Fuerza magnética sobre una espira cuadrada

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Introducción
3 Caso b ≥ a
4 Caso 0 ≤ b ≤ a
5 Caso −a ≤ b ≤ 0
6 Caso b ≤ −a

1 Enunciado

El campo entre los polos de un imán se puede modelar como un campo magnético uniforme $\vec{B}=B_0\vec{k}$ en el semiespacio $x > b$ . Una espira cuadrada se encuentra sumergida parcialmente en este campo. La espira se encuentra en el plano XY, girada 45° respecto a los ejes, de forma que sus vértices se hallan en $\pm a\vec{\imath}$ y en $\pm a\vec{\jmath}$ . Por la espira circula una intensidad de corriente $I$ . Calcule la fuerza sobre cada lado de la espira como función de lo que penetra la espira en el campo y la fuerza neta (distínganse los casos necesarios).

2 Introducción

La fuerza sobre un hilo inmerso en un campo magnético viene dada por la integral

$\vec{F}_M=I\int_P^Q\mathrm{d}\vec{r}\times\vec{B}$

siendo P el punto donde comienza el hilo y Q donde acaba. En el caso de un campo magnético uniforme, $\vec{B}$ sale de la integral y queda

$\vec{F}_m =I\overrightarrow{PQ}\times\vec{B}_0\qquad\qquad\left(\vec{B}=\vec{B}_0\neq f(\vec{r})\right)$

Obsérvese que esta fórmula no depende de que el hilo sea recto o curvado.

Para este problema tenemos varios casos dependiendo de la relación entre $a$ y $b$

3 Caso b ≥ a

En el primer caso la solución es trivial. la espira está completamente fuera del campo magnético y la fuerza sobre cada lada es nula.

$\vec{F}_1=\vec{F}_2=\vec{F}_3=\vec{F}_4=\vec{0}$

y lógicamente también lo es la fuerza neta

$\vec{F}=\sum_i\vec{F}_i=\vec{0}$

4 Caso 0 ≤ b ≤ a

En el segundo caso, tenemos dos lados (1 y 4, si los etiquetamos según el cuadrante) parcialmente inmersos en el campo magnético y otros dos (2 y 3) completamente fuera de él.

$\vec{F}_2=\vec{F}_3 =\vec{0}$

Para el lado 1, el tramo que está dentro del campo magnético es

$\overrightarrow{P_1Q_1} = (a-b)\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)$

por lo que la fuerza sobre este lado vale

$\vec{F}_1=I(a-b)\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\times(B_0\vec{k})=I(a-b)B_0\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)$

Para el lado 4

$\overrightarrow{P_4Q_4} = (a-b)\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)$

y queda

$\vec{F}_4=I(a-b)\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\times(B_0\vec{k})=I(a-b)B_0\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)$

Sumando estas dos obtenemos la fuerza neta

$\vec{F}=2I(a-b)B_0\vec{\imath}$

A esta misma fuerza neta se llega considerando el punto inicial y final de todo el tramo

$\vec{F}=I\overrightarrow{P_4Q_1}\times\vec{B}=I\left(2(a-b)\vec{\jmath}\right)\times(B_0\vec{k})=2I(a-b)B_0\vec{\imath}$

Este caso incluye el caso particular en que b=0, es decir, la espira entra hasta la mitad en el campo magnético

$(b=0)\qquad\qquad \vec{F}_1=IaB_0\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\qquad\vec{F}_4=IaB_0\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)\qquad\vec{F}=2IaB_0\vec{\imath}$

5 Caso −a ≤ b ≤ 0

Cuando b≤0, tenemos dos lados completamente dentro del campo magnético (el 1 y el 4) y dos solo parcialmente (el 2 y el 3).

Para los lados 1 y 4 la fuerza es la calculada al final del apartado anterior

$\vec{F}_1=IaB_0\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad\vec{F}_4=IaB_0\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)$

Para el lado 2, teniendo en cuenta que ahora b es un número negativo

$\overrightarrow{P_2Q_2}=|b|\left(-\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)=b\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)$

y queda la fuerza

$\vec{F}_2=IbB_0\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)$

Operamos igualmente para el lado 3

$\overrightarrow{P_3Q_3}=|b|\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)=b\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)$

y resulta

$\vec{F}_3=IbB_0\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)$

La fuerza total sobre la espira es ahora

$\vec{F}=\sum_i\vec{F}_i=2I(a+b)B_0\vec{\imath}$

Vemos que cuando b se hace igual a -a (la espira penetra por completo) esta fuerza se anula.

Esta fuerza neta puede hallarse también considerando solo el punto inicial y final de la porción de espira sumergida en el campo

$\overrightarrow{P_3Q_2}=2(a-|b|)\vec{\jmath}=2(a+b)\vec{\jmath}$

6 Caso b ≤ −a

Por último, tenemos la espira conpletamente inmersa en el campo magnético. En este caso, la fuerza sobre cada segmento corresponde a la totalidad de la longitud de este.

Para los lados 1 y 4, como en el apartado anterior

$\vec{F}_1=IaB_0\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad\vec{F}_4=IaB_0\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)$

mientras que para los lados 2 y 3 corresponde a hacer b = -a en los resultados anteriores

$\vec{F}_2=-IaB_0\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)$

y

$\vec{F}_3=-IaB_0\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)$

Vemos que las fuerzas sobre lados opuestos son igualmente opuestas

$\vec{F}_1=-\vec{F}_3\qquad\qquad \vec{F}_2=-\vec{F}_4$

y por tanto la fuerza neta se anula

$\vec{F}=\sum_i\vec{F}_i=\vec{0}$

Fuerza magnética sobre una espira cuadrada

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2 Introducción

3 Caso b ≥ a

4 Caso 0 ≤ b ≤ a

5 Caso −a ≤ b ≤ 0

6 Caso b ≤ −a

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