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==Enunciado==
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El disco móvil de centro <math>A\,</math> y radio <math>R\,</math> (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el disco fijo de centro <math>O\,</math> y radio <math>2R\,</math> (sólido "1"). Los centros de ambos discos se encuentran articulados a los extremos de una varilla (sólido "0") que rota con velocidad angular constante <math>\vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_0\,</math> (ver figura).

# ¿Dónde se hallan los centros instantáneos (o permanentes) de rotación <math>I_{20}\,</math> e <math>I_{21}\,</math>?
# Determine la velocidad instantánea <math>\vec{v}^{B}_{21}\,</math>
# Determine la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{20}\,</math>



==Centros instantáneos (o permanentes) de rotación==
Se nos indica que el disco móvil (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el disco fijo (sólido "1"). La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {21} coincide con el punto de contacto entre ambos discos:
<center><math>
I_{21}\equiv C\,
</math></center>

Por otra parte, el centro del disco móvil (sólido "2") se halla articulado al extremo <math>A\,</math> de la varilla (sólido "0"). Por tanto, dicho punto <math>A\,</math> es un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento {20}:
<center><math>
I_{20}\equiv A\,
</math></center>

Análogamente, el extremo <math>O\,</math> de la varilla (sólido "0") está articulado al centro del disco fijo (sólido "1"). Por tanto, dicho punto <math>O\,</math> es un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento {01}:
<center><math>
I_{01}\equiv O\,
</math></center>

Tener localizado el centro instantáneo o permanente de rotación de un movimiento plano (único punto con velocidad nula) nos permite relacionar la velocidad de un punto arbitrario (por ejemplo, <math>P\,</math>) y la velocidad angular correspondientes a dicho movimiento:
<center><math>
\vec{v}^{\, P}_{21}=\underbrace{\vec{v}^{\, C}_{21}}_{=\,\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CP}=\vec{\omega}_{21}\times\,\overrightarrow{CP} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{v}^{\, P}_{20}=\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{20}}_{=\,\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{AP}=\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{AP} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{v}^{\, P}_{01}=\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{01}}_{=\,\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\,\overrightarrow{OP}=\vec{\omega}_{01}\times\,\overrightarrow{OP}
</math></center>

==Velocidad instantánea {21} de B==
Mediante la ley de composición de velocidades, calculamos primero la velocidad {21} del punto <math>A\,</math> (recuérdese que <math>I_{20}\equiv A\,</math>):
<center><math>
\vec{v}^{\, A}_{21}=\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{20}}_{=\,\vec{0}}+\,\,\vec{v}^{\, A}_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}=\Omega\,\vec{k}_0\times 3R\,\vec{\imath}_0=3\Omega R\,\vec{\jmath}_0
</math></center>

A continuación, deducimos el valor de <math>\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\,\vec{k}_0\,</math> (dirección obligada para la velocidad angular de un movimiento plano paralelo a <math>OX_0Y_0\,</math>) a partir de su necesaria relación con <math>\vec{v}^{\, A}_{21}\,</math>:
<center><math>
\vec{v}^A_{21}=\vec{\omega}_{21}\,\times\,\overrightarrow{CA}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,3\,\Omega R\,\vec{\jmath}_0=\omega_{21}\,\vec{k}_0\,\times\, R\,\vec{\imath}_0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,3\,\Omega R\,\vec{\jmath}_0=\omega_{21} R\,\vec{\jmath}_0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\omega_{21}=3\,\Omega\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{\omega}_{21}=3\Omega\,\vec{k}_0
</math></center>

Y conocida <math>\vec{\omega}_{21}\,</math>, es ya inmediato el cálculo de <math>\vec{v}^{\, B}_{21}\,</math>:
<center><math>
\vec{v}^B_{21}=\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CB}=3\Omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0=6\Omega R\vec{\jmath}_0
</math></center>

==Velocidad angular {20}==
La velocidad angular del movimiento {20} se puede obtener fácilmente a partir de la ley de composición de velocidades angulares:
<center><math>
\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{01}=3\Omega\,\vec{k}_0-\Omega\,\vec{k}_0=2\Omega\,\vec{k}_0
</math></center>

==Procedimiento alternativo (más elegante)==
===Velocidad instantánea {21} de B===
De acuerdo con la ecuación del campo de velocidades:

<center><math>\vec{v}^B_{21}=\vec{v}^A_{21}+\,\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AB}</math></center>

Si esta misma ecuación la aplicamos al punto C, cuya velocidad en el movimiento {21} sabemos que es nula:

<center><math>\vec{0}=\vec{v}^{\, C}_{21}=\vec{v}^A_{21}+\,\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC}</math></center>

pero C es el punto diametralmente opuesto a B:

<center><math>\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}</math></center>

lo que nos da:

<center><math>\vec{0}=\vec{v}^A_{21}-\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AB}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AB}=\vec{v}^A_{21}</math></center>

que llevado a la ecuación para la velocidad de B nos da:

<center><math>\vec{v}^B_{21}=\vec{v}^A_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AB}=2\vec{v}^A_{21}</math></center>

Necesitamos hallar la velocidad del centro del disco "2". Aplicando la ley de composición de velocidades:

<center><math>\vec{v}^A_{21}=\underbrace{\vec{v}^A_{20}}_{=\,\vec{0}} +\, \vec{v}^A_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}</math></center>

De aquí:

<center><math>\vec{v}^B_{21}=2\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}=\left(2\Omega\,\vec{k}_0\right)\times\left[(2R+R)\,\vec{\imath}_0\right]=6\Omega R\,\vec{\jmath}_0</math></center>

===Velocidad angular {20}===
La velocidad angular del movimiento {20} la podemos obtener recurriendo de nuevo a que los discos ruedan sin deslizar uno sobre otro y por tanto el punto C es el CIR del movimiento {21}. Por la ley de composición de velocidades:

<center><math>\vec{0}=\vec{v}^{\, C}_{21}=\vec{v}^{\, C}_{20}+\vec{v}^{\, C}_{01}</math></center>

siendo la velocidad relativa:

<center><math>\vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{I_{20}C}=\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{AC}</math></center>

que expresada en componentes da:

<center><math>\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{k}_0\qquad \overrightarrow{AC}=-R\,\vec{\imath}_0\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}^C_{20}=-\omega_{20}R\,\vec{\jmath}_0</math></center>

Por su parte, la velocidad de arrastre vale:

<center><math>\vec{v}^{\, C}_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{I_{01}C}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OC}</math></center>

que expresada en componentes es:

<center><math>\vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_0\qquad \overrightarrow{OC}=2R\,\vec{\imath}_0\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}^{\, C}_{01}=2\Omega R\,\vec{\jmath}_0</math></center>

Llevando estas dos expresiones a la velocidad absoluta nos queda:

<center><math>\vec{0}=\left(-\omega_{20}R+2\Omega R\right)\,\vec{\jmath}_0</math></center>

y por tanto:

<center><math>\omega_{20}=2\Omega\qquad\Rightarrow\qquad \vec{\omega}_{20}=2\Omega\,\vec{k}_0</math></center>

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