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==Enunciado==
Una nave viaja por el espacio recorriendo 150&thinsp;km con una velocidad <math>\vec{v}_1=100\vec{\imath}+50\vec{\jmath}+100\vec{k}</math> (m/s), da un quiebro instantáneo y recorre otros 150&thinsp;km con velocidad <math>\vec{v}_2=60\vec{\imath}+80\vec{k}</math> (m/s). Calcule

# La distancia recorrida y la rapidez media.
# El desplazamiento y la velocidad media en el recorrido.
# Supongamos que el quiebro no es instantáneo, sino que lo hace con aceleración constante, empleando un tiempo de 25\,min en la maniobra. ¿Cuál es en ese caso el desplazamiento total y la velocidad media del trayecto?
==Distancia y rapidez media==
La distancia total recorrida es evidentemente 300&thinsp;km. El tiempo empleado en recorrer cada tramo lo obtenemos a partir de la rapidez en cada uno.

<center><math>|\vec{v}_1| =\sqrt{100^2+50^2+100^2}=150\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\qquad \qquad \Delta t_1 = \frac{150000\,\mathrm{m}}{150\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}=1000\,\mathrm{s}</math></center>

y

<center><math>|\vec{v}_2| =\sqrt{60^2+80^2}=100\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\qquad \qquad \Delta t_2 = \frac{150000\,\mathrm{m}}{100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}=1500\,\mathrm{s}</math></center>

lo que da el intervalo total

<center><math>\Delta t = 1000\,\mathrm{s}+1500\,\mathrm{s}=2500\,\mathrm{s}</math></center>

y la rapidez media

<center><math>|\vec{v}|_m=\frac{300000}{2500}=120\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

==Desplazamiento y velocidad media==
El desplazamiento en cada tramo lo hallamos a partir de la velocidad y el intervalo de tiempo de cada uno

<center><math>\Delta \vec{r}_1=\vec{v}_1\,\Delta t_1=(100\vec{\imath}+50\vec{\jmath}+100\vec{k})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot 1000\,\mathrm{s}=(100\vec{\imath}+50\vec{\jmath}+100\vec{k})\mathrm{km}</math></center>

y

<center><math>\Delta \vec{r}_2=\vec{v}_2\,\Delta t_1=(60\vec{\imath}+80\vec{k})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot 1500\,\mathrm{s}=(90\vec{\imath}+120\vec{k})\mathrm{km}</math></center>

siendo el desplazamiento total

<center><math>\Delta\vec{r}=\Delta\vec{r}_1+\Delta\vec{r}_2=(190\vec{\imath}+50\vec{\jmath}+220\vec{k})\mathrm{km}</math></center>

y la velocidad media

<center><math>\vec{v}_m=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\frac{(190\vec{\imath}+50\vec{\jmath}+220\vec{k})\mathrm{km}}{2500\,\mathrm{s}}=(76\vec{\imath}+20\vec{\jmath}+88\vec{k})\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

==Movimiento acelerado==
Si entre las dos velocidades hay un movimiento acelerado, con aceleración constante

<center><math>\vec{a}=\frac{\vec{v}_2-\vec{v}_1}{\Delta t}=-\frac{40\vec{\imath}+50\vec{\jmath}+20\vec{k}}{1500}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>

En un movimiento de aceleración constante, la velocidad media en un intervalo es la media entre las velocidades en los extremos

<center><math>\vec{v}_{m3}=\frac{\vec{v}_1+\vec{v}_2}{2}=\left(80\vec{\imath}+25\vec{\jmath}+90\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

por lo que el desplazamiento en este periodo intermedio es

<center><math>\Delta \vec{r}_3=(\vec{v}_{m3}\Delta t_3=(120\vec{\imath}+37.5\vec{\jmath}+135\vec{k})\mathrm{km}</math></center>

Sumando esta cantidad al desplazamiento de los dos tramos rectos queda

<center><math>\Delta \vec{r}=(310\vec{\imath}+87.5\vec{\jmath}+355\vec{k})\mathrm{km}</math></center>

siendo el intervalo de tiempo total

<center><math>\Delta t = (1000+1500+1500)\,\mathrm{s}=4000\,\mathrm{s}</math></center>

y la velocidad media

<center><math>\vec{v}_m=(77.5\vec{\imath}+ 21.9\vec{\jmath}+88.8\vec{k})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>