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==Enunciado==
Para el campo vectorial

<center><math>\mathbf{A} = (x-y)\mathbf{u}_{x}+(x+y)\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}\,</math></center>

calcule su flujo a través de las siguientes superficies cerradas:

# Un cubo de arista <math>a</math>, con un vértice en el origen y aristas <math>a\mathbf{u}_{x}</math>, <math>a\mathbf{u}_{y}</math> y <math>a\mathbf{u}_{z}</math>.
# Un cilindro circular de altura <math>h</math> y radio <math>R</math>, con el eje <math>Z</math> como eje y sus bases situadas en <math>z=0</math> y <math>z=h</math>.
# Una esfera de radio <math>R</math> en torno al origen de coordenadas.

En cada caso, halle el flujo por integración directa y por aplicación del teorema de Gauss.

==Solución==
[[Imagen:supcubica.gif|left]]
===Superficie cúbica===
Para el flujo a través de un cubo, descomponemos la integral en seis partes, una por cada cara.

====Cara inferior====
Para la cara inferior (<math>z=0</math>), el campo en estos puntos vale

<center><math>\mathbf{A}(z=0) = (x-y)\mathbf{u}_{x}+(x+y)\mathbf{u}_{y}</math></center>

y el vector diferencial de superficie dirigido al exterior

<center><math>\mathrm{d}\mathbf{S} = -\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}\,\mathbf{u}_{z}</math></center>

Al ser ortogonales estos dos vectores el flujo elemental vale

<center><math>\Phi_1 = \int \mathbf{A}{\cdot}\mathrm{d}{\mathbf{S}} = \int_0^a \int_0^a 0\,\mathrm{d}{x}\mathrm{d}{y} = 0</math></center>

<center>[[Imagen:cubo-cara1.gif|frame|none|Cara inferior]]{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}[[Imagen:cubo-cara2.gif|frame|none|Cara superior]]</center>

====Cara superior====
En la cara superior (<math>z=a</math>) el vector <math>\mathbf{A}</math> vale

<center><math>\mathbf{A} = (x-y)\mathbf{u}_{x}+(x+y)\mathbf{u}_{y}+a\mathbf{u}_{z}</math></center>

y el diferencial de superficie

<center><math>\mathrm{d}{\mathbf{S}}= \mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}\,\mathbf{u}_{z}</math></center>

y resulta el flujo elemental

<center><math>\Phi_2 = \int_0^a\int_0^a a\,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}= a^3</math></center>

====Cara trasera====
Para la cara del fondo (<math>x=0</math>)

<math>\mathbf{A}(x=0) = -y\mathbf{u}_{x}+y\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}</math>{{qquad}}{{qquad}}
<math>\mathrm{d}{\mathbf{S}} = -\mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z}\,\mathbf{u}_{x}</math>

con lo que el flujo elemental es

<center><math>\Phi_3 = \int_0^a\int_0^a y \,\mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z}= \frac{a^3}{2}</math></center>

<center>[[Imagen:cubo-cara3.gif|Cara trasera]]{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}[[Imagen:cubo-cara4.gif|Cara frontal]]</center>

====Cara frontal====
Para la cara frontal (<math>x=a</math>)

<center><math>\mathbf{A} = (a-y)\mathbf{u}_{x}+(a+y)\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}</math>{{qquad}}{{qquad}}
<math>\mathrm{d}{\mathbf{S}} = \mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z}\,\mathbf{u}_{x}</math></center>


<center><math>\Phi_4 = \int_0^a\int_0^a (a-y)\,\mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z} = \frac{a^3}{2}
</math></center>

====Cara izquierda====
Para la cara izquierda (<math>y=0</math>)

<center><math>\mathbf{A} = x\mathbf{u}_{x}+x\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}</math>{{qquad}}{{qquad}}
<math>\mathrm{d}{\mathbf{S}} = -\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{z}\,\mathbf{u}_{y}</math></center>


<center><math>\Phi_5 = -\int_0^a\int_0^a x\,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{z} = -\frac{a^3}{2}</math></center>

<center>[[Imagen:cubo-cara5|Cara izquierda]]{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}[[Imagen:cubo-cara5|Cara izquierda|Cara derecha]]</center>

====Cara derecha====
Para la cara derecha (<math>y=a</math>)

<center><math>\mathbf{A} = (x-a)\mathbf{u}_{x}+(x+a)\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}</math>{{qquad}}{{qquad}}
<math>\mathrm{d}{\mathbf{S}} = \mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{z}\,\mathbf{u}_{y}</math></center>


<math>\Phi_6 = \int_0^a\int_0^a (x+a)\,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{z} = \frac{3a^3}{2}</math>

Sumando las seis contribuciones tenemos el flujo total

<math>\Phi = 0+a^3 + \frac{a^3}{2}+\frac{a^3}{2}-\frac{a^3}{2}+\frac{3a^3}{2}
= 3a^3</math>

Este mismo cálculo, por aplicación del teorema de Gauss queda

<center><math>\nabla{\cdot}\mathbf{A} = 1+1+1 = 3</math></center>


<center><math>\Phi = \int_0^a\int_0^a\int_0^a 3 \mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z} = 3a^3 = 3\tau</math></center>

Dado que la divergencia es una constante, su integral de volumen es simplemente el producto de esta constante (3) por el volumen del
dominio.

===Superficie cilíndrica===
===Superficie esférica===

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