Problemas de Dinámica del punto (G.I.A.)

De Laplace

Contenido 1 Dinámica del Punto (I) 2 Partícula colgando de dos muelles en ángulo recto 3 Asociación de muelles en serie y en paralelo 4 Sistema equivalente a dos resortes alineados 5 Equilibrio de una partícula bajo la acción de tres muelles 6 Equilibrio de una partícula sobre una esfera lisa 7 Equilibrio de una partícula sobre una hélice 8 Muelle en un cuadrilatero 9 Cuerda tirando de una masa 10 Partícula vinculada, en equilibrio y con dos resortes no alineados 11 Equilibrio de partícula y punto sin masa insertados en cuadrilátero vertical 12 Interacciones y aceleraciones en sistema de tres partículas 13 Dinámica del Punto (II) 14 Fuerza unidireccional 15 Partícula en el campo gravitatorio terrestre 16 Muelle vertical 17 Partícula ensartada en un aro circular 18 Nave espacial alejándose de un planeta 19 Partícula deslizando sobre un disco 20 Movimiento parabólico sobre un plano inclinado 21 Masa deslizando por una pendiente hacia un muelle 22 Masa en plano inclinado con rozamiento, empujada por resorte 23 Cuestión sobre teoremas de conservación 24 Partícula sometida a la acción de dos muelles 25 Nave en órbita alrededor de la Tierra 26 Partícula con trayectoria espiral 27 Otros "problemillas" de Dinámica del Punto (II) 28 Partícula disparada en el interior de un aro 29 Partícula en un pozo de potencial 30 Partícula en un tubo que gira con velocidad angular constante 31 Partícula en tubo con resortes 32 Ecuación del movimiento armónico simple 33 Bloque sobre plano en movimiento 34 Barra conectada a un deslizador 35 Cuerpo puntual sobre rampa con rozamiento y resorte

1 Dinámica del Punto (I)

2 Partícula colgando de dos muelles en ángulo recto

Los resortes AP y BP , tienen longitudes naturales l₁ = 2a y l₂ = 2a, respectivamente, pero se desconoce el valor de sus correspondientes constantes recuperadoras k₁ y k₂. Cada resorte tiene uno de sus extremos conectados a sendos puntos fijos A y B de un plano horizontal, que se hallan separados una distancia de valor 5a. Los extremos libres de los resortes se conectan a una partícula P. La masa de dicha partıcula tiene un valor m tal que el sistema alcanza el equilibrio estático. En dicha situación, se comprueba que las direcciones AP y BP son perpendiculares entre sí y que la AP forma un ángulo θ con la horizontal, tal que su coseno vale 3 / 5.

1. ¿Que relación verifican las constantes recuperadoras de los resortes?
2. Encuentre cuanto vale la masa en función de las constantes de los resortes.

3 Asociación de muelles en serie y en paralelo

Determine constante recuperadora equivalente de un sistema formado por dos muelles de constantes k₁ y k₂ y longitud natural nula, cuando, (a) los muelles están conectados en paralelo y (b) los muelles están conectados en serie.

 

 

 

4 Sistema equivalente a dos resortes alineados

Una partícula pesada P de masa m, se halla en equilibrio por la acción de dos resortes, uno de constante recuperadora K₁ y longitud natural l₁, y otro de constante recuperadora K₂ y longitud natural l₂, tales que K₁l₁ = K₂l₂. El primer resorte tiene un extremo conectado a P y el otro a un punto fijo O; el segundo resorte se conecta a la partícula y a un punto fijo A, separado de O por una distancia d. En la situación de equilibrio, los puntos O, P y A están alineados en la dirección y el sentido de (gravedad). ¿Cuáles deben ser los valores de la constante K y la longitud natural l₀ de un único resorte que conectado al punto O, produzca la misma situación de equilibrio que los dos resortes?

 

5 Equilibrio de una partícula bajo la acción de tres muelles

Una partícula libre de masa m está unida a tres muelles de longitud natural nula y constantes elásticas k_A, k_B y k_C. Cada uno de los muelle tiene el otro extremo fijado en un punto. Las coordenadas de los puntos de fijación son A( − a,0,0), B(a,0,0) y C(0,a,0).

1. Calcula la posición de equilibrio de la partícula.
2. Considera las situaciones siguientes
   1. m = 0 y k_A = k_B = k_C = k
   2. m = 0 y
   3. k_A = k_B = k_C = k y m > > ka / g.

6 Equilibrio de una partícula sobre una esfera lisa

Un punto material M de peso P está obligado a permanecer en la superficie de una esfera de radio R y centro O. Además, M es atraído por un punto fijo A del ecuador de la superficie esférica, debido a la existencia de un resorte elástico ideal, de longitud natural nula y de constante recuperadora , que conecta ambos puntos. Determina las posiciones de equilibrio del punto material M, y la fuerza de reacción vincular en ellas.

7 Equilibrio de una partícula sobre una hélice

Un punto material M, de peso P, está vinculado a la hélice Γ, definida en el sistema de referencia cartesiano OXYZ por la ecuación vectorial . Determina la posición de equilibrio estático del punto M si, además, este es atraído por el origen por una fuerza proporcional a la distancia entre ambos puntos, siendo k la constante de proporcionalidad.

8 Muelle en un cuadrilatero

En el sistema de la figura están marcadas cuatro posibles posiciones de la masa m, sometida a la acción de la gravedad, de un muelle de constante elástica k y longitud natural l₀ y ensartada en el cuadrilátero.

1. Si los vínculos son lisos, ¿cuál de las posiciones de la masa pueden ser de equilibrio?
2. ¿Y si son rugosos?

9 Cuerda tirando de una masa

Un cuerpo de masa , que puede ser considerado como partícula, se encuentra en contacto con una superficie plana y horizontal –respecto de la vertical gravitatoria–, sobre la que puede deslizar. El contacto entre el cuerpo y la superficie es rugoso, estando caracterizado por un coeficiente estático de rozamiento de valor . Mediante un cable o similar, se ejerce sobre el cuerpo una fuerza de módulo constante , y en la dirección que forma un ́angulo θ = π / 6 con la horizontal. Considérese que el valor de la aceleración de la gravedad es .

1. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la partícula.
2. Si la masa está en equilibrio estático, ¿cuál es el valor del módulo de la fuerza de rozamiento?
3. Manteniendo constante el módulo de la fuerza ejercida por la cuerda, se procede a cambiar su dirección, de manera que el ángulo θ varía dentro del rango . ¿Cuál es el valor límite de dicho ángulo, θ_lim, en que el cuerpo dejaría de estar en reposo y comenzaría a deslizar sobre el plano?

10 Partícula vinculada, en equilibrio y con dos resortes no alineados

El sistema de la figura está formado por dos barras fijas conectadas en el punto O y dirigidas, una en la dirección de la vertical gravitatoria OX, y otra en una dirección horizontal OY. Una partícula pesada P, de masa m, se halla ensartada en la barra vertical, pudiendo deslizar por ella sin rozamiento. Un segundo punto material A, cuya masa es despreciable, está obligado a moverse siempre en la barra horizontal. Un resorte de longitud natural nula y constante recuperadora K₁ tiene conectados cada uno de sus extremos a dichos puntos móviles. Un segundo resorte de constante K₂ y longitud natural l₀ conecta la partícula sin masa A con el punto fijo O. Considerando que el rozamiento entre la barra horizontal y la partícula A es también despreciable, determine las posiciones que ocupan las partículas y las fuerzas de reacción vincular que actúan sobre ellas cuando ambas se encuentran en equilibrio.

11 Equilibrio de partícula y punto sin masa insertados en cuadrilátero vertical

Cuatro varillas de igual longitud d están dispuestas formando un cuadrado ODEC, contenido en el plano vertical OXY. Un resorte de longitud natural nula y constante recuperadora K₁conecta el vértice fijo C del cuadrilátero con un punto A de masa despreciable que puede desplazarse a lo largo de la varilla horizontal superior . Además, una partícula material B, cuya masa tiene un valor m está insertada en el lado vertical de manera que su movimiento está limitado a desplazamientos sobre dicha varilla. Un segundo resorte de longitud natural nula y constante recuperadora K₂ conecta la partícula B al punto A. Los valores de los parámetros del sistema son tales que K₂d > mg.

1. Considerando que los vínculos son perfectamente lisos, determine las posiciones de equilibrio de las partículas A y B.
2. Considérese ahora que, mientras que el vínculo en B sigue siendo liso, la partícula sin masa A está sometida a un vínculo rugoso cuya fuerza de rozamiento verifica las leyes del rozamiento seco. ¿Cuáles son las posiciones de equilibrio?

 

 

12 Interacciones y aceleraciones en sistema de tres partículas

Tres part\'{\i}culas $P_0$, $P_1$ y $P_2$, de masas conocidas con valores $m_0$, $m_1$ y $m_2$, respectivamente, interaccionan entre s\'{\i} de manera que la fuerza $\vec{F}_{ij}$ que la part\'{\i}cula $P_j$ ejerce sobre la $P_i$, tiene la direcci\'{o}n del segmento $\overrightarrow{P_jP_i}$ (es decir, $\vec{F}_{ij}\parallel\pm\overrightarrow{P_jP_i}$). En un determinado instante, las part\'{\i}culas ocupan los v\'{e}rtices de un tri\'{a}ngulo equil\'{a}tero; se adopta un sistema de referencia cartesiano $OXYZ$ tal que dicho tri\'{a}ngulo est\'{a} contenido en plano $OXY$, con el segmento $\overrightarrow{P_2P_1}$ paralelo al eje $OX$, y la part\'{\i}cula $P_0$ en el punto $O$. En dicho instante, las aceleraciones de las part\'{\i}culas $P_1$ y $P_2$ tiene igual direcci\'{o}n y sentido, siendo paralelas y opuestas al eje $OY$; es decir $\vec{a}_1=-a_1\pes\vec{\jmath}\ $ y $\ \vec{a}_2=-a_2\pes\vec{\jmath}$, respectivamente, con $a_1\mathrm{,}\, a_2>0$\end{minipage}\hfill\begin{minipage}{5.65cm}\includegraphics{FI_1ac_17_18_e2.eps}\end{minipage}

\item[\textbf{(a)}] Determine qu\'{e} relaci\'{o}n verifican los m\'{o}dulos de dichas aceleraciones, $|\vec{a}_1|/|\vec{a}_2|$, en funci\'{o}n de las masas de las part\'{\i}culas. \item[\textbf{(b)}] Determine la direcci\'{o}n y el sentido de la aceleraci\'{o}n $\vec{a}_0$ de la part\'{\i}cula $P_0$. ?`Cu\'{a}nto vale su m\'{o}dulo en relaci\'{o}n con los m\'{o}dulos de las aceleraciones de $P_1$ y $P_2$?

13 Dinámica del Punto (II)

14 Fuerza unidireccional

Una partícula de masa m está sometida a una fuerza constante . Si parte del reposo y desde el origen del sistema de referencia, encuentra la posición y la velocidad de la partícula en cualquier instante.

15 Partícula en el campo gravitatorio terrestre

Una partícula de masa m se mueve en el seno del campo gravitatorio terrestre cerca de la superficie, de modo que la aceleración de la gravedad puede suponerse constante y dirigida verticalmente a la superficie (). Analiza el movimiento de la partícula para las siguientes condiciones iniciales

1. , .
2. , .
3. , .

16 Muelle vertical

Se tiene un muelle vertical de constante K y longitud natural l₀. El sistema está sometido a la acción de la gravedad, .

1. Se cuelga una masa m del extremo del muelle. ¿Cuál es la nueva elongación del muelle cuando se alcanza el equilibrio?
2. Partiendo de la situación del apartado anterior, estiramos la masa de modo que la elongación del muelle aumenta una distancia L, y lo soltamos. Describe las fuerzas actuando sobre la masa justo después de soltarla.
3. Aplicando la Segunda Ley de Newton calcula la posición de la masa como función del tiempo. ¿Que movimiento describe?

Nota : Podemos suponer que todos los desplazamientos del muelle son verticales.

17 Partícula ensartada en un aro circular

Se tiene un aro circular de radio R. Engarzado en él hay una masa m que puede deslizar siguiendo la circunferencia del aro bajo la acción de la gravedad.

1. Suponiendo que el contacto es liso, encuentra las ecuaciones que describen el movimiento de la masa en función del ángulo α de la figura.
2. Soltamos la masa con velocidad inicial nula y un ángulo inicial . Encuentra la función α(t) que describe el movimiento de la masa.
3. Supongamos ahora que nos dicen que la masa realiza un movimiento circular uniforme con frecuencia angular Ω. Encuentra la expresión de la fuerza de ligadura en función del ángulo θ. ¿Es constante? En este caso, ¿el vínculo es liso o rugoso?

18 Nave espacial alejándose de un planeta

Una nave espacial que --en primera aproximación-- se considerará como partícula material P de masa m constante, se mueve en las proximidades de un planeta de masa M y centro O, sometida a la acción gravitatoria de éste,

donde , es la distancia que separa la nave del centro O, y G es la constante de gravitación universal.

Con anterioridad al instante que tomaremos como t = 0, la nave orbita en torno al planeta con los motores apagados, recorriendo la órbita circular Λ, de radio R₀ y centro en O, con velocidad , siendo su módulo el valor constante . En el instante t = 0, cuando la nave se halla en la posición de Λ correspondiente a θ = 0, los motores se encienden súbitamente. En instantes posteriores, , la nave se aleja del planeta siguiendo la trayectoria espiral Γ, contenida en el mismo plano OXY que la órbita circular Λ. Además, la nave recorre dicha trayectoria de manera que su momento cinético respecto del origen O permanece constante. Las expresiones en coordenada polares de la trayectoria Γ y de la velocidad instantánea de la nave cuando recorre dicha trayectoria son:

con y .

1. Calcule el impulso mecánico instantáneo (percusión) ejercido por los motores al encenderse de forma súbita en el instante t = 0, para que la nave inicie la maniobra de alejamiento a partir de t = 0 ⁺ .
2. Obtenga la expresión de la energía mecánica de la nave en función del tiempo, E(t), antes y después de ponerse en marcha los motores.
3. Obtenga la potencia desarrollada por los motores cuando la nave recorre la trayectoria espiral $\Gamma$, expresada en función de la posición. Demuestre que dicha potencia alcanza su valor máximo en la posición correspondiente a r = 3R₀ / 2. ¿Qué trabajo han de realizar los motores para llegar a dicho punto?

19 Partícula deslizando sobre un disco

Una partícula P, de masa m, es abandonada en reposo en el punto más alto de un disco vertical de radio R que descansa apoyado en el suelo. Debido a una ligera perturbación, la partícula comienza a deslizar bajo la acción de la gravedad. Suponiendo que no hay rozamiento, determine

1. El punto en el que la partícula pierde contacto con el disco.
2. La velocidad con la que impacta contra el suelo.

 

 

20 Movimiento parabólico sobre un plano inclinado

Una partícula de masa m desliza sin rozamiento sobre un plano inclinado un ángulo α sobre la horizontal. La partícula parte desde el origen con una velocidad paralela a la base del plano y módulo v₀, como se indica en la figura.

1. Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la partícula.
2. Determina la velocidad de la partícula en cada instante.
3. Determina la posición de la partícula en cada instante.
4. Calcula el tiempo que tarda en llegar a la base del plano inclinado.
5. ¿Qué tipo de curva describe la partícula?

21 Masa deslizando por una pendiente hacia un muelle

Una masa m se encuentra al borde de una pendiente. Después de la pendiente se extiende una llanura, al final de la cual hay un muelle relajado de constante elástica k y longitud natural l₀. La masa se encuentra a una altura h relativa al muelle. Suponemos que no existe fuerza de rozamiento entre la masa y la superficie.

1. Determina la velocidad con la que la masa impacta en el muelle (punto B).
2. ¿Cuál es el valor mínimo de la constante elástica del muelle, k_min, para que este pueda evitar que la masa toque la pared?
3. Supón ahora que entre los puntos A y B hay una región de longitud d en la que existe rozamiento entre la masa y el suelo. Si el coeficiente de rozamiento es μ, ¿cuál es el nuevo valor mínimo de k en el apartado anterior?
4. Supongamos que k > k_min. En la situación de rozamiento del apartado anterior, calcula la velocidad con la que la partícula vuelve al punto A y la altura a la que sube por la pendiente.
5. Calcula numéricamente las magnitudes pedidas si , , , μ = 0.200, , .

22 Masa en plano inclinado con rozamiento, empujada por resorte

Una partícula material de masa m, se encuentra sobre una rampa de longitud indefinida cuya inclinación respecto del plano horizontal es α. El contacto entre la partícula y la rampa es de naturaleza rugosa, estando caracterizado por un coeficiente de rozamiento dinámico de valor μ. Partiendo del reposo en el punto más bajo de la rampa, O, la partícula asciende por ella empujada por un resorte de longitud natural l₀ y constante recuperadora k.

1. Obtenga la expresión que determina a qué distancia del extremo O se detiene la partícula.
2. ¿A qué distancia su velocidad será máxima?

23 Cuestión sobre teoremas de conservación

Una pequeña bolita P, de masa m, está insertada en un aro de centro O y radio R, fijado en el plano horizontal OXY. La partícula está sometida a la acción de la gravedad (en la dirección perpendicular al plano, ) y a la de un resorte ideal de longitud natural nula y constante recuperadora k, que tiene un extremo fijo en el punto de circunferencia de coordenadas A( − R / 2,0,0). El rozamiento entre la bolita y el aro es despreciable. Para el sistema descrito, responda razonadamente a las siguientes cuestiones:

1. ¿Se conserva la energía mecánica?
2. ¿Se conserva el momento cinético respecto del punto O?
3. ¿Se conserva el momento cinético respecto del punto A?

24 Partícula sometida a la acción de dos muelles

Una partícula P, de masa m, se mueve en el plano horizontal sometida a la acción de dos resortes elásticos ideales e idénticos, de constante k y longitud natural nula. Los puntos de anclaje son C( − d,0) y D(d,0), respectivamente

1. Escribe la ecuación diferencial que determina el movimiento de la partícula.
2. Si las condiciones iniciales son y , encuentra las expresiones que dan la posición y la velocidad de la partícula en todo instante de tiempo.
3. Determina, para todo instante de tiempo, el momento cinético, , de la partícula P respecto al origen de coordenadas O, así como su energía mecánica, E. ¿Qué teoremas de conservación explican las propiedades de estas magnitudes en este problema?

25 Nave en órbita alrededor de la Tierra

Una pequeña nave espacial de masa m, que en primera aproximación puede considerarse como cuerpo puntual P, se encuentra en las inmediaciones de un planeta lejano de radio R_p y masa M, de manera que la energía potencial gravitatoria de la nave en una determinada posición es:

siendo la distancia desde el centro O del planeta hasta la nave P, y G la constante gravitatoria universal. Inicialmente, la nave describe una órbita circular de radio r_o, a una altura h_o = R_p / 12 sobre la superficie del planeta. Sometida exclusivamente a la acción gravitatoria del planeta, la nave orbita a velocidad constante v_o. En un determinado instante, la nave pone en marcha su motor para ascender a otra órbita circular de radio r_f, concéntrica y coplanaria a la anterior, que se encuentra a una altura h_f = R_p / 10, respecto de la superficie del planeta. Una vez estabilizada en la nueva órbita, la nave la recorrerá con velocidad constante v_f, sólo sometida a la fuerza de gravedad ejercida por el planeta. La nave cuenta con un sofisticado motor electrostático alimentado por energía nuclear, que permite que la masa m permanezca constante.

1. Encuentre la relación que verifican los módulos de las velocidades en las órbitas inicial y final.
2. Si, considerando la nave como partícula, ΔU_g es su incremento de energía potencial gravitatoria al pasar de la órbita r = r_o a la órbita r = r_f, y ΔK es la diferencia de energía cinética entre las dos órbitas, ¿Cuál es la relación entre el trabajo realizado por el motor, W_mot en el proceso de cambio de órbita y ΔU_g y ΔK?
3. Para el cambio de órbita, la nave sigue una trayectoria plana caracterizada por la ecuación en coordenadas polares Γ:r = r(θ), y según la ley horaria r(t), expresadas a continuación

Si la fuerza ejercida por el motor durante dicho cambio de órbita se expresa en la base de las coordenadas polares, , ¿cómo ha de ser la ley horaria verificada por Φ_r para que la nave realice el movimiento descrito? </p>

1. Durante el cambio de órbita, ¿qué le ocurre al módulo del momento cinético de la nave, , medido desde el centro del planeta: su valor es constante o varía durante el movimiento?

26 Partícula con trayectoria espiral

Una partícula P de masa m se mueve en el plano OXY describiendo una trayectoria espiral Γ, cuya ecuación en coordenadas polares {r,θ} es:

de manera que r(t) es la distancia medida desde el origen O del sistema de referencia, a la posición P(t) que ocupa la partícula en un cierto instante, y θ(t) el ángulo (medido en radianes) que en dicho instante forma el radio vector con el eje OX. Además, el movimiento de la partícula es tal que su momento cinético respecto de O es un vector constante de módulo conocido, L₀.

1. Obtenga la expresión del vector velocidad instantánea de la partícula P como una función de la posición, dada por el ángulo θ. Se sugiere utilizar la base de las coordenadas polares, .
2. Obtenga la expresión del vector aceleración instantánea de la partícula en función de su posición, . ¿Qué propiedades tienen la dirección, el sentido y el módulo de la fuerza resultante que actúa sobre la partícula?
3. Obtenga las componentes intrínsecas de la velocidad (módulo) y de la aceleración. Determine las direcciones tangente y normal a la trayectoria (en términos de las base de las coordenadas polares), así como el radio de curvatura de la trayectoria en cada punto.
4. Sabiendo que en el instante t = 0 la partícula se encuentra a una distancia r₀ del punto O, calcule su energía cinética inicial ¿Se conservará durante el movimiento? Obtenga la ley horaria θ(t) que describe cómo se mueve la partícula.

27 Otros "problemillas" de Dinámica del Punto (II)

Los ejercicios propuestos y resueltos a continuación no se encuentran incluidos en los boletines de problemas de los temas 4 y 5 del presente curso, aunque sí lo estuvieron en cursos anteriores.

28 Partícula disparada en el interior de un aro

Una partícula P de masa m se desplaza por la cara interior de un aro fijo de radio R y centro O dispuesto en el plano vertical OXY, de manera que la posición de la partícula viene determinada en cada instante por el correspondiente valor del ángulo θ indicado en la figura. En el instante inicial la partÍcula se encuentra en la posición θ(0) = − π / 2, tras ser lanzada por un disparador consistente en un resorte de longitud natural l₀ y constante recuperadora k, que previamente había sido comprimido una distancia d.

Nada impide que la partícula pueda separarse del aro, pero cuando están en contacto el rozamiento entre ambos cuerpos es despreciable. Por tanto, la correspondiente fuerza de reacción vincular puede expresarse en la base de las coordenadas polares , como .

1. Diagrama de fuerzas y descripción.
2. Ecuaciones de movimiento.
3. Energía mecánica del sistema.
4. Momento cinético de la partícula.

29 Partícula en un pozo de potencial

Una partícula P, de masa m, realiza un movimiento rectilíneo sobre la parte positiva del eje OX. La partícula está sometida a una fuerza que tiene la forma

siendo k una constante conocida.

1. Determina la energía potencial de la partícula en función de su coordenada x (considerando que es nula en el infinito y exigiendo su continuidad en x = L) y represéntala gráficamente.
2. Sabiendo que la partícula inicia su movimiento desde el reposo en el punto P₀ de coordenada x = 2L, determina su energía mecánica.
3. ¿En qué otro punto (de la región x < L) la partícula se detiene momentáneamente (punto de retorno)? ¿Cuánto tiempo emplea en llegar desde x = L a ese punto de retorno?

30 Partícula en un tubo que gira con velocidad angular constante

Una partícula de masa m se encuentra en el interior de un tubo estrecho, el cual gira con velocidad angular uniforme ω en torno a un eje perpendicular al del tubo, de forma que la posición de la partícula puede describirse como

1. Halla la ecuación diferencial que cumple la función r(t) sabiendo que el vínculo entre la partícula y el tubo es liso.
2. Comprueba que

es una solución de la ecuación para r(t).

1. Para esta solución particular
   1. Calcula la fuerza ejercida por el tubo en cada instante.
   2. Halla la potencia desarrollada por el tubo sobre la partícula. Calcula el trabajo realizado sobre la partícula durante el tiempo que emplea en pasar de r = b a r = 2b.
   3. Calcula el incremento de la energía cinética de la partícula en el mismo intervalo y comprueba que se verifica el teorema de las fuerzas vivas o de la energía.

31 Partícula en tubo con resortes

Un tubo estrecho AB de longitud 2l y de masa despreciable, contenido en todo instante en el plano horizontal fijo OXY, gira con velocidad angular constante alrededor de su centro O, de manera que el ángulo que forma el tubo con la dirección OX verifica la ley horaria . En el interior del tubo hay una partícula P de masa m, que puede moverse sin rozamiento apreciable. Sendos resortes ideales, ambos de longitud natural nula y constante recuperadora de valor k, conectan la partícula con los extremos A y B del tubo.

1. Escriba las expresiones de los vectores posición, velocidad y aceleración de la partícula en función de la variable r y sus derivadas, utilizando la base de las coordenadas polares . Exprese también las distintas fuerzas que actúan sobre la partícula.
2. Aplique las leyes de la Dinámica para formular las ecuaciones de movimiento del sistema. A la vista de la ecuación diferencial que describe el comportamiento de r(t), indique el tipo de movimiento que realiza la partícula a lo largo del tubo para los siguientes casos: (a) ; (b) , y (c) , siendo .
3. Considérese la situación particular en que el valor de la velocidad angular es -caso (b)-, y en el instante inicial (t = 0) la partícula se halla en el punto O con una velocidad cuyo módulo vale v₀. Obtenga la ley horaria para la variable r(t), así como la fuerza de reacción vincular que actúa sobre la partícula.
4. Obtenga la expresión horaria E(t) para la energía mecánica de la partícula ¿Se conserva E(t)? ¿Por qué?

32 Ecuación del movimiento armónico simple

Dada la ecuación ecuación de movimiento

1. Demuestra que la función

es solución. Empleando relaciones trigonométricas, deduce la relación entre las constantes {A,φ} y las constantes {a,b} de la solución general

Expresa A y φ en función de la posición y la velocidad iniciales, x₀ y v₀.

1. Calcula la velocidad de la partícula para cualquier instante en función de la posición y velocidad iniciales.
2. Demuestra que la cantidad

no depende del tiempo. ?`Cuánto vale en función de las condiciones iniciales?

1. Demuestra que x = e^jωt, con , la unidad imaginaria, es una solución particular de la ecuación de movimiento. Aplicando los resultados anteriores, demuestra la relación

33 Bloque sobre plano en movimiento

Una partícula puntual de masa m se mueve sobre un plano inclinado. A su vez, el plano gira de modo que el ángulo con la horizontal es θ(t) = ωt. Sobre la masa actúa además la gravedad . El contacto entre la partícula y el plano es liso.

1. Encuentra la expresión de la ecuación diferencial que cumple la distancia de la partícula al origen de coordenadas, ρ(t), así como la expresión que da el valor de la fuerza de reacción vincular .
2. Demuestra que, para los valores apropiados de las constantes α y K, la expresión siguiente es solución de la ecuación diferencial. ¿Cuáles son esos valores de α y K?
3. Si en el instante inicial tenemos ρ(0) = 0 y encuentra cuánto valen las constantes A y B de la expresión anterior.
4. ¿Se conserva la energía mecánica del sistema? Razona la respuesta.

34 Barra conectada a un deslizador

Un cuerpo pesado de masa m, que puede considerarse como una partícula material P, está unido a un extremo de una barra de longitud l y masa despreciable que tiene su otro extremo articulado en un punto fijo O. Partícula y barra están obligadas a permanecer en el plano vertical OXY , tal que el eje OX coincide con la dirección y el sentido de la acción de la gravedad. Además, hay un deslizador puntual D, de masa despreciable que puede moverse insertado en otra barra fija horizontal OA, también de longitud l y coincidente con el eje OX. Dos resortes idénticos de longitud natural nula y constante recuperadora k conectan dicho deslizador con la partícula P y con el extremo A de la barra horizontal fija. En primera aproximación, puede despreciarse el rozamiento entre el deslizador D y la barra OA.

1. Determine la posición del deslizador en función del angulo θ que forma la barra OP con la vertical gravitatoria, y obtenga la expresión de las fuerzas reales y vinculares que actúan sobre la partícula P en función de dicho angulo.
2. ¿Qué relación deben verificar los par ́metros k, l y m para que el sistema se encuentre en equilibrio en la posición dada por θ = π / 6?
3. Si se considera que entre el deslizador y la barra existe rozamiento, caracterizado por un coeficiente de valor conocido μ, determine las expresiones matemáticas (inecuaciones) que establecen el rango de las posiciones de equilibrio del sistema.
4. Obtenga las expresiones de las energías cinética y potencial de P en función de la variable geométrica θ y su derivada temporal.

35 Cuerpo puntual sobre rampa con rozamiento y resorte

Un cuerpo que puede ser considerado como un punto material P de masa m, se encuentra en una rampa estrecha OA que forma con la horizontal un ángulo α tal que y . Entre partícula y rampa se establece un contacto unilateral; además, el contacto es rugoso, estando caracterizado por un coeficiente de rozamiento seco, que aproximadamente tiene el mismo valor, tanto para el caso estático como para el dinámico

. Un resorte de longitud natural b y constante recuperadora K conecta la partícula P con el extremo fijo de la rampa, O. Se sugiere utilizar un sistema de referencia cartesiano en que la rampa coincide con el eje OX y el eje OY es perpendicular a la superficie Σ de la misma. Los parámetros del sistema presentan valores tales que verifican la relación .

1. Obtenga la posición de la rampa en que la partícula se mantendría en equilibrio, P_eq = P(x_eq,0), en el caso en que no hubiese rozamiento (μ = 0). Calcule el valor de la reacción normal del plano-rampa sobre la partícula.
2. Analice el equilibrio del sistema en el caso de que exista rozamiento (), y obtenga la expresión algebraica que permite determinar el rango de posiciones de equilibrio de la partícula en la rampa. ¿Cuál es dicho rango para el caso μ = 1 / 2?
3. Estando la partícula en el punto O, se aplica una fuerza , que en todo momento tiene la dirección y sentido opuesto al peso de la partícula para que ésta ascienda por la rampa; es decir, . ¿Cómo deber ser F(x) para que la partícula se desplace a lo largo de la rampa con velocidad constante? ¿Cuál debe ser su valor máximo para que la partícula no pierda el contacto con la rampa?
4. Calcule el trabajo realizado por la fuerza para llevar la partícula desde O hasta el punto P₀ = P(x₀,0) en que pierde el contacto con la rampa. ¿Y qué trabajo ha realizado la fuerza de rozamiento en el proceso?