F1 GIA SPC 2015, Esfera con movimiento en función del tiempo

De Laplace

Revisión a fecha de 17:09 9 feb 2015; Pedro (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Solución
- 2.1 Rotación pura instantánea
- 2.2 Velocidad con módulo mínimo en el campo de velocidades

1 Enunciado

Una esfera de radio $a$ , se mueve en contacto con un plano $Π = O X 1 Y 1$ . El movimiento de la esfera queda completamente caracterizado, para todo instante de tiempo, por la reducción cinemática

$\begin{array}{c} \vec{\omega}(t) = \dfrac{v_0}{a}\,\left(1-\dfrac{v_0}{a}t\right)\,\left(\vec{\imath}_1+\vec{\jmath}_1\right) \\ \\ \vec{v}^C(t) = v_0\left[\left(1-\dfrac{v_0}{a}t\right)\,\vec{\imath}_1 + \vec{\jmath}_1\right] \end{array}$

En qué instante(s) el movimiento de la esfera respecto del plano es una rotación pura instantánea?
En qué instante la velocidad del centro $C$ tiene módulo mínimo en el campo de velocidades de la esfera?
Aceleración del punto de la esfera que ocupa la posición $D$ de contacto con el plano, en el instante $t 0 = 2 a / v 0$ ?
Calcula la aceleración del punto de la esfera que ocupa la posición $D$ de contacto con el plano, en el instante $t 0 = 2 a / v 0$

2 Solución

2.1 Rotación pura instantánea

Para que el movimiento sea una rotación pura el invariante escalar debe ser cero y el vector rotación debe ser distinto de cero. El invariante escalar es

$\vec{\omega}\cdot\vec{v}^C = \dfrac{v_0^2}{a}\,\left(1-\dfrac{v_0}{a}t\right)^2 + \dfrac{v_0^2}{a}\,\left(1-\dfrac{v_0}{a}t\right) = \dfrac{v_0^2}{a} \,\left(\dfrac{v_0^2}{a^2}t^2-3\dfrac{v_0}{a}t + 2\right)$

Igualando a cero obtenemos dos posible soluciones

$t_1=\dfrac{2a}{v_0}\qquad t_2=\dfrac{a}{v_0}$

En la segunda solución, también se tiene $\vec{t_2}=\vec{0}$ , por lo que respuesta correcta es la primera

$t_1 = \dfrac{2a}{v_0}$

2.2 Velocidad con módulo mínimo en el campo de velocidades

Cuando esto se cumple, el punto $C$ debe estar en el eje instantáneo del movimiento. Para ello, los vectores $\vec{\omega}$ y $\vec{v}^C$ deben ser paralelos, esto es