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6.4. Disco rodando en pared (Ex.Sep/12)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El plano vertical fijo O_1X_1Y_1\, (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos vinculados entre sí y en movimiento: un disco de radio R\, (sólido "2"), y una barra BC\, de longitud L\, (sólido "0"). El disco rueda sin deslizar sobre el eje vertical O_1Y_1\,, avanzando su centro C\, con velocidad constante \vec{v}^{\, C}_{21}(t)=v_0\,\vec{\jmath}_1\,. Y, como consecuencia, también la barra se mueve, ya que su extremo C\, está articulado al centro del disco, mientras que su extremo B\, está articulado a un deslizador que lo obliga a recorrer el eje O_1X_1\,.

Como parámetro descriptivo de la posición del sistema, se define el ángulo \theta\, que forma la barra BC\, con respecto a la vertical (ver figura). Se pide:

  1. Determinar gráficamente la posición de los tres centros instantáneos de rotación: I_{21}\,, I_{20}\, y I_{01}\,.
  2. Calcular todas las velocidades angulares en función de la posición, es decir: \vec{\omega}_{21}(\theta)\,, \vec{\omega}_{01}(\theta)\, y \vec{\omega}_{20}(\theta)\,.
  3. Calcular las aceleraciones \vec{a}^{\, C}_{01}\, y \vec{a}^{\, A}_{21}\, (ver A\, en la figura).

2 Determinación gráfica de los centros instantáneos de rotación

Se nos indica que el disco (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el eje O_1Y_1\, (sólido "1"). La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {21} coincide con el punto de contacto disco-eje:

I_{21}\equiv A

El extremo C\, de la barra (sólido "0") se halla articulado al centro del disco (sólido "2"). Por tanto, dicho punto C\, es un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento {20}:

I_{20}\equiv C

Dado que el extremo B\, de la barra (sólido "0") está obligado a recorrer el eje O_1X_1\, (sólido "1"), la velocidad \vec{v}^{B}_{01}\, tiene necesariamente la dirección del eje O_1X_1\,. Trazando la perpendicular a dicha velocidad en el punto B\, y trazando la recta que pasa por los puntos I_{21}\, y I_{20}\, (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto I_{01}\, en la intersección de ambas rectas:

(ver I01 en la figura adjunta)

3 Velocidades angulares en función de la posición

Al tratarse de movimientos planos, todas las velocidades angulares solicitadas son perpendiculares al plano director:

\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\,\vec{k}_1\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{\omega}_{01}=\omega_{01}\,\vec{k}_1\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{k}_1\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,

En el movimiento {21}, conocemos la velocidad (dato) del punto C\, y la velocidad (nula) del punto A\equiv I_{21}\,. Relacionando ambas velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21}, deducimos el valor de la correspondiente velocidad angular:

\left.\begin{array}{l} \vec{v}^{A}_{21}=\vec{0} \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{21}=v_0\,\vec{\jmath}_1 \end{array}\right\}\,\,\,\, \vec{v}^{\, C}_{21}=\vec{v}^{A}_{21}+\,\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, v_0\,\vec{\jmath}_1=\omega_{21}\,\vec{k}_1\times R\,\vec{\imath}_1\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,v_0=\omega_{21}R \,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\omega_{21}=\frac{v_0}{R}

Por tanto:

\vec{\omega}_{21}=\frac{v_0}{R}\,\vec{k}_1

En cuanto al movimiento {01}, conocemos la velocidad (nula) del punto I_{01}\,, que ha sido gráficamente determinado pero cuya posición podemos expresar analíticamente mediante simple inspección geométrica de la figura:

\overrightarrow{O_1I_{01}}=[R+L\,\mathrm{sen}(\theta)]\,\vec{\imath}_1+L\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\jmath}_1

Y, por otra parte, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto C\equiv I_{20}\,, deducimos el valor de la velocidad de C\, en el movimiento {01}:

\vec{v}^{\ C}_{21}=\underbrace{\vec{v}^{\ C}_{20}}_{=\vec{0}}+\vec{v}^{\ C}_{01}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, \vec{v}^{\ C}_{01}=\vec{v}^{\ C}_{21}=v_0\,\vec{\jmath}_1

De modo que, relacionando estas dos velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades del movimiento {01}, podemos deducir el valor de la correspondiente velocidad angular:

\left.\begin{array}{l} \vec{v}^{\, I_{01}}_{01}=\vec{0} \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{01}=v_0\,\vec{\jmath}_1 \end{array}\right\}\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{01}=\vec{v}^{\, I_{01}}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times \overrightarrow{I_{01}C}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, v_0\,\vec{\jmath}_1=\omega_{01}\,\vec{k}_1\times [-L\,\mathrm{sen}(\theta)]\,\vec{\imath}_1 \,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,v_0=-\omega_{01}L\,\mathrm{sen}(\theta) \,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\omega_{01}=-\frac{v_0}{L\,\mathrm{sen}(\theta)}

Por tanto:

\vec{\omega}_{01}=-\frac{v_0}{L\,\mathrm{sen}(\theta)}\,\vec{k}_1

Finalmente, la ley de composición de velocidades angulares permite deducir el valor de la velocidad angular que nos falta:

\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, \vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{01}= \left[\frac{v_0}{R}+\frac{v_0}{L\,\mathrm{sen}(\theta)}\right]\,\vec{k}_1

4 Aceleraciones pedidas

La aceleración \vec{a}^{\, C}_{01}\, se deduce fácilmente a partir de la ley de composición de aceleraciones aplicada al punto C\,:

\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{21}}_{\displaystyle =\vec{0}}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{20}}_{\displaystyle =\vec{0}}+\vec{a}^{\, C}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\!\times\!\underbrace{\vec{v}^{\, C}_{20}}_{\displaystyle =\vec{0}}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{a}^{\, C}_{01}=\vec{0}

donde se ha tenido en cuenta que \vec{v}^{\, C}_{20}\, y \vec{a}^{\, C}_{20}\, son ambas nulas por ser C\, un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento {20}, y que \vec{a}^{\, C}_{21}\, es nula por ser \vec{v}^{\, C}_{21}\, constante en el tiempo.

Por último, deducimos la aceleración \vec{a}^{\, A}_{21}\, relacionándola con la aceleración \vec{a}^{\, C}_{21}\, mediante la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21}:

\vec{a}^{\, A}_{21}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{21}}_{\displaystyle =\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{21}}_{\displaystyle =\vec{0}}\times\,\overrightarrow{CA}-|\vec{\omega}_{21}|^2\,\overrightarrow{CA}=-\frac{v_0^2}{R^{\, 2}}(-R\,\vec{\imath}_1)=\frac{v_0^2}{R}\,\vec{\imath}_1

donde se ha tenido en cuenta que la aceleración angular \vec{\alpha}_{21}\, es nula por ser la velocidad angular \vec{\omega}_{21}\, constante en el tiempo.

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