.80\vec{k}</math>
|-
| <math>1\,</math>
| <math>1.70\vec{\imath}-1.08\vec{\jmath}+0.44\vec{k}</math>
|-
| <math>2\,</math>
| <math>4.80\vec{\imath}+2.28\vec{\jmath}+2.96\vec{k}</math>
|}

# Halle la velocidad media en el intervalo (0&thinsp;s, 2s)
# Demuestre que la velocidad instantánea inicial (en ''t''&thinsp;=&thinsp;0&thinsp;s) vale
\vec{v}_0=(1.00\vec{\imath}-2.40\vec{\jmath}-1.80\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s} y la aceleración del movimiento en este intervalo es <math>\vec{a}=(1.40\vec{\imath}+3.84\vec{\jmath}+2.88\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math>
# Para el instante ''t''&thinsp;=&thinsp;1&thinsp;s, halle:
## La velocidad, la rapidez y la aceleración instantáneas
## La aceleración tangencial y la aceleración normal (escalares)
## Los vectores del triedro de Frenet <math>\left\{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\right\}</math>
## El radio de curvatura y el centro de curvatura.

==Velocidad media==
'''En lo que sigue todas las cantidades con dimensiones están en las unidades fundamentales del SI: m, s o combinaciones de estos'''.

La velocidad media en un intervalo es el ''vector''

<center><math>\vec{v}_m=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}</math></center>

que en el intervalo (0&thinsp;s,2&thinsp;s) da

<center><math>\vec{v}_m=\frac{\vec{r}_2-\vec{r}_0}{t_2-t_0}=\frac{\left(4.80\vec{\imath}+2.28\vec{\jmath}+2.96\vec{k}\right)-\left(-0.60\vec{\jmath}+0.80\vec{k}\right)}{2}=\left(2.40\vec{\imath}+1.44\vec{\jmath}+1.08\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

==Velocidad inicial y aceleración==
Al ser un movimiento de aceleración constante (aunque no rectilíneo; en general este tipo de movimientos es parabólico), la posición y la velocidad cumplen, en cada instante

<center><math>\vec{r}(t)=\vec{r}_0+\vec{v}_0t+\frac{1}{2}\vec{a}_0t^2\qquad\qquad \vec{v}(t)=\vec{v}_0+\vec{a}_0t</math></center>

Para determinar los coeficientes de una parábola basta imponer la posición de tres puntos. En este caso en concreto ya tenemos el coeficiente <math>\vec{r}_0</math>. Aplicando la ecuación del movimiento con aceleración constante a los instantes ''t''&thinsp;=&thinsp;1&thinsp;s y ''t''&thinsp;=&thinsp;2s queda

<center><math>\vec{r}_1=\vec{r}(t=1)=\vec{r}_0+\vec{v}_0+\frac{1}{2}\vec{a}_0</math></center>

y

<center><math>\vec{r}_2=\vec{r}(t=2)=\vec{r}_0+2\vec{v}_0+2\vec{a}_0</math></center>

Sustituimos los vectores de posición y obtenemos el sistema

<center><math>
\begin{array}{rcccl}\vec{v}_0+\dfrac{1}{2}\vec{a}_0 &= & \vec{r}_1-\vec{r}_0 & = & 1.70\vec{\imath} -0.48\vec{\jmath}-0.36\vec{k}\\ &&&& \\
\vec{v}_0+\vec{a}_0& =& \dfrac{\vec{r}_2-\vec{r}_0}{2}& = & 2.40\vec{\imath}+1.44\vec{\jmath}+1.08\vec{k}\end{array}</math></center>

(este úlltimo vector ya lo habíamos calculado en el primer apartado). Restamos la primera de la segunda y hallamos la aceleración

<center><math>\vec{a}_0=(1.40\vec{\imath}+3.84\vec{\jmath}+2.88\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math></center>

y restando la segunda del doble de la primera hallamos la velocidad inicial

<center><math>\vec{v}_0=(1.00\vec{\imath}-2.40\vec{\jmath}-1.80\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}</math></center>

Alternativamente, como en el propio enunciado se da el resultado, es posible probarlo comprobando que en ''t''&thinsp;=&thinsp;1&thinsp;s y en ''t''&thinsp;=&thinsp;2&thinsp;s se obtiene el resultado dado en la tabla (hace falta sustituir en los dos instantes, no basta uno).

==Magnitudes en t = 1s==
===Velocidad, rapidez y aceleración===
Por tratarse de un movimiento con aceleración constante, la aceleración en ''t''&thinsp;=&thinsp;1&thinsp;s es la misma que en ''t''&thinsp;=&thinsp;0&thinsp;s

<center><math>\vec{a}_1=\vec{a}_0=(1.40\vec{\imath}+3.84\vec{\jmath}+2.88\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math></center>

mientras que la velocidad en este instante vale

<center><math>\vec{v}_1=\vec{v}(t=1)=\vec{v}_0+\vec{a}_0=2.40\vec{\imath}+1.44\vec{\jmath}+1.08\vec{k}</math></center>

Esta velocidad instantánea coincide con la velocidad media calculada en el primer apartado. Es una cosnecuencia del movimiento con aceleración constante: en un intervalo, la velocidad media coincide con la media aritmética de las velocidades en los extremos y con la velocidad instantánea en el centro del intervalo.

La rapidez es el módulo de esta velocidad

<center><math>\left|\vec{v}\right|=\sqrt{2.40^2+1.44^2+1.08^2}=3.00\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
===Componentes intrínsecas de la aceleración===
====Aceleración tangencial====
Calculamos primero el vector tangente normalizando la velocidad

<center><math>\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=0.80\vec{\imath}+0.48\vec{\jmath}+0.36\vec{k}</math></center>

y calculamos la aceleración tangencial proyectando la aceleración sobre este vector

<center><math>a_t=\vec{a}\cdot\vec{T}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}=1.40\times 0.80+3.84\times 0.48+2.88\times 0.36=4.00\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>

El vector aceleración tangencial será esta cantidad escalar multiplicada por el vector tangente

<center><math>\vec{a}_t=a_t\vec{T}=\left(3.20\vec{\imath}+1.92\vec{\jmath}+1.44\vec{k}\right)\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>

====Aceleración normal====
Una vez que tenemos la aceleración tangencial podemos hallar el vector aceleración normal restando los vectores

<center><math>\vec{a}_n=\vec{a}-\vec{a}_t=\left(-1.80\vec{\imath}+1.92\vec{\jmath}+1.44\vec{k}\right)\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>

y una vez que la tenemos, calculamos su módulo para obtener la aceleración normal escalar

<center><math>a_n=|\vec{a}_n|=\sqrt{1.80^2+1.92^2+1.44^2}=3.00\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>

Alternativamente, si solo deseamos la cantidad escalar podemos hallarla empleando el teorema de Pitágoras

<center><math>a_n=\sqrt{|\vec{a}|^2-a_t^2}=\sqrt{25-16}=3.00\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>

o con la fórmula a partir de la velocidad y la aceleración

<center><math>a_n=|\vec{T}\times\vec{a}|=\frac{|\vec{v}\times\vec{a}|}{|\vec{v}|}</math></center>

===Triedro de Frenet===
El vector tangente ya lo hemos calculado

<center><math>\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=0.80\vec{\imath}+0.48\vec{\jmath}+0.36\vec{k}</math></center>

El vector normal lo podemos obtener normalizando el vector aceleración normal, si lo hemos calculado

<center><math>\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{a_n}=\frac{-1.80\vec{\imath}+1.92\vec{\jmath}+1.44\vec{k}}{3}=-0.60\vec{\imath}+0.64\vec{\jmath}+0.48\vec{k}</math></center>

y, una vez que tenemos estos dos vectores calculamos el binormal mediante el producto vectorial

<center><math>\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath}& \vec{\jmath}& \vec{k} \\ 0.8 & 0.48 & 0.36 \\ -0.60 & 0.64 & 0.48\end{matrix}\right|=-0.60\vec{\jmath}+0.80\vec{k}</math></center>

Alternativamente, podemos hallar en primer lugar el vector binormal como el unitario perpendicular a la velocidad y la aceleración

<center><math>\vec{B}=\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{|\vec{v}\times\vec{a}|}</math></center>

y luego el normal a partir de éste y el tangente

<center><math>\vec{N}=\vec{B}\times\vec{T}</math></center> 

===Radio y centro de curvatura===
El radio de curvatura se halla a partir de la rapidez y la aceleración

<center><math>R=\frac{|\vec{v}|^2}{a_n}=\frac{|\vec{v}|^3}{|\vec{v}\times\vec{a}|}=\frac{9}{3}=3\,\mathrm{m}</math></center>

El centro de curvatura se halla prolongando el vector de posición en la dirección del vector normal

<center><math>\vec{r}_c=\vec{r}_1+R\vec{N}=(1.70\vec{\imath}-1.08\vec{\jmath}+0.44\vec{k})+3(-0.60\vec{\imath}+0.64\vec{\jmath}+0.48\vec{k})=\left(-0.10\vec{\imath}+0.84\vec{\jmath}+1.88\vec{k}\right)\mathrm{m}</math></center>
[[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional de la partícula (GIE)]]