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No Boletín - Cuestión sobre integral primera (Ex.Ene/13)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

En el sistema de referencia OXYZ\, de la figura, la partícula P\, se mueve bajo la acción de su propio peso y vinculada sin rozamiento a una superficie esférica fija de radio R\, y centro en el punto O\, (la ecuación de ligadura es x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\,).

¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas de la partícula P\, se conserva necesariamente constante durante el movimiento? (NOTA: sólo una de las cuatro opciones es correcta).

(a) La componente-z\, de su momento cinético respecto al punto O\,

(b) Su cantidad de movimiento

(c) Su energía cinética

(d) Su momento cinético respecto al punto O\,

2 Solución

Para saber cuál de las cuatro magnitudes propuestas es la que se conserva constante a lo largo del tiempo (integral primera), debemos examinar, en primer lugar, qué fuerzas actúan sobre la partícula y qué características tienen dichas fuerzas. Y, después, tendremos que ir revisando los teoremas de conservación asociados a las magnitudes propuestas hasta detectar cuál de ellos ve sus requisitos satisfechos en el caso que nos ocupa.

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son dos: el peso (m\vec{g}\,) y la fuerza de reacción vincular (\vec{\Phi}\,) ejercida por la superficie esférica.

El peso es una fuerza activa y, como tal, conocida a priori:

m\vec{g}=-mg\,\vec{k}

Sabemos, además, que el peso es una fuerza conservativa, y que va a realizar trabajo sobre la partícula porque en general la coordenada-z\, de ésta no va a permanecer constante durante su movimiento.

En cuanto a la fuerza de reacción vincular \vec{\Phi}\,, no conocemos a priori su módulo ni su sentido, pero sabemos que su dirección ha de ser perpendicular a la superficie esférica (al ser ésta un vínculo liso o sin rozamiento) y, por tanto, es radial. Podemos, pues, expresarla del siguiente modo:

\vec{\Phi}=\lambda\,\overrightarrow{OP}=\lambda\,(x\,\vec{\imath}+y\,\vec{\jmath}+z\,\vec{k}\,)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(}\lambda=\,\mathrm{incognita}\,\,\mathrm{escalar}\,\mathrm{)}

También sabemos que \vec{\Phi}\, es una fuerza que no va a realizar trabajo, ya que el vínculo -además de liso- es esclerónomo o fijo y, por tanto, la trayectoria de la partícula va a ser siempre perpendicular a \vec{\Phi}\,. En efecto:

\vec{\Phi}\,\cdot\,d\vec{r}=\lambda\,(x\,\vec{\imath}\,+\,y\,\vec{\jmath}\,+\,z\,\vec{k}\,)\,\cdot\,(dx\,\vec{\imath}\,+\,dy\,\vec{\jmath}\,+\,dz\,\vec{k}\,)=\lambda\,(x\, dx\,+\,y\, dy\,+\,z\, dz)=\frac{\lambda}{2}\,d(x^{2}+y^{2}+z^{2})=\frac{\lambda}{2}\,d(R^{2})=0

3 Descartando la opción (b)

Según el correspondiente teorema de conservación, la cantidad de movimiento \vec{p}\, de la partícula se conservaría constante si y sólo si la fuerza neta \vec{F}\, sobre la partícula fuese nula. Pero esto no ocurre aquí, ya que \vec{\Phi}\,, con su dirección radial, y m\vec{g}\,, con su dirección vertical, no pueden en general cancelarse mutuamente. En efecto:

\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}=m\vec{g}+\vec{\Phi}=\lambda\,x\,\vec{\imath}+\lambda\,y\,\vec{\jmath}+(\lambda\,z-mg)\,\vec{k}\neq\vec{0}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, \vec{p}\neq\overrightarrow{\mathrm{cte}}

Nota: Obsérvese que, dada una posición arbitraria de la partícula sobre la esfera, no existe ninguna solución en \lambda\, para la cual se anulen simultánemente las tres componentes de \vec{F}\,.

4 Descartando la opción (c)

Según el correspondiente teorema de conservación, para que se conservase constante la energía cinética K\, de la partícula sería necesario y suficiente que no se realizase trabajo neto sobre la partícula (\delta W=0\,). Sin embargo, en el caso que nos ocupa, si bien es cierto que \vec{\Phi}\, no trabaja, el peso sí que trabaja puesto que la coordenada-z\, de la partícula es variable (dz\neq 0\,). En efecto:

dK=\delta W=\vec{F}\,\cdot\, d\vec{r}=(m\vec{g}\,+\,\vec{\Phi})\,\cdot\, d\vec{r}=m\vec{g}\,\cdot\, d\vec{r}\,+\,\underbrace{\vec{\Phi}\cdot d\vec{r}}_{=0}=-mg\,\vec{k}\,\cdot\,(dx\,\vec{\imath}\,+\,dy\,\vec{\jmath}\,+\,dz\,\vec{k}\,)=-mg\,dz\neq 0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,K\neq\mathrm{cte}

5 Descartando la opción (d)

El teorema de conservación del momento cinético \vec{L}_O\, de una partícula establece que dicha magnitud se conserva constante en el tiempo si y sólo si es nulo el momento resultante \vec{M}_O\, de las fuerzas que actúan sobre la partícula. En el caso que nos ocupa, \vec{\Phi}\, tiene momento nulo respecto a O\, debido a su dirección radial. Pero, sin embargo, el momento (respecto a O\,) del peso es distinto de cero en general. En efecto:

\frac{d\vec{L}_O}{dt}=\vec{M}_O=\overrightarrow{OP}\,\times \vec{F}=\overrightarrow{OP}\,\times\,(m\vec{g}\,+\,\vec{\Phi}\,)=\overrightarrow{OP}\,\times (-mg\,\vec{k}\,)\,+\,\underbrace{\overrightarrow{OP}\times\lambda\,\overrightarrow{OP}}_{=\vec{0}}=mg\,(-y\,\vec{\imath}\,+\,x\,\vec{\jmath}\,)\neq\vec{0}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, \vec{L}_O\neq\overrightarrow{\mathrm{cte}}

6 Eligiendo la opción (a)

Descartadas ya tres opciones, sólo resta comprobar que la opción (a) es la correcta. ¿Qué hace falta, según el correspondiente teorema de conservación, para que se conserve constante la componente-z\, de \vec{L}_O\,? La respuesta es: la nulidad de la componente-z\, de \vec{M}_O\,.

Podemos aprovechar el cálculo ya realizado de \vec{M}_O\, y, simplemente multiplicarlo escalarmente por \vec{k}\, para obtener su componente-z\,. Aunque en realidad basta observar la expresión obtenida para \vec{M}_O\, para darse cuenta de que es nula su componente-z\,. En efecto:

\frac{d(\vec{k}\cdot\vec{L}_O)}{dt}=\vec{k}\cdot\vec{M}_O=\vec{k}\,\cdot\, mg\,(-y\,\vec{\imath}\,+\,x\,\vec{\jmath}\,)=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, \vec{k}\cdot\vec{L}_O=\mathrm{cte}

Por tanto, queda comprobado que, de las cuatro magnitudes que se propusieron en el enunciado, la única que necesariamente se conserva constante a lo largo del tiempo (integral primera) es la componente-z\, del momento cinético de la partícula respecto al punto O\,.

7 Conservación de la energía mecánica

En la situación planteada, cabe señalar que la partícula tiene otra integral primera además de la ya señalada. Lo que ocurre es que esa otra integral primera no estaba entre las cuatro opciones que se propusieron en el enunciado. Se trata de la energía mecánica de la partícula (suma de la energía cinética y la energía potencial asociada al peso). Se da la condición establecida por el correspondiente teorema de conservación: que todas las fuerzas que trabajen sobre la partícula sean conservativas (aquí sólo trabaja el peso, que es en efecto conservativo).

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/No_Bolet%C3%ADn_-_Cuesti%C3%B3n_sobre_integral_primera_(Ex.Ene/13)"

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