Colisión inelástica en el plano
De Laplace
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1 Enunciado
Un neutrón de masa m que se mueve con velocidad choca con un protón (de casi la misma masa), que se mueve con velocidad
. La colisión es completamente inelástica, de forma que tras ella, las dos partículas se mueven solidariamente como un núcleo de deuterio. La colisión se produce en el origen de coordenadas.
- ¿Cuál es la velocidad final de la nueva partícula formada? ¿Qué ángulo forma con el eje OX?
- ¿Cuánta energía se pierde en la colisión? ¿Para qué valores de θ es máxima o mínima esta energía perdida?
2 Velocidad final
Cuando la colisión es completamente inelástica, las dos partículas se fusionan en una, de masa la suma de las iniciales. La velocidad final se obtiene a partir de la conservación de la cantidad de movimiento.
![m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2 = (m_1+m_2)\vec{v}_f](/wiki/images/math/b/6/4/b64c46408e8a6f8261fab2d4be5e2f15.png)
En este caso, que las dos partículas tienen la misma masa, la velocidad final es simplemente
![\vec{v}_f=\frac{\vec{v}_1+\vec{v}_2}{2}](/wiki/images/math/3/c/f/3cf6a5958de2b87059d79b5e1cc34ab7.png)
Sustituyendo los valores del enunciado
![\vec{v}_f = v_0\left(\frac{1+\cos(\theta)}{2}\vec{\imath}+\frac{\mathrm{sen}(\theta)}{2}\vec{\jmath}\right)](/wiki/images/math/9/3/3/933ea3c8c137946787cf4ea9e22b166b.png)
Usando las relaciones trigonométricas del ángulo mitad esto se puede escribir
![\vec{v}_f = v_0\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\vec{\imath}+v_0\,\mathrm{sen}\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\vec{\jmath}](/wiki/images/math/3/b/5/3b5755dc87fd8d5633a0af240357a03d.png)
y sacando factor común
![\vec{v}_f = v_0\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\left(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\vec{\imath}+\mathrm{sen}\left(\frac{\theta}{2}\right)\vec{\jmath}\right)](/wiki/images/math/4/b/8/4b8074e16b6da3928a315bf9609fb060.png)
Puesto que el factor final es un vector unitario, esto nos dice que tras la colisión, la rapidez es
![\left|\vec{v}_f\right| = v_0\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)](/wiki/images/math/8/4/c/84c76d059c65bd78881f47e2ac41e651.png)
y el vector tangente
![\vec{T}=\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\vec{\imath}+\mathrm{sen}\left(\frac{\theta}{2}\right)\vec{\jmath}](/wiki/images/math/f/c/c/fcc676c46ef40042dc06dd7ab2d51a34.png)
que nos dice que la velocidad resultante va en la dirección de la bisectriz de las dos velocidades iniciales.
![Archivo:deuterio.png](/wiki/images/9/91/Deuterio.png)
3 Balance energético
La energía cinética inicial es la suma de las de las dos partículas
![K_i = \frac{1}{2}mv_0^2+\frac{1}{2}mv_0^2 = mv_0^2](/wiki/images/math/f/2/e/f2ebf10482b440a7f3500b4ee414675a.png)
y la final es la del deuterio, de masa doble.
![K_f = \frac{1}{2}(2m)\left|\vec{v}_f\right|^2 = mv_0^2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)](/wiki/images/math/7/9/4/7946130da46e36ef7392ac6ef747e1b6.png)
El incremento en la energía cinética es la diferencia entre estas cantidades
![\Delta K = K_f - K_i = mv_0^2\left(\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)-1\right)=-mv_0^2\,\mathrm{sen}^2\left(\frac{\theta}{2}\right)](/wiki/images/math/9/a/7/9a749f4632ba9f22d2aefa0864dea0d5.png)
Esta cantidad es siempre negativa, es decir, siempre se pierde energía.
La máxima pérdida de energía se da cuando θ = π, para el cual se pierde absolutamente toda la energía inicial. El protón y el neutrón chocan frontalmente y se quedan 'clavados' en el punto de impacto.
El mínimo se da para θ = 0 para el cual no hay una verdadera colisión, ya que las dos partículas ya iban moviéndose juntas. Simplemente se unen en su marcha.