Conexiones serie y paralelo de bombillas a batería real GIA

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución
- 2.1 Conexión de bombillas en serie
- 2.2 Conexión de bombillas en paralelo

1 Enunciado

Se dispone de una batería de $12 \,\mathrm{V}\,$ con una resistencia interna de $0,5\,\Omega$ y de dos pequeñas bombillas iguales. Cada bombilla puede modelarse como una resistencia de $20\,\Omega$ .

Si se conectan ambas bombillas en serie a la batería, ¿cuál de ellas dará más luz?
Si a continuación se conectan en paralelo, ¿iluminarán más o menos?

2 Solución

2.1 Conexión de bombillas en serie

La batería aporta la energía necesaria para mantener una corriente eléctrica estacionaria de intensidad $I$ , desde el terminal $P$ hacia el $N$ , recorriendo los cables conductores y las dos bombillas en serie. Como sabemos, este mismo valor de intensidad es el que va a circular por el interior de la batería, pero desde el terminal $N$ hacia el $P$ . El cálculo de la diferencia de potencial entre dichos terminales siguiendo los dos caminos descritos proporciona la ecuación del circuito (modelo circuital).

Por el interior de la batería se tendrá, $V_P-V_N=\int_{P\ (G)}^N\!\! \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathcal{E}-I\!\ R_g$

donde $\mathcal{E}$ y $R g$ son los dos valores característicos de la batería: su fuerza electromotriz y su resistencia interna, respectivamente. Como se sabe, esta batería proporcionará siempre el mismo valor de fuerza electromotriz, independientemente del circuito al que se conecte. Por el contrario, tanto la intensidad de corriente que suministra, como la diferencia de potencial entre los bordes $P$ y $N$ , dependerán del circuito al que se conecte.

Si calculamos esta misma diferencia de potencial por el interior de la región óhmica que forman los cables de conexión y las bombillas conectados en serie, podemos descomponerla en las sumas de las diferencias de potencial en cada uno de esos elementos:

$V_P-V_N=\int_{P\ (\Omega)}^N\!\! \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=(V_P-V_A)+(V_A-V_B)+(V_B-V_C)+(V_C-V_D)+(V_D-V_N)$

Las diferencias de potencial entre los extremos $A$ y $B$ , y $C$ y $D$ de las bombilla, están determinadas por la intensidad de corriente que recorre el circuito y por los valores de resistencia eléctrica, $R 1$ y $R 2$ , de los tubos de corriente que se forman en las bombillas, y que se aportan como datos:

$V_A-V_B=I\!\ R_1\,\mathrm{;}\qquad V_C-V_D=I\!\ R_2$

En los cables de conexión ocurre exactamente lo mismo. Por ejemplo, la diferencia de potencial entre los puntos $P$ y $A$ debe ser igual a la intensidad que recorre el circuito multiplicado por la resistencia eléctrica del cable. Pero un cable de conexión se diseña de manera que tenga una resistencia lo suficientemente pequeña frente a las de otros dispositivos del circuito, como para que puedan ser despreciadas las diferencias de potencial entre los extremos de dichos cables:

$R_\mathrm{cable}\ll R_1\mathrm{,}\, R_2\mathrm{,}\, R_g\quad\Longrightarrow\quad V_P-V_A=V_B-V_C=V_D-V_N=I\!\ R_\mathrm{cable} \approx 0$

Este resultado lo podemos utilizar para obtener de nuevo el valor de la resistencia del tubo de corriente que se forma desde el punto $A$ hasta el punto $D$ . Es decir, la resistencia equivalente $R ser$ de la asociación en serie de las dos bombillas:

$\left.\begin{array} {l}V_A-V_D=I\ R_\mathrm{ser}\\ \\ V_A-V_D\approx (V_A-V_B)+(V_C-V_D)=I(R_1+R_2) \end{array}\right\}\;\Longrightarrow\;\; R_\mathrm{ser}=R_1+R_2=40\,\Omega$

Y exigiendo que el valor de la diferencia de potencial entre $P$ y $N$ debe ser independiente del camino seguido para medirlo o calcularlo, obtenemos la ecuación del circuito:

$\left.\begin{array} {l}V_P-V_N=\mathcal{E}-I\ R_g\\ \\ V_P-V_N\approx (V_A-V_B)+(V_C-V_D)=I(R_1+R_2) \end{array}\right\}\;\Longrightarrow\;\; \mathcal{E}=I\ R_g +I\!\ (R_1+R_2)$

Sustituyendo los datos proporcionados en el enunciado, determinamos la intensidad de la corriente estacionaria que recorre el circuito cuando las bombillas se conectan en serie:

$I=\frac{\mathcal{E}}{R_g+R_1+R_2}\approx 296\,\mathrm{mA}$

La potencia disipada en cada una de las bombillas es igual al producto de la intensidad que la recorre por la diferencia de potencial entre sus extremos. También puede escribirse como el cuadrado de la intensidad que la recorre, multiplicado por su resistencia. Como al estar en serie son recorridas por la misma intensidad de corriente, y ambas bombillas tienen igual resistencia, ambas disiparán la misma energía por unidad de tiempo:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle \mathrm{P}_\mathrm{dis}\big\rfloor_1= I\!\ (V_A-V_B)=I^2\ R_1\\ \\ \displaystyle \mathrm{P}_\mathrm{dis}\big\rfloor_2= I\!\ (V_C-V_D)=I^2\ R_2\end{array}\right\}\;\;\Longrightarrow\quad\mathrm{P}_\mathrm{dis}\big\rfloor_1=\mathrm{P}_\mathrm{dis}\big\rfloor_2\approx 1.76\,\mathrm{w}$

En consecuencia, ambas emiten la misa cantidad de luz y calor por unidad de tiempo.

2.2 Conexión de bombillas en paralelo

La característica fundamental de esta configuración es que los extremos $A$ y $D$ de las bombillas por una parte, y los $B$ y $C$ por otra, se conectan para que sean equipotenciales con los bornes $P$ y $N$ , respectivamente, de la batería (despreciando, claro está, las caídas de potencial en los cables de conexión). Esto no afecta a la circulación del campo eléctrico por el interior de la batería, de manera que la diferencia de potencial entre dichos bornes, medida o calculada por dentro del generador, seguirá siendo:

$V_P-V_N=\int_{P\ (G)}^N\!\! \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathcal{E}-I\!\ R_g$

También se seguirá verificando que las caídas de potencial en los cables de conexión van a ser despreciables frente a otras diferencias del potencial existentes en el sistema, debido a su casi nula resistencia eléctrica. De esta forma, se tendrá que los puntos $P$ , $A$ y $D$ , y los puntos $N$ , $B$ y $C$ pertenecen a sendas superficies equipotenciales. En consecuencia, se cumplirá

$V_P-V_N\approx V_A-V_B\approx V_D-V_C$

De manera análoga a como hicimos en el caso de la conexión en serie, estas relaciones permiten relacionar las resistencia $R 1$ y $R 2$ con la resistencia $R par$ del tubo de corriente equivalente que forman las bombillas conectadas en serie:

$V_P-V_N=I\ R_\mathrm{par}\ \mathrm{;}\quad V_A-V_B=I_1\ R_1\ \mathrm{;}\quad V_D-V_C=I_2\ R_2$

Queda por determinar la relación entre las intensidades de corriente

I 1

e

I 2

, que circulan por cada una de las resistencias, y la intensidad que sale

I

suministrada por la batería. Para ello, apliquemos el principio de conservación de la carga en una región del espacio en torno al punto

A

, limitada por la superficie cerrada $\partial\tau$ : si las corrientes son estacionarias, la cantidad total de carga en el interior de dicha superficie debe permanecer constante y, en consecuencia, la intensidad total de corriente a través de dicha superficie debe ser nula. Si nos fijamos, las intensidades de corriente que cruzan esta superficie son las

I 1

e

I 2

saliendo de ella, y la intensidad

I

suministrada por el generador y que entra hacia el punto

A

.

Por tanto,

$\oint_{\partial\tau}\!\mathbf{J}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=I_1+I_2+(-I)=0\quad\Longrightarrow\quad I=I_1+I_2$

... y utilizando ahora las expresiones de la intensidades en términos de las diferencias de potencial y las resistencias eléctricas:

$\left. \begin{array} {l}\displaystyle\frac{V_P-V_N}{R_\mathrm{par}}=I=I_1+I_2=\frac{V_A-V_B}{R_1}+\frac{V_D-V_C}{R_2}\\ \\ \displaystyle V_P-V_N\approx V_A-V_B\approx V_D-V_C\end{array}\right\}\;\;\Longrightarrow\;\;\frac{1}{R_\mathrm{par}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$

Y como las dos resistencias son iguales, se obtiene:

$R_1=R_2=20\ \Omega=R\;\;\Longrightarrow\;\;\frac{1}{R_\mathrm{par}}=\frac{1}{R}+\frac{1}{R}=\frac{2}{R}\;\;\Longrightarrow\;\; R_\mathrm{par}=\frac{R}{2}=10\ \Omega$

Si relacionamos el valor de la diferencia de potencial entre los bornes de la batería medida por dentro y por fuera de ésta, podemos obtener su valor:

$\left.\begin{array} {l}\displaystyle V_P-V_N=\mathcal{E}-I\ R_g\\ \\ \displaystyle V_P-V_N=I\ R_\mathrm{par}\end{array}\right\}\;\;\Longrightarrow\quad V_P-V_N=\frac{\mathcal{E}\ R_\mathrm{par}}{R_\mathrm{par}+R_g}\approx 11.4\,\mathrm{V}$

La potencia disipada en cada bombilla también puede determinarse en términos de la diferencia de potencial entre sus extremos y su resistencia. Y como en las dos se verifica la misma diferencia de potencial y tienen idéntica resistencia, en ambas se disipará la misma potencial y darán la misma luz:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\mathrm{P}_\mathrm{dis}\big\rfloor_1=I_1\!\ (V_A-V_B)=\frac{(V_A-V_B)^2}{R_1}\\ \\ \displaystyle\mathrm{P}_\mathrm{dis}\big\rfloor_2=I_2\!\ (V_D-V_C)=\frac{(V_D-V_C)^2}{R_2}\\ \\ \displaystyle V_A-V_B\approx V_D-V_C\approx V_P-V_N\approx 11.4\,\mathrm{V}\, \end{array}\right\}\;\;\Longrightarrow\quad\mathrm{P}_\mathrm{dis}\big\rfloor_1=\mathrm{P}_\mathrm{dis}\big\rfloor_2\approx 6.50\,\mathrm{w}$

Finalmente, si comparamos las potencias disipadas por las bombillas en paralelo con las que disipan en serie, se obtiene que aquéllas son unas 3.7 veces mayores, y por tanto, emitirán más energía luminosa:

$\frac{P_\mathrm{dis}^\mathrm{par}}{P_\mathrm{dis}^\mathrm{ser}} \approx 3.7$

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