5.7. Movimiento relativo de dos ventiladores
De Laplace
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1 Enunciado
Sobre dos paredes perpendiculares, se han colocado sendos ventiladores planos (sólidos “0” y “2”) de orientación fija, ambos a la misma altura, y con sus respectivos centros (A y B) equidistantes (distancia L) de la esquina (punto O). Los dos ventiladores rotan con velocidad angular de módulo constante igual a ω, si bien lo hacen con las orientaciones y sentidos respectivamente indicados en la figura. Definido el triedro fijo OXYZ (sólido “1”) del esquema, y considerando como movimiento-problema el movimiento relativo entre ambos ventiladores (movimiento {20}), determine
-
y
-
y
;
- El eje instantáneo de rotación (E.I.R.) del movimiento {20}.
![Archivo:ventiladores-enfrentados.png](/wiki/images/1/11/Ventiladores-enfrentados.png)
Nota: Se recomienda la utilización del triedro “1” para la descomposición del movimiento-problema, así como el uso de su base vectorial para resolver el ejercicio.
2 Velocidad y aceleración angular
2.1 Velocidad angular
En este caso tenemos la descomposición
La velocidad angular es la suma de las de los dos movimientos relativos
![\vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}+\vec{\omega}_{10}](/wiki/images/math/3/8/8/388d26565fc42edf906dae7ca087466a.png)
La velocidad angular del movimiento {21} va en la dirección del eje OX
![\vec{\omega}_{21}=\omega\vec{\imath}](/wiki/images/math/8/7/3/873e7af52b7e2a477be5cda5fc4368b5.png)
La del movimiento {10} es igual en magnitud, y de sentido opuesto a la del movimiento {01}, que es el dato que se nos da
![\vec{\omega}_{10}=-\vec{\omega}_{01}=-(-\omega\vec{\jmath})=\omega\vec{\jmath}](/wiki/images/math/9/7/4/974517c6c961121df5fba1c695baed90.png)
por lo que la velocidad angular absoluta vale
![\vec{\omega}_{20} = \vec{\omega}_{21}+\vec{\omega}_{10}=\omega(\vec{\imath}+\vec{\jmath})](/wiki/images/math/7/d/2/7d29fe9bdb796a857f41b89977fd5af4.png)
2.2 Aceleración angular
Para las aceleraciones angulares tenemos la ley de composición
![\vec{\alpha}_{20}=\vec{\alpha}_{21}+\vec{\alpha}_{10}+\vec{\omega}_{10}\times\vec{\omega}_{21}](/wiki/images/math/4/0/1/401958abfabd5dad376d1e3b5a74ef44.png)
La aceleración angular del movimiento {21} es nula, por ser una rotación con velocidad angular constante
![\vec{\alpha}_{21}=\vec{0}](/wiki/images/math/8/9/c/89c94827ec7cf77ed7708ff8d0575134.png)
Lo mismo ocurre con la del movimiento {10}, ya que en este movimiento, el ventilador 0 “ve” al sistema “1” rotar con velocidad angular constante alrededor de un eje fijo
![\vec{\alpha}_{10}=\vec{0}](/wiki/images/math/6/7/1/6714b05350efe1e2f48c87a92970328a.png)
Las velocidades angulares que aparecen en el último término son vectores ya conocidos, por lo que
![\vec{\alpha}_{20}=\vec{\omega}_{10}\times\vec{\omega}_{21}=(\omega\vec{\jmath})\times(\omega\vec{\imath})=-\omega^2\vec{k}](/wiki/images/math/3/7/3/3732e029ec14ef78d48b358e5c777842.png)
3 Velocidad y aceleración
3.1 Velocidad
La velocidad del punto O en el movimiento {20} se puede descomponer como
![\vec{v}^O_{20}=\vec{v}^O_{21}+\vec{v}^O_{10}](/wiki/images/math/f/f/6/ff6d0dc3c5a342a8e5cdaae5c8ceaf37.png)
La velocidad de O en el movimiento {21} es la de una rotación en torno a un eje que pasa por B
![\vec{v}^O_{21}=\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BO}=(\omega\vec{\imath})\times(-L\vec{\jmath})=-L\omega\vec{k}](/wiki/images/math/2/2/b/22b604999b929fe96e2e64b407b189a1.png)
La velocidad del mismo punto en el movimiento {10} es otra rotación, en este caso en torno a un eje que pasa por A
![\vec{v}^O_{10}=\vec{\omega}_{10}\times\overrightarrow{AO}=(\omega\vec{\jmath})\times(-L\vec{\imath})=L\omega\vec{k}](/wiki/images/math/e/1/a/e1a0b58aebde1ff18c45c8c2e67368fd.png)
Sumando las dos contribuciones
![\vec{v}^O_{20}=-L\omega\vec{k}+L\omega\vec{k}=\vec{0}](/wiki/images/math/9/5/0/950e9c25c105ee2e2bdee3a51b672b6e.png)
El punto O se encuentra en reposo instantáneo en el movimiento {20}.
3.2 Aceleración
La fórmula correspondiente para la composición de aceleraciones la da el teorema de Coriolis
![\vec{a}^O_{20}=\vec{a}^O_{21}+\vec{a}^O_{10}+2\vec{\omega}_{10}\times\vec{v}^O_{21}](/wiki/images/math/c/9/c/c9c11acfc6bbaf71bcf6fc4a085904f8.png)
La aceleración de O en el movimiento {21} es la correspondiente a una rotación a velocidad angular constante en torno a un eje que pasa por B
![\vec{a}^O_{21}=\overbrace{\vec{a}^B_{21}}^{=\vec{0}}+\overbrace{\vec{\alpha}_{21}}^{=\vec{0}}\times\overrightarrow{BO}+\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BO})](/wiki/images/math/6/3/1/631032831481f8475fd620c9c20dd3fd.png)
Sustituyendo la velocidad angular y el vector de posición relativo
![\vec{a}^O_{21}=(\omega\vec{\imath})\times((\omega\vec{\imath})\times(-L\vec{\jmath})) = \omega^2L\vec{\jmath}](/wiki/images/math/c/d/2/cd26cce12b8c36f062c3fac4d67a49e9.png)
Del mismo modo, la aceleración de O en el movimiento {10} es la de un movimiento de rotación a velocidad angular constante en torno a un eje que pasa por A
![\vec{a}^O_{10}=\overbrace{\vec{a}^A_{10}}^{=\vec{0}}+\overbrace{\vec{\alpha}_{10}}^{=\vec{0}}\times\overrightarrow{AO}+\vec{\omega}_{10}\times(\vec{\omega}_{10}\times\overrightarrow{AO})](/wiki/images/math/a/1/d/a1d7aac34e15c3ec0ef205ae90feea6b.png)
Sustituyendo la nueva velocidad angular y el correspondiente vector de posición relativo
![\vec{a}^O_{10}=(\omega\vec{\jmath})\times((\omega\vec{\jmath})\times(-L\vec{\imath})) = \omega^2L\vec{\imath}](/wiki/images/math/1/e/f/1efc5d85c3526e1ae393907589f9de37.png)
Por último, para el término de Coriolis tenemos
![2\vec{\omega}_{10}\times\vec{v}^O_{21}=2(\omega\vec{\jmath})\times(\omega L\vec{k}) = -2\omega^2L\vec{\imath}](/wiki/images/math/4/d/6/4d6fb9199e111a64ad678817979840e3.png)
Sumando las tres contribuciones
![\vec{a}^O_{20}=\omega^2L\vec{\jmath}+\omega^2L\vec{\imath} -2\omega^2L\vec{\imath}=\omega^2L(-\vec{\imath}+\vec{\jmath})](/wiki/images/math/d/1/7/d1797bb4f627d183309c326eb74f0d2f.png)
4 Eje instantáneo de rotación
El Eje Instantáneo de Rotación es uno que pasa por un punto de velocidad nula y tiene la dirección de la velocidad angular. Vimos en el primer apartado que
![\vec{v}^O_{20}=\vec{0}](/wiki/images/math/c/7/3/c7319abc0bc26134b47c3f5ffc03c440.png)
![\vec{\omega}_{20}=\omega(\vec{\imath}+\vec{\jmath})](/wiki/images/math/1/6/c/16c5964561c0595f36cc65facd140afc.png)
por lo que el EIR es uno que pasa por el origen y tiene la dirección de la bisectriz entre los ejes OX y OY. Vectorialmente
![\overrightarrow{OI}=\lambda\omega(\vec{\imath}+\vec{\jmath})](/wiki/images/math/9/b/b/9bba2b3fba07a24a75c0bf3d715ca1a4.png)
Supongamos que no conociéramos por el apartado anterior que . ¿Podríamos haber determinado de forma sencilla la posición del EIR {20}? Sí. Observemos que los ejes de rotación de los movimientos {21} y {10} se cortan en el punto C de posición
![\overrightarrow{OC}=L\vec{\imath}+L\vec{\jmath}](/wiki/images/math/e/a/e/eaeb1adf015f2c452c1280ad6716a14f.png)
Por el teorema de Varignon, la composición de dos rotaciones sobre ejes concurrentes es otra rotación cuyo eje pasa por el punto de corte. Por tanto el movimiento {20} es necesariamente una rotación cuyo EIR pasa por C, ya que la velocidad absoluta de C es nula, por serlo la relativa y la de arrastre:
![\vec{v}^C_{20}=\overbrace{\vec{v}^C_{21}}^{=\vec{0}}+\overbrace{\vec{v}^C_{10}}^{=\vec{0}} = \vec{0}](/wiki/images/math/9/4/b/94bf20080670446a5b003686611126ed.png)
La dirección del EIR la da la velocidad angular , de forma que
![\overrightarrow{CI}= \lambda\vec{\omega}_{20}=\lambda\omega(\vec{\imath}+\vec{\jmath})](/wiki/images/math/c/8/2/c8296cf75836b552321fbafffc34a29e.png)
La posición del eje respecto al origen del sólido 1 es
![\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CI}=(L+\lambda\omega)\vec{\imath}+(L+\lambda\omega)\vec{\jmath}=\mu\vec{\imath}+\mu\vec{\jmath}](/wiki/images/math/e/0/9/e0988b3ba519c3c5d5be20d21ead6fa4.png)