Calculo gráfico de velocidad media

De Laplace

1 Enunciado

La velocidad de una partícula en un movimiento rectilíneo sigue aproximadamente la gráfica de la figura cuando se representa frente al tiempo.

¿Cuánto vale aproximadamente la velocidad media entre $t=0\,\mathrm{s}$ y $t=12\,\mathrm{s}$ ?
¿Cuánto vale la distancia total recorrida por la partícula en el mismo intervalo?

2 Velocidad media

la velocidad media es igual al desplazamiento neto en el intervalo dividida por la duración de éste

$v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t}$

siendo el desplazamiento neto la suma de los desplazamientos infinitesimales

$\Delta x = \int_0^{\Delta t} v\,\mathrm{d}t$

Esta integral se puede hallar gráficamente. Es igual al área de la figura delimitada por la curva y el eje de abscisas, teniendo cuidado de que las partes que queden por debajo del eje contribuyen negativamente, ya que corresponden a un periodo en el cual la partícula está retrocediendo.

$\Delta x=\int_0^{\Delta t}v\,\mathrm{d}t = S_1 - S_2$

Cada una de las figuras es un trapecio, cuya área es igual a la semisuma de sus bases multiplicada por la altura. también puede hallarse como suma de triángulos y rectángulos

$S_1 = \frac{(B+b)}{2}h= \left(\frac{8\,\mathrm{s}+2\,\mathrm{s}}{2}\right)\left(4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)=20\,\mathrm{m}$ $S_2 = \frac{(B+b)}{2}h= \left(\frac{4\,\mathrm{s}+1\,\mathrm{s}}{2}\right)\left(2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)=5\,\mathrm{m}$

con lo que el desplazamiento neto es

$\Delta x = S_1-S_2 = 20\,\mathrm{m}-5\,\mathrm{m} = 15\,\mathrm{m}$

y resulta la velocidad media

$v_m = \frac{15\,\mathrm{m}}{12\,\mathrm{s}}=1.25\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Desde el punto de vista cinemático, lo que ocurre es:

Entre t=0 s y t=4 s: La partícula se aleja con aceleración uniforme pasando su velocidad de 0 a 4m/s. En este tiempo recorre una distancia (4m/s)×4s/2 = 8m.
Entre t=4 s y t=6 s: Se sigue alejando, pero ahora a velocidad constante de 4m/s durante 2s, en los que recorre otros 8m.
Entre t=6 s y t=8 s: Sigue alejándose (la velocidad aun es positiva) durante 2s, pero con aceleración constante negativa, hasta que su velocidad llega a anularse. En este tiempo recorre (4m/s)×2s/2 = 4m.

En total, a partícula llega a alejarse 8+8+4 = 20m del origen.

Entre t=8 s y t=9 s: La velocidad es negativa, por lo que partícula comienza a acercarse aceleradamente al origen, con un desplazamiento de (−2m/s)×1s/2 = −1m.
Entre t=9 s y t=10 s: Se acerca al origen con velocidad constante de −2m/s durante 1s, siendo el desplazamiento −2m
Entre t=10 s y t=12 s: Sigue acercándose, pero ahora con aceleración constante positiva, con lo que se está frenando, hasta llegar a pararse. El desplazamiento en este intervalo es (−2m/s)×2s/2 = 2m

En total, desde el punto más alejado se acerca 5m.

El desplazamiento neto es entonces 20m−5m = 15 m. La velocidad media será 15m/12s = 1.25m/s

3 Distancia total

La distancia total recorrida no es igual al desplazamiento neto, ya que contribuyen positivamente todos los desplazamientos, sean de avance o de retroceso