Partícula elíptica en campo eléctrico oblicuo
De Laplace
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1 Planteamiento
Tenemos una elipse de semiejes a y b (a > b) en el seno de un electrolito recubierta de una capa doble (partícula perfectamente polarizable). La partícula está sometida a un campo eléctrico que en el infinito es uniforme y forma un ángulo α con el semieje mayor. Este sistema es equivalente al de una partícula aislante inmersa en un medio conductor óhmico.
El problema del potencial se convierte en la solución de la ecuación de Laplace

con la condición de Neumann en la superficie de la partícula

y con el comportamiento asintótico

2 Coordenadas elípticas
Para resolver el problema eléctrico empleamos las coordenadas elípticas definidas por


con

En estas coordenadas la superficie de la elipse viene definida por

Para estas coordenadas tenemos los factores de escala

Al ser iguales, la ecuación de Laplace preseva su forma, de manera que hay que resolver

con la condición de Neumann

y con la condición de que en el infinito

3 Solución para el potencial
La solución se halla simplemente observando que la condición de que a grandes distancias


lo que nos permite sustituir el potencial en el infinito por

y esta, que ya es de por sí una solución de la ecuación de Laplace, nos dice cual es la solución del problema completo (que en tiene derivada nula). El potencial es

mientras que la función corriente, que nos da las líneas de campo, es

4 Momento dipolar
Para ver que esto equivale a un campo uniforme más un dipolo tenemos que demostrar que su comportamiento en puntos alejados va como

Para ello, en primer lugar, restamos el comportamiento asintótico

Analizando los dos factores tenemos


y por tanto

Para ver que esto es el potencial de una línea bifilar, observamos que para ξ grande se cumple


por lo que, en este mismo límite


lo que nos permite escribir el potencial residual en la forma asintótica

Podemos poner esta expresión en función de los datos originales observando que



y queda

Comparando esto con el potencial de una línea bifilar de momento por unidad de longitud

obtenemos que el momento dipolar visto desde el infinito es

5 Torque
Una vez que tenemos el momento dipolar y el campo aplicado, hallamos el par por unidad de longitud como

6 A partir del tensor de tensiones
El torque también debe poder calcularse a partir del flujo de a través de una superficie que envuelva la partícula.
Considerando una superficie elíptica infinitamente próxima a la partícula se tiene que en ella

y el tensor de tensiones en esta superficie es

El diferencial de superficie (por unidad de longitud vertical) es

con lo que la contracción vale

El vector de posición, en coordenadas elípticas, es



Multiplicando vectorialmente

El valor de E en la elipse es

lo que nos da la integral para el momento

Desarrollando sin2(η − α)

Los dos primeros términos, al integrarlos, dan cero, por tratarse de un integrando impar sobre un intervalo par. Queda entonces

Esta integral se puede hacer, por ejemplo, por residuos (o usando el Mathematica), y sale

así que obtenemos finalmente
