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==[[Formulas potencialmente incorrectas]]==
De las siguientes expresiones, indique cuáles son necesariamente incorrectas. Aquí las diferentes letras representan las magnitudes definidas en el problema de [[ejemplos de análisis dimensional]], <math>R</math> es una distancia y <math>\vec{r}</math> el vector de posición; <math>t</math> es el tiempo:

:(a) <math>\vec{F} = m\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{\vec{v}}</math>

:(b) <math>\vec{F}\times(\vec{v}\times\vec{a}) = (\vec{p}\cdot\vec{a})\times\vec{a}</math>

:(c) <math>\frac{\vec{L}}{R} = \vec{F}t-\vec{v}</math>

:(d) <math>(\vec{r}\times\vec{p})\vec{L} = R(\vec{r}\cdot\vec{p})\vec{p}</math>

:(e) <math>\frac{\vec{F}-\vec{p}/t}{m} =  \frac{\vec{r}-\vec{v}t}{t^2-t}</math>

:(f) <math>\frac{1}{\vec{r}} = \frac{\vec{r}}{r^2}</math>

:(g) <math>L  = \vec{r}\times\vec{p}</math>

:(h) <math>\frac{W}{t} = \vec{F}\times\left(\vec{v}-\frac{R}{t}\right)</math>

==[[Ejemplo de clasificación de vectores]]==
De los siguientes vectores ligados con sus respectivos puntos de aplicación:

:a) <math>\vec{v}_1 = 2\vec{\imath}-\vec{\jmath} + \vec{k}</math> en <math>A(3,1,1)\,</math>
:b) <math>\vec{v}_2 = 2\vec{\imath}+\vec{\jmath} + \vec{k}</math> en <math>B(1,2,0)\,</math>
:c) <math>\vec{v}_3 = 2\vec{\imath}-\vec{\jmath} + \vec{k}</math> en <math>C(-1,3,-1)\,</math>
:d) <math>\vec{v}_4 = 2\vec{\imath}-\vec{\jmath} + \vec{k}</math> en <math>D(-3,4,-1)\,</math>
:e) <math>\vec{v}_5 = 2\vec{\imath}+\vec{\jmath} + \vec{k}</math> en <math>E(7,5,3)\,</math>

indique cuáles pueden representar al mismo vector deslizante y cuáles al mismo vector libre.

==[[Paralelogramo en cuadrilátero]]==
Sea ABCD un cuadrilátero arbitrario. Demuestre, usando el álgebra vectorial, que los puntos medios de sus cuatro lados constituyen los vértices de un paralelogramo.

==[[Arco capaz]]==
Sean <math>A</math> y <math>B</math> dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea <math>P</math> otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores <math>\overrightarrow{AP}</math> y <math>\overrightarrow{BP}</math> son ortogonales.

Inversamente, sean <math>A</math>, <math>B</math> y <math>P</math> tres puntos tales que <math>\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{BP}</math>. Sea <math>C</math> el punto medio entre <math>A</math> y <math>B</math>. Pruebe que <math>|\overrightarrow{CP}| = |\overrightarrow{CA}|</math>.

==[[Diagonales de un rombo]]==
Demuestre que las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí.

==[[Seno y coseno de una diferencia]]==

[[Archivo:diferencia-angulos.png|left]]

A partir del producto escalar y del vectorial de dos vectores del plano, con módulo unidad, demuestre las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de una diferencia de dos ángulos.

==[[Teoremas del seno y del coseno]]==

[[Archivo:Ejemplo_triangulo.png|right]]

Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno

<center><math>c^2 = a^2 + b^2 -2ab\,cos(\gamma)</math></center>

y del seno 

<center><math>\frac{\mathrm{sen}\,\alpha}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,\beta}{b}=\frac{\mathrm{sen}\,\gamma}{c}</math></center>

en un triángulo de lados <math>a</math>, <math>b</math> y <math>c</math>, y ángulos opuestos <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> y <math>\gamma</math>.

==[[Volumen de un paralelepípedo]]==
Sean los puntos de coordenadas (en el SI) <math>O(1,0,2)</math>, <math>A(3,2,4)</math>, <math>B(2,6,8)</math> y <math>C(2,-3,1)</math>. Determine el volumen del paralelepípedo definido por los vectores <math>\overrightarrow{OA}</math>, <math>\overrightarrow{OB}</math> y <math>\overrightarrow{OC}</math>. 

Halle del mismo modo el volumen del paralelepípedo definido por los vectores <math>\overrightarrow{AO}</math>, <math>\overrightarrow{AB}</math> y <math>\overrightarrow{AC}</math>.

Calcule igualmente el volumen del tetraedro irregular definido por estos cuatro puntos.

==[[Ejemplo de ecuación vectorial de un plano]]==
Obtenga la ecuación del plano perpendicular al vector libre <math>\vec{a}= 2\vec{\imath}+3\vec{\jmath}+6\vec{k}</math> y que contiene a un punto <math>P</math>, cuya posición respecto del origen de un sistema de referencia <math>OXYZ</math> viene dada por el radiovector <math>\vec{r} = \vec{\imath} + 5\vec{\jmath} + 3\vec{k}</math>. Calcule la distancia que separa a dicho plano del origen <math>O</math>. (Unidades del SI)

==[[Cálculo de distancia entre dos rectas]]==
Sean las rectas <math>r_1</math>, que pasa por los puntos <math>A(-2,5,1)</math> y <math>B(7,-7,1)</math>, y <math>r_2</math> que pasa por <math>C(5,4,-3)</math> y <math>D(5,4,2)</math> (todas las unidades en el SI). Empleando el álgebra vectorial, determine la distancia entre estas dos rectas.

==[[Ejemplo de construcción de una base]]==
Dados los vectores

<center><math>\vec{v}=\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}=6\vec{\imath}+9\vec{\jmath}+6\vec{k}</math></center>

Construya una base ortonormal dextrógira, tal que

* El primer vector vaya en la dirección y sentido de <math>\vec{v}</math>
* El segundo vector esté contenido en el plano definido por <math>\vec{v}</math> y <math>\vec{a}</math>, y apunte hacia el mismo semiplano (respecto de <math>\vec{v}</math>) que el vector <math>\vec{a}</math>.
* El tercer vector sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha.

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==[[Cálculo de base dual]]==
Sea <math>B_1=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\}</math> una base vectorial arbitraria. Sean <math>\{\vec{w}_1,\vec{w}_2,\vec{w}_3\}</math> tres vectores definidos por

<center><math>\vec{w}_1=\frac{\vec{v}_2\times\vec{v}_3}{\Delta}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{w}_2=\frac{\vec{v}_3\times\vec{v}_1}{\Delta}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{w}_3=\frac{\vec{v}_1\times\vec{v}_2}{\Delta}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\Delta =\vec{v}_1\cdot(\vec{v}_2\times\vec{v}_3)</math></center>

: 1. Demuestre que el conjunto <math>B_2=\{\vec{w}_1,\vec{w}_2,\vec{w}_3\}</math> es también una base (llamada ''base dual'' de <math>B_1</math>). ¿Cuánto vale el producto mixto de sus vectores?
: 2. Pruebe que se cumple

<center><math>\vec{v}_i\cdot\vec{w}_k=\begin{cases} 1 & i = k \\ 0 & i\neq 0\end{cases}</math></center>

: 3. Demuestre que las componentes de un vector en la base <math>B_1</math> pueden calcularse proyectando sobre la base <math>B_2</math>, esto es, si

<center><math>\vec{F} = F_1\vec{v}_1 + F_2\vec{v}_2 + F_3\vec{v}_3</math></center>

: la componente k viene dada por

<center><math>F_k = \vec{F}\cdot\vec{w}_k</math></center>

: 4. Halle la base dual de la base

<center><math>B_1 =\{\vec{\imath},\vec{\imath}+\vec{\jmath},\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\}</math></center>

: 5. Calcule las componentes del vector

<center><math>\vec{F} = 2\vec{\imath}-3\vec{\jmath}+\vec{k}</math></center>

: en las bases del apartado anterior.
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==[[Sistema de ecuaciones vectoriales]]==
Demuestre que si se cumplen simultáneamente las condiciones

<center><math>\vec{A}\cdot\vec{B} = \vec{A}\cdot\vec{C}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{A}\times\vec{B} = \vec{A}\times\vec{C}</math></center>

siendo <math>\vec{A}\neq \vec{0}</math>, entonces <math>\vec{B} = \vec{C}</math>; pero si se cumple una de ellas y la otra no, entonces <math>\vec{B}\neq\vec{C}</math>.

==[[Vectores con tres condiciones (Ex.Nov/11)]]==
Determine todos los vectores libres que cumplen las tres siguientes condiciones:

1) Tener una longitud de <math>14</math> m.

2) Ser ortogonal al vector <math>(3\,\vec{\imath}+\vec{k}\,)\,</math> m.

3) Formar junto a los vectores <math>\,\vec{\imath}\,\,</math> m y
<math>\,\vec{k}\,</math> m un paralelepípedo de volumen igual a <math>6</math> m<math>^{3}</math>.

==[[Lados de un triángulo rectángulo (Ex.Nov/11)]]==
¿Cuál de las siguientes ternas de vectores libres podría corresponder a los tres lados de un triángulo rectángulo?

1) <math>\,\,\,\vec{a}=(-\vec{\imath}+4\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\,
\vec{b}=(2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\,
\vec{c}=(-\vec{\imath}-5\,\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,</math>

2) <math>\,\,\,\vec{a}=(3\,\vec{\imath}+2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\,
\vec{b}=(2\,\vec{\imath}-3\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\,
\vec{c}=(5\,\vec{\imath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,</math>

3) <math>\,\,\,\vec{a}=(\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}+3\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\,
\vec{b}=(-2\,\vec{\imath}+3\,\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\,
\vec{c}=(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,</math>

4) <math>\,\,\,\vec{a}=(3\,\vec{\jmath}+3\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\,
\vec{b}=(\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\,
\vec{c}=(2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,</math>

==[[Longitud de una sombra (Ex.Nov/11)]]==
En cierto sistema de coordenadas cartesianas, el suelo viene definido por el plano de ecuación <math>x-2y+2z=0\,</math> y en él se halla clavada una varilla rectilínea representada por el vector <math>\overrightarrow{OP}=(4\,\vec{\imath}-3\,\vec{\jmath}\,)\,\mathrm{m}</math>. Suponiendo que es mediodía y los rayos solares inciden
perpendicularmente al suelo, ¿cuál es la longitud de la sombra que la varilla proyecta sobre el suelo?

==[[Calcular el ángulo entre dos vectores]]==
Halle el ángulo que forman los vectores

<center><math>\vec{A}=24\vec{\imath}-32\vec{k}\qquad\mbox{y}\qquad \vec{B}=16\vec{\jmath}+12\vec{k}</math></center>

==[[Ejemplo de operaciones con dos vectores]]==
Dados los vectores

<center><math>\vec{v}=2.0\vec{\imath}+3.5\vec{\jmath}-4.2\vec{k}\qquad\qquad\vec{a}=4.5\vec{\imath}-2.2\vec{\jmath}+1.5\vec{k}</math></center>

# ¿Qué ángulo forman estos dos vectores?
# ¿Qué área tiene el paralelogramo que tiene a estos dos vectores por lados?
# Escriba <math>\vec{a}</math> como suma de dos vectores, uno paralelo a <math>\vec{v}</math> y otro ortogonal a él.

==[[Determinación de un vector a partir de sus proyecciones]]==
Se tiene un vector conocido, no nulo, <math>\vec{A}</math> y uno que se desea determinar, <math>\vec{X}</math>. Se dan como datos su producto escalar y su
producto vectorial por <math>\vec{A}</math>

<center><math>\vec{A}\cdot\vec{X}=k\qquad \vec{A}\times\vec{X} = \vec{C}</math></center>

Determine el valor de <math>\vec{X}</math>. ¿Es suficiente una sola de las dos ecuaciones para hallar <math>\vec{X}</math>?

==[[Cálculo de las componentes de un vector]]==
De una fuerza <math>\vec{F}_1</math> se sabe que tiene de intensidad 10&thinsp;N y que los ángulos que forma con los semiejes OX y OY positivos valen 60&deg;. Determine las componentes cartesianas de esta fuerza. ¿Existe solución? ¿Es única?

Si a esta fuerza se le suma otra <math>\vec{F}_2 = (-10\vec{\imath}-10\vec{\jmath})\,\mathrm{N}</math>, ¿qué ángulo forma la resultante con los ejes coordenados?

[[Categoría:Problemas de vectores libres (G.I.T.I.)|0]]
[[Categoría:vectores libres (G.I.T.I.)]]
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[[Categoría:Problemas de Álgebra Vectorial]]