Campo eléctrico de un segmento cargado

De Laplace

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Contenido

1 Enunciado
2 Campo de un segmento cargado
- 2.1 Campo en el plano central
- 2.2 Campo de un hilo infinito

1 Enunciado

Sea un segmento rectilíneo de longitud $L$ , sobre el cual existe una densidad de carga uniforme $λ$ .

Halle el campo eléctrico que produce en un punto arbitrario del espacio

¿A qué se reduce el campo en el plano central del segmento?
Calcule el límite del campo del segmento para $L\to\infty$ .

2 Campo de un segmento cargado

Sin pérdida de generalidad, podemos colocar el eje $Z$ sobre el segmento y el origen de coordenadas en su punto medio.

La expresión integral para el campo eléctrico debido a una distribución de carga lineal se expresa

$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int\lambda(\mathbf{r}')\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,\mathrm{d}l'$

En nuestro caso, la posición de las fuentes es

$x'=0\quad y'=0\quad z'=z'$ $z'\in\left[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}\right]$ $\mathrm{d}\mathbf{r}'=\mathrm{d}z'\,\mathbf{u}_{z}$ $\mathrm{d}l'=|\mathrm{d}\mathbf{r}'|=\mathrm{d}z'$

por lo que la integral se convierte en

$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{-L/2}^{L/2} \!\!\lambda \frac{(x\mathbf{u}_{x}+y\mathbf{u}_{y}+(z-z')\mathbf{u}_{z})} {\left(x^2+y^2+(z-z')^2\right)^{3/2}}\,\mathrm{d}z'$

Separando componente a componente

$E_x= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{-L/2}^{L/2}\!\!\lambda \frac{ x} {\left(x^2+y^2+(z-z')^2\right)^{3/2}}\,\mathrm{d}z'$ $E_y= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{-L/2}^{L/2}\!\!\lambda \frac{y} {\left(x^2+y^2+(z-z')^2\right)^{3/2}}\,\mathrm{d}z'$ $E_z= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{-L/2}^{L/2}\!\!\lambda \frac{ (z-z')} {\left(x^2+y^2+(z-z')^2\right)^{3/2}}\,\mathrm{d}z'$

Podemos llevar a cabo estas integrales mediante el cambio de variable

$z'-z=\sqrt{x^2+y^2}\tan\alpha$ $\mathrm{d}z'=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\cos^2\alpha}\,\mathrm{d}\alpha$

Este ángulo posee interpretación geométrica ya que es el que forma la dirección al punto donde está la fuente con la horizontal.

La motivación de este cambio de variable es que gracias a la relación

$1 + \mathrm{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$

el denominador de las integrales anteriores se transforma en

$\left(x^2+y^2+(z-z')^2\right)^{3/2} = \left(x^2+y^2+(x^2+y^2)\mathrm{tg}^2\alpha\right)^{3/2} = (x^2+y^2)^{3/2}\left(1+\mathrm{tg}^2\alpha\right)^{3/2}=\frac{(x^2+y^2)^{3/2}}{\cos^3\alpha}$

Con este cambio las integrales quedan

$E_x= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\frac{\lambda x\cos\alpha} {x^2+y^2}\,\mathrm{d}\alpha=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\lambda x}{x^2+y^2}(\mathrm{sen}\,\alpha_2-\mathrm{sen}\,\alpha_1)$ $E_y= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\frac{\lambda y\cos\alpha} {x^2+y^2}\,\mathrm{d}\alpha=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\lambda y}{x^2+y^2}(\mathrm{sen}\,\alpha_2-\mathrm{sen}\,\alpha_1)$ $E_z= -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\frac{\lambda \mathrm{sen}\,\alpha} {\sqrt{x^2+y^2}}\,\mathrm{d}\alpha= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\lambda }{\sqrt{x^2+y^2}}(\cos\alpha_2-\cos\alpha_1)$

Los senos y cosenos que aparecen en las expresiones anteriores corresponden a los valores límite de $α$ y su relación con las coordenadas cartesianas es

$\mathrm{sen}\,\alpha_2=\frac{L/2-z}{\sqrt{x^2+y^2+(z-L/2)^2}}$ $\cos\alpha_2=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2+(z-L/2)^2}}$ $\mathrm{sen}\,\alpha_1=-\frac{L/2+z}{\sqrt{x^2+y^2+(z+L/2)^2}}$ $\cos\alpha_1=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2+(z+L/2)^2}}$

Agrupando los resultados tenemos la forma vectorial

$\mathbf{E}=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon}\left(\frac{x\mathbf{u}_{x}+y\mathbf{u}_{y}}{x^2+y^2} \left(\mathrm{sen}\,\alpha_2-\mathrm{sen}\,\alpha_1\right)+ \frac{\mathbf{u}_{z}(\cos\alpha_2-\cos\alpha_1)}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$

Si expresamos el campo en coordenadas cilíndricas centradas en el hilo nos queda

$\mathbf{E}=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0\rho} \left(\left(\mathrm{sen}\,\alpha_2-\mathrm{sen}\,\alpha_1\right)\mathbf{u}_{\rho}+ \left(\cos\alpha_2-\cos\alpha_1\right)\mathbf{u}_{z}\right)$

que podemos leer como el campo posee una componente en la dirección radial perpendicular al eje del segmento y una componente paralela a él. Esta interpretación nos seguirá valiendo cuando el eje $z$ no esté situado sobre el segmento.

Para ello consideraremos un segmento

A B

y un punto de observación arbitrario

P

. Trazamos la recta perpendicular a

A B

por

P

. Esta recta cortará a la primera en un punto

C

. La variable

ρ

será la longitud del segmento

P C

. El ángulo

α 1

será el que forma esta perpendicular con el segmento

P A

y el

α 2

con el segmento

P B

. Ambos ángulos serán positivos si la perpendicular queda por detrás del segmento (considerando adelante aquél en que apunta $\mathbf{u}_z$ ) y negativos en caso contrario. Si la perpendicular incide sobre el segmento

A B

, el ángulo

α 2

será positivo y el

α 1

negativo.

Este cálculo se puede hacer también numéricamente, de la forma que se muestra en este applet del Curso de Electricidad y Magnetismo del M.I.T. El resultado se puede ver en este otro applet.

2.1 Campo en el plano central

Si estamos en el plano medio del segmento, tenemos que por simetría

$\alpha_2\equiv\alpha\,$ $\alpha_1 = -\alpha\,$

y el campo eléctrico en este plano se reduce a

$\mathbf{E}=\frac{\lambda\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\mathbf{u}_{\rho}}{2\pi\varepsilon_0\rho}$

esto es, posee solo componente radial, perpendicular al segmentol. Es fácil ver por qué ocurre esto. El campo en un punto de este plano, será la suma de las contribuciones de todos los puntos del segmento. Por cada punto del segmento habrá uno simétrico respecto a este plano, de forma que las componentes tangenciales de ambas contribuciones se cancelan y solo quedan las contribuciones radiales. Cómo esto ocurre para todos los puntos del segmento, el campo total será también radial.

Esto no será cierto para puntos situados fuera del plano central, porque para ellos no todos los puntos del segmento poseen una pareja situada simétricamente.

Para este plano, la expresión del seno de $α$ es sencilla

$\mathrm{sen}\,\alpha = \frac{L/2}{\sqrt{\rho^2+(L/2)^2}} = \frac{L}{\sqrt{L^2+4\rho^2}}$

y nos queda el campo

$\mathbf{E}=\frac{\lambda\,L\,\mathbf{u}_{\rho}}{2\pi\varepsilon_0\rho\sqrt{L^2+4\rho^2}}= \frac{Q\,\mathbf{u}_{\rho}}{2\pi\varepsilon_0\rho\sqrt{L^2+4\rho^2}}$

y, en cartesianas

$\mathbf{E}=\frac{\lambda\,L\,(x\mathbf{u}_x+y\mathbf{u}_y)}{2\pi\varepsilon_0(x^2+y^2)\sqrt{4x^2+4y^2+L^2}}$

Como límite particular, que nos sirve como test de que el resultado es razonable, podemos tomar el límite en que $\rho\gg L$ , en el cual el segmento se ve de muy lejos, y debe comportarse como una carga puntual. Despreciamos $L 2$ frente a $4ρ 2$ en la raíz y obtenemos

$\mathbf{E}\to \frac{Q\,\mathbf{u}_{\rho}}{4\pi\varepsilon_0\rho^2}$

que es efectivamente el campo de una carga puntual.

2.2 Campo de un hilo infinito

Si tenemos un hilo infinitamente largo (que, obviamente, no existe en la realidad, pero sirve para modelar el campo de hilo muy largo como el de un cable de alta tensión si estamos a corta distancia de él), podemos hallar el campo que produce tomando el límite de la expresión anterior. Sea cual sea el punto de observación, $\alpha_1\to -\pi/2$ , $\alpha_2\to \pi/2$ , por lo que

$\mathbf{E}=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0\rho}\left((1-(-1))\mathbf{u}_{\rho}+(0-0)\mathbf{u}_{z}\right)= \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\rho}\mathbf{u}_{\rho}$

Este resultado puede también obtenerse por aplicación de la ley de Gauss.

Lo que nos dice este resultado es que el campo producido por un hilo infinito es radial desde hilo y decae con la distancia como $1 / ρ$ (esto es, doble distancia, mitad de campo).

Si expresamos este campo en coordenadas cartesianas nos queda

$\mathbf{E}= \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\,\frac{x\mathbf{u}_x+y \mathbf{u}_y}{x^2+y^2}$

Si tenemos un hilo no situado en el eje $Z$ pero paralelamente a él, habrá que realizar la tralación de la expresión anterior. Así, si el hilo se encuentra sobre la vertical que pasa por $x = x 0$ , $y = y 0$ , la expresión correspondiente para el campo es

$\mathbf{E}= \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\,\frac{(x-x_0)\mathbf{u}_x+(y-y_0) \mathbf{u}_y}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$

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