Dipolo eléctrico en distribución esférica de carga (F2GIA)

De Laplace

Revisión a fecha de 11:43 14 abr 2012; Gabriel (Discusión | contribuciones)

(dif) ← Revisión anterior | Revisión actual (dif) | Revisión siguiente → (dif)

1 Enunciado

Un gas ionizado encerrado en una esfera puede modelarse como una distribución de carga con densidad volumétrica uniforme de valor $ρ 0$ . En su interior hay una molécula de agua, con carga total nula, pero que puede considerarse como un dipolo formado por dos cargas opuestas, ambas de valor absoluto $2 e$ , separadas una distancia $δ$ . Si inicialmente la molécula está situada en el punto central $O$ de la distribución de carga, ¿Qué ocurre después?

2 Solución

En el interior de una esfera con carga eléctrica uniformemente distribuida en su volumen, el campo eléctrico tiene simetría radial, y su magnitud o intensidad en un punto es proporcional a la distancia $r$ desde dicho punto al centro de la distribución $O$ . Si la densidad volumétrica de carga es $ρ 0$ , el campo en un punto $P$ arbitrario del interior de la distribución es,

$\mathbf{E}(P)=\frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\ r\!\ \mathbf{u}_r(P)\qquad (0\leq r\leq R)$

y siendo $\mathbf{u}_r(P)$ el vector unitario en la dirección y sentido del segmento orientado $\overrightarrow{OP}$ .

El dipolo eléctrico está caracterizado por su momento dipolar. Es esta una magnitud vectorial cuya dirección y sentido está determinada por el segmento orientado que, en el caso bajo estudio, va desde la posición de la carga $- 2 e$ a la de la carga positiva $+ 2 e$ . Cuando decimos que el dipolo se encuentra situado en el centro $O$ de la distribución de carga, es que allí está el punto medio del sistema formado por la dos cargas. En esta situación, ambas cargas se encuentran simétricamente dispuestas respecto de $O$ , en puntos de un mismo diámetro, por lo que posición de las cargas vendrá dada por los vectores:

$\mathbf{r}^+\big\rfloor_O=\big(\delta/2\big)\!\ \mathbf{u}_r(O)=-\mathbf{r}^-\big\rfloor_O$

... donde $\mathbf{u}_r(O)$ indica la dirección arbitraria del dipolo cuando se coloca en el punto $O$ . Su momento dipolar en dicha posición será:

$\mathbf{p}\big\rfloor_O=2e\delta\!\ \mathbf{u}_r(O)$

Y en esta posición, el campo eléctrico no ejerce momento o par de fuerzas alguno,pues el campo eléctrico creado por la distribución uniforme de carga en el punto $O$ es nulo:

$\mathbf{E}(O)=\mathbf{0}\;\Longrightarrow\;\mathbf{M}(O)=\mathbf{p}\times\mathbf{E}(O)=\mathbf{0}$

Por tanto, si la molécula de agua se deja en reposo en el punto $O$ , no va a realizar movimiento de rotación alguno. Sin embargo, para determinar si permanece en dicho punto en estado de reposo absoluto, hemos de determinar si la molécula7dipolo está sometida a una fuerza resultante nula.

Cada una de las dos cargas que componen el dipolo tiene carácter puntual, por tanto, al encontrarse en el seno de un campo eléctrico, se ejercerán sobre ellas sendas fuerzas $\mathbf{F}_e^+$ y $\mathbf{F}_e^-$ , que serán iguales al producto de la correspondiente carga por el valor del campo eléctrico en la posición que ocupa. Cuando la partícula se halla en el punto $O$ , se tendrá