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Rotaciones de un sólido rígido

Pedro — Tue, 14 Nov 2023 09:25:50 GMT

Pedro: /* Fórmulas de Poisson */

==Concepto de rotación==
Un sólido rígido experimenta una rotación cuando como resultado del movimiento uno de sus puntos mantiene su posición invariante
==Rotaciones finitas==
===Expresión de las rotaciones===
Supongamos que en una rotación el punto fijo es O, que tomaremos como origen de coordenadas. En una rotación, cualquier punto pasará de la posición

<center><math>\overrightarrow{OP}_0=\vec{r}_0=X\vec{\imath}+Y\vec{\jmath}+Z\vec{k}</math></center>

a la posición

<center><math>\overrightarrow{OP}=\vec{r}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}+z\vec{k}</math></center>

Deseamos establecer la relación entre estos dos vectores.

Para ello, emplearemos dos sistemas de referencia. El ''sistema fijo'' “1” es el que consideramos inmóvil y respecto al cual se mueve el sólido. Los dos vectores que acabamos de escribir estarían expresados en la base 1. El ''sistema ligado'' “2” es uno móvil que gira solidariamente con el cuerpo en todo momento (es decir, es equivalente a él).

En ese caso, al estar ligado al sólido, la posición de los puntos de éste son constantes en todo momento. Es decir, la posición de P

<center><math>\overrightarrow{OP}=\vec{r}=x\vec{\imath}_1+y\vec{\jmath}_1+z\vec{k}_1</math></center>

con x, y, z funciones del tiempo se expresará en la base 2

<center><math>\overrightarrow{OP}=\vec{r}=X\vec{\imath}_2+Y\vec{\jmath}_2+Z\vec{k}_2</math></center>

con X, Y y Z constantes (pero <math>\vec{\imath}_2, \vec{\jmath}_2,\vec{k}_2</math> funciones del tiempo). Nótese que en ambos casos se trata del mismo vector, expresado en dos bases distintas.

<center>[[Archivo:rotacion-oz.png|800px]]</center>

====Rotación en torno a OZ====
En el caso simple de una rotación de un ángulo θ en torno al eje OZ la relación entre ambas bases es

<center><math>\begin{array}{rcl}\vec{\imath}_2 & = & \cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1 \\
\vec{\jmath}_2&=& -\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1+\cos(\theta)\vec{\jmath}_1\\
\vec{k}_2&=&\vec{k}_1\end{array}</math></center>

Si llevamos esto a las dos expresiones del vector de posición queda

<center><math>\overrightarrow{OP}=x\vec{\imath}_1+y\vec{\jmath}_1+z\vec{k}_1=<X\left(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\right)+Y\left(-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1+\cos(\theta)\vec{\jmath}_1\right)+Z\vec{k}_1</math></center>

que podemos escribir en la forma matricial

<center><math>\begin{pmatrix}x\\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(\theta) & \mathrm{sen}(\theta) & 0 \\ -\mathrm{sen}(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}X\\ Y \\ Z\end{pmatrix}
</math></center>

Este es un caso particular de ''matriz de rotación''. Si tenemos en cuenta que <math>(X,Y,Z)</math> son también las coordenadas de la posición inicial en el sistema fijo, podemos decir que el paso de la posición inicial a la final se hace mediante la matriz de rotación.

<center><math>\vec{r}=\overline{\overline{R}}\cdot\vec{r}_0</math></center>

En esta matriz, las columnas representan las componentes de los vectores de la base ligada respecto a la base fija

<center><math>\overline{\overline{R}}= \begin{pmatrix} \cos(\theta) & \mathrm{sen}(\theta) & 0 \\ -\mathrm{sen}(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \uparrow & \uparrow & \uparrow \\ \vec{\imath}_2 & \vec{\jmath}_2 & \vec{k}_2 \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow\end{pmatrix}</math></center>

La rotación inversa es la que devuelve a los ejes a la posición original. Esto se consigue mediante una rotación de −θ, con matriz

<center><math>\overline{\overline{R}}^{-1}= \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\mathrm{sen}(\theta) & 0 \\ \mathrm{sen}(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} </math></center>

Esta es la traspuesta de la anterior, por lo que en este caso se cumple

<center><math>\overline{\overline{R}}^{-1}=\overline{\overline{R}}^T</math></center>

Al mismo tiempo, la rotación inversa es la que pasa del sistema fijo al ligado, por lo que llegamos a que la matriz de rotación tiene por filas las componentes de la base fija en la base ligada

<center><math>\overline{\overline{R}}^{-1}= \overline{\overline{R}}^T = \begin{pmatrix} \uparrow & \uparrow & \uparrow \\ \vec{\imath}_1 & \vec{\jmath}_1 & \vec{k}_1 \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow\end{pmatrix}\qquad\Rightarrow\qquad \overline{\overline{R}}= \begin{pmatrix}\leftarrow & \vec{\imath}_1 & \rightarrow \\ \leftarrow & \vec{\jmath}_1 & \rightarrow \\ \leftarrow & \vec{k}_1 & \rightarrow \end{pmatrix}</math></center>

====Rotación respecto a un eje arbitrario====
El mismo principio se aplica a una rotación en torno a cualquier otro eje.

Inicialmente, el sistema fijo y el ligado son coincidentes. Cada punto tiene las mismas coordenadas en ambos sistemas de referencia

<center><math>\overrightarrow{OP}_0=X\vec{\imath}_1+Y\vec{\jmath}_1+Z\vec{k}_1=X\vec{\imath}_2+Y\vec{\jmath}_2+Z\vec{k}_2
</math></center>

Tras la rotación, la base ligada tendrá unas ciertas componentes respecto a la fija

<center><math>\begin{array}{rcl}\vec{\imath}_2&=&R_{XX}\vec{\imath}_1+R_{YX}\vec{\jmath}_1+R_{ZX}\vec{k}_1\\
\vec{\jmath}_2&=&R_{XY}\vec{\imath}_1+R_{YY}\vec{\jmath}_1+R_{ZY}\vec{k}_1\\
\vec{k}_2&=&R_{XZ}\vec{\imath}_1+R_{YZ}\vec{\jmath}_1+R_{ZZ}\vec{k}_1
\end{array}</math></center>

Estas componentes representan la proyección de una base sobre la otra. Por tratarse de vectores unitarios son iguales a su vez a los cosenos de los ángulos que forman. Así

<center><math>R_{XX}=\vec{\imath}_2\cdot\vec{\imath}_1=\cos(\vec{\imath}_1,\vec{\imath}_2)\qquad\qquad R_{XY}=\vec{\jmath}_2\cdot\vec{\imath}_1=\cos(\vec{\imath}_1,\vec{\jmath}_2)\ldots</math></center>

La posición de un punto del sólido permanece constante en la base ligada

<center><math>\overrightarrow{OP}=X\vec{\imath}_2+Y\vec{\jmath}_2+Z\vec{k}_2
</math></center>

Para hallar las componentes en la base 1 proyectamos sobre cada vector de esta base

<center><math>x = \overrightarrow{OP}\cdot\vec{\imath}_1 = (\vec{\imath}_1\cdot\vec{\imath}_2)X+(\vec{\imath}_1\cdot\vec{\jmath}_2)Y + (\vec{\imath}_1\cdot\vec{k}_2)Z=R_{XX}X+R_{XY}Y+R_{XZ}Z</math></center>

y análogamente para las otras dos componentes. Podemos escribir este resultado en forma matricial

<center><math>\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} R_{XX} & R_{XY} & R_{ZZ} \\
R_{YX} & R_{YY} & R_{YZ} \\ R_{XZ} & R_{YZ} & R_{ZZ} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}X \\ Y \\ Z\end{pmatrix}</math></center>

que podemos abreviar como

<center><math>\vec{r}=\overline{\overline{R}}\cdot\vec{r}_0</math></center>

donde <math>\overline{\overline{R}}</math> es la ''matriz de rotación'' que relaciona las componentes iniciales del vector de posición (o las que tiene en una base ligada al sólido) con las que tiene en un instante posterior. Esta matriz será función del tiempo.

Asmismo, cada fila corresponde a las componentes de un vector de la base fija (1) expresado en la base ligada al sólido (2), y cada columna un vector de la base ligada al sólido expresado en la base fija. Simbólicamente

<center><math>\overline{\overline{R}}=\begin{pmatrix}\leftarrow & \vec{\imath}_1 & \rightarrow \\ \leftarrow & \vec{\jmath}_1 & \rightarrow \\ \leftarrow & \vec{k}_1 & \rightarrow \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \uparrow & \uparrow & \uparrow \\ \vec{\imath}_2 & \vec{\jmath}_2 & \vec{k}_2 \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow\end{pmatrix}</math></center>

====Propiedades de la matriz de rotación====
;Tiene tres grados de libertad: De acuerdo con la expresión anterior, parece que para expresar una rotación hay que proporcionar 9 parámetros, esto es, que tiene 9 grados de libertad. No es así, ya que tenemos seis vínculos entre las componentes. Por ser ortonormal cada base

<center><math>\begin{array}{ccccccc}
\vec{\imath}_1\cdot\vec{\imath}_1 & = & \vec{\jmath}_1\cdot\vec{\jmath}_1 & = &
\vec{k}_1\cdot\vec{k}_1& = & 1\\ &&&&&& \\
\vec{\imath}_1\cdot\vec{\jmath}_1 & = & \vec{\jmath}_1\cdot\vec{k}_1 & = &
\vec{k}_1\cdot\vec{\imath}_1& = & 0\end{array}</math></center>

:Estos seis vínculos reducen el número de grados de libertad a 3, que pueden ser tres ángulos de orientación, como los ángulos de Euler.

;Es ortogonal: Una matriz es ortogonal cuando su traspuesta coincide con su inversa. Si una rotación dada lleva de la base 1 a la base 2, la rotación inversa será la que devuelve la base 2 a la base 1. Por la construcción de la matriz, el intercambiar 1 por 2 equivale a intercambiar filas por columnas, esto es, hallar la traspuesta. Por tanto

<center><math>\overline{\overline{R}}^{-1}=\overline{\overline{R}}^T\,\qquad\Rightarrow\qquad \overline{\overline{R}}^T\overline{\overline{R}}=\overline{\overline{R}}\overline{\overline{R}}^T=\overline{\overline{1}}</math></center>

:(empleamos <math>\overline{\overline{1}}</math> en vez de <math>\overline{\overline{I}}</math>, para reservar esta letra para los momentos de inercia) Esta propiedad equivale a lo que hemos mencionado de que las dos bases 1 y 2 son bases ortonormales.

;Es unitaria: Una matriz es unitaria si su determinante vale la unidad. Es consecuencia inmediata de lo anterior

<center><math>1=\left|\overline{\overline{1}}\right|=\left|\overline{\overline{R}}\overline{\overline{R}}^T\right|=\left|\overline{\overline{R}}\right|\left|\overline{\overline{R}}^T\right|=\left|\overline{\overline{R}}\right|^2\qquad\Rightarrow\qquad \left|\overline{\overline{R}}\right|=\pm 1</math></center>

:La raíz negativa la descartamos, ya que corresponde a las simetrías, que hemos considerado como imposibles en el movimiento de un sólido real.

==Teorema de Euler. Eje de rotación==
Hemos definido como un movimiento rígido que deja un punto fijo. Euler demostró que esto implica que no hay un solo punto fijo, sino toda una recta que pasa por O. Esta recta es el llamado ''eje de rotación''.

La demostración se basa en que debe haber un vector no afectado por la rotación, esto es,

<center><math>\overline{\overline{R}}\vec{u}=\vec{u}</math></center>

Si este vector <math>\vec{u}</math> existe, cualquier múltiplo de él tampoco se verá afectado, con lo que obtenemos toda una recta que pasa por O.

En términos algebraicos esto equivale a decir que existe un autovalor unidad, siendo <math>\vec{u}</math> el autovector correspondiente. La condición para que ello ocurra es que

<center><math>\overline{\overline{R}}\vec{u}=\vec{u}\qquad\Rightarrow\qquad \left(\overline{\overline{R}}-\overline{\overline{1}}\right)\vec{u}=\vec{0}´\qquad\Rightarrow\qquad \left|\overline{\overline{R}}-\overline{\overline{1}}\right|=0</math></center>

Veamos que es cierto:

<center><math>\left|\overline{\overline{R}}-\overline{\overline{1}}\right|=\left|(\overline{\overline{R}}-\overline{\overline{1}})^T\right|=\left|\overline{\overline{R}}^T-\overline{\overline{1}}\right|=\left|\overline{\overline{R}}^T\left(\overline{\overline{1}}-\overline{\overline{R}}\right)\right|=\left|\overline{\overline{R}}^T\right|\left|\overline{\overline{1}}-\overline{\overline{R}}\right|=-\left|\overline{\overline{R}}-\overline{\overline{1}}\right|</math></center>

y por tanto

<center><math>\left|\overline{\overline{R}}-\overline{\overline{1}}\right|=-\left|\overline{\overline{R}}-\overline{\overline{1}}\right|\qquad\Rightarrow\qquad \left|\overline{\overline{R}}-\overline{\overline{1}}\right|=0</math></center>

Por tanto existe el autovalor unidad, y el autovector correspondiente nos da el eje de rotación.

Esto nos da otra forma de parametricar las rotaciones: con dos ángulos (por ejemplo los de las coordenadas esféricas) damos la orientación de este vector director y con un tercer ángulo medimos cuánto ha girado el sólido en torno al eje.

Como consecuencia del teorema de Euler, cualquier vector perpendicular al eje de giro sigue siendo perpendicular tras la rotación. Si el vector <math>\vec{v}_2</math> se transforma en el <math>\vec{v}</math>

<center><math>\vec{u}\cdot\vec{v}_2=0\qquad\Rightarrow\qquad \vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{u}\overline{\overline{R}}\vec{v}_2 = (\vec{u}\overline{\overline{R}})\vec{v}_2=\vec{u}\cdot\vec{v}_2=0</math></center>

Cualquier otro vector podrá descomponerse en una parte paralela al eje de giro (que no se verá afectada por la rotación) más una parte ortogonal al eje (que gira un cierto ángulo en torno al eje, manteniéndose ortogonal).

==Rotaciones instantáneas==
El apartado anterior se refiere a rotaciones finitas, que relacionan lo que ocurre en un instante con otro un cierto intervalo más tarde. Cuando este intervalo es infinitesimal tenemos una rotación instantánea. En una rotación instantánea tendremos un ''eje instantáneo de rotación'' y el ángulo girado será un dθ.

La velocidad de los puntos de un sólido en rotación instantánea no será la misma para todos. En concreto, los puntos del eje de rotación se encuentran en reposo en ese instante. Por ello, en este se denomina eje instantáneo de rotación (EIR), ya que su dirección puede estar cambiando con el tiempo.

La velocidad de cada punto la podemos calcular con ayuda de la base ligada, ya que al ser constantes las componentes de la posición

<center><math>\vec{v}_P=X\frac{\mathrm{d}\vec{\imath}_2}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}\vec{\jmath}_2}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}\vec{k}_2}{\mathrm{d}t}</math></center>

Por tanto, solo precisamos conocer la derivada de los vectores de la base.

===Fórmulas de Poisson===
Consideremos una rotación instantánea alrededor del eje OZ. En este caso, el extremo del vector <math>\vec{\imath}_2</math> describe un arco de circunferencia en torno al origen. Su velocidad instantánea, por tanto es la correspondiente a un movimiento circular con una cierta velocidad angular

<center><math>\frac{\mathrm{d}\vec{\imath}_2}{\mathrm{d}t}=\vec{\omega}\times\vec{\imath}_2 \qquad\qquad \vec{\omega}=\omega\vec{k}_2=\omega\vec{k}_1</math></center>

y lo mismo ocurre con el <math>\vec{\jmath}_2</math> mientras que el <math>\vec{k}_2</math> permanece constante.

Supongamos ahora el giro alrededor de un eje arbitrario, oreientado según el vector <math>\vec{u}</math>, de tal manera que

<center><math>\vec{\omega}=\omega\vec{u}</math></center>

Podemos descomponer el vector <math>\vec{\imath}_2</math> en una parte paralela a <math>\vec{u}</math> y una ortogonal a él. La parte paralela no se ve afectada por la rotación, mientras que la perpendicular efectúa un arco diferencial de circunferencia

<center><math>\vec{\imath}_2=\vec{\imath}_{2\parallel}+\vec{\imath}_{2\perp}\qquad\qquad \frac{\mathrm{d}\vec{\imath}_2}{\mathrm{d}t}=\vec{0}+\vec{\omega}\times\vec{\imath}_{2\perp}=\vec{\omega}\times\vec{\imath}_{2}</math></center>

donde la última identidad se cumple porque <math>\vec{0}=\vec{\omega}\times\vec{\imath}_{2\parallel}</math>. La misma relación se verifica para los otros dos vectores de la base
<center><math>\frac{\mathrm{d}\vec{\imath}_2}{\mathrm{d}t}=\vec{\omega}\times\vec{\imath}_2 \qquad\qquad \frac{\mathrm{d}\vec{\jmath}_2}{\mathrm{d}t}=\vec{\omega}\times\vec{\jmath}_2
\qquad\qquad \frac{\mathrm{d}\vec{k}_2}{\mathrm{d}t}=\vec{\omega}\times\vec{k}_2</math></center>
Estas son las conocidas como fórmulas de Poisson. Aquí <math>\vec{\omega}</math> es un cierto vector en la dirección del eje de rotación que mide la velocidad angular con la que el sólido gira en dicho instante alrededor del eje.

<center>[[Archivo:Rotación-instantanea-base.png|500px]]</center>

Llevando esto a la velocidad instantánea de cada punto obtenemos el campo de velocidades

<center><math>\vec{v}_P=X(\vec{\omega}\times\vec{\imath}_2)+Y(\vec{\omega}\times\vec{\jmath}_2)+Z(\vec{\omega}\times\vec{k}_2)=\vec{\omega}\times(X\vec{\imath}_2+Y\vec{\jmath}_2+Z\vec{k}_2)=\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}</math></center>

Esta fórmula también es conocida como de Poisson y nos da el campo de velocidades instantáneas para el sólido en rotación instantánea.

==Campo de velocidades==
Según la fórmula de Poisson, el campo de velocidades de un sólido rígido que se encuentra instantáneamente en rotación alrededor del punto fijo O tiene la expresión

<center><math>\vec{v}_P=\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}</math></center>

siendo <math>\vec{\omega}</math> la velocidad angular instantánea del sólido. Este campo de velocidades posee una serie de propiedades características:

;Hay un eje instantáneo de rotación: Todos los puntos de la recta que pasa por O y lleva la dirección de la velocidad angular poseen velocidad nula

<center><math>\overrightarrow{OP}=\lambda \vec{\omega}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}_P=\vec{0}</math></center>
;Misma estructura en planos paralelos: Sean A y B dos puntos del espacio tales que su posición relativa es paralela a <math>\vec{\omega}</math>, esto es, se hallan sobre una recta paralela al eje instantáneo de rotación. Entonces se cumple que sus velocidades son iguales

<center><math>\left\{\begin{array}{rcl}\vec{v}_A & = & \vec{\omega}\times\overrightarrow{OA}\\ \vec{v}_B & = & \vec{\omega}\times\overrightarrow{OB}\end{array}\right.\qquad\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}_B-\vec{v}_A=\vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}</math></center>

:esto quiere decir que podemos reducir el estudio a la distribución sobre un plano perpendicular al eje de rotación. En los planos paralelos a éste la distribución será idéntica.

;La velocidad de cada punto está contenida en un plano normal al eje y cumple la regla de la mano derecha: Sea P un punto del plano perpendicular al eje y que pasa por O. En ese caso, al ser la velocidad <math>\vec{v}_P=\vec{\omega}\times \overrightarrow{OP}</math>, es perpendicular al eje y por tanto está contenida en el plano. Además, al tratarse de un producto vectorial, lleva una dirección y sentido perpendicular al vector radial <math>\overrightarrow{OP}</math>, es decir, es tangente a una circunferencia con centro O y con sentido el de la regla de la mano derecha.
;La rapidez es proporcional a la distancia al eje: Considerando P un punto del plano anterior se cumple

<center><math>|\vec{v}|=|\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}|=|\vec{\omega}||\overrightarrow{OP}|=|\vec{\omega}|d</math></center>

:por tanto, cuanto más lejos del eje, mayor es la rapidez de cada punto.

<center>[[Archivo:Rotacion-pura.png]]{{qquad}}{{qquad}}[[Archivo:Rotacion-pura-cenital.png]]</center>

==Rotaciones permanentes==
Un sólido estará en rotación permanente cuando su movimiento instantáneo en todo momento es uno de rotación. Sin embargo, dado que el eje instantáneo de rotación puede ser diferente en cada instante, en general no habrá ningún punto fijo del sólido y el movimiento sobre un intervalo puede ser muy complejo.

Dentro de las rotaciones permanentes hay dos casos particulares destacados: cuando uno de los puntos del sólido es siempre fijo, y cuando es el eje completo el fijo.
===Sólido con un punto fijo===
Supongamos el caso particular
<center><math>\vec{v}_O=\vec{0}\qquad\qquad \forall t</math></center>
En este caso tenemos un punto O para el cual la velocidad es siempre nula y, por tanto, se encuentra permanentemente en reposo. Esto ocurre, por ejemplo, en el caso de una peonza apoyada en su extremo, o en un sólido libre cuyo centro de masas permanece estacionario.

<center>[[Archivo:precesion-giroscopo.gif]]</center>

El movimiento del sólido es, en cada instante, una rotación en torno a un eje que pasa por este punto.
No podemos asegurar que haya más puntos permanentemente en reposo, ya que la orientación del eje de giro puede cambiar con el tiempo haciendo que los puntos instantáneamente en reposo sean diferentes en cada momento. La trayectoria de cada punto individual puede ser extremadamente complicada. NO describen una circunferencia.

El movimiento de un sólido con un punto fijo se puede descomponer como una superposición de tres movimientos distintos:
;Rotación propia: movimiento alrededor del eje instantáneo de rotación.
;Precesión: Giro del eje de instantáneo de rotación alrededor de un eje fijo.
;Nutación: variación del ángulo que el eje instantáneo de rotación forma cn el mismo eje fijo.

<center>[[Archivo:Nutacion.png|400px]]</center>
===Sólido con un eje fijo===
Supongamos el caso aún más restrictivo

<center><math>\vec{v}_O=\vec{0}\qquad\qquad\vec{v}_A=\vec{0}\qquad\qquad \forall t</math></center>
es decir, el sólido tiene dos puntos fijos. En este caso, el sólido efectúa en todo momento una rotación con eje el que pasa por O y A. La velocidad angular (que puede depender del tiempo) irá siempre en la dirección de este eje

<center><math>\vec{\omega}\parallel\overrightarrow{OA} \qquad\qquad \vec{\omega}=\omega\vec{u}_{OA}=\omega\frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}</math></center>

Se dice que el sólido es un ''rotor''. Este es un elemento típico de máquinas y mecanismos, en que un eje es sujeto por dos puntos y el sólido obligado a girar en torno a él. Para este caso, sí es cierto que la trayectoria de los diferentes puntos es una circunferencia (o un arco de circunferencia).

Un ejemplo es el de un péndulo cuya barra es rígida y por tanto de longitud constante. La lenteja del péndulo efectúa un movimiento que, aunque oscilante, es de rotación en torno a un eje fijo.

[[Categoría:Cinemática del sólido rígido (CMR)]]

Rotaciones de un sólido rígido

Pedro — Tue, 14 Nov 2023 09:24:34 GMT

Pedro: /* Rotaciones instantáneas */

==Concepto de rotación==
Un sólido rígido experimenta una rotación cuando como resultado del movimiento uno de sus puntos mantiene su posición invariante
==Rotaciones finitas==
===Expresión de las rotaciones===
Supongamos que en una rotación el punto fijo es O, que tomaremos como origen de coordenadas. En una rotación, cualquier punto pasará de la posición

<center><math>\overrightarrow{OP}_0=\vec{r}_0=X\vec{\imath}+Y\vec{\jmath}+Z\vec{k}</math></center>

a la posición

<center><math>\overrightarrow{OP}=\vec{r}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}+z\vec{k}</math></center>

Deseamos establecer la relación entre estos dos vectores.

Para ello, emplearemos dos sistemas de referencia. El ''sistema fijo'' “1” es el que consideramos inmóvil y respecto al cual se mueve el sólido. Los dos vectores que acabamos de escribir estarían expresados en la base 1. El ''sistema ligado'' “2” es uno móvil que gira solidariamente con el cuerpo en todo momento (es decir, es equivalente a él).

En ese caso, al estar ligado al sólido, la posición de los puntos de éste son constantes en todo momento. Es decir, la posición de P

<center><math>\overrightarrow{OP}=\vec{r}=x\vec{\imath}_1+y\vec{\jmath}_1+z\vec{k}_1</math></center>

con x, y, z funciones del tiempo se expresará en la base 2

<center><math>\overrightarrow{OP}=\vec{r}=X\vec{\imath}_2+Y\vec{\jmath}_2+Z\vec{k}_2</math></center>

con X, Y y Z constantes (pero <math>\vec{\imath}_2, \vec{\jmath}_2,\vec{k}_2</math> funciones del tiempo). Nótese que en ambos casos se trata del mismo vector, expresado en dos bases distintas.

<center>[[Archivo:rotacion-oz.png|800px]]</center>

====Rotación en torno a OZ====
En el caso simple de una rotación de un ángulo θ en torno al eje OZ la relación entre ambas bases es

<center><math>\begin{array}{rcl}\vec{\imath}_2 & = & \cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1 \\
\vec{\jmath}_2&=& -\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1+\cos(\theta)\vec{\jmath}_1\\
\vec{k}_2&=&\vec{k}_1\end{array}</math></center>

Si llevamos esto a las dos expresiones del vector de posición queda

<center><math>\overrightarrow{OP}=x\vec{\imath}_1+y\vec{\jmath}_1+z\vec{k}_1=<X\left(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\right)+Y\left(-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1+\cos(\theta)\vec{\jmath}_1\right)+Z\vec{k}_1</math></center>

que podemos escribir en la forma matricial

<center><math>\begin{pmatrix}x\\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(\theta) & \mathrm{sen}(\theta) & 0 \\ -\mathrm{sen}(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}X\\ Y \\ Z\end{pmatrix}
</math></center>

Este es un caso particular de ''matriz de rotación''. Si tenemos en cuenta que <math>(X,Y,Z)</math> son también las coordenadas de la posición inicial en el sistema fijo, podemos decir que el paso de la posición inicial a la final se hace mediante la matriz de rotación.

<center><math>\vec{r}=\overline{\overline{R}}\cdot\vec{r}_0</math></center>

En esta matriz, las columnas representan las componentes de los vectores de la base ligada respecto a la base fija

<center><math>\overline{\overline{R}}= \begin{pmatrix} \cos(\theta) & \mathrm{sen}(\theta) & 0 \\ -\mathrm{sen}(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \uparrow & \uparrow & \uparrow \\ \vec{\imath}_2 & \vec{\jmath}_2 & \vec{k}_2 \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow\end{pmatrix}</math></center>

La rotación inversa es la que devuelve a los ejes a la posición original. Esto se consigue mediante una rotación de −θ, con matriz

<center><math>\overline{\overline{R}}^{-1}= \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\mathrm{sen}(\theta) & 0 \\ \mathrm{sen}(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} </math></center>

Esta es la traspuesta de la anterior, por lo que en este caso se cumple

<center><math>\overline{\overline{R}}^{-1}=\overline{\overline{R}}^T</math></center>

Al mismo tiempo, la rotación inversa es la que pasa del sistema fijo al ligado, por lo que llegamos a que la matriz de rotación tiene por filas las componentes de la base fija en la base ligada

<center><math>\overline{\overline{R}}^{-1}= \overline{\overline{R}}^T = \begin{pmatrix} \uparrow & \uparrow & \uparrow \\ \vec{\imath}_1 & \vec{\jmath}_1 & \vec{k}_1 \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow\end{pmatrix}\qquad\Rightarrow\qquad \overline{\overline{R}}= \begin{pmatrix}\leftarrow & \vec{\imath}_1 & \rightarrow \\ \leftarrow & \vec{\jmath}_1 & \rightarrow \\ \leftarrow & \vec{k}_1 & \rightarrow \end{pmatrix}</math></center>

====Rotación respecto a un eje arbitrario====
El mismo principio se aplica a una rotación en torno a cualquier otro eje.

Inicialmente, el sistema fijo y el ligado son coincidentes. Cada punto tiene las mismas coordenadas en ambos sistemas de referencia

<center><math>\overrightarrow{OP}_0=X\vec{\imath}_1+Y\vec{\jmath}_1+Z\vec{k}_1=X\vec{\imath}_2+Y\vec{\jmath}_2+Z\vec{k}_2
</math></center>

Tras la rotación, la base ligada tendrá unas ciertas componentes respecto a la fija

<center><math>\begin{array}{rcl}\vec{\imath}_2&=&R_{XX}\vec{\imath}_1+R_{YX}\vec{\jmath}_1+R_{ZX}\vec{k}_1\\
\vec{\jmath}_2&=&R_{XY}\vec{\imath}_1+R_{YY}\vec{\jmath}_1+R_{ZY}\vec{k}_1\\
\vec{k}_2&=&R_{XZ}\vec{\imath}_1+R_{YZ}\vec{\jmath}_1+R_{ZZ}\vec{k}_1
\end{array}</math></center>

Estas componentes representan la proyección de una base sobre la otra. Por tratarse de vectores unitarios son iguales a su vez a los cosenos de los ángulos que forman. Así

<center><math>R_{XX}=\vec{\imath}_2\cdot\vec{\imath}_1=\cos(\vec{\imath}_1,\vec{\imath}_2)\qquad\qquad R_{XY}=\vec{\jmath}_2\cdot\vec{\imath}_1=\cos(\vec{\imath}_1,\vec{\jmath}_2)\ldots</math></center>

La posición de un punto del sólido permanece constante en la base ligada

<center><math>\overrightarrow{OP}=X\vec{\imath}_2+Y\vec{\jmath}_2+Z\vec{k}_2
</math></center>

Para hallar las componentes en la base 1 proyectamos sobre cada vector de esta base

<center><math>x = \overrightarrow{OP}\cdot\vec{\imath}_1 = (\vec{\imath}_1\cdot\vec{\imath}_2)X+(\vec{\imath}_1\cdot\vec{\jmath}_2)Y + (\vec{\imath}_1\cdot\vec{k}_2)Z=R_{XX}X+R_{XY}Y+R_{XZ}Z</math></center>

y análogamente para las otras dos componentes. Podemos escribir este resultado en forma matricial

<center><math>\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} R_{XX} & R_{XY} & R_{ZZ} \\
R_{YX} & R_{YY} & R_{YZ} \\ R_{XZ} & R_{YZ} & R_{ZZ} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}X \\ Y \\ Z\end{pmatrix}</math></center>

que podemos abreviar como

<center><math>\vec{r}=\overline{\overline{R}}\cdot\vec{r}_0</math></center>

donde <math>\overline{\overline{R}}</math> es la ''matriz de rotación'' que relaciona las componentes iniciales del vector de posición (o las que tiene en una base ligada al sólido) con las que tiene en un instante posterior. Esta matriz será función del tiempo.

Asmismo, cada fila corresponde a las componentes de un vector de la base fija (1) expresado en la base ligada al sólido (2), y cada columna un vector de la base ligada al sólido expresado en la base fija. Simbólicamente

<center><math>\overline{\overline{R}}=\begin{pmatrix}\leftarrow & \vec{\imath}_1 & \rightarrow \\ \leftarrow & \vec{\jmath}_1 & \rightarrow \\ \leftarrow & \vec{k}_1 & \rightarrow \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \uparrow & \uparrow & \uparrow \\ \vec{\imath}_2 & \vec{\jmath}_2 & \vec{k}_2 \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow\end{pmatrix}</math></center>

====Propiedades de la matriz de rotación====
;Tiene tres grados de libertad: De acuerdo con la expresión anterior, parece que para expresar una rotación hay que proporcionar 9 parámetros, esto es, que tiene 9 grados de libertad. No es así, ya que tenemos seis vínculos entre las componentes. Por ser ortonormal cada base

<center><math>\begin{array}{ccccccc}
\vec{\imath}_1\cdot\vec{\imath}_1 & = & \vec{\jmath}_1\cdot\vec{\jmath}_1 & = &
\vec{k}_1\cdot\vec{k}_1& = & 1\\ &&&&&& \\
\vec{\imath}_1\cdot\vec{\jmath}_1 & = & \vec{\jmath}_1\cdot\vec{k}_1 & = &
\vec{k}_1\cdot\vec{\imath}_1& = & 0\end{array}</math></center>

:Estos seis vínculos reducen el número de grados de libertad a 3, que pueden ser tres ángulos de orientación, como los ángulos de Euler.

;Es ortogonal: Una matriz es ortogonal cuando su traspuesta coincide con su inversa. Si una rotación dada lleva de la base 1 a la base 2, la rotación inversa será la que devuelve la base 2 a la base 1. Por la construcción de la matriz, el intercambiar 1 por 2 equivale a intercambiar filas por columnas, esto es, hallar la traspuesta. Por tanto

<center><math>\overline{\overline{R}}^{-1}=\overline{\overline{R}}^T\,\qquad\Rightarrow\qquad \overline{\overline{R}}^T\overline{\overline{R}}=\overline{\overline{R}}\overline{\overline{R}}^T=\overline{\overline{1}}</math></center>

:(empleamos <math>\overline{\overline{1}}</math> en vez de <math>\overline{\overline{I}}</math>, para reservar esta letra para los momentos de inercia) Esta propiedad equivale a lo que hemos mencionado de que las dos bases 1 y 2 son bases ortonormales.

;Es unitaria: Una matriz es unitaria si su determinante vale la unidad. Es consecuencia inmediata de lo anterior

<center><math>1=\left|\overline{\overline{1}}\right|=\left|\overline{\overline{R}}\overline{\overline{R}}^T\right|=\left|\overline{\overline{R}}\right|\left|\overline{\overline{R}}^T\right|=\left|\overline{\overline{R}}\right|^2\qquad\Rightarrow\qquad \left|\overline{\overline{R}}\right|=\pm 1</math></center>

:La raíz negativa la descartamos, ya que corresponde a las simetrías, que hemos considerado como imposibles en el movimiento de un sólido real.

==Teorema de Euler. Eje de rotación==
Hemos definido como un movimiento rígido que deja un punto fijo. Euler demostró que esto implica que no hay un solo punto fijo, sino toda una recta que pasa por O. Esta recta es el llamado ''eje de rotación''.

La demostración se basa en que debe haber un vector no afectado por la rotación, esto es,

<center><math>\overline{\overline{R}}\vec{u}=\vec{u}</math></center>

Si este vector <math>\vec{u}</math> existe, cualquier múltiplo de él tampoco se verá afectado, con lo que obtenemos toda una recta que pasa por O.

En términos algebraicos esto equivale a decir que existe un autovalor unidad, siendo <math>\vec{u}</math> el autovector correspondiente. La condición para que ello ocurra es que

<center><math>\overline{\overline{R}}\vec{u}=\vec{u}\qquad\Rightarrow\qquad \left(\overline{\overline{R}}-\overline{\overline{1}}\right)\vec{u}=\vec{0}´\qquad\Rightarrow\qquad \left|\overline{\overline{R}}-\overline{\overline{1}}\right|=0</math></center>

Veamos que es cierto:

<center><math>\left|\overline{\overline{R}}-\overline{\overline{1}}\right|=\left|(\overline{\overline{R}}-\overline{\overline{1}})^T\right|=\left|\overline{\overline{R}}^T-\overline{\overline{1}}\right|=\left|\overline{\overline{R}}^T\left(\overline{\overline{1}}-\overline{\overline{R}}\right)\right|=\left|\overline{\overline{R}}^T\right|\left|\overline{\overline{1}}-\overline{\overline{R}}\right|=-\left|\overline{\overline{R}}-\overline{\overline{1}}\right|</math></center>

y por tanto

<center><math>\left|\overline{\overline{R}}-\overline{\overline{1}}\right|=-\left|\overline{\overline{R}}-\overline{\overline{1}}\right|\qquad\Rightarrow\qquad \left|\overline{\overline{R}}-\overline{\overline{1}}\right|=0</math></center>

Por tanto existe el autovalor unidad, y el autovector correspondiente nos da el eje de rotación.

Esto nos da otra forma de parametricar las rotaciones: con dos ángulos (por ejemplo los de las coordenadas esféricas) damos la orientación de este vector director y con un tercer ángulo medimos cuánto ha girado el sólido en torno al eje.

Como consecuencia del teorema de Euler, cualquier vector perpendicular al eje de giro sigue siendo perpendicular tras la rotación. Si el vector <math>\vec{v}_2</math> se transforma en el <math>\vec{v}</math>

<center><math>\vec{u}\cdot\vec{v}_2=0\qquad\Rightarrow\qquad \vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{u}\overline{\overline{R}}\vec{v}_2 = (\vec{u}\overline{\overline{R}})\vec{v}_2=\vec{u}\cdot\vec{v}_2=0</math></center>

Cualquier otro vector podrá descomponerse en una parte paralela al eje de giro (que no se verá afectada por la rotación) más una parte ortogonal al eje (que gira un cierto ángulo en torno al eje, manteniéndose ortogonal).

==Rotaciones instantáneas==
El apartado anterior se refiere a rotaciones finitas, que relacionan lo que ocurre en un instante con otro un cierto intervalo más tarde. Cuando este intervalo es infinitesimal tenemos una rotación instantánea. En una rotación instantánea tendremos un ''eje instantáneo de rotación'' y el ángulo girado será un dθ.

La velocidad de los puntos de un sólido en rotación instantánea no será la misma para todos. En concreto, los puntos del eje de rotación se encuentran en reposo en ese instante. Por ello, en este se denomina eje instantáneo de rotación (EIR), ya que su dirección puede estar cambiando con el tiempo.

La velocidad de cada punto la podemos calcular con ayuda de la base ligada, ya que al ser constantes las componentes de la posición

<center><math>\vec{v}_P=X\frac{\mathrm{d}\vec{\imath}_2}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}\vec{\jmath}_2}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}\vec{k}_2}{\mathrm{d}t}</math></center>

Por tanto, solo precisamos conocer la derivada de los vectores de la base.

===Fórmulas de Poisson===
Consideremos una rotación instantánea alrededor del eje OZ. En este caso, el extremo del vector <math>\vec{\imath}_2</math> describe un arco de circunferencia en torno al origen. Su velocidad instantánea, por tanto es la correspondiente a un movimiento circular con una cierta velocidad angular

<center><math>\frac{\mathrm{d}\vec{\imath}_2}{\mathrm{d}t}=\vec{\omega}\times\vec{\imath}_2 \qquad\qquad \vec{\omega}=\omega\vec{k}_2=\omega\vec{k}_1</math></center>

y lo mismo ocurre con el <math>\vec{\jmath}_2</math> mientras que el <math>\vec{k}_2</math> permanece constante.

Supongamos ahora el giro alrededor de un eje arbitrario, oreientado según el vector <math>\vec{u}</math>, de tal manera que

<center><math>\vec{\omega}=\omega\vec{u}</math></center>

Podemos descomponer el vector <math>\vec{\imath}_2</math> en una parte paralela a <math>\vec{u}</math> y una ortogonal a él. La parte paralela no se ve afectada por la rotación, mientras que la perpendicular efectúa un arco diferencial de circunferencia

<center><math>\vec{\imath}_2=\vec{\imath}_{2\parallel}+\vec{\imath}_{2\perp}\qquad\qquad \frac{\mathrm{d}\vec{\imath}_2}{\mathrm{d}t}=\vec{0}+\vec{\omega}\times\vec{\imath}_{2\perp}=\vec{\omega}\times\vec{\imath}_{2}</math></center>

donde la última identidad se cumple porque <math>\vec{0}=\vec{\omega}\times\vec{\imath}_{2\parallel}</math>. La misma relación se verifica para los otros dos vectores de la base
<center><math>\frac{\mathrm{d}\vec{\imath}_2}{\mathrm{d}t}=\vec{\omega}\times\vec{\imath}_2 \qquad\qquad \frac{\mathrm{d}\vec{\jmath}_2}{\mathrm{d}t}=\vec{\omega}\times\vec{\jmath}_2
\qquad\qquad \frac{\mathrm{d}\vec{k}_2}{\mathrm{d}t}=\vec{\omega}\times\vec{k}_2</math></center>
Estas son las conocidas como fórmulas de Poisson. Aquí <math>\vec{\omega}</math> es un cierto vector en la dirección del eje de rotación que mide la velocidad angular con la que el sólido gira en dicho instante alrededor del eje.

<center>[[Archivo:Rotación-instantanea-base.png]]</center>

Llevando esto a la velocidad instantánea de cada punto obtenemos el campo de velocidades

<center><math>\vec{v}_P=X(\vec{\omega}\times\vec{\imath}_2)+Y(\vec{\omega}\times\vec{\jmath}_2)+Z(\vec{\omega}\times\vec{k}_2)=\vec{\omega}\times(X\vec{\imath}_2+Y\vec{\jmath}_2+Z\vec{k}_2)=\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}</math></center>

Esta fórmula también es conocida como de Poisson y nos da el campo de velocidades instantáneas para el sólido en rotación instantánea.

==Campo de velocidades==
Según la fórmula de Poisson, el campo de velocidades de un sólido rígido que se encuentra instantáneamente en rotación alrededor del punto fijo O tiene la expresión

<center><math>\vec{v}_P=\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}</math></center>

siendo <math>\vec{\omega}</math> la velocidad angular instantánea del sólido. Este campo de velocidades posee una serie de propiedades características:

;Hay un eje instantáneo de rotación: Todos los puntos de la recta que pasa por O y lleva la dirección de la velocidad angular poseen velocidad nula

<center><math>\overrightarrow{OP}=\lambda \vec{\omega}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}_P=\vec{0}</math></center>
;Misma estructura en planos paralelos: Sean A y B dos puntos del espacio tales que su posición relativa es paralela a <math>\vec{\omega}</math>, esto es, se hallan sobre una recta paralela al eje instantáneo de rotación. Entonces se cumple que sus velocidades son iguales

<center><math>\left\{\begin{array}{rcl}\vec{v}_A & = & \vec{\omega}\times\overrightarrow{OA}\\ \vec{v}_B & = & \vec{\omega}\times\overrightarrow{OB}\end{array}\right.\qquad\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}_B-\vec{v}_A=\vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}</math></center>

:esto quiere decir que podemos reducir el estudio a la distribución sobre un plano perpendicular al eje de rotación. En los planos paralelos a éste la distribución será idéntica.

;La velocidad de cada punto está contenida en un plano normal al eje y cumple la regla de la mano derecha: Sea P un punto del plano perpendicular al eje y que pasa por O. En ese caso, al ser la velocidad <math>\vec{v}_P=\vec{\omega}\times \overrightarrow{OP}</math>, es perpendicular al eje y por tanto está contenida en el plano. Además, al tratarse de un producto vectorial, lleva una dirección y sentido perpendicular al vector radial <math>\overrightarrow{OP}</math>, es decir, es tangente a una circunferencia con centro O y con sentido el de la regla de la mano derecha.
;La rapidez es proporcional a la distancia al eje: Considerando P un punto del plano anterior se cumple

<center><math>|\vec{v}|=|\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}|=|\vec{\omega}||\overrightarrow{OP}|=|\vec{\omega}|d</math></center>

:por tanto, cuanto más lejos del eje, mayor es la rapidez de cada punto.

<center>[[Archivo:Rotacion-pura.png]]{{qquad}}{{qquad}}[[Archivo:Rotacion-pura-cenital.png]]</center>

==Rotaciones permanentes==
Un sólido estará en rotación permanente cuando su movimiento instantáneo en todo momento es uno de rotación. Sin embargo, dado que el eje instantáneo de rotación puede ser diferente en cada instante, en general no habrá ningún punto fijo del sólido y el movimiento sobre un intervalo puede ser muy complejo.

Dentro de las rotaciones permanentes hay dos casos particulares destacados: cuando uno de los puntos del sólido es siempre fijo, y cuando es el eje completo el fijo.
===Sólido con un punto fijo===
Supongamos el caso particular
<center><math>\vec{v}_O=\vec{0}\qquad\qquad \forall t</math></center>
En este caso tenemos un punto O para el cual la velocidad es siempre nula y, por tanto, se encuentra permanentemente en reposo. Esto ocurre, por ejemplo, en el caso de una peonza apoyada en su extremo, o en un sólido libre cuyo centro de masas permanece estacionario.

<center>[[Archivo:precesion-giroscopo.gif]]</center>

El movimiento del sólido es, en cada instante, una rotación en torno a un eje que pasa por este punto.
No podemos asegurar que haya más puntos permanentemente en reposo, ya que la orientación del eje de giro puede cambiar con el tiempo haciendo que los puntos instantáneamente en reposo sean diferentes en cada momento. La trayectoria de cada punto individual puede ser extremadamente complicada. NO describen una circunferencia.

El movimiento de un sólido con un punto fijo se puede descomponer como una superposición de tres movimientos distintos:
;Rotación propia: movimiento alrededor del eje instantáneo de rotación.
;Precesión: Giro del eje de instantáneo de rotación alrededor de un eje fijo.
;Nutación: variación del ángulo que el eje instantáneo de rotación forma cn el mismo eje fijo.

<center>[[Archivo:Nutacion.png|400px]]</center>
===Sólido con un eje fijo===
Supongamos el caso aún más restrictivo

<center><math>\vec{v}_O=\vec{0}\qquad\qquad\vec{v}_A=\vec{0}\qquad\qquad \forall t</math></center>
es decir, el sólido tiene dos puntos fijos. En este caso, el sólido efectúa en todo momento una rotación con eje el que pasa por O y A. La velocidad angular (que puede depender del tiempo) irá siempre en la dirección de este eje

<center><math>\vec{\omega}\parallel\overrightarrow{OA} \qquad\qquad \vec{\omega}=\omega\vec{u}_{OA}=\omega\frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}</math></center>

Se dice que el sólido es un ''rotor''. Este es un elemento típico de máquinas y mecanismos, en que un eje es sujeto por dos puntos y el sólido obligado a girar en torno a él. Para este caso, sí es cierto que la trayectoria de los diferentes puntos es una circunferencia (o un arco de circunferencia).

Un ejemplo es el de un péndulo cuya barra es rígida y por tanto de longitud constante. La lenteja del péndulo efectúa un movimiento que, aunque oscilante, es de rotación en torno a un eje fijo.

[[Categoría:Cinemática del sólido rígido (CMR)]]

Ejemplos de movimiento rectílineo

Pedro — Tue, 26 Sep 2023 08:15:58 GMT

Pedro: /* Caso 2 */

= Enunciado =
Una partícula se mueve sobre el eje <math>OX</math> según el movimiento dado por la siguientes expresiones. En todos los casos asumimos que el movimiento comienza en <math>t=0</math>.
#<math>x(t) = A\,t</math>.
#<math>x(t) = B\,(-1+t^2/T^2)</math>.
#<math>x(t) = C\,(1-t/T)(4-t^2/T^2)</math>.
#<math>x(t) = D\,\mathrm{sen}\,(2\pi t/T)</math>.
#<math>x(t) = D\,\left(1-e^{-t/T}\right)</math>.
Para cada caso, haz un dibujo aproximado de la gráfica que representa el movimiento. Determina en cada caso los instantes de tiempo en los que la partícula se encuentra en el origen, en la parte positiva y en la parte negativa del eje. Si <math>x</math> se mide en metros y <math>t</math> en segundos, determina las unidades de las constantes que aparecen en las expresiones.

= Solución =

== Caso 1 ==
<center>
<math>
x(t) = A\,t
</math>
</center>

[[File:GIC_p02_01_01.png|right]]

Las unidades de <math>A</math> deben ser las adecuadas para hacer coherente
dimensionalmente la expresión de <math>x(t)</math>. Como <math>x</math> se mide
ne metros y <math>t</math> en segundos tenemos
<center>
<math>
[A] = m/s
</math>
</center>

Esta curva es una línea recta que pasa por el origen y tiene pendiente
<math>A</math>. Para que el punto esté en el origen debe ocurrir
<center>
<math>
x(t) = At = 0 \Longrightarrow t=0
</math>
</center>
Sólo está en el origen en el instante inicial. El resto del tiempo la coordenada
<math>x</math> es positiva.

La velocidad es
<center>
<math>
v(t) = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = A.
</math>
</center>
La partícula no se para nunca, pues <math>v(t)</math> nunca es cero.

La aceleración es
<center>
<math>
a(t) = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0.
</math>
</center>

El diferencial de posición es
<center>
<math>
\mathrm{d}x = v\,\mathrm{d}t = A\,\mathrm{d}t.
</math>
</center>
El diferencial de velocidad es
<center>
<math>
\mathrm{d}v = a\,\mathrm{d}t = 0.
</math>
</center>
La velocidad no cambia nunca.

== Caso 2 ==
<center><math>
x(t) = B\,(-1+t^2/T^2)
</math></center>

Las unidades de las constantes son
<center>
<math>
[B]=m, \qquad \qquad [T]=s
</math>
</center>
Esta curva es una parábola pues es una función cuadrática en <math>t</math>.
Vamos a examinarla para poder bosquejar la gráfica
* En <math>t=0</math> tenemos <math>x(0)=-B</math>.

* Veamos para que instante se halla la partícula en el origen
<center>
<math>
x(t) = 0 \Longrightarrow t=\pm T \Longrightarrow t = T
</math>
</center>
Escogemos el valor positivo pues el movimiento ocurre en <math>t\geq 0</math>.
Tenemos
<center>
<math>
t<T \to x(t)<0, \qquad\qquad t>T\to x(t)>0
</math>
</center>
[[File:GIC_p02_01_02.png|right]]
*Buscamos los máximos y mínimos. La derivada se anula en
<center>
<math>
x'(t) = \dfrac{2B}{T^2}t=0 \Longrightarrow t=0
</math>
</center>
Es un mínimo pues
<center>
<math>
\left.x''(t)\right|_{t=0} = \dfrac{2B}{T} >0
</math>
</center>

La velocidad es
<center>
<math>
v(t) = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 2B\dfrac{t}{T^2}.
</math>
</center>
La velocidad sólo es cero en el instante inicial <math>t=0</math>.

La aceleración es
<center>
<math>
a(t) = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \dfrac{2B}{T^2}.
</math>
</center>
La aceleración es constante y nunca se anula.

El diferencial de posición es
<center>
<math>
\mathrm{d}x = v\,\mathrm{d}t = 2B\dfrac{t}{T^2}\,\mathrm{d}t.
</math>
</center>
El de velocidad es
<center>
<math>
\mathrm{d}v = a\,\mathrm{d}t = \dfrac{2B}{T^2}\,\mathrm{d}t.
</math>
</center>
Este movimiento es rectilíneo y uniformemente acelerado. La gráfica muestra las curvas correspondientes a la posición (una parábola), la velocidad (una línea recta) y la aceleración (una constante).

== Caso 3 ==

<center>
<math>
x(t) = C(1-t/T)(4-t^2/T^2)
</math>
</center>

Las unidades de las constantes son
<center>
<math>
[C]=m, \qquad \qquad [T]=s
</math>
</center>

Esta curva es un polinomio de grado 3.
Vamos a examinarla para poder bosquejar la gráfica
* En <math>t=0</math> tenemos <math>x(0)=4C</math>.

* Veamos para que instante se halla la partícula en el origen
<center>
<math>
x(t) = 0 \Longrightarrow t=\pm T, \pm 2T \Longrightarrow t = T, 2T
</math>
</center>
Escogemos los valores positivos pues el movimiento ocurre en <math>t\geq 0</math>.
Tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
t<T \to x(t)>0 \\
T<t<2T\to x(t)<0\\
t>2T \to x(t)>0
\end{array}
</math>
</center>
*Buscamos los máximos y mínimos para <math>t\geq0</math>. La derivada se anula en
<center>
<math>
x'(t) = \dfrac{C}{T^3}(3t^2-2tT-4T^2) =0 \Longrightarrow t=1.54T
</math>
</center>
Es un mínimo pues
<center>
<math>
\left.x''(t)\right|_{t=1.54T} =\left. \dfrac{A}{T^3}(6t-2T)\right|_{t=1.54T} =
7.21\dfrac{A}{T^3}>0
</math>
</center>

[[File:GIC_p02_01_03.png|right|450px]]
La velocidad de la partícula es la derivada respecto al tiempo de <math>x(t)</math>
<center>
<math>
v(t) = x'(t) = \left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right) =
\dfrac{C}{T^3}(3t^2-2tT-4T^2)
</math>
</center>
La partícula está en reposo cuando su derivada es cero
<center>
<math>
v(t)==0 \Longrightarrow
t = 1.54T.
</math>
</center>
De las dos soluciones hemos escogido la que corresponde al intervalo <math>t\geq0</math>.

La aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo
<center>
<math>
a(t) = v'(t) = \left(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right) =
\dfrac{C}{T^3}(6t-2T)
</math>
</center>
La aceleración es nula para
<center>
<math>
a(t)==0 \Longrightarrow t = 0.33T.
</math>
</center>
La figura de la derecha muestra las curvas correspondientes a <math>x(t)</math>, <math>v(t)</math> y <math>a(t)</math>.

El diferencial de posición es
<center>
<math>
\mathrm{d}x = \left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)\,\mathrm{d}x =
v(t)\,\mathrm{d}x =
\dfrac{C}{T^3}(3t^2-2tT-4T^2)\,\mathrm{d}t.
</math>
</center>
Y el de velocidad
<center>
<math>
\mathrm{d}v = \left(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right)\,\mathrm{d}x =
a(t)\,\mathrm{d}x =
\dfrac{C}{T^3}(6t-2T)\,\mathrm{d}t.
</math>
</center>

== Caso 4 ==
<center><math>x(t) = D\,\mathrm{sen}\,(2\pi t/T)</math></center>
Esto es una sinusoide de período <math>T</math>.
El argumento de las funciones trigonómetricas debe ser adimensional. Entonces
las unidades de las constantes son
<center>
<math>
[D] = m, \qquad [T]=s
</math>
</center>

Buscamos los instantes en que
la partícula está en el origen
<center>
<math>
\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{2\pi}{T}t\right)=0
\to
\dfrac{2\pi}{T}t = n\pi\quad (n=0,1,2,\ldots)
\to
t_n = n\dfrac{T}{2}\quad (n=0,1,2,\ldots)
</math>
</center>
[[File:GIC_p02_01_04.png|right|450px]]
La posición empieza siendo positiva en el primer intervalo y luego cambia de
signo a cada intervalo de tiempo <math>T/2</math>.

La velocidad de la partícula es la derivada respecto al tiempo de <math>x(t)</math>
<center>
<math>
v(t) = x'(t) = \left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right) =
\dfrac{2\pi A}{T}\cos\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)
</math>
</center>
La partícula está en reposo cuando <math>v(t)=0</math>, es decir
<center>
<math>
\cos\left(\dfrac{2\pi}{T}t\right)=0
\to
\dfrac{2\pi}{T}t = \left(n+\dfrac{1}{2}\right)\pi\quad (n=0,1,2,\ldots)
\to
t_n = \left(n+\dfrac{1}{2}\right)\dfrac{T}{2}\quad (n=0,1,2,\ldots)
</math>
</center>
La aceleración es la derivada respecto al tiempo de la velocidad
<center>
<math>
a(t) = v'(t) = \left(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right) =
-\dfrac{4\pi^2 A}{T^2}\,\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)
</math>
</center>
Se anula en los mismos instantes de tiempo que la posición, como se puede ver en la gráfica.

El diferencial de posición es
<center>
<math>
\mathrm{d}x = v\,\mathrm{d}t =
\dfrac{2\pi A}{T}\cos\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)\,\mathrm{d}t.
</math>
</center>
Y el de velocidad
<center>
<math>
\mathrm{d}v = a\,\mathrm{d}t =
-\dfrac{4\pi^2 A}{T^2}\,\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)
\mathrm{d}t.
</math>
</center>

== Caso 5 ==
<center><math>x(t) = D\,\left(1-e^{-t/T}\right)</math></center>
Esta curva involucra una exponencial.
El argumento de exponenciales y logaritmos debe ser adimensional. Entonces
las unidades de las constantes son
<center>
<math>
[D] = m, \qquad [T]=s
</math>
</center>

*Veamos cuando está la partícula en el origen
<center>
<math>
x(t)=0 \to e^{-t/T}=1 \to t=0
</math>
</center>
Sólo está en el origen en el instante inicial.
*Veamos los máximos y mínimos
<center>
<math>
x'(t) = D\dfrac{t}{T}\,e^{-t/T} = 0
</math>
</center>
Eso no ocurre nunca, es decir la curva no tiene máximos ni mínimos. Ademas, es
siempre creciente pues <math>x'(t)>0</math> en todo instante.

*Pero también está acotada. Cuando <math>t\to\infty</math>, se tiene
<math>e^{-t/T}\to0</math>. Entonces
<center>
<math>
x(t)\leq D \qquad \forall t
</math>
</center>

La velocidad de la partícula es la derivada respecto al tiempo de <math>x(t)</math>
<center>
<math>
v(t) = x'(t) = \left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right) =
\dfrac{D}{T}\,e^{-t/T}.
</math>
</center>
[[File:GIC_p02_01_05.png|right|450px]]
La partícula está en reposo cuando su derivada es cero.
<center>
<math>
v(t)=0 \Longrightarrow
t \to \infty
</math>
</center>

La aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo
<center>
<math>
a(t) = v'(t) = \left(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right) =
-\dfrac{D}{T^2}\,e^{-t/T}.
</math>
</center>
Es siempre negativa y sólo se anula en el infinito.

La figura de la derecha muestra las curvas correspondientes a <math>x(t)</math>, <math>v(t)</math> y <math>a(t)</math>.
Podemos ver de la figura que cuando <math>t=5T</math> el valor de <math>x</math>
es casi indistinguible del de la asíntota. La constante <math>T</math> da una
idea de cuando tarda la función en alcanzar el valor asintótico, es decir, nos
da la escala de tiempo típica del sistema.

El diferencial de posición es
<center>
<math>
\mathrm{d}x = \left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)\,\mathrm{d}x =
v(t)\,\mathrm{d}x =
\dfrac{D}{T}e^{-t/T}\,\mathrm{d}t.
</math>
</center>
Y el de velocidad
<center>
<math>
\mathrm{d}v = \left(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right)\,\mathrm{d}x =
a(t)\,\mathrm{d}x =
-\dfrac{D}{T^2}e^{-t/T}\,\mathrm{d}t.
</math>
</center>

[[Categoría:Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo]]

Archivo:MR Bol02 2324.pdf

Pedro — Mon, 25 Sep 2023 09:44:32 GMT

Pedro:

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Pedro — Mon, 25 Sep 2023 09:44:09 GMT

Pedro:

Mecánica Racional (Ingeniería Civil)

Pedro — Mon, 25 Sep 2023 09:43:35 GMT

Pedro:

#[[Cinemática del sólido rígido (G.I.T.I.)|Cinemática del sólido rígido]]
##{{ac|Problemas de Cinemática del sólido rígido (MR G.I.C.)}}
#[[Movimiento relativo (G.I.T.I.)|Movimiento relativo]]
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#Dinámica del sólido rígido vinculado
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##{{ac|Problemas de Introducción a la Mecánica Analítica (MR G.I.C.)}}
#Dinámica analítica
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#Dinámica impulsiva
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# Material didáctico auxiliar
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#Diapositivas

##Presentación
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##Tema 1: Cinemática del sólido rígido
###[[File:MR_Tema01_2324.pdf]]
###Problemas:[[File:MR_Bol01_2324.pdf]]
##Tema 2: Movimiento relativo
###[[File:MR_Tema02_2324.pdf]]
###Problemas:[[File:MR_Bol02_2324.pdf]]

Ejemplos de movimiento rectílineo

Pedro — Thu, 14 Sep 2023 18:09:18 GMT

Pedro: /* Caso 2 */

= Enunciado =
Una partícula se mueve sobre el eje <math>OX</math> según el movimiento dado por la siguientes expresiones. En todos los casos asumimos que el movimiento comienza en <math>t=0</math>.
#<math>x(t) = A\,t</math>.
#<math>x(t) = B\,(-1+t^2/T^2)</math>.
#<math>x(t) = C\,(1-t/T)(4-t^2/T^2)</math>.
#<math>x(t) = D\,\mathrm{sen}\,(2\pi t/T)</math>.
#<math>x(t) = D\,\left(1-e^{-t/T}\right)</math>.
Para cada caso, haz un dibujo aproximado de la gráfica que representa el movimiento. Determina en cada caso los instantes de tiempo en los que la partícula se encuentra en el origen, en la parte positiva y en la parte negativa del eje. Si <math>x</math> se mide en metros y <math>t</math> en segundos, determina las unidades de las constantes que aparecen en las expresiones.

= Solución =

== Caso 1 ==
<center>
<math>
x(t) = A\,t
</math>
</center>

[[File:GIC_p02_01_01.png|right]]

Las unidades de <math>A</math> deben ser las adecuadas para hacer coherente
dimensionalmente la expresión de <math>x(t)</math>. Como <math>x</math> se mide
ne metros y <math>t</math> en segundos tenemos
<center>
<math>
[A] = m/s
</math>
</center>

Esta curva es una línea recta que pasa por el origen y tiene pendiente
<math>A</math>. Para que el punto esté en el origen debe ocurrir
<center>
<math>
x(t) = At = 0 \Longrightarrow t=0
</math>
</center>
Sólo está en el origen en el instante inicial. El resto del tiempo la coordenada
<math>x</math> es positiva.

La velocidad es
<center>
<math>
v(t) = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = A.
</math>
</center>
La partícula no se para nunca, pues <math>v(t)</math> nunca es cero.

La aceleración es
<center>
<math>
a(t) = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0.
</math>
</center>

El diferencial de posición es
<center>
<math>
\mathrm{d}x = v\,\mathrm{d}t = A\,\mathrm{d}t.
</math>
</center>
El diferencial de velocidad es
<center>
<math>
\mathrm{d}v = a\,\mathrm{d}t = 0.
</math>
</center>
La velocidad no cambia nunca.

== Caso 2 ==
<center><math>x(t) = B\,(-1+t^2/T^2)</math></center>

Las unidades de las constantes son
<center>
<math>
[B]=m, \qquad \qquad [T]=s
</math>
</center>

Esta curva es una parábola pues es una función cuadrática en <math>t</math>.
Vamos a examinarla para poder bosquejar la gráfica
* En <math>t=0</math> tenemos <math>x(0)=-B</math>.

* Veamos para que instante se halla la partícula en el origen
<center>
<math>
x(t) = 0 \Longrightarrow t=\pm T \Longrightarrow t = T
</math>
</center>
Escogemos el valor positivo pues el movimiento ocurre en <math>t\geq 0</math>.
Tenemos
<center>
<math>
t<T \to x(t)<0, \qquad\qquad t>T\to x(t)>0
</math>
</center>
[[File:GIC_p02_01_02.png|right]]
*Buscamos los máximos y mínimos. La derivada se anula en
<center>
<math>
x'(t) = \dfrac{2B}{T^2}t=0 \Longrightarrow t=0
</math>
</center>
Es un mínimo pues
<center>
<math>
\left.x''(t)\right|_{t=0} = \dfrac{2B}{T} >0
</math>
</center>

La velocidad es
<center>
<math>
v(t) = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 2B\dfrac{t}{T^2}.
</math>
</center>
La velocidad sólo es cero en el instante inicial <math>t=0</math>.

La aceleración es
<center>
<math>
a(t) = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \dfrac{2B}{T^2}.
</math>
</center>
La aceleración es constante y nunca se anula.

El diferencial de posición es
<center>
<math>
\mathrm{d}x = v\,\mathrm{d}t = 2B\dfrac{t}{T^2}\,\mathrm{d}t.
</math>
</center>
El de velocidad es
<center>
<math>
\mathrm{d}v = a\,\mathrm{d}t = \dfrac{2B}{T^2}\,\mathrm{d}t.
</math>
</center>
Este movimiento es rectilíneo y uniformemente acelerado. La gráfica muestra las curvas correspondientes a la posición (una parábola), la velocidad (una línea recta) y la aceleración (una constante).

== Caso 3 ==

<center>
<math>
x(t) = C(1-t/T)(4-t^2/T^2)
</math>
</center>

Las unidades de las constantes son
<center>
<math>
[C]=m, \qquad \qquad [T]=s
</math>
</center>

Esta curva es un polinomio de grado 3.
Vamos a examinarla para poder bosquejar la gráfica
* En <math>t=0</math> tenemos <math>x(0)=4C</math>.

* Veamos para que instante se halla la partícula en el origen
<center>
<math>
x(t) = 0 \Longrightarrow t=\pm T, \pm 2T \Longrightarrow t = T, 2T
</math>
</center>
Escogemos los valores positivos pues el movimiento ocurre en <math>t\geq 0</math>.
Tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
t<T \to x(t)>0 \\
T<t<2T\to x(t)<0\\
t>2T \to x(t)>0
\end{array}
</math>
</center>
*Buscamos los máximos y mínimos para <math>t\geq0</math>. La derivada se anula en
<center>
<math>
x'(t) = \dfrac{C}{T^3}(3t^2-2tT-4T^2) =0 \Longrightarrow t=1.54T
</math>
</center>
Es un mínimo pues
<center>
<math>
\left.x''(t)\right|_{t=1.54T} =\left. \dfrac{A}{T^3}(6t-2T)\right|_{t=1.54T} =
7.21\dfrac{A}{T^3}>0
</math>
</center>

[[File:GIC_p02_01_03.png|right|450px]]
La velocidad de la partícula es la derivada respecto al tiempo de <math>x(t)</math>
<center>
<math>
v(t) = x'(t) = \left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right) =
\dfrac{C}{T^3}(3t^2-2tT-4T^2)
</math>
</center>
La partícula está en reposo cuando su derivada es cero
<center>
<math>
v(t)==0 \Longrightarrow
t = 1.54T.
</math>
</center>
De las dos soluciones hemos escogido la que corresponde al intervalo <math>t\geq0</math>.

La aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo
<center>
<math>
a(t) = v'(t) = \left(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right) =
\dfrac{C}{T^3}(6t-2T)
</math>
</center>
La aceleración es nula para
<center>
<math>
a(t)==0 \Longrightarrow t = 0.33T.
</math>
</center>
La figura de la derecha muestra las curvas correspondientes a <math>x(t)</math>, <math>v(t)</math> y <math>a(t)</math>.

El diferencial de posición es
<center>
<math>
\mathrm{d}x = \left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)\,\mathrm{d}x =
v(t)\,\mathrm{d}x =
\dfrac{C}{T^3}(3t^2-2tT-4T^2)\,\mathrm{d}t.
</math>
</center>
Y el de velocidad
<center>
<math>
\mathrm{d}v = \left(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right)\,\mathrm{d}x =
a(t)\,\mathrm{d}x =
\dfrac{C}{T^3}(6t-2T)\,\mathrm{d}t.
</math>
</center>

== Caso 4 ==
<center><math>x(t) = D\,\mathrm{sen}\,(2\pi t/T)</math></center>
Esto es una sinusoide de período <math>T</math>.
El argumento de las funciones trigonómetricas debe ser adimensional. Entonces
las unidades de las constantes son
<center>
<math>
[D] = m, \qquad [T]=s
</math>
</center>

Buscamos los instantes en que
la partícula está en el origen
<center>
<math>
\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{2\pi}{T}t\right)=0
\to
\dfrac{2\pi}{T}t = n\pi\quad (n=0,1,2,\ldots)
\to
t_n = n\dfrac{T}{2}\quad (n=0,1,2,\ldots)
</math>
</center>
[[File:GIC_p02_01_04.png|right|450px]]
La posición empieza siendo positiva en el primer intervalo y luego cambia de
signo a cada intervalo de tiempo <math>T/2</math>.

La velocidad de la partícula es la derivada respecto al tiempo de <math>x(t)</math>
<center>
<math>
v(t) = x'(t) = \left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right) =
\dfrac{2\pi A}{T}\cos\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)
</math>
</center>
La partícula está en reposo cuando <math>v(t)=0</math>, es decir
<center>
<math>
\cos\left(\dfrac{2\pi}{T}t\right)=0
\to
\dfrac{2\pi}{T}t = \left(n+\dfrac{1}{2}\right)\pi\quad (n=0,1,2,\ldots)
\to
t_n = \left(n+\dfrac{1}{2}\right)\dfrac{T}{2}\quad (n=0,1,2,\ldots)
</math>
</center>
La aceleración es la derivada respecto al tiempo de la velocidad
<center>
<math>
a(t) = v'(t) = \left(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right) =
-\dfrac{4\pi^2 A}{T^2}\,\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)
</math>
</center>
Se anula en los mismos instantes de tiempo que la posición, como se puede ver en la gráfica.

El diferencial de posición es
<center>
<math>
\mathrm{d}x = v\,\mathrm{d}t =
\dfrac{2\pi A}{T}\cos\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)\,\mathrm{d}t.
</math>
</center>
Y el de velocidad
<center>
<math>
\mathrm{d}v = a\,\mathrm{d}t =
-\dfrac{4\pi^2 A}{T^2}\,\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)
\mathrm{d}t.
</math>
</center>

== Caso 5 ==
<center><math>x(t) = D\,\left(1-e^{-t/T}\right)</math></center>
Esta curva involucra una exponencial.
El argumento de exponenciales y logaritmos debe ser adimensional. Entonces
las unidades de las constantes son
<center>
<math>
[D] = m, \qquad [T]=s
</math>
</center>

*Veamos cuando está la partícula en el origen
<center>
<math>
x(t)=0 \to e^{-t/T}=1 \to t=0
</math>
</center>
Sólo está en el origen en el instante inicial.
*Veamos los máximos y mínimos
<center>
<math>
x'(t) = D\dfrac{t}{T}\,e^{-t/T} = 0
</math>
</center>
Eso no ocurre nunca, es decir la curva no tiene máximos ni mínimos. Ademas, es
siempre creciente pues <math>x'(t)>0</math> en todo instante.

*Pero también está acotada. Cuando <math>t\to\infty</math>, se tiene
<math>e^{-t/T}\to0</math>. Entonces
<center>
<math>
x(t)\leq D \qquad \forall t
</math>
</center>

La velocidad de la partícula es la derivada respecto al tiempo de <math>x(t)</math>
<center>
<math>
v(t) = x'(t) = \left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right) =
\dfrac{D}{T}\,e^{-t/T}.
</math>
</center>
[[File:GIC_p02_01_05.png|right|450px]]
La partícula está en reposo cuando su derivada es cero.
<center>
<math>
v(t)=0 \Longrightarrow
t \to \infty
</math>
</center>

La aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo
<center>
<math>
a(t) = v'(t) = \left(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right) =
-\dfrac{D}{T^2}\,e^{-t/T}.
</math>
</center>
Es siempre negativa y sólo se anula en el infinito.

La figura de la derecha muestra las curvas correspondientes a <math>x(t)</math>, <math>v(t)</math> y <math>a(t)</math>.
Podemos ver de la figura que cuando <math>t=5T</math> el valor de <math>x</math>
es casi indistinguible del de la asíntota. La constante <math>T</math> da una
idea de cuando tarda la función en alcanzar el valor asintótico, es decir, nos
da la escala de tiempo típica del sistema.

El diferencial de posición es
<center>
<math>
\mathrm{d}x = \left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)\,\mathrm{d}x =
v(t)\,\mathrm{d}x =
\dfrac{D}{T}e^{-t/T}\,\mathrm{d}t.
</math>
</center>
Y el de velocidad
<center>
<math>
\mathrm{d}v = \left(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right)\,\mathrm{d}x =
a(t)\,\mathrm{d}x =
-\dfrac{D}{T^2}e^{-t/T}\,\mathrm{d}t.
</math>
</center>

[[Categoría:Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo]]

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Pedro — Wed, 13 Sep 2023 08:15:11 GMT

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##[[Tabla_de_derivadas_y_primitivas | Tabla de derivadas y primitivas]]
##[[Complementos_de_mecánica_racional|Wiki de Complementos de Mecánica Racional]]
# Exámenes
##[[Exámenes 2015/16 (MR G.I.C.)| Curso 2015/16]]
##[[Exámenes 2016/17 (MR G.I.C.)| Curso 2016/17]]
##[[Exámenes 2017/18 (MR G.I.C.)| Curso 2017/18]]
##[[Exámenes 2018/19 (MR G.I.C.)| Curso 2018/19]]
##[[Exámenes 2019/20 (MR G.I.C.)| Curso 2019/20]]
##[[Exámenes 2020/21 (MR G.I.C.)| Curso 2020/21]]

#Diapositivas
##Presentación
###[[File:MR_Tema00.pdf]]
##Tema 1: Cinemática del sólido rígido
###[[File:MR_Tema01.pdf]]
###Problemas:[[File:MR_Bol01.pdf]]

Problemas de Introducción a la Mecánica Analítica (MR G.I.C.)

Pedro — Thu, 18 Feb 2021 13:52:53 GMT

Pedro: /* Equilibrio de armadura con muelle */

=Problemas del boletín=

==[[ Dos barras en V con apoyos (MR G.I.C.) | Dos barras en V con apoyos]]==
[[Imagen:MR_barra_V_par_enunciado.png|right|250px]]
el Principio de los Trabajos Virtuales, determina las reacciones horizontal y vertical en el punto <math>C</math> para la estructura de la figura. La masa de las barras es despreciable. Calcula el valor numeŕico para los valores <math>a=1.00\,\mathrm{m}</math>, <math>|\vec{F}|=400\,\mathrm{N}</math>, <math>|\vec{\tau}|=500\,\mathrm{N\cdot m}</math>, <math>\theta=40^{\circ}</math>.

==[[ Barra articulada colgando de muelle (MR G.I.C.) | Barra articulada colgando de muelle ]]==
[[Imagen:MR_barra_colgando_muelle_enunciado.png|right|300px]]
Una barra de longitud <math>2a</math> esta articulada en su extremo <math>O</math>. En el otro extremo (punto <math>A</math>) se conecta un muelle de constante elástica <math>k</math> y longitud natural nula. El otro extremo del muelle se coloca en un punto <math>B</math> fijo sobre el eje <math>OY_1</math>.
#Determina el valor del ángulo <math>\theta</math> para la posición de equilibrio.
#Calcula la fuerza en la dirección del eje <math>OY_1</math> sobre el punto <math>B</math> en la situación de equilibrio.
#Supongamos que liberamos el punto <math>B</math>, de modo que puede deslizar por el eje sin rozamiento. Encuentra la configuración de equilibrio en este caso.
#¿Como se podría resolver el problema de equilibrio si incluimos rozamiento en el contacto de <math>B</math> con el eje <math>OY_1</math>?

=Otros problemas=
==[[Equilibrio de armadura con muelle, MR | Equilibrio de armadura con muelle]]==
[[Imagen:MRGIC_armaduramuelle_enunciado.png|right]]
En el sistema de la figura las barras tienen longitud <math>2d</math> y masa <math>m</math> cada una.
La barra "2" está articulada en el punto fijo <math>A</math>, mientras que el extremo
<math>C</math> de la barra "0" puede deslizar sin rozamiento sobre la superficie vertical. El
muelle que conecta los puntos <math>A</math> y <math>C</math> tiene constante elástica <math>k</math> y longitud natural
nula. El muelle se mantiene siempre vertical. La gravedad actúa como se indica en la
figura.
#Calcula la energía potencial del sistema.
#Suponiendo que el muelle se ajusta de modo que <math>mg=kd</math>, determina los valores de <math>\theta</math> para los que hay equilibrio mecánico. Discute la estabilidad de estas posiciones de equilibrio.
#Si se aplica una fuerza <math>\vec{F} = F_0\,\vec{\jmath}_1</math> sobre el punto <math>B</math>, con <math>F_0=2kd>0</math>, determina el nuevo valor de <math>\theta</math> para que haya equilibrio mecánico.

==[[ Equilibrio de barra con muelle (Ene. 2021) | Equilibrio de barra con muelle ]]==
[[Archivo:MRGIC-barraPTV-Enunciado.png|right]]

Una barra de longitud <math>2d</math> está articulada en su punto central en el punto fijo <math>O</math>. El
extremo <math>A</math> se conecta al punto fijo <math>C</math> por un muelle de constante elástica <math>k</math> y longitud
natural nula. Una fuerza <math>\vec{F}=F_0\,\vec{\imath}</math>, con <math>F_0>0</math>, se aplica en el punto <math>B</math>.
No se tiene en cuenta la fuerza de la gravedad.
#Usando el Principio de los Trabajos Virtuales (PTV) (o el de las potencias virtuales, PPV) determina el valor de equilibrio del ángulo <math>\theta</math>.
#Si el ángulo es tal que <math>\,\mathrm{sen}\,{\theta}=3/5</math> y <math>\cos\theta=4/5</math>, determina, usando el Principio de Liberación y el PTV (o el PPV), las componentes de la fuerza de reacción vincular en <math>O</math> (en la base de los ejes de la figura)

Equilibrio de barra con muelle (Ene. 2021)

Pedro — Thu, 18 Feb 2021 13:52:19 GMT

Pedro: /* Fuerza vincular en O */

= Enunciado =
[[Archivo:MRGIC-barraPTV-Enunciado.png|right]]

Una barra de longitud <math>2d</math> está articulada en su punto central en el punto fijo <math>O</math>. El
extremo <math>A</math> se conecta al punto fijo <math>C</math> por un muelle de constante elástica <math>k</math> y longitud
natural nula. Una fuerza <math>\vec{F}=F_0\,\vec{\imath}</math>, con <math>F_0>0</math>, se aplica en el punto <math>B</math>.
No se tiene en cuenta la fuerza de la gravedad.
#Usando el Principio de los Trabajos Virtuales (PTV) (o el de las potencias virtuales, PPV) determina el valor de equilibrio del ángulo <math>\theta</math>.
#Si el ángulo es tal que <math>\,\mathrm{sen}\,{\theta}=3/5</math> y <math>\cos\theta=4/5</math>, determina, usando el Principio de Liberación y el PTV (o el PPV), las componentes de la fuerza de reacción vincular en <math>O</math> (en la base de los ejes de la figura)

= Solución =

== Posición de equilibrio ==

=== Con el Principio de los Trabajos Virtuales ===
Las fuerzas activas que actúan sobre la barra son la fuerza aplicada en <math>B</math> y la fuerza que el muelle ejerce en <math>A</math>. El Principio de los Trabajos Virtuales (PTV) dice que, para que haya equilibrio, en cualquier desplazamiento virtual debe cumplirse
<center>
<math>
\delta W = \vec{F}\cdot\delta\vec{r}_B + \vec{F}_k\cdot\delta\vec{r}_A = 0.
</math>
</center>
Calculemos cada uno de esos términos. El sistema tiene un grado de libertad: <math>\{\theta\}</math>. Así pues, un desplazamiento virtual arbitrario es <math>\{\delta\theta\}</math>.

Para la fuerza en <math>B</math> tenemos
<center>
<math>
\vec{r}_B = d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + d\cos\theta\,\vec{\jmath}_1
\Longrightarrow
\delta\vec{r}_B = \left(\dfrac{\partial\vec{r}_B}{\partial\theta}\right)\delta\theta
=
(d\cos\theta\,\vec{\imath} - d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1)\delta\theta.
</math>
</center>
Por tanto
<center>
<math>
\vec{F}\cdot\delta\vec{r}_B = F_0d\cos\theta\delta\theta.
</math>
</center>
La fuerza del muelle sobre el extremo <math>A</math> de la barra viene dada por
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\vec{F}_k & = -k\overrightarrow{CA} =kd\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 - kd(1-\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1 \\
& \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} =
-d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + d(1-\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1. \\
& \qquad \overrightarrow{OA} = -d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 - d\cos\theta\,\vec{\jmath}_1.\\
& \qquad \overrightarrow{OC} = -d\,\vec{\jmath}_1.
\end{array}
</math>
</center>
Tenemos
<center>
<math>
\vec{r}_A = -d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 - d\cos\theta\,\vec{\jmath}_1
\Longrightarrow
\delta\vec{r}_A = \left(\dfrac{\partial\vec{r}_A}{\partial\theta}\right)\delta\theta
=
(-d\cos\theta\,\vec{\imath} + d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1)\delta\theta.
</math>
</center>
Por tanto
<center>
<math>
\vec{F}_k\cdot\delta\vec{r}_A =
-kd^2\,\mathrm{sen}\,\theta\,\delta\theta.
</math>
</center>
Por tanto la condición de equilibrio es, para todo <math>\delta\theta</math>,
<center>
<math>
(F_0d\cos\theta - kd^2\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\delta\theta = 0
\Longrightarrow
\tan\theta = \dfrac{F_0}{kd}.
</math>
</center>

=== Con el Principio de las Potencias Virtuales ===
En esta caso necesitamos la reducción cinemática del movimiento de la barra
<center>
<math>
\vec{\omega} = -\dot{\theta}\,\vec{k}, \qquad \vec{v}^{\,O} = \vec{0}.
</math>
</center>
El Principio dice que, en cualquier desplazamiento virtual <math>\{\dot{\theta}^*\}</math>, debe cumplirse
<center>
<math>
\vec{F}\cdot\vec{v}^{\,*}_B + \vec{F}_k\cdot\vec{v}^{\,*}_A=0.
</math>
</center>
Las velocidades que necesitamos son
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{v}^{\,*}_B = \vec{v}_O + \vec{\omega}\times\overrightarrow{OB} = (d\cos\theta\,\vec{\imath}_1 - d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1)\,\dot{\theta}^*,\\
\vec{v}^{\,*}_A = \vec{v}_O + \vec{\omega}\times\overrightarrow{OA} = (-d\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1)\,\dot{\theta}^*
\end{array}
</math>
</center>
Aplicando el PPV llegamos a la misma condición que en el caso anterior.

=== Con la energía potencial ===
Otra forma de hacerlo es usando la energía potencial. La acción del muelle puede describirse con la energía potencial
<center>
<math>
U_k = \dfrac{1}{2}k\,|\overrightarrow{AC}|^2 = kd^2(1-\cos\theta).
</math>
</center>
La acción de <math>\vec{F}</math> se describe con una fuerza generalizada
<center>
<math>
Q^{NC}_{\theta} = \vec{F}\cdot\dfrac{\partial \vec{r}_B}{\partial \theta} = \vec{F}\cdot\dfrac{\partial \vec{v}_B}{\partial \dot{\theta}} = F_0d\cos\theta
</math>
</center>
La condición de equilibrio es
<center>
<math>
\dfrac{\partial U_k}{\partial \theta} = Q^{NC}_{\theta}
\Longrightarrow
\tan\theta = \dfrac{F_0}{kd}.
</math>
</center>

== Fuerza vincular en <math>O</math> ==
La fuerza vincular en <math>O</math> garantiza que se cumpla el vínculo <math>\vec{v}_O=\vec{0}</math>. Por tanto debe tener dos componentes (es un sistema plano)
<center>
<math>
\vec{O} = O_x\,\vec{\imath}_1 + O_y\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Por tanto, tenemos que aplicar el Principio de Liberación dos veces.

''' Componente <math>O_x</math> '''

[[Archivo:MRGIC-barraPTV-Ox.png|right]]
Liberamos la barra de modo que su centro pueda desplazarse horizontalmente. Ahora hay dos grados de libertad: <math>\{x_O, \theta\}</math> y un desplazamiento virtual genérico tiene la forma <math>\{\delta x_O, \delta\theta\}</math>. Al liberar, tenemos que introducir una fuerza <math>\vec{O}_x = O_x\,\vec{\imath}_1</math> que se comporta como una fuerza activa. El PTV dice que, para cualquier desplazamiento virtual, en equilibrio debe cumplirse
<center>
<math>
\delta W = \vec{F}\cdot\delta\vec{r}_B + \vec{F}_k\cdot\delta\vec{r}_A + \vec{O}_x\cdot\delta\vec{r}_O=0.
</math>
</center>

De todos los desplazamientos virtuales posibles escogemos el que cumple
<center>
<math>
\delta\theta = 0, \qquad \delta x_O = 1
\Longrightarrow
\delta\vec{r}_B = \delta\vec{r}_A = \delta\vec{r}_O = \vec{\imath}_1.
</math>
</center>
Aplicando el PTV llegamos a
<center>
<math>
F_0 - kd\mathrm{sen}\,\mathrm{sen}\,\theta + O_x=0
\Longrightarrow
O_X = kd\,\mathrm{sen}\,\theta - F_0.
</math>
</center>
Usando el valor de <math>\theta</math> dado por el enunciado tenemos finalmente
<center>
<math>
O_x = \dfrac{3}{5}kd-F_0.
</math>
</center>

''' Componente <math>O_y</math> '''

[[Archivo:MRGIC-barraPTV-Oy.png|right]]
Ahora liberamos la barra de modo que su centro pueda desplazarse verticalmente. Los dos grados de libertad son: <math>\{y_O, \theta\}</math> y un desplazamiento virtual genérico tiene la forma <math>\{\delta y_O, \delta\theta\}</math>. Al liberar, tenemos que introducir una fuerza <math>\vec{O}_y = O_y\,\vec{\jmath}_1</math> que se comporta como una fuerza activa. El PTV dice que, para cualquier desplazamiento virtual, en equilibrio debe cumplirse
<center>
<math>
\delta W = \vec{F}\cdot\delta\vec{r}_B + \vec{F}_k\cdot\delta\vec{r}_A + \vec{O}_y\cdot\delta\vec{r}_O=0.
</math>
</center>

De todos los desplazamientos virtuales posibles escogemos el que cumple
<center>
<math>
\delta\theta = 0, \qquad \delta y_O = 1
\Longrightarrow
\delta\vec{r}_B = \delta\vec{r}_A = \delta\vec{r}_O = \vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Aplicando el PTV llegamos a
<center>
<math>
-kd\,(1-\cos\theta) + O_y=0
\Longrightarrow
O_y = kd\,(1-\cos\theta).
</math>
</center>
Usando el valor de <math>\theta</math> dado por el enunciado tenemos finalmente
<center>
<math>
O_y = \dfrac{1}{5}kd.
</math>
</center>

[[Categoría:Problemas de mecánica analítica]]
[[Categoría:Problemas del Principio de los Trabajos Virtuales]]
[[Categoría:Problemas de examen de Mecánica Racional]]

Equilibrio de barra con muelle (Ene. 2021)

Pedro — Thu, 18 Feb 2021 13:51:33 GMT

Pedro: Página creada con '= Enunciado = right Una barra de longitud <math>2d</math> está articulada en su punto central en el punto fijo <math>O</math>. El ext…'

Archivo:MRGIC-barraPTV-Oy.png

Pedro — Thu, 18 Feb 2021 10:21:18 GMT

Pedro:

Archivo:MRGIC-barraPTV-Ox.png

Pedro — Thu, 18 Feb 2021 10:18:12 GMT

Pedro:

Primera Convocatoria Ordinaria 2020/21 (MR G.I.C.)

Pedro — Thu, 18 Feb 2021 09:24:43 GMT

Pedro: /* Equilibrio de barra con muelle */

==[[ Disco articulado en barra con extremo moviéndose en un raíl vertical (Ene. 2021) | Disco articulado en barra con extremo moviéndose en un raíl vertical ]]==
[[Archivo:MRGIC-discoBarra-Enunciado.png|right]]
Un aro de masa <math>m</math> y radio <math>R</math> (sólido "2") rueda sin deslizar sobre una superficie rugosa
(eje fijo <math>OX_1</math>). En el centro del aro se articula una varilla delgada de masa <math>m</math> y longitud
<math>2R</math> (sólido "0"). El otro extremo de la varilla se articula en un pasador que debe moverse en
un raíl fijo vertical. La distancia entre el eje <math>OY_1</math> y el raíl es <math>4R</math>. La gravedad actúa como se indica
en la figura. Una fuerza <math>\vec{F}=F_0\,\vec{\jmath}_1</math> actúa sobre el extremo <math>B</math> de la barra.
#Localiza gráficamente los C.I.R. de los tres movimientos relativos del sistema y escribe sus vectores de posición respecto a <math>O</math>.
#Demuestra que existen dos ligaduras de la forma <math>a\dot{s} + b\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi=0, \quad c\,\dot{\theta}+d\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,{\phi}=0.</math>. Encuentra los valores de los coeficientes <math>a, b, c, d</math>.
#Escribe las reducciones cinemáticas de los movimientos absolutos de los dos sólidos en sus centros de masas respectivos. Deben quedar en función de <math>\phi</math> y <math>\dot{\phi}</math>.
#Calcula la energía cinética total del sistema.
#Dibuja los diagramas de fuerzas de los dos sólidos.
#Aplicando el T.C.M. y el T.M.C. encuentra las ecuaciones que describen el movimiento y las reacciones vinculares. No es necesario hacer las derivadas temporales al aplicar los teoremas.

==[[ Barra deslizando sobre apoyo vertical (Ene. 2021) | Barra deslizando sobre apoyo vertical ]]==
[[Archivo:MRGIC-barraApoyoVertical-Enunciado.png|right]]
Una barra de masa <math>m</math> y longitud 4h (sólido "2") está articulada en un extremo (punto <math>A</math>) en un pasador
que puede deslizar sobre el eje fijo <math>OY_1</math>. El otro extremo de la barra se apoya en un apoyo vertical, de modo
que el punto <math>C</math> de la barra puede deslizar sin rozamiento sobre el apoyo. Un muelle de constante elástica
<math>k</math> y longitud natural <math>2h</math> conecta el extremo <math>A</math> de la barra con el punto <math>O</math>. La gravedad actúa como
se indica en la figura.

#Encuentra la reducción cinemática del movimiento {21} expresada en la base del sólido "1" y en función de las coordenadas <math>\{s, \theta\}</math> y sus derivadas temporales. ¿Como es la ligadura cinemática que relaciona estas coordenadas?
#Calcula las siguientes magnitudes cinéticas del sólido "2": <math>\vec{C}</math>, <math>\vec{L}_G</math>, <math>T</math>, <math>U</math>. Expresa los resultados usando las coordenadas <math>\{s, \theta\}</math> y sus derivadas temporales.
#Supongamos que la función de Lagrange y el vínculo cinemático tienen esta forma ( <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>D</math> y <math>E</math> son constantes dadas)
<center>
<math>
L = A\dot{s}^2 + B\dot{\theta}^2 + C \dot{s}\,\dot{\theta},
\qquad
g = D\dot{s}\cos{\theta} + E\dot{\theta}=0.
</math>
</center>
Aplicando la técnica de los multiplicadores de Lagrange, encuentra las ecuaciones de movimiento.

==[[ Equilibrio de barra con muelle (Ene. 2021) | Equilibrio de barra con muelle ]]==
[[Archivo:MRGIC-barraPTV-Enunciado.png|right]]

Una barra de longitud <math>2d</math> está articulada en su punto central en el punto fijo <math>O</math>. El
extremo <math>A</math> se conecta al punto fijo <math>C</math> por un muelle de constante elástica <math>k</math> y longitud
natural nula. Una fuerza <math>\vec{F}=F_0\,\vec{\imath}</math>, con <math>F_0>0</math>, se aplica en el punto <math>B</math>.
No se tiene en cuenta la fuerza de la gravedad.
#Usando el Principio de los Trabajos Virtuales (PTV) (o el de las potencias virtuales, PPV) determina el valor de equilibrio del ángulo <math>\theta</math>.
#Si el ángulo es tal que <math>\,\mathrm{sen}\,{\theta}=3/5</math> y <math>\cos\theta=4/5</math>, determina, usando el Principio de Liberación y el PTV (o el PPV), las componentes de la fuerza de reacción vincular en <math>O</math> (en la base de los ejes de la figura)

Archivo:MRGIC-barraPTV-Enunciado.png

Pedro — Thu, 18 Feb 2021 09:24:16 GMT

Pedro:

Primera Convocatoria Ordinaria 2020/21 (MR G.I.C.)

Pedro — Thu, 18 Feb 2021 09:21:20 GMT

Pedro: /* Barra deslizando sobre apoyo vertical */

Barra deslizando sobre apoyo vertical (Ene. 2021)

Pedro — Thu, 18 Feb 2021 09:20:25 GMT

Pedro: Página creada con '= Enunciado = right Una barra de masa <math>m</math> y longitud 4h (sólido "2") está articulada en un extremo (punto <math>A…'

= Enunciado =
[[Archivo:MRGIC-barraApoyoVertical-Enunciado.png|right]]
Una barra de masa <math>m</math> y longitud 4h (sólido "2") está articulada en un extremo (punto <math>A</math>) en un pasador
que puede deslizar sobre el eje fijo <math>OY_1</math>. El otro extremo de la barra se apoya en un apoyo vertical, de modo
que el punto <math>C</math> de la barra puede deslizar sin rozamiento sobre el apoyo. Un muelle de constante elástica
<math>k</math> y longitud natural <math>2h</math> conecta el extremo <math>A</math> de la barra con el punto <math>O</math>. La gravedad actúa como
se indica en la figura.

#Encuentra la reducción cinemática del movimiento {21} expresada en la base del sólido "1" y en función de las coordenadas <math>\{s, \theta\}</math> y sus derivadas temporales. ¿Como es la ligadura cinemática que relaciona estas coordenadas?
#Calcula las siguientes magnitudes cinéticas del sólido "2": <math>\vec{C}</math>, <math>\vec{L}_G</math>, <math>T</math>, <math>U</math>. Expresa los resultados usando las coordenadas <math>\{s, \theta\}</math> y sus derivadas temporales.
#Supongamos que la función de Lagrange y el vínculo cinemático tienen esta forma ( <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>D</math> y <math>E</math> son constantes dadas)
<center>
<math>
L = A\dot{s}^2 + B\dot{\theta}^2 + C \dot{s}\,\dot{\theta},
\qquad
g = D\dot{s}\cos{\theta} + E\dot{\theta}=0.
</math>
</center>
Aplicando la técnica de los multiplicadores de Lagrange, encuentra las ecuaciones de movimiento.

= Solución =

== Reducción cinemática ==
Observando el dibujo vemos que
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = -\dot{\theta}\,\vec{k}, \qquad \vec{v}^{\,A}_{21} = \dot{s}\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Al ser un movimiento plano el vector rotación sólo tiene componente en el eje <math>Z</math>.

La barra '''desliza''' sobre el apoyo vertical en <math>C</math>. Esto implica que <math>\vec{v}^{\,C}_{21}</math> debe ser paralela a la propia barra
<center>
<math>
\vec{v}^{\,C}_{21} \parallel \overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{AC}.
</math>
</center>
Así pues el sistema tiene un grado de libertad.
Aplicamos Chasles para encontrar la expresión matemática del vínculo
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\vec{v}^{\,C}_{21} & = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC} =-2h\dot{\theta}\tan\theta\,\vec{\imath}_1 + (\dot{s}-2h\dot{\theta})\,\vec{\jmath}_1. \\
&\\
& \overrightarrow{AC} = 2h\,\vec{\imath}_i -2h\tan\theta\,\vec{\jmath}_1.
\end{array}
</math>
</center>
Aplicamos la ligadura en <math>C</math>
<center>
<math>
\vec{v}^{\,C}_{21}\times\overrightarrow{AC} = 0
\Longrightarrow
\dot{s}\cos^2\theta - 2h\dot{\theta}=0.
</math>
</center>
Otra forma de llegar a esta ligadura es de forma geométrica. Observando el dibujo vemos que
<center>
<math>
\tan\theta = \dfrac{s-h}{2h}
\Longrightarrow
s-h - 2h\tan\theta = 0.
</math>
</center>
Derivando respecto al tiempo obtenemos la ligadura cinemática anterior.

== Cinética ==

''' Cantidad de movimiento '''

La velocidad del centro de masas de la barra es
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\vec{v}^{\,G}_{21} & = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AG} =-2h\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + (\dot{s}-2h\dot{\theta}\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1. \\
&\\
& \overrightarrow{AG} = 2h\cos\theta\vec{\imath}_i -2h\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1.
\end{array}
</math>
</center>
Y la cantidad de movimiento es
<center>
<math>
\vec{C} = m\vec{v}^{\,G}_{21} = -2mh\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + m(\dot{s}-2h\dot{\theta}\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>

''' Momento angular en el centro de masas '''

Como es un movimiento plano y es el centro de masas de la barra podemos usar la expresión
<center>
<math>
\vec{L}_G = I_G\vec{\omega}_{21} = -\dfrac{4}{3}mh^2\dot{\theta}\,\vec{k}.
\qquad \qquad
(I_G = m(4h)^2/12 = 4mh^2/3)
</math>
</center>

''' Energía cinética '''

La calculamos pasando por el centro de masas. Al ser un movimiento plano
<center>
<math>
T = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,G}_{21}|^2 + \dfrac{1}{2}I_G|\vec{\omega}_{21}|^2 =
\dfrac{1}{2}m\dot{s}^2 + \dfrac{8}{3}mh^2\dot{\theta}^2 -2mh\dot{s}\dot{\theta}\cos\theta.
</math>
</center>

''' Energía potencial '''

La energía potencial elástica del muelle es
<center>
<math>
U_k = \dfrac{1}{2}k\,(s-2h)^2.
</math>
</center>
La energía potencial gravitatoria es (tomando como referencia la altura del eje <math>X_1</math>)
<center>
<math>
U_g = mg(s-2h\,\mathrm{sen}\,\theta).
</math>
</center>
La energía potencial total es
<center>
<math>
U = U_g + U_k = mg(s-2h\,\mathrm{sen}\,\theta) + \dfrac{1}{2}k\,(s-2h)^2.
</math>
</center>

== Multiplicadores de Lagrange ==
Siguiendo el enunciado suponemos que la función de Lagrange y el vínculo cinemático son
<center>
<math>
L = A\dot{s}^2 + B\dot{\theta}^2 + C \dot{s}\,\dot{\theta},
\qquad
g = D\dot{s}\cos{\theta} + E\dot{\theta}=0.
</math>
</center>
Como hay un vínculo cinemático hay que introducir un multiplicador de Lagrange. De este modo podemos seguir trabajando con las coordenadas <math>\{s,\theta\}</math>, aunque el sistema tenga sólo un grado de libertad. Las ecuaciones de Lagrange son como sigue

''' Ecuación para <math>s</math> '''

<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{s}}\right) - \dfrac{\partial L}{\partial s} = \mu\,\dfrac{\partial g}{\partial \dot{s}}
\Longrightarrow
2A\ddot{s} + C\ddot{\theta} = \mu D\cos\theta. \qquad (1)
</math>
</center>

''' Ecuación para <math>\theta</math> '''

<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}\right) - \dfrac{\partial L}{\partial \theta} = \mu\,\dfrac{\partial g}{\partial \dot{\theta}}
\Longrightarrow
2B\ddot{\theta} + C\ddot{s} = \mu E. \qquad (2)
</math>
</center>

''' Ecuación del vínculo '''

La tercera ecuación es el propio vínculo
<center>
<math>
D\dot{s}\cos\theta + E\dot{\theta} = 0. \qquad (3)
</math>
</center>

[[Categoría:Problemas de examen de Mecánica Racional]]

Primera Convocatoria Ordinaria 2020/21 (MR G.I.C.)

Pedro — Thu, 18 Feb 2021 08:32:55 GMT

Pedro: /* Disco articulado en barra con extremo moviéndose en un raíl vertical */

Primera Convocatoria Ordinaria 2020/21 (MR G.I.C.)

Pedro — Thu, 18 Feb 2021 08:32:37 GMT

Pedro: /* Barra deslizando sobre apoyo vertical */

==[[ Disco articulado en barra con extremo moviéndose en un raíl vertical (Ene. 2021) | Disco articulado en barra con extremo moviéndose en un raíl vertical ]]==
[[Archivo:MRGIC-discoBarra-Enunciado.png|right]]
Un aro de masa <math>m</math> y radio <math>R</math> (sólido "2") rueda sin deslizar sobre una superficie rugosa
(eje fijo <math>OX_1</math>). En el centro del aro se articula una varilla delgada de masa <math>m</math> y longitud
<math>2R</math> (sólido "0"). El otro extremo de la varilla se articula en un pasador que debe moverse en
un raíl fijo vertical. La distancia entre el eje <math>OY_1</math> y el raíl es <math>4R</math>. La gravedad actúa como se indica
en la figura. Una fuerza <math>\vec{F}=F_0\,\vec{\jmath}_1</math> actúa sobre el extremo <math>B</math> de la barra.
#Localiza gráficamente los C.I.R. de los tres movimientos relativos del sistema y escribe sus vectores de posición respecto a <math>O</math>.
#Demuestra que existen dos ligaduras de la forma <math>\dot{s} + b\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi=0, \quad c\,\dot{\theta}+d\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,{\phi}=0.</math>. Encuentra los valores de los coeficientes <math>a, b, c, d</math>.
#Escribe las reducciones cinemáticas de los movimientos absolutos de los dos sólidos en sus centros de masas respectivos. Deben quedar en función de <math>\phi</math> y <math>\dot{\phi}</math>.
#Calcula la energía cinética total del sistema.
#Dibuja los diagramas de fuerzas de los dos sólidos.
#Aplicando el T.C.M. y el T.M.C. encuentra las ecuaciones que describen el movimiento y las reacciones vinculares. No es necesario hacer las derivadas temporales al aplicar los teoremas.

==[[ Barra deslizando sobre apoyo vertical (Ene. 2021) | Barra deslizando sobre apoyo vertical ]]==
[[Archivo:MRGIC-barraApoyoVertical-Enunciado.png|right]]
Una barra de masa <math>m</math> y longitud 4h (sólido "2") está articulada en un extremo (punto <math>A</math>) en un pasador
que puede deslizar sobre el eje fijo <math>OY_1</math>. El otro extremo de la barra se apoya en un apoyo vertical, de modo
que el punto <math>C</math> de la barra puede deslizar sin rozamiento sobre el apoyo. Un muelle de constante elástica
<math>k</math> y longitud natural <math>2h</math> conecta el extremo <math>A</math> de la barra con el punto <math>O</math>. La gravedad actúa como
se indica en la figura.

#Encuentra la reducción cinemática del movimiento {21} expresada en la base del sólido "1" y en función de las coordenadas <math>\{s, \theta\}</math> y sus derivadas temporales. ¿Como es la ligadura cinemática que relaciona estas coordenadas?
#Calcula las siguientes magnitudes cinéticas del sólido "2": <math>\vec{C}</math>, <math>\vec{L}_G</math>, <math>T</math>, <math>U</math>. Expresa los resultados usando las coordenadas <math>\{s, \theta\}</math> y sus derivadas temporales.
#Supongamos que la función de Lagrange y el vínculo cinemático tienen esta forma ( <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>D</math> y <math>E</math> son constantes dadas)
<center>
<math>
L = A\dot{s}^2 + B\dot{\theta}^2 + C \dot{s}\,\dot{\theta},
\qquad
g = D\dot{s}\cos{\theta} + E\dot{\theta}=0.
</math>
</center>
Aplicando la técnica de los multiplicadores de Lagrange, encuentra las ecuaciones de movimiento.

Archivo:MRGIC-barraApoyoVertical-Enunciado.png

Pedro — Thu, 18 Feb 2021 08:32:04 GMT

Pedro:

Primera Convocatoria Ordinaria 2020/21 (MR G.I.C.)

Pedro — Thu, 18 Feb 2021 08:23:51 GMT

Pedro: /* Disco articulado en barra con extremo moviéndose en un raíl vertical */

Disco articulado en barra con extremo moviéndose en un raíl vertical (Ene. 2021)

Pedro — Wed, 17 Feb 2021 22:43:08 GMT

Pedro: /* Diagrama de fuerzas */

= Enunciado =
[[Archivo:MRGIC-discoBarra-Enunciado.png|right]]
Un aro de masa <math>m</math> y radio <math>R</math> (sólido "2") rueda sin deslizar sobre una superficie rugosa
(eje fijo <math>OX_1</math>). En el centro del aro se articula una varilla delgada de masa <math>m</math> y longitud
<math>2R</math> (sólido "0"). El otro extremo de la varilla se articula en un pasador que debe moverse en
un raíl fijo vertical. La distancia entre el eje <math>OY_1</math> y el raíl es <math>4R</math>. La gravedad actúa como se indica
en la figura. Una fuerza <math>\vec{F}=F_0\,\vec{\jmath}_1</math> actúa sobre el extremo <math>B</math> de la barra.
#Localiza gráficamente los C.I.R. de los tres movimientos relativos del sistema y escribe sus vectores de posición respecto a <math>O</math>.
#Demuestra que existen dos ligaduras de la forma <math>a\dot{s} + b\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi=0, \quad c\,\dot{\theta}+d\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,{\phi}=0.</math>. Encuentra los valores de los coeficientes <math>a, b, c, d</math>.
#Escribe las reducciones cinemáticas de los movimientos absolutos de los dos sólidos en sus centros de masas respectivos. Deben quedar en función de <math>\phi</math> y <math>\dot{\phi}</math>.
#Calcula la energía cinética total del sistema.
#Dibuja los diagramas de fuerzas de los dos sólidos.
#Aplicando el T.C.M. y el T.M.C. encuentra las ecuaciones que describen el movimiento y las reacciones vinculares. No es necesario hacer las derivadas temporales al aplicar los teoremas.

= Solución =

== Datos que se pueden deducir del enunciado ==

#Todos los movimientos son planos: Los vectores rotación tiene componente sólo en el eje <math>Z</math>.
# El aro rueda sin deslizar: <math>\vec{v}^{\,C}_{21}=\vec{0} \Longrightarrow I_{21}\equiv C</math>.
# La barra está articulada en el cento del aro: <math>\vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{0} \Longrightarrow I_{20} \equiv A</math>.
# El centro del aro está siempre a la misma distancia del eje fijo <math>OX_1</math>: <math>\vec{v}^{\,A}_{21}\parallel \vec{\imath}_1</math>.
#El punto <math>B</math> de la barra se mueve en un raíl vertical: <math>\vec{v}^{\,B}_{01} \parallel \vec{\jmath}_1</math>.

== Posiciones de los C.I.R. ==
[[Archivo:MRGIC-discoBarra-CIR.png|right]]
De la discusión de las deducciones hechas a partir del enunciado podemos obtener inmediatamente la posición de dos de los C.I.R.
<center>
<math>
I_{21}\equiv C, \qquad I_{20} \equiv A.
</math>
</center>
La posición del otro C.I.R. puede obtenerse de dos maneras:
#Por el Teorema de los Tres Centros los tres C.I.R. deben estar sobre la misma línea. Por otro lado, <math>\vec{v}^{\,B}_{01}</math> es paralela al eje <math>OY_1</math>. Trazando por <math>B</math> una perpendicular a <math>\vec{v}^{\,B}_{01}</math>, encontramos el C.I.R. buscado en el punto de corte.
#Como <math>A</math> es <math>I_{20}</math>, se tiene <math>\vec{v}^{\,A}_{01} = \vec{v}^{\,A}_{21}</math> que es paralela a <math>OX_1</math>. Trazando las perpendiculares a las velocidades {01} respectivas por los puntos <math>A</math> y <math>B</math> encontramos <math>I_{01}</math> en el punto de corte.

== Ligaduras cinemáticas ==
Podemos escribir las reducciones cinemáticas en función de las coordenadas <math>\{s, \theta, \phi\}</math>
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\vec{\omega}_{21} = \dot{\theta}\,\vec{k},& \qquad \vec{v}^{\,A}_{21} = \dot{s}\,\vec{\imath}_1,\\
\vec{\omega}_{01} =-\dot{\phi}\,\vec{k},& \qquad \vec{v}^{\,A}_{01} = \dot{s}\,\vec{\imath}_1.
\end{array}
</math>
</center>
Imponemos la ligadura de rodadura sin deslizamiento del aro
<center>
<math>
\left.
\begin{array}{l}
\vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{0},\\
\vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC}
= (\dot{s} + R\dot{\theta})\,\vec{k},
\end{array}
\right|
\Longrightarrow
\dot{\theta} = -\dot{s}/R.
</math>
</center>
La otra ligadura es que <math>\vec{c}^{\,B}_{01}\parallel\vec{\jmath}_1</math>. Aplicando Chasles en el movimiento {01} tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\vec{v}^{\,B}_{01} & = \vec{v}^{\,A}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AB} =
(\dot{s} -2R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi)\,\vec{\imath}_1 - 2R\dot{\phi}\cos\phi\,\vec{\jmath}_1.
\\
& \overrightarrow{AB} = 2R\cos\phi\,\vec{\imath}_1 - 2R\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\jmath}_1.
\end{array}
</math>
</center>
Como la componente en <math>\vec{\imath}_1</math> de <math>\vec{v}^{\,B}_{01}</math> debe ser cero tenemos
<center>
<math>
\dot{s} = 2R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi.
</math>
</center>
Usamos esta expresión en la otra ligadura y las escribimos en la forma del enunciado
<center>
<math>
\left.
\begin{array}{l}
\dot{s} - 2R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi=0,\\
\dot{\theta} + 2\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi = 0.
\end{array}
\right|
\Longrightarrow
a=1, \quad b=-2R, \quad c=1, \quad d = 2.
</math>
</center>

== Reducciones cinemáticas en los centros de masas ==
Debemos expresar las reducciones cinemáticas en función únicamente del grado de libertad <math>\phi</math>. Ya tenemos la reducción pedida en el centro de masa del aro
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = -2\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{k}, \qquad
\vec{v}^{\,A}_{21} = 2R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\imath}_1.
</math>
</center>
Para la barra tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\vec{v}^{\,D}_{01} & = \vec{v}^{\,A}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AD} =
R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\imath}_1 - R\dot{\phi}\cos\phi\,\vec{\jmath}_1.
\\
& \overrightarrow{AD} = R\cos\phi\,\vec{\imath}_1 - R\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\jmath}_1.
\end{array}
</math>
</center>
Y la reducción en el centro de masas de la barra es
<center>
<math>
\vec{\omega}_{01} = -\dot{\phi}\,\vec{k}, \qquad
\vec{v}^{\,D}_{01} = R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\imath}_1 - R\dot{\phi}\cos\phi\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>

== Energía cinética ==
La energía cinética total es la suma de la energía cinética de los dos sólidos. Para el aro tenemos
<center>
<math>
T^{'2'} = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,A}_{21}|^2 + \dfrac{1}{2}I_A|\vec{\omega}_{21}|^2.
</math>
</center>
El término de rotación podemos escribirlo de esa forma al tratarse de un movimiento plano. El momento de inercia es
<center>
<math>
I_A = mR^2.
</math>
</center>
Entonces
<center>
<math>
T^{'2'} = 4mR^2\dot{\phi}^2\,\mathrm{sen}^2\,\phi.
</math>
</center>
Procedemos de forma similar para la barra
<center>
<math>
T^{'0'} = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,D}_{01}|^2 + \dfrac{1}{2}I_D|\vec{\omega}_{01}|^2.
</math>
</center>
Esta expresión no se puede aplicar en el punto <math>A</math> porque es un punto móvil. El momento de inercia es
<center>
<math>
I_D = \dfrac{1}{12}m(2R)^2 = \dfrac{1}{3}mR^2.
</math>
</center>
La energía cinética de la barra es
<center>
<math>
T^{'0'} = \dfrac{2}{3}mR^2\dot{\phi}^2.
</math>
</center>
Y la energía cinética total es
<center>
<math>
T = T^{'2'} + T^{'0'} = \dfrac{2}{3}mR^2\dot{\phi}^2\,(1+ 2\,\,\mathrm{sen}^2\,\phi).
</math>
</center>

== Diagrama de fuerzas ==
[[Archivo:MRGIC-discoBarra-Fuerzas.png|right]]
Las fuerzas que actúan sobre cada sólido son

''' Sólido "2" '''

<center>
<math>
\begin{array}{lr}
\vec{P}_{2} = -mg\,\vec{\jmath}_1,& (A)\\
\vec{A}_{20} = A_x\,\vec{\imath}_1 + A_y\,\vec{\jmath}_1, & (A) \\
\vec{C}_{21} = C\,\vec{\jmath}_1, & (C)\\
\vec{C}^{\,R}_{21} = C_R\,\vec{\jmath}_1. & (C)
\end{array}
</math>
</center>
El peso es una fuerza activa mientras que las otras son vinculares. La fuerza <math>\vec{A}_{20}</math> proviene del vínculo <math>\vec{v}^{\,A}_{20}=\vec{0}</math>. Las fuerzas en <math>C</math> garantizan que se cumpla el vínculo <math>\vec{v}^{\,C}_{21}=\vec{0}</math>. Distinguimos entre la componente vertical y la horizontal porque está última es una fuerza de rozamiento, que se comporta de manera diferente pues tiene una magnitud máxima.

''' Sólido "0" '''

<center>
<math>
\begin{array}{lr}
\vec{P}_{0} = -mg\,\vec{\jmath}_1,& (A)\\
\vec{F} = F_0\,\vec{\jmath}_1,& (B)\\
\vec{A}_{02} = -\vec{A}_{20} = -A_x\,\vec{\imath}_1 - A_y\,\vec{\jmath}_1, & (A) \\
\vec{B}_{01} = B\,\vec{\imath}_1, & (B)
\end{array}
</math>
</center>
El peso y <math>\vec{F}</math> son fuerzas aplicadas. La fuerza en <math>A</math> es vincular y se relaciona con <math>\vec{A}_{20}</math> por la Tercera Ley de Newton. La fuerza en <math>B</math> tiene sólo una componente pues solo el movimiento horizontal de <math>B</math> está restringido (prohibido en este caso)

== Teoremas fundamentales ==

=== T.C.M. ===

'''Sólido "2"'''

Tenemos
<center>
<math>
\dot{\vec{C}}^{'2'} = \vec{P}_2 + \vec{A}_{20} + \vec{C}_{21} + \vec{C}^{\,R}_{21}.
</math>
</center>
La cantidad de movimiento es
<center>
<math>
\vec{C}^{'2'} = m\vec{v}^{\,A}_{21} = 2mR\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\imath}_1.
</math>
</center>
Aunque no tenemos que hacer la derivada temporal del lado izquierdo (porque no lo pide el problema) si podemos escribirla así
<center>
<math>
\dot{\vec{C}}^{'2'} = m\vec{a}^{\,A}_{21} = ma^A_x\vec{\imath}_1.
</math>
</center>
No hacía falta escribir este término así para considerar correcta la solución. Obtenemos entonces dos ecuaciones
<center>
<math>
\begin{array}{lr}
ma^A_x = A_x + C_R, & (1)\\
0 = -mg + A_y + C. & (2)
\end{array}
</math>
</center>

'''Sólido "0"'''

Tenemos
<center>
<math>
\dot{\vec{C}}^{'0'} = \vec{P}_0 + \vec{A}_{02} + \vec{B}_{01} + \vec{F}.
</math>
</center>
La cantidad de movimiento es
<center>
<math>
\vec{C}^{'0'} = m\vec{v}^{\,D}_{21} = mR\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\imath}_1 - mR\dot{\phi}\cos\phi\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Podemos escribir la derivada temporal así
<center>
<math>
\dot{\vec{C}}^{'0'} = m\vec{a}^{\,D}_{21} = ma^D_x\vec{\imath}_1 + ma^D_y\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Obtenemos de nuevo dos ecuaciones
<center>
<math>
\begin{array}{lr}
ma^D_x = -A_x + B, & (3)\\
ma^D_y = -mg - A_y + F_0. & (4)
\end{array}
</math>
</center>

=== T.M.C. ===

'''Sólido 2'''

Aplicamos el teorema en el centro de masas, pues no hay ningún punto fijo
<center>
<math>
\dot{\vec{L}}^{'2'}_A = \vec{M}^{'2'}_A = \overrightarrow{AC}\times\vec{C}^{\,R}_{21}
</math>
</center>
Las otra fuerzas no crean momento respecto a <math>A</math>. El momento cinético y su derivada temporal son
<center>
<math>
\vec{L}^{'2'}_A = I_A\vec{\omega}_{21}, \qquad
\dot{\vec{L}}^{'2'}_A = I_A\vec{\alpha}_{21} = I_A\alpha_{21}\,\vec{k}.
</math>
</center>
El producto vectorial es
<center>
<math>
\overrightarrow{CA}\times\vec{C}^{\,R}_{21} = (-R\,\vec{\jmath}_1)\times(C_R\,\vec{\imath}_1) = C_RR\,\vec{k}.
</math>
</center>
La ecuación es
<center>
<math>
I_A\alpha_{21} = C_RR. \qquad (5)
</math>
</center>
Recordemos que, aunque no se pide en el problema, <math>\alpha_{21}</math> se puede expresar en función de <math>\phi</math>. Concretamente
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{21} =\left. \dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1 =
-\dfrac{1}{2}mR\,(\ddot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi - \dot{\phi}^2\cos\phi)\,\vec{k}.
</math>
</center>

'''Sólido 0'''

Aplicamos el teorema en el centro de masas, pues no hay ningún punto fijo
<center>
<math>
\dot{\vec{L}}^{'0'}_D = \vec{M}^{'0'}_D = \overrightarrow{DA}\times\vec{A}_{02} + \overrightarrow{DB}\times(\vec{F} + \vec{B}_{01}).
</math>
</center>
El peso no crea momento respecto a <math>D</math>. El momento cinético y su derivada temporal son
<center>
<math>
\vec{L}^{'0'}_D = I_D\vec{\omega}_{01}, \qquad
\dot{\vec{L}}^{'0'}_D = I_D\vec{\alpha}_{01} = I_D\alpha_{01}\,\vec{k}.
</math>
</center>
Los productos vectoriales son
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\overrightarrow{DA}\times\vec{A}_{02} = -2R\,(A_y\cos\phi + A_x\,\mathrm{sen}\,\phi)\,\vec{k},\\
\overrightarrow{DB}\times(\vec{B}_{01}+\vec{F}) = 2R\,(F_0\cos\phi + B\,\mathrm{sen}\,\phi)\,\vec{k}
\end{array}
</math>
</center>
La ecuación es
<center>
<math>
I_D\alpha_{01} = 2R\,((F_0-A_y)\cos\phi + (B-A_x)\,\mathrm{sen}\,\phi) \qquad (6)
</math>
</center>
De nuevo, <math>\alpha_{01}</math> se puede expresar en función de <math>\phi</math>
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{01} =\left. \dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 =
-I_D\ddot{\phi}\,\vec{k}.
</math>
</center>

[[Categoría:Problemas de examen de Mecánica Racional]]

Disco articulado en barra con extremo moviéndose en un raíl vertical (Ene. 2021)

Pedro — Wed, 17 Feb 2021 22:41:54 GMT

Pedro: /* Diagrama de fuerzas */

= Enunciado =
[[Archivo:MRGIC-discoBarra-Enunciado.png|right]]
Un aro de masa <math>m</math> y radio <math>R</math> (sólido "2") rueda sin deslizar sobre una superficie rugosa
(eje fijo <math>OX_1</math>). En el centro del aro se articula una varilla delgada de masa <math>m</math> y longitud
<math>2R</math> (sólido "0"). El otro extremo de la varilla se articula en un pasador que debe moverse en
un raíl fijo vertical. La distancia entre el eje <math>OY_1</math> y el raíl es <math>4R</math>. La gravedad actúa como se indica
en la figura. Una fuerza <math>\vec{F}=F_0\,\vec{\jmath}_1</math> actúa sobre el extremo <math>B</math> de la barra.
#Localiza gráficamente los C.I.R. de los tres movimientos relativos del sistema y escribe sus vectores de posición respecto a <math>O</math>.
#Demuestra que existen dos ligaduras de la forma <math>a\dot{s} + b\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi=0, \quad c\,\dot{\theta}+d\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,{\phi}=0.</math>. Encuentra los valores de los coeficientes <math>a, b, c, d</math>.
#Escribe las reducciones cinemáticas de los movimientos absolutos de los dos sólidos en sus centros de masas respectivos. Deben quedar en función de <math>\phi</math> y <math>\dot{\phi}</math>.
#Calcula la energía cinética total del sistema.
#Dibuja los diagramas de fuerzas de los dos sólidos.
#Aplicando el T.C.M. y el T.M.C. encuentra las ecuaciones que describen el movimiento y las reacciones vinculares. No es necesario hacer las derivadas temporales al aplicar los teoremas.

= Solución =

== Datos que se pueden deducir del enunciado ==

#Todos los movimientos son planos: Los vectores rotación tiene componente sólo en el eje <math>Z</math>.
# El aro rueda sin deslizar: <math>\vec{v}^{\,C}_{21}=\vec{0} \Longrightarrow I_{21}\equiv C</math>.
# La barra está articulada en el cento del aro: <math>\vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{0} \Longrightarrow I_{20} \equiv A</math>.
# El centro del aro está siempre a la misma distancia del eje fijo <math>OX_1</math>: <math>\vec{v}^{\,A}_{21}\parallel \vec{\imath}_1</math>.
#El punto <math>B</math> de la barra se mueve en un raíl vertical: <math>\vec{v}^{\,B}_{01} \parallel \vec{\jmath}_1</math>.

== Posiciones de los C.I.R. ==
[[Archivo:MRGIC-discoBarra-CIR.png|right]]
De la discusión de las deducciones hechas a partir del enunciado podemos obtener inmediatamente la posición de dos de los C.I.R.
<center>
<math>
I_{21}\equiv C, \qquad I_{20} \equiv A.
</math>
</center>
La posición del otro C.I.R. puede obtenerse de dos maneras:
#Por el Teorema de los Tres Centros los tres C.I.R. deben estar sobre la misma línea. Por otro lado, <math>\vec{v}^{\,B}_{01}</math> es paralela al eje <math>OY_1</math>. Trazando por <math>B</math> una perpendicular a <math>\vec{v}^{\,B}_{01}</math>, encontramos el C.I.R. buscado en el punto de corte.
#Como <math>A</math> es <math>I_{20}</math>, se tiene <math>\vec{v}^{\,A}_{01} = \vec{v}^{\,A}_{21}</math> que es paralela a <math>OX_1</math>. Trazando las perpendiculares a las velocidades {01} respectivas por los puntos <math>A</math> y <math>B</math> encontramos <math>I_{01}</math> en el punto de corte.

== Ligaduras cinemáticas ==
Podemos escribir las reducciones cinemáticas en función de las coordenadas <math>\{s, \theta, \phi\}</math>
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\vec{\omega}_{21} = \dot{\theta}\,\vec{k},& \qquad \vec{v}^{\,A}_{21} = \dot{s}\,\vec{\imath}_1,\\
\vec{\omega}_{01} =-\dot{\phi}\,\vec{k},& \qquad \vec{v}^{\,A}_{01} = \dot{s}\,\vec{\imath}_1.
\end{array}
</math>
</center>
Imponemos la ligadura de rodadura sin deslizamiento del aro
<center>
<math>
\left.
\begin{array}{l}
\vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{0},\\
\vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC}
= (\dot{s} + R\dot{\theta})\,\vec{k},
\end{array}
\right|
\Longrightarrow
\dot{\theta} = -\dot{s}/R.
</math>
</center>
La otra ligadura es que <math>\vec{c}^{\,B}_{01}\parallel\vec{\jmath}_1</math>. Aplicando Chasles en el movimiento {01} tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\vec{v}^{\,B}_{01} & = \vec{v}^{\,A}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AB} =
(\dot{s} -2R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi)\,\vec{\imath}_1 - 2R\dot{\phi}\cos\phi\,\vec{\jmath}_1.
\\
& \overrightarrow{AB} = 2R\cos\phi\,\vec{\imath}_1 - 2R\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\jmath}_1.
\end{array}
</math>
</center>
Como la componente en <math>\vec{\imath}_1</math> de <math>\vec{v}^{\,B}_{01}</math> debe ser cero tenemos
<center>
<math>
\dot{s} = 2R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi.
</math>
</center>
Usamos esta expresión en la otra ligadura y las escribimos en la forma del enunciado
<center>
<math>
\left.
\begin{array}{l}
\dot{s} - 2R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi=0,\\
\dot{\theta} + 2\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi = 0.
\end{array}
\right|
\Longrightarrow
a=1, \quad b=-2R, \quad c=1, \quad d = 2.
</math>
</center>

== Reducciones cinemáticas en los centros de masas ==
Debemos expresar las reducciones cinemáticas en función únicamente del grado de libertad <math>\phi</math>. Ya tenemos la reducción pedida en el centro de masa del aro
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = -2\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{k}, \qquad
\vec{v}^{\,A}_{21} = 2R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\imath}_1.
</math>
</center>
Para la barra tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\vec{v}^{\,D}_{01} & = \vec{v}^{\,A}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AD} =
R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\imath}_1 - R\dot{\phi}\cos\phi\,\vec{\jmath}_1.
\\
& \overrightarrow{AD} = R\cos\phi\,\vec{\imath}_1 - R\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\jmath}_1.
\end{array}
</math>
</center>
Y la reducción en el centro de masas de la barra es
<center>
<math>
\vec{\omega}_{01} = -\dot{\phi}\,\vec{k}, \qquad
\vec{v}^{\,D}_{01} = R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\imath}_1 - R\dot{\phi}\cos\phi\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>

== Energía cinética ==
La energía cinética total es la suma de la energía cinética de los dos sólidos. Para el aro tenemos
<center>
<math>
T^{'2'} = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,A}_{21}|^2 + \dfrac{1}{2}I_A|\vec{\omega}_{21}|^2.
</math>
</center>
El término de rotación podemos escribirlo de esa forma al tratarse de un movimiento plano. El momento de inercia es
<center>
<math>
I_A = mR^2.
</math>
</center>
Entonces
<center>
<math>
T^{'2'} = 4mR^2\dot{\phi}^2\,\mathrm{sen}^2\,\phi.
</math>
</center>
Procedemos de forma similar para la barra
<center>
<math>
T^{'0'} = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,D}_{01}|^2 + \dfrac{1}{2}I_D|\vec{\omega}_{01}|^2.
</math>
</center>
Esta expresión no se puede aplicar en el punto <math>A</math> porque es un punto móvil. El momento de inercia es
<center>
<math>
I_D = \dfrac{1}{12}m(2R)^2 = \dfrac{1}{3}mR^2.
</math>
</center>
La energía cinética de la barra es
<center>
<math>
T^{'0'} = \dfrac{2}{3}mR^2\dot{\phi}^2.
</math>
</center>
Y la energía cinética total es
<center>
<math>
T = T^{'2'} + T^{'0'} = \dfrac{2}{3}mR^2\dot{\phi}^2\,(1+ 2\,\,\mathrm{sen}^2\,\phi).
</math>
</center>

== Diagrama de fuerzas ==
[[Archivo:MRGIC-discoBarra-Fuerzas.png|right]]
Las fuerzas que actúan sobre cada sólido son

''' Sólido "2" '''

<center>
<math>
\begin{array}{lr}
\vec{P}_{2} = -mg\,\vec{\jmath}_1,& (A)\\
\vec{A}_{20} = A_x\,\vec{\imath}_1 + A_y\,\vec{\jmath}_1, & (A) \\
\vec{C}_{21} = C\,\vec{\jmath}_1, & (C)\\
\vec{C}^{\,R}_{21} = C_R\,\vec{\jmath}_1. & (C)
\end{array}
</math>
</center>
El peso es una fuerza activa mientras que las otras son vinculares. La fuerza <math>\vec{A}_{20}</math> proviene del vínculo <math>\vec{v}^{\,A}_{20}=\vec{0}</math>. Las fuerzas en <math>C</math> garantizan que se cumpla el vínculo <math>\vec{v}^{\,C}_{21}=\vec{0}</math>. Distinguimos entre la componente vertical y la horizontal porque está última es una fuerza de rozamiento, que se comporta de manera diferente pues tiene una magnitud máxima.

''' Sólido "0" '''

<center>
<math>
\begin{array}{lr}
\vec{P}_{0} = -mg\,\vec{\jmath}_1,& (A)\\
\vec{F} = F_0\,\vec{\jmath}_1,& (B)\\
\vec{A}_{02} = -\vec{A}_{20} = -A_x\,\vec{\imath}_1 - A_y\,\vec{\jmath}_1, & (A) \\
\vec{B}_{01} = B\,\vec{\imath}_1, & (B)
\end{array}
</math>
</center>
El peso y <math>\vec{F}</math> son fuerzas aplicadas. La fuerza en <math>A</math> es vincular y se relaciona con <math>\vec{A}_{20}</math> por la Tercera Ley de Newton. La fuerza en <math>B</math> tiene sólo una componente pues solo el movimiento horizontal de <math>B</math> esta prohibido.

== Teoremas fundamentales ==

=== T.C.M. ===

'''Sólido "2"'''

Tenemos
<center>
<math>
\dot{\vec{C}}^{'2'} = \vec{P}_2 + \vec{A}_{20} + \vec{C}_{21} + \vec{C}^{\,R}_{21}.
</math>
</center>
La cantidad de movimiento es
<center>
<math>
\vec{C}^{'2'} = m\vec{v}^{\,A}_{21} = 2mR\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\imath}_1.
</math>
</center>
Aunque no tenemos que hacer la derivada temporal del lado izquierdo (porque no lo pide el problema) si podemos escribirla así
<center>
<math>
\dot{\vec{C}}^{'2'} = m\vec{a}^{\,A}_{21} = ma^A_x\vec{\imath}_1.
</math>
</center>
No hacía falta escribir este término así para considerar correcta la solución. Obtenemos entonces dos ecuaciones
<center>
<math>
\begin{array}{lr}
ma^A_x = A_x + C_R, & (1)\\
0 = -mg + A_y + C. & (2)
\end{array}
</math>
</center>

'''Sólido "0"'''

Tenemos
<center>
<math>
\dot{\vec{C}}^{'0'} = \vec{P}_0 + \vec{A}_{02} + \vec{B}_{01} + \vec{F}.
</math>
</center>
La cantidad de movimiento es
<center>
<math>
\vec{C}^{'0'} = m\vec{v}^{\,D}_{21} = mR\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\imath}_1 - mR\dot{\phi}\cos\phi\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Podemos escribir la derivada temporal así
<center>
<math>
\dot{\vec{C}}^{'0'} = m\vec{a}^{\,D}_{21} = ma^D_x\vec{\imath}_1 + ma^D_y\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Obtenemos de nuevo dos ecuaciones
<center>
<math>
\begin{array}{lr}
ma^D_x = -A_x + B, & (3)\\
ma^D_y = -mg - A_y + F_0. & (4)
\end{array}
</math>
</center>

=== T.M.C. ===

'''Sólido 2'''

Aplicamos el teorema en el centro de masas, pues no hay ningún punto fijo
<center>
<math>
\dot{\vec{L}}^{'2'}_A = \vec{M}^{'2'}_A = \overrightarrow{AC}\times\vec{C}^{\,R}_{21}
</math>
</center>
Las otra fuerzas no crean momento respecto a <math>A</math>. El momento cinético y su derivada temporal son
<center>
<math>
\vec{L}^{'2'}_A = I_A\vec{\omega}_{21}, \qquad
\dot{\vec{L}}^{'2'}_A = I_A\vec{\alpha}_{21} = I_A\alpha_{21}\,\vec{k}.
</math>
</center>
El producto vectorial es
<center>
<math>
\overrightarrow{CA}\times\vec{C}^{\,R}_{21} = (-R\,\vec{\jmath}_1)\times(C_R\,\vec{\imath}_1) = C_RR\,\vec{k}.
</math>
</center>
La ecuación es
<center>
<math>
I_A\alpha_{21} = C_RR. \qquad (5)
</math>
</center>
Recordemos que, aunque no se pide en el problema, <math>\alpha_{21}</math> se puede expresar en función de <math>\phi</math>. Concretamente
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{21} =\left. \dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1 =
-\dfrac{1}{2}mR\,(\ddot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi - \dot{\phi}^2\cos\phi)\,\vec{k}.
</math>
</center>

'''Sólido 0'''

Aplicamos el teorema en el centro de masas, pues no hay ningún punto fijo
<center>
<math>
\dot{\vec{L}}^{'0'}_D = \vec{M}^{'0'}_D = \overrightarrow{DA}\times\vec{A}_{02} + \overrightarrow{DB}\times(\vec{F} + \vec{B}_{01}).
</math>
</center>
El peso no crea momento respecto a <math>D</math>. El momento cinético y su derivada temporal son
<center>
<math>
\vec{L}^{'0'}_D = I_D\vec{\omega}_{01}, \qquad
\dot{\vec{L}}^{'0'}_D = I_D\vec{\alpha}_{01} = I_D\alpha_{01}\,\vec{k}.
</math>
</center>
Los productos vectoriales son
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\overrightarrow{DA}\times\vec{A}_{02} = -2R\,(A_y\cos\phi + A_x\,\mathrm{sen}\,\phi)\,\vec{k},\\
\overrightarrow{DB}\times(\vec{B}_{01}+\vec{F}) = 2R\,(F_0\cos\phi + B\,\mathrm{sen}\,\phi)\,\vec{k}
\end{array}
</math>
</center>
La ecuación es
<center>
<math>
I_D\alpha_{01} = 2R\,((F_0-A_y)\cos\phi + (B-A_x)\,\mathrm{sen}\,\phi) \qquad (6)
</math>
</center>
De nuevo, <math>\alpha_{01}</math> se puede expresar en función de <math>\phi</math>
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{01} =\left. \dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 =
-I_D\ddot{\phi}\,\vec{k}.
</math>
</center>

[[Categoría:Problemas de examen de Mecánica Racional]]

Disco articulado en barra con extremo moviéndose en un raíl vertical (Ene. 2021)

Pedro — Wed, 17 Feb 2021 22:29:36 GMT

Pedro:

= Enunciado =
[[Archivo:MRGIC-discoBarra-Enunciado.png|right]]
Un aro de masa <math>m</math> y radio <math>R</math> (sólido "2") rueda sin deslizar sobre una superficie rugosa
(eje fijo <math>OX_1</math>). En el centro del aro se articula una varilla delgada de masa <math>m</math> y longitud
<math>2R</math> (sólido "0"). El otro extremo de la varilla se articula en un pasador que debe moverse en
un raíl fijo vertical. La distancia entre el eje <math>OY_1</math> y el raíl es <math>4R</math>. La gravedad actúa como se indica
en la figura. Una fuerza <math>\vec{F}=F_0\,\vec{\jmath}_1</math> actúa sobre el extremo <math>B</math> de la barra.
#Localiza gráficamente los C.I.R. de los tres movimientos relativos del sistema y escribe sus vectores de posición respecto a <math>O</math>.
#Demuestra que existen dos ligaduras de la forma <math>a\dot{s} + b\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi=0, \quad c\,\dot{\theta}+d\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,{\phi}=0.</math>. Encuentra los valores de los coeficientes <math>a, b, c, d</math>.
#Escribe las reducciones cinemáticas de los movimientos absolutos de los dos sólidos en sus centros de masas respectivos. Deben quedar en función de <math>\phi</math> y <math>\dot{\phi}</math>.
#Calcula la energía cinética total del sistema.
#Dibuja los diagramas de fuerzas de los dos sólidos.
#Aplicando el T.C.M. y el T.M.C. encuentra las ecuaciones que describen el movimiento y las reacciones vinculares. No es necesario hacer las derivadas temporales al aplicar los teoremas.

= Solución =

== Datos que se pueden deducir del enunciado ==

#Todos los movimientos son planos: Los vectores rotación tiene componente sólo en el eje <math>Z</math>.
# El aro rueda sin deslizar: <math>\vec{v}^{\,C}_{21}=\vec{0} \Longrightarrow I_{21}\equiv C</math>.
# La barra está articulada en el cento del aro: <math>\vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{0} \Longrightarrow I_{20} \equiv A</math>.
# El centro del aro está siempre a la misma distancia del eje fijo <math>OX_1</math>: <math>\vec{v}^{\,A}_{21}\parallel \vec{\imath}_1</math>.
#El punto <math>B</math> de la barra se mueve en un raíl vertical: <math>\vec{v}^{\,B}_{01} \parallel \vec{\jmath}_1</math>.

== Posiciones de los C.I.R. ==
[[Archivo:MRGIC-discoBarra-CIR.png|right]]
De la discusión de las deducciones hechas a partir del enunciado podemos obtener inmediatamente la posición de dos de los C.I.R.
<center>
<math>
I_{21}\equiv C, \qquad I_{20} \equiv A.
</math>
</center>
La posición del otro C.I.R. puede obtenerse de dos maneras:
#Por el Teorema de los Tres Centros los tres C.I.R. deben estar sobre la misma línea. Por otro lado, <math>\vec{v}^{\,B}_{01}</math> es paralela al eje <math>OY_1</math>. Trazando por <math>B</math> una perpendicular a <math>\vec{v}^{\,B}_{01}</math>, encontramos el C.I.R. buscado en el punto de corte.
#Como <math>A</math> es <math>I_{20}</math>, se tiene <math>\vec{v}^{\,A}_{01} = \vec{v}^{\,A}_{21}</math> que es paralela a <math>OX_1</math>. Trazando las perpendiculares a las velocidades {01} respectivas por los puntos <math>A</math> y <math>B</math> encontramos <math>I_{01}</math> en el punto de corte.

== Ligaduras cinemáticas ==
Podemos escribir las reducciones cinemáticas en función de las coordenadas <math>\{s, \theta, \phi\}</math>
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\vec{\omega}_{21} = \dot{\theta}\,\vec{k},& \qquad \vec{v}^{\,A}_{21} = \dot{s}\,\vec{\imath}_1,\\
\vec{\omega}_{01} =-\dot{\phi}\,\vec{k},& \qquad \vec{v}^{\,A}_{01} = \dot{s}\,\vec{\imath}_1.
\end{array}
</math>
</center>
Imponemos la ligadura de rodadura sin deslizamiento del aro
<center>
<math>
\left.
\begin{array}{l}
\vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{0},\\
\vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC}
= (\dot{s} + R\dot{\theta})\,\vec{k},
\end{array}
\right|
\Longrightarrow
\dot{\theta} = -\dot{s}/R.
</math>
</center>
La otra ligadura es que <math>\vec{c}^{\,B}_{01}\parallel\vec{\jmath}_1</math>. Aplicando Chasles en el movimiento {01} tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\vec{v}^{\,B}_{01} & = \vec{v}^{\,A}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AB} =
(\dot{s} -2R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi)\,\vec{\imath}_1 - 2R\dot{\phi}\cos\phi\,\vec{\jmath}_1.
\\
& \overrightarrow{AB} = 2R\cos\phi\,\vec{\imath}_1 - 2R\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\jmath}_1.
\end{array}
</math>
</center>
Como la componente en <math>\vec{\imath}_1</math> de <math>\vec{v}^{\,B}_{01}</math> debe ser cero tenemos
<center>
<math>
\dot{s} = 2R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi.
</math>
</center>
Usamos esta expresión en la otra ligadura y las escribimos en la forma del enunciado
<center>
<math>
\left.
\begin{array}{l}
\dot{s} - 2R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi=0,\\
\dot{\theta} + 2\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi = 0.
\end{array}
\right|
\Longrightarrow
a=1, \quad b=-2R, \quad c=1, \quad d = 2.
</math>
</center>

== Reducciones cinemáticas en los centros de masas ==
Debemos expresar las reducciones cinemáticas en función únicamente del grado de libertad <math>\phi</math>. Ya tenemos la reducción pedida en el centro de masa del aro
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = -2\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{k}, \qquad
\vec{v}^{\,A}_{21} = 2R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\imath}_1.
</math>
</center>
Para la barra tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\vec{v}^{\,D}_{01} & = \vec{v}^{\,A}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AD} =
R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\imath}_1 - R\dot{\phi}\cos\phi\,\vec{\jmath}_1.
\\
& \overrightarrow{AD} = R\cos\phi\,\vec{\imath}_1 - R\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\jmath}_1.
\end{array}
</math>
</center>
Y la reducción en el centro de masas de la barra es
<center>
<math>
\vec{\omega}_{01} = -\dot{\phi}\,\vec{k}, \qquad
\vec{v}^{\,D}_{01} = R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\imath}_1 - R\dot{\phi}\cos\phi\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>

== Energía cinética ==
La energía cinética total es la suma de la energía cinética de los dos sólidos. Para el aro tenemos
<center>
<math>
T^{'2'} = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,A}_{21}|^2 + \dfrac{1}{2}I_A|\vec{\omega}_{21}|^2.
</math>
</center>
El término de rotación podemos escribirlo de esa forma al tratarse de un movimiento plano. El momento de inercia es
<center>
<math>
I_A = mR^2.
</math>
</center>
Entonces
<center>
<math>
T^{'2'} = 4mR^2\dot{\phi}^2\,\mathrm{sen}^2\,\phi.
</math>
</center>
Procedemos de forma similar para la barra
<center>
<math>
T^{'0'} = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,D}_{01}|^2 + \dfrac{1}{2}I_D|\vec{\omega}_{01}|^2.
</math>
</center>
Esta expresión no se puede aplicar en el punto <math>A</math> porque es un punto móvil. El momento de inercia es
<center>
<math>
I_D = \dfrac{1}{12}m(2R)^2 = \dfrac{1}{3}mR^2.
</math>
</center>
La energía cinética de la barra es
<center>
<math>
T^{'0'} = \dfrac{2}{3}mR^2\dot{\phi}^2.
</math>
</center>
Y la energía cinética total es
<center>
<math>
T = T^{'2'} + T^{'0'} = \dfrac{2}{3}mR^2\dot{\phi}^2\,(1+ 2\,\,\mathrm{sen}^2\,\phi).
</math>
</center>

== Diagrama de fuerzas ==
[[Archivo:MRGIC-discoBarra-Fuerzas.png|right]]
Las fuerzas que actúan sobre cada sólido son

''' Sólido "2" '''

<center>
<math>
\begin{array}{lr}
\vec{P}_{2} = -mg\,\vec{\jmath}_1,& (A)\\
\vec{A}_{20} = A_x\,\vec{\imath}_1 + A_y\,\vec{\jmath}_1, & (A) \\
\vec{C}_{21} = C\,\vec{\jmath}_1, & (C)\\
\vec{C}^{\,R}_{21} = C_R\,\vec{\jmath}_1. & (C)
\end{array}
</math>
</center>
El peso es una fuerza activa mientras que las otras son vinculares. La fuerza <math>\vec{A}_{20}</math> proviene del vínculo <math>\vec{v}^{\,A}_{20}</math>. Las fuerzas en <math>C</math> garantizan que se cumpla el vínculo <math>\vec{v}^{\,C}_{21}</math>. Distinguimos entre la componente vertical y la horizontal porque está última es una fuerza de rozamiento, que se comporta de manera diferente pues tiene una magnitud máxima.

''' Sólido "0" '''

<center>
<math>
\begin{array}{lr}
\vec{P}_{0} = -mg\,\vec{\jmath}_1,& (A)\\
\vec{F} = F_0\,\vec{\jmath}_1,& (B)\\
\vec{A}_{02} = -\vec{A}_{20} = -A_x\,\vec{\imath}_1 - A_y\,\vec{\jmath}_1, & (A) \\
\vec{B}_{01} = B\,\vec{\imath}_1, & (B)
\end{array}
</math>
</center>
El peso y <math>\vec{F}</math> son fuerzas aplicadas. La fuerza en <math>A</math> es vincular y se relaciona con <math>\vec{A}_{20}</math> por la Tercera Ley de Newton. La fuerza en <math>B</math> tiene sólo una componente pues solo el movimiento horizontal de <math>B</math> esta prohibido.

== Teoremas fundamentales ==

=== T.C.M. ===

'''Sólido "2"'''

Tenemos
<center>
<math>
\dot{\vec{C}}^{'2'} = \vec{P}_2 + \vec{A}_{20} + \vec{C}_{21} + \vec{C}^{\,R}_{21}.
</math>
</center>
La cantidad de movimiento es
<center>
<math>
\vec{C}^{'2'} = m\vec{v}^{\,A}_{21} = 2mR\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\imath}_1.
</math>
</center>
Aunque no tenemos que hacer la derivada temporal del lado izquierdo (porque no lo pide el problema) si podemos escribirla así
<center>
<math>
\dot{\vec{C}}^{'2'} = m\vec{a}^{\,A}_{21} = ma^A_x\vec{\imath}_1.
</math>
</center>
No hacía falta escribir este término así para considerar correcta la solución. Obtenemos entonces dos ecuaciones
<center>
<math>
\begin{array}{lr}
ma^A_x = A_x + C_R, & (1)\\
0 = -mg + A_y + C. & (2)
\end{array}
</math>
</center>

'''Sólido "0"'''

Tenemos
<center>
<math>
\dot{\vec{C}}^{'0'} = \vec{P}_0 + \vec{A}_{02} + \vec{B}_{01} + \vec{F}.
</math>
</center>
La cantidad de movimiento es
<center>
<math>
\vec{C}^{'0'} = m\vec{v}^{\,D}_{21} = mR\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\imath}_1 - mR\dot{\phi}\cos\phi\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Podemos escribir la derivada temporal así
<center>
<math>
\dot{\vec{C}}^{'0'} = m\vec{a}^{\,D}_{21} = ma^D_x\vec{\imath}_1 + ma^D_y\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Obtenemos de nuevo dos ecuaciones
<center>
<math>
\begin{array}{lr}
ma^D_x = -A_x + B, & (3)\\
ma^D_y = -mg - A_y + F_0. & (4)
\end{array}
</math>
</center>

=== T.M.C. ===

'''Sólido 2'''

Aplicamos el teorema en el centro de masas, pues no hay ningún punto fijo
<center>
<math>
\dot{\vec{L}}^{'2'}_A = \vec{M}^{'2'}_A = \overrightarrow{AC}\times\vec{C}^{\,R}_{21}
</math>
</center>
Las otra fuerzas no crean momento respecto a <math>A</math>. El momento cinético y su derivada temporal son
<center>
<math>
\vec{L}^{'2'}_A = I_A\vec{\omega}_{21}, \qquad
\dot{\vec{L}}^{'2'}_A = I_A\vec{\alpha}_{21} = I_A\alpha_{21}\,\vec{k}.
</math>
</center>
El producto vectorial es
<center>
<math>
\overrightarrow{CA}\times\vec{C}^{\,R}_{21} = (-R\,\vec{\jmath}_1)\times(C_R\,\vec{\imath}_1) = C_RR\,\vec{k}.
</math>
</center>
La ecuación es
<center>
<math>
I_A\alpha_{21} = C_RR. \qquad (5)
</math>
</center>
Recordemos que, aunque no se pide en el problema, <math>\alpha_{21}</math> se puede expresar en función de <math>\phi</math>. Concretamente
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{21} =\left. \dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1 =
-\dfrac{1}{2}mR\,(\ddot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi - \dot{\phi}^2\cos\phi)\,\vec{k}.
</math>
</center>

'''Sólido 0'''

Aplicamos el teorema en el centro de masas, pues no hay ningún punto fijo
<center>
<math>
\dot{\vec{L}}^{'0'}_D = \vec{M}^{'0'}_D = \overrightarrow{DA}\times\vec{A}_{02} + \overrightarrow{DB}\times(\vec{F} + \vec{B}_{01}).
</math>
</center>
El peso no crea momento respecto a <math>D</math>. El momento cinético y su derivada temporal son
<center>
<math>
\vec{L}^{'0'}_D = I_D\vec{\omega}_{01}, \qquad
\dot{\vec{L}}^{'0'}_D = I_D\vec{\alpha}_{01} = I_D\alpha_{01}\,\vec{k}.
</math>
</center>
Los productos vectoriales son
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\overrightarrow{DA}\times\vec{A}_{02} = -2R\,(A_y\cos\phi + A_x\,\mathrm{sen}\,\phi)\,\vec{k},\\
\overrightarrow{DB}\times(\vec{B}_{01}+\vec{F}) = 2R\,(F_0\cos\phi + B\,\mathrm{sen}\,\phi)\,\vec{k}
\end{array}
</math>
</center>
La ecuación es
<center>
<math>
I_D\alpha_{01} = 2R\,((F_0-A_y)\cos\phi + (B-A_x)\,\mathrm{sen}\,\phi) \qquad (6)
</math>
</center>
De nuevo, <math>\alpha_{01}</math> se puede expresar en función de <math>\phi</math>
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{01} =\left. \dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 =
-I_D\ddot{\phi}\,\vec{k}.
</math>
</center>

[[Categoría:Problemas de examen de Mecánica Racional]]

Archivo:MRGIC-discoBarra-Fuerzas.png

Pedro — Wed, 17 Feb 2021 21:52:13 GMT

Pedro: subió una nueva versión de «Archivo:MRGIC-discoBarra-Fuerzas.png»

Archivo:MRGIC-discoBarra-Fuerzas.png

Pedro — Wed, 17 Feb 2021 21:43:12 GMT

Pedro:

Disco articulado en barra con extremo moviéndose en un raíl vertical (Ene. 2021)

Pedro — Wed, 17 Feb 2021 20:04:55 GMT

Pedro:

Archivo:MRGIC-discoBarra-CIR.png

Pedro — Wed, 17 Feb 2021 19:44:14 GMT

Pedro:

Disco articulado en barra con extremo moviéndose en un raíl vertical (Ene. 2021)

Pedro — Wed, 17 Feb 2021 17:23:02 GMT

Pedro: Página creada con '= Enunciado = right Un aro de masa <math>m</math> y radio <math>R</math> (sólido "2") rueda sin deslizar sobre una superficie rugosa …'

Primera Convocatoria Ordinaria 2020/21 (MR G.I.C.)

Pedro — Wed, 17 Feb 2021 17:07:44 GMT

Pedro: /* Disco articulado en barra con extremo moviéndose en un raíl vertical */

Primera Convocatoria Ordinaria 2020/21 (MR G.I.C.)

Pedro — Wed, 17 Feb 2021 17:07:08 GMT

Pedro: Página creada con '== Disco articulado en barra con extremo moviéndose en un raíl vertical == [[Archivo:M…'

Archivo:MRGIC-discoBarra-Enunciado.png

Pedro — Wed, 17 Feb 2021 17:06:41 GMT

Pedro:

Exámenes 2020/21 (MR G.I.C.)

Pedro — Wed, 17 Feb 2021 16:59:16 GMT

Pedro:

[[Primera Prueba de Control 2020/21 (MR G.I.C.) | Primera Prueba de Control, Dic. 2020]]

[[Primera Convocatoria Ordinaria 2020/21 (MR G.I.C.) | Primera Convocatoria Ordinaria, Ene. 2021]]

Problemas de cinética de la partícula

Pedro — Sun, 14 Feb 2021 13:34:04 GMT

Pedro: /* Movimiento de una partícula en semiaro circular con muelle usando el momento cinético */

= Problemas del boletín =
==[[Masa deslizando por una pendiente hacia un muelle (GIA) |Masa deslizando por una pendiente hacia un muelle]]==
Una masa <math>m</math> se encuentra al borde de una pendiente. Después de la pendiente se extiende una llanura, al final de la cual hay un muelle relajado de constante elástica <math>k</math> y longitud natural <math>l_0</math>. La masa se encuentra a una altura <math>h</math> relativa al muelle. Suponemos que no existe fuerza de rozamiento entre la masa y la superficie.
#Determina la velocidad con la que la masa impacta en el muelle (punto <math>B)</math>.
#¿Cuál es el valor mínimo de la constante elástica del muelle, <math>k_{min}</math>, para que este pueda evitar que la masa toque la pared?
#Supón ahora que entre los puntos <math>A</math> y <math>B</math> hay una región de longitud <math>d</math> en la que existe rozamiento entre la masa y el suelo. Si el coeficiente de rozamiento es <math>\mu</math>, ¿cuál es el nuevo valor mínimo de <math>k</math> en el apartado anterior?
#Supongamos que <math>k>k_{min}</math>. En la situación de rozamiento del apartado anterior, calcula la velocidad con la que la partícula vuelve al punto <math>A</math> y la altura a la que sube por la pendiente.
#Calcula numéricamente las magnitudes pedidas si <math>m=100\,\mathrm{g}</math>, <math>h=50.0\,\mathrm{cm}</math>, <math>l_0=5.00\,\mathrm{cm}</math>, <math>\mu=0.200</math>, <math>d=10.0\,\mathrm{cm}</math>, <math>g=9.81\,\mathrm{m/s^2}</math>.

==[[Partícula_sobre_una_rampa_con_muelle | Partícula sobre una rampa con muelle]]==

[[Imagen:F1_Sep_11_12_rampa_muelle_enunciado.png|right]]
Para lanzar una partícula material de masa <math>m</math> se dispone de una rampa
de lanzamiento de longitud <math>l</math> y un resorte de constante recuperadora <math>k</math> y longitud natural nula
que tiene el extremo fijado al punto <math>A</math> de la rampa. Para proceder al lanzamiento, la partícula se
coloca en el otro extremo del resorte, situado en el punto <math>O</math>.
#Determina las condiciones iniciales de posición y velocidad para el movimiento libre de la partícula (cuando la partícula abandona la rampa en el punto <math>A</math>), en función del ángulo <math>\alpha</math> que forma la rampa con la horizontal, en las siguientes situaciones
##El rozamiento de la partícula en la rampa es despreciable.
##El rozamiento seco de la partícula en la rampa está caracterizado por un coeficiente dinámico <math>\mu</math>.
#Calcula la altura máxima de la partícula respecto del suelo en las dos situaciones del apartado anterior.

==[[Partícula deslizando sobre un disco (GIA) |Partícula deslizando sobre un disco]]==
[[Imagen:F1_GIA_masa_resbalando_sobre_disco_enunciado.png|right]]
Una partícula <math>P</math>, de masa <math>m</math>, es abandonada en reposo en el punto más alto de un disco vertical de radio <math>R</math> que descansa apoyado en el suelo. Debido a una ligera perturbación, la partícula comienza a deslizar bajo la acción de la gravedad. Suponiendo que no hay rozamiento, determina el punto en el que la partícula pierde contacto con el disco, así como la velocidad con la que impacta contra el suelo.

== [[Ecuaciones de movimiento de un péndulo usando el teorema del momento cinético (GIC) |Ecuaciones de movimiento de un péndulo usando el teorema del momento cinético]]==
Determina la ecuación de movimiento de un péndulo simple, con una masa <math>m</math> y una cuerda inextensible de longitud <math>L</math>, sometido a la acción de la gravedad, usando el Teorema del Momento Cinético. Calcula la tensión en la cuerda en función del tiempo.

==[[Partícula sometida a la acción de dos muelles (GIA) |Partícula sometida a la acción de dos muelles]]==
[[Imagen:F1A_GIA_dos_muelles_enunciado.png|right]]
Una partícula <math>P</math>, de masa <math>m</math>, se mueve en el plano horizontal sometida a la acción de dos resortes elásticos ideales e idénticos, de constante <math>k</math> y longitud natural nula. Los puntos de anclaje son <math>C(-d,0)</math> y <math>D(d,0)</math>, respectivamente
#Escribe la ecuación diferencial que determina el movimiento de la partícula.
#Si las condiciones iniciales son <math>\vec{r}(0)=a\,\vec{\imath}</math> y <math>\vec{v}(0)=v_0\,\vec{\jmath}</math>, encuentra las expresiones que dan la posición y la velocidad de la partícula en todo instante de tiempo.
#Determina, para todo instante de tiempo, el momento cinético, <math>\vec{L}_O</math>, de la partícula <math>P</math> respecto al origen de coordenadas <math>O</math>, así como su energía mecánica, <math>E</math>. ¿Qué teoremas de conservación explican las propiedades de estas magnitudes en este problema?

= Otros problemas =

==[[Bala penetrando en un bloque de madera, Enero 2012 (G.I.C.) | Bala penetrando en un bloque de madera ]]==
Una bala de masa <math>m=10.0\,\mathrm{g} </math> viaja con velocidad <math>v=120\,\mathrm{m/s} </math>. Impacta con un bloque de madera y penetra en él una distancia <math>s=2.30\,\mathrm{cm} </math>- ¿Cuál es el valor aproximado de la fuerza media ejercida por el bloque sobre la bala?

==[[Péndulo enrollándose alrededor de una clavija delgada, Enero 2012 (G.I.C.)|Péndulo enrollándose alrededor de una clavija delgada]]==
[[Imagen:F1_GIC_pendulo_alrededor_de_clavo_enunciado.png|right]]
Un péndulo consiste en una pequeña masa <math>m</math> atada al extremo de una cuerda inextensible y sin masa de longitud <math>l</math>. La masa se coloca en el plano horizontal y se suelta. En el punto más bajo de la oscilación (punto <math>B</math>), la cuerda choca con una clavija delgada (punto <math>O</math>) situada a una distancia <math>R</math> por encima de del punto <math>B</math>.

#Para el punto más bajo de la oscilación (punto <math>B</math>) calcula el módulo de la velocidad de la masa, su cantidad de movimiento y su momento cinético respecto al punto <math>D</math>.
#Expresa en coordenadas polares la posición respecto del punto <math>O</math> de la masa después de que la cuerda haya chocado con la clavija (punto <math>P</math>). Encuentra la expresión de la velocidad y la aceleración de la masa.
#Para el movimiento de la masa después del punto <math>B</math>, encuentra la expresión de la ecuación diferencial que rige la variación del ángulo <math>\theta</math>, la expresión que da la tensión de la cuerda y las condiciones iniciales de la ecuación diferencial en el punto <math>B</math>.
#¿Cuál es la condición que debe cumplir la distancia <math>R</math> para que la masa describa al menos un círculo completo alrededor de la clavija, es decir, para que llegue al punto <math>C</math>?

==[[Partícula en un tubo que gira con velocidad angular constante (GIA) |Partícula en un tubo que gira con velocidad angular constante]]==
Una partícula de masa <math>m</math> se encuentra en el interior de un tubo estrecho, el cual gira con velocidad angular uniforme <math>\omega</math> en torno a un eje perpendicular al del tubo, de forma que la posición de la partícula puede describirse como
<center><math>
\begin{matrix}
x(t) = r(t)\,\cos(\omega t)&\qquad\qquad& y(t) = r(t)\,\,\mathrm{sen}\,(\omega t)
\end{matrix}
</math></center>
#Halla la ecuación diferencial que cumple la función <math>r(t)</math> sabiendo que el vínculo entre la partícula y el tubo es liso.
#Comprueba que
<center><math>
r(t) = A\,e^{\omega t}
</math></center>
es una solución de la ecuación para <math>r(t)</math>.
#Para esta solución particular
##Calcula la fuerza ejercida por el tubo en cada instante.
##Halla la potencia desarrollada por el tubo sobre la partícula. Calcula el trabajo realizado sobre la partícula durante el tiempo que emplea en pasar de <math>r=b</math> a <math>r=2b</math>.
##Calcula el incremento de la energía cinética de la partícula en el mismo intervalo y comprueba que se verifica el teorema de las fuerzas vivas o de la energía.

==[[Péndulo con velocidad inicial, Enero 2014 (G.I.C.)| Péndulo con velocidad inicial]] ==
[[Imagen:GIC_SPC_pendulo_velocidad_inicial_enunciado.png|right]]
Una masa <math>m</math> cuelga de un hilo inextensible sin masa. En la posición inicial el hilo forma un ángulo <math>\theta_0</math> con la vertical. La masa empieza a moverse con velocidad de módulo <math>v_0</math> y con la dirección y sentido indicados en la figura.
#¿Cuál es la expresión de la velocidad en función del ángulo?
#Con los valores numéricos <math>L=10.0\,\mathrm{cm}</math>, <math>\theta_0=\pi/6</math>, ¿qué condición debe cumplir <math>v_0</math> para que la masa de una vuelta completa?

==[[Partícula engarzada en un hilo circular con un muelle, Enero 2018 (G.I.E.R.M.)| Partícula engarzada en un hilo circular con un muelle]]==
[[Imagen:F1GIERM_ParticulaAroMuelle_enunciado.png|right|250px]]
Una partícula de masa <math>m</math> está engarzada en un aro de radio <math>R</math>. El contacto
entre la partícula y el aro es liso. La partícula está conectada a un muelle de constante
elástica <math>k</math> y longitud natural nula. El otro extremo del muelle está anclado en
el punto <math>A</math>. En el instante inicial la partícula se
encuentra en el punto <math>A</math> y se le comunica una velocidad vertical de módulo
<math>v_0</math>.
#Encuentra la expresión de la energía mecánica del muelle en todo instante.
#Calcula el momento cinético de la partícula cuando <math>\theta=\pi/4</math>.
#¿Cuál es el valor mínimo de <math>v_0</math> para que la partícula llegue hasta el punto <math>B</math>?

'''Nota:''' La energía potencial elástica del muelle tiene la expresión <math>U_k=kl^2/2</math>, siendo <math>l</math> su longitud.

==[[ Partícula en plano inclinado con dos muelles (Ene. 2018 G.I.C.)| Partícula en plano inclinado con dos muelles ]]==
[[Imagen:F1CIC_ParticulaPlanoMuelles_Enunciado.png|right]]
Una masa <math>m</math> desliza sin rozamiento sobre un plano inclinado un ángulo <math>\beta</math>
respecto a la horizontal. La barra está conectada a dos muelles ideales como se
indica en la figura. Los muelles tienen constante elástica <math>k</math> y longitud
natural nula. El muelle se ajusta de modo que <math>k=mg/L</math>. El ángulo <math>\beta</math> cumple
<center>
<math>
\,\mathrm{sen}\,\beta= 3/5, \qquad \cos\beta= 4/5.
</math>
</center>
#Escribe la expresión que da la energía mecánica de la partícula para cualquier punto del plano.
#En el instante inicial la partícula está en el punto <math>A</math> y se le comunica una velocidad de módulo <math>v_0</math> dirigida hacia arriba. ¿Que valor mínimo debe tener <math>v_0</math> para que la partícula llegue hasta el punto B?
#Repite el cálculo del apartado anterior si hay un rozamiento entre la partícula y el plano con coeficiente de rozamiento dinámico <math>\mu=0.5</math>.

==[[ Partícula sometida a una fuerza viscosa(Ene. 2020 G.I.C.)| Partícula sometida a una fuerza viscosa cuadrática ]]==
Una partícula de masa <math>m</math> realiza un movimiento rectilíneo sobre el eje <math>OX</math>
con una velocidad <math>\vec{v} = A t^3\,\vec{\imath}</math>, siendo <math>A</math> una constante.
Sobre la partícula actúa una fuerza de rozamiento viscoso <math>\vec{F}_r =
-b\,v^2\,\vec{\imath}</math>, siendo <math>b</math> una constante y <math>v</math> la rapidez de la partícula.
#Escribe la potencia que esta fuerza de rozamiento transmite a la partícula en cada instante de tiempo.
#Cuanto vale el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento entre los instantes de tiempo <math>t=0</math> y <math>t=T</math>?
#Calcula el trabajo neto total realizado sobre la partícula entre el mismo intervalo de tiempo.

==[[ Partícula en semiaro circular con muelle: momento cinético (Ene. 2020 G.I.C.)| Movimiento de una partícula en semiaro circular con muelle usando el momento cinético]]==
[[File:F1GIERM-particula-aro-muelle-cinetico-enunciado.png|right]]
Una partícula de masa <math>m</math> está engarzada en un semiaro de radio <math>R</math>. Un muelle de
constante elástica <math>k=mg/R</math> y longitud natural nula conecta la partícula y el punto <math>A</math>
del semiaro. La gravedad no actúa.
#Dibuja el diagrama de fuerzas de la partícula.
#Escribe la expresión que da el momento cinético de la partícula respecto al punto <math>O</math>.
#Aplicando el Teorema del Momento Cinético, encuentra la ecuación de movimiento de la partícula.

==[[ Partícula moviéndose en una elipse sometida a una fuerza central, Enero 2021 (G.I.E.R.M.) | Partícula moviéndose en una elipse sometida a una fuerza central]]==
[[Archivo:F1GIERM-particulaElipse-Enunciado.png|right]]
Una partícula de masa <math>m=20.0\,\mathrm{kg}</math> recorre una trayectoria elíptica en el plano <math>XY</math>. La ecuación de
la elipse es <math>(x/2d)^2 + (y/d)^2=1</math>, con <math>d=2.00\,\mathrm{m}</math>. En el instante inicial la partícula se
encontraba en el punto <math>A</math> con velocidad <math>\vec{v}_A=v_0\,\vec{\jmath}</math>, siendo <math>v_0=3.00\,\mathrm{cm/s}</math>. Durante
su movimiento la partícula se encuentra sometida a una fuerza dirigida siempre hacia el origen <math>O</math>.
#Calcula el momento angular de la partícula respecto al origen.
#Calcula la velocidad de la partícula cuando está en el punto <math>B</math>.
#Calcula la velocidad areolar de la partícula.

Partícula moviéndose en una elipse sometida a una fuerza central, Enero 2021 (G.I.E.R.M.)

Pedro — Sun, 14 Feb 2021 13:33:32 GMT

Pedro: /* Errores comunes detectados en la corrección */

= Enunciado =
[[Archivo:F1GIERM-particulaElipse-Enunciado.png|right]]
Una partícula de masa <math>m=20.0\,\mathrm{kg}</math> recorre una trayectoria elíptica en el plano <math>XY</math>. La ecuación de
la elipse es <math>(x/2d)^2 + (y/d)^2=1</math>, con <math>d=2.00\,\mathrm{m}</math>. En el instante inicial la partícula se
encontraba en el punto <math>A</math> con velocidad <math>\vec{v}_A=v_0\,\vec{\jmath}</math>, siendo <math>v_0=3.00\,\mathrm{cm/s}</math>. Durante
su movimiento la partícula se encuentra sometida a una fuerza dirigida siempre hacia el origen <math>O</math>.
#Calcula el momento angular de la partícula respecto al origen.
#Calcula la velocidad de la partícula cuando está en el punto <math>B</math>.
#Calcula la velocidad areolar de la partícula.

= Solución =

== Momento angular respecto al origen ==

La única fuerza que actúa sobre la partícula apunta siempre hacia el origen. Por tanto es una fuerza central, y se conserva el momento angular de la partícula respecto al origen
<center>
<math>
\dot{\vec{L}}_O = \overrightarrow{OP}\times\vec{f} = \vec{0}
\Longrightarrow
\vec{L}_O = \vec{\mathrm{cte}} = \vec{L}_O(t=0).
</math>
</center>
Entonces basta con calcular el momento angular en el instante inicial. Tenemos
<center>
<math>
\vec{L}_O(t=0) = \overrightarrow{OA}\times(m\vec{v}_0) = (2d\,\vec{\imath})\times(mv_0\,\vec{\jmath})
=2mv_0d\,\vec{k} = 2.40 \,\mathrm{kg\,m^2/s}.
</math>
</center>

== Velocidad de la partícula en <math>B</math> ==
El momento angular de la partícula cuando está en el punto <math>B</math> es
<center>
<math>
\vec{L}_O (B) = \overrightarrow{OB}\times(m\vec{v}_B) = (d\,\vec{\jmath})\times(-mv_B\,\vec{\imath})
=mv_Bd\,\vec{k}.
</math>
</center>
Como el momento angular se conserva durante todo el movimiento tenemos
<center>
<math>
\vec{L}_O (B)= \vec{L}_O(t=0)
\Longrightarrow
mv_Bd = 2mv_0d
\Longrightarrow
v_B = 2v_0 = 6.00\,\mathrm{cm/s}.
</math>
</center>
Y el vector velocidad en <math>B</math> es
<center>
<math>
\vec{v}_B = -6.00\,\vec{\imath} \, (\mathrm{cm/s}).
</math>
</center>

== Velocidad areolar ==
Hemos visto en teoría que la velocidad areolar está relacionada con el módulo del momento angular. Podemos derivar esta relación de nuevo. En un intervalo de tiempo <math>\mathrm{d}t</math> la partícula realiza un desplazamiento <math>\mathrm{d}\vec{r}</math>. El área del triángulo formado por <math>\vec{r}</math> y <math>\mathrm{d}\vec{r}</math> es
<center>
<math>
\mathrm{d}A = \left|\dfrac{1}{2}\vec{r}\times\mathrm{d}\vec{r}\right|.
</math>
</center>
Entonces la velocidad areolar es
<center>
<math>
v_{ar} = \dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}
=
\left|\dfrac{1}{2}\vec{r}\times\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\right|
=
\left|\dfrac{1}{2}\vec{r}\times\vec{v}\right|
=
\dfrac{1}{2m}\left|\vec{r}\times(m\vec{v})\right|
=
\dfrac{|\vec{L}_O|}{2m}.
</math>
</center>
Sustituyendo los valores numéricos tenemos
<center>
<math>
v_{ar} = 0.0600\,\mathrm{m^2/s} = 600\,\mathrm{cm^2/s}.
</math>
</center>

== Errores comunes detectados en la corrección ==
#No se puede escribir el vector de posición de una partícula que recorre una elipse de la forma
<center>
<math>
\overrightarrow{OP} = R\cos\theta\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}.
</math>
</center>

[[Categoría:Problemas de Cinética de la partícula]]
[[Categoría:Problemas de Examen de Física I (G.I.E.R.M.)]]
[[Categoría:Física I (G.I.E.R.M.)]]

Partícula moviéndose en una elipse sometida a una fuerza central, Enero 2021 (G.I.E.R.M.)

Pedro — Sun, 14 Feb 2021 13:32:12 GMT

Pedro: Página creada con '= Enunciado = right Una partícula de masa <math>m=20.0\,\mathrm{kg}</math> recorre una trayectoria elíptica en el plano <math…'

Primera Convocatoria Ordinaria 2020/21 (G.I.E.R.M.)

Pedro — Sun, 14 Feb 2021 12:53:28 GMT

Pedro: /* Disco con muelle enganchado en su centro */

==[[ Barra con extremo en un arco de circunferencia, Enero 2021 (G.I.E.R.M.)| Barra con extremo en un arco de circunferencia ]]==
[[Archivo:F1GIERM-barraCircunferencia-Enunciado.png|right]]
El extremo <math>A</math> de la barra de la figura (sólido "2") desliza sobre el eje fijo <math>OX_1</math>. El otro extremo <math>B</math>
se mueve a lo largo de un arco de circunferencia de radio <math>R=10b</math> (sólido "1"). La velocidad respecto al eje
<math>OX_1</math> del extremo <math>A</math> de la barra es constante y de módulo <math>v_0</math>. En el instante indicado en la figura el ángulo <math>
\beta</math> verifica
<center>
<math>
\mathrm{sen}\,\beta = 4/5, \qquad \cos\beta = 3/5.
</math>
</center>

#Escribe la expresión del vector <math>\overrightarrow{AB}</math> en la base del sólido "1".
#Encuentra gráficamente y analíticamente la posición del C.I.R. del movimiento {21} (puedes hacer la determinación gráfica en el propio dibujo)
#Encuentra la reducción cinemática del movimiento {21} en el punto <math>A</math>.

==[[ Partícula colgando de una cuerda con longitud variable, Enero 2021 (G.I.E.R.M.)| Partícula colgando de una cuerda con longitud variable ]]==
[[Archivo:F1GEIRM-particulaCuerda-Enunciado.png|right]]
El punto <math>A</math> recorre la línea de puntos con rapidez constante <math>v_0=\lambda R</math>, siendo <math>\lambda</math> una constante.
La masa <math>m</math> cuelga de una cuerda que desliza sobre el punto <math>A</math>. La longitud total de la cuerda (es decir, la suma de las longitudes <math>\overline{OA}</math> y <math>\overline{AB}</math>) varía en el tiempo según la ley <math>L = R\lambda^2 t^2 + R\sqrt{1+\lambda^2t^2}</math>. Esto puede realizarse con un pequeño motor que desenrolle la cuerda en <math>O</math>. En el instante
inicial el punto <math>A</math> se encontraba sobre el eje <math>Y</math>. Durante todo el movimiento el trozo de cuerda entre
<math>A</math> y <math>B</math> se mantiene vertical.
#Escribe el vector <math>\overrightarrow{OB}</math>. ¿Que tipo de curva describe la masa?
#Calcula la velocidad y aceleración de la masa en todo instante de tiempo.
#Calcula fuerza que la cuerda ejerce sobre la masa y la potencia que le transmite.

==[[ Disco con muelle enganchado en su centro, Enero 2021 (G.I.E.R.M.)| Disco con muelle enganchado en su centro ]]==
[[Archivo:F1GIERM-discoMuelle-Enunciado.png|right]]
Un disco de masa <math>m</math> y radio <math>R</math> rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal rugosa. El centro
del disco está conectado al punto <math>A</math> con un muelle de constante elástica <math>k=mg/R</math> y longitud natural nula.
Además, actúa sobre el disco un par de fuerzas <math>\vec{\tau}=-\tau_0\,\vec{k}</math>, con <math>\tau_0>0</math>. En el instante
inicial el disco estaba en reposo y su centro se encontraba sobre el eje <math>Y</math>.
#Dibuja el diagrama de cuerpo libre del disco.
#Calcula la aceleración del centro del disco.
#Si <math>\tau_0=mgR</math>, ¿para que valor de <math>x</math> el disco empieza a deslizar?

==[[ Partícula moviéndose en una elipse sometida a una fuerza central, Enero 2021 (G.I.E.R.M.) | Partícula moviéndose en una elipse sometida a una fuerza central]]==
[[Archivo:F1GIERM-particulaElipse-Enunciado.png|right]]
Una partícula de masa <math>m=20.0\,\mathrm{kg}</math> recorre una trayectoria elíptica en el plano <math>XY</math>. La ecuación de
la elipse es <math>(x/2d)^2 + (y/d)^2=1</math>, con <math>d=2.00\,\mathrm{m}</math>. En el instante inicial la partícula se
encontraba en el punto <math>A</math> con velocidad <math>\vec{v}_A=v_0\,\vec{\jmath}</math>, siendo <math>v_0=3.00\,\mathrm{cm/s}</math>. Durante
su movimiento la partícula se encuentra sometida a una fuerza dirigida siempre hacia el origen <math>O</math>.
#Calcula el momento angular de la partícula respecto al origen.
#Calcula la velocidad de la partícula cuando está en el punto <math>B</math>.
#Calcula la velocidad areolar de la partícula.

Archivo:F1GIERM-particulaElipse-Enunciado.png

Pedro — Sun, 14 Feb 2021 12:52:51 GMT

Pedro:

Problemas de Movimiento plano (MR G.I.C.)

Pedro — Sun, 14 Feb 2021 12:48:04 GMT

Pedro: /* Movimiento instantáneo de barras articuladas */

=Problemas del boletín=

==[[ Aro con deslizador (G.I.A.) | Aro con deslizador ]]==
[[Imagen:FI_gIA_aro_pasador_deslizador.gif|right]]
Sea un aro de centro <math>C</math> y radio <math>R</math> (sólido "2") que se mueve, en un plano fijo <math>OX_1Y_1</math> (sólido "1"), de tal modo que está obligado a deslizar en todo instante por un pasador giratorio situado en el punto <math>O</math>, y además se halla articulado en su punto <math>A</math> a un deslizador que se mueve siempre sobre el eje horizontal <math>OX_1</math> (ver figura). Con carácter auxiliar, se define el sistema de ejes <math>OX_2Y_2</math> (sólido "2") solidario con el aro en su movimiento. Se pide:
# Determinar gráfica y analíticamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}.
# Sabiendo que el ángulo <math>\theta</math>, que forman los ejes <math>OX_1</math> y <math>AX_2</math>, verifica la ley horaria <math>\theta(t)=\omega t</math> (donde <math>\omega</math> es una constante conocida), calcular <math>\vec{v}_{21}^A(t)</math> y <math>\vec{a}_{21}^C(t)</math>.

==[[Biela-manivela (G.I.A.) | Biela-manivela ]]==
[[Imagen:FI_gIA_biela_manivela.gif|right]]
La figura muestra el mecanismo de biela-manivela. La manivela (sólido "0") gira alrededor del punto <math>O</math> con velocidad angular uniforme <math>\omega</math>. La biela (sólido "2") gira alrededor de su punto de unión con la manivela (punto <math>A</math>). El otro extremo de la biela está unido (punto <math>B</math>) al deslizador (sólido "3") que realiza una traslación sobre el eje <math>X_1</math>

Utilizando el triángulo <math>OAB</math> y la descomposición {31}={32}+{20}+{01}, verifica que el movimiento {31} es una traslación.
# Determina gráficamente la posición de los C.I.R de todos los movimientos del problema.
# Determina los vectores <math>\vec{v}^B_{21}(t)</math> y <math>\vec{a}^B_{21}(t)</math>.

==[[ Placa empujando un disco (G.I.A.) | Placa empujando un disco]]==
[[Imagen:FI_gIA_cuadrado_empuja_disco.gif|right]]
El cuadrado de la figura (sólido "0") realiza un movimiento plano cuando uno de sus lados desliza sobre un plano horizontal fijo (sólido "1").
El cuadrado empuja a un disco de radio <math>R</math> (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el plano "1".
# Determine la posición de los C.I.R. de los diferentes movimientos en el instante reflejado en la figura.
# Determine las reducciones cinemáticas de los movimientos en el instante en que la velocidad absoluta del punto <math>A</math> del sólido "0" es <math>\vec{v}_{01}^A = v\vec{\imath}</math>.
# Si el sistema parte del reposo y el punto <math>A</math> del sólido "0" realiza un movimiento uniformemente acelerado, con aceleración <math>a_0</math>, obtenga la expresión en función del tiempo del vector rotación <math>\vec{\omega}_{21}(t)</math> y su derivada temporal <math>\vec{\alpha}_{21}(t)</math>.
# En las condiciones del apartado anterior, calcule la expresión de la aceleración <math>\vec{a}_{21}^D</math>, así como la velocidad y aceleración relativa <math>\vec{v}_{20}^B</math> y <math>\vec{a}_{20}^B</math>.

==[[ CIR de una bicicleta (G.I.A.) | CIR de un velocípedo]]==
[[Imagen:FI_gIA_velocipedo.gif|right]]
Los radios de las ruedas delantera (sólido "2") y trasera (sólido "0") de un velocípedo son <math>R</math> y <math>r</math>, respectivamente (<math>R>r</math>); y los puntos de contacto de aquéllas con el suelo (sólido "1") están separados una distancia <math>d</math>. Determinar gráficamente la posición del C.I.R. del movimiento {20}, sabiendo que las dos ruedas del velocípedo ruedan sin deslizar sobre el suelo.

==[[Ejercicio de Movimiento Plano, Diciembre 2012 (F1 GIA)|Movimiento de barra apoyada en planos no ortogonales]]==
[[Archivo:P2_FI_3aconv_12_13_0.gif|right]]Una barra rígida (sólido “2”) de longitud <math>L</math> realiza un movimiento plano cuando sus extremos <math>A</math> y <math>B</math> deslizan, respectivamente, por un plano horizontal y otro inclinado (sólido “1”) que forman un ángulo <math>\pi/4</math>.
# Describa la reducción cinemática del movimiento {21} en términos del ángulo <math>\theta</math> y de su derivada temporal <math>\dot{\theta}</math>, así como la posición del C.I.R.
# Si el extremo <math>A</math> realiza un movimiento rectilíneo uniforme con velocidad <math>v_0</math>, obtenga el vector rotación <math>\vec{\omega}_{21}</math> y su derivada temporal <math>\vec{\alpha}_{21}</math>, en función de la posición de la barra.
# En las condiciones del apartado anterior, obtenga la expresión de la velocidad y la aceleración del extremo <math>B</math>.

= Otros problemas =

==[[ Disco apoyado en una placa y una pared (G.I.A.) | Disco apoyado en una placa y una pared]]==
[[Imagen:FI_gIA_disco_sobre_cuad.gif|right]]
El sistema mecánico de la figura está compuesto por los siguientes sólidos rígidos:
# Sólido "1": plano fijo <math>O_1X_1Y_1</math>.
# Sólido "3": placa cuadrada, de lado <math>L</math>, que desliza sobre el eje <math>O_1X_1</math>, manteniendo su lado inferior completo en permanente contacto con él.
# Sólido "2": disco, de centro en <math>C</math> y radio <math>R</math> que, en todo instante, rueda sin deslizar sobre el eje <math>O_1Y_1</math> en el punto de contacto <math>B</math>, a la vez que rueda y desliza sobre la placa cuadrada en el punto de contacto <math>A</math>.
# Sólido "0": sistema de ejes <math>AX_0Y_0</math>, definido de tal modo que el eje <math>AY_0</math> contiene permanentemente al centro <math>C</math> del disco, mientras que el eje <math>AX_0</math> es tangente a dicho disco.

En el instante considerado en la figura
# determina gráficamente la posición de los C.I.R. <math>I_{21}</math>, <math>I_{20}</math>, <math>I_{03}</math>, <math>I_{23}</math>, <math>I_{01}</math>.
# Utilizando como parámetro el ángulo <math>\theta</math> del dibujo (ángulo que forma el eje <math>AX_0</math> con respecto al lado superior de la placa cuadrada), y teniendo presentes las leyes de composición de velocidades y de velocidades angulares aplicadas a:
<center>
<math>
\{21\} \equiv \{20\}+\{03\}+\{31\}
</math>
</center>
calcula las reducciones cinemáticas en <math>C</math> de los movimientos {20}, {03}, {31} y {21}:

==[[ Barra horizontal sobre un disco (G.I.A.) | Barra horizontal sobre un disco]]==
[[Imagen:barra_sobre_disco.gif |right]]
El sistema de la figura consta de un disco (sólido "0"), de centro <math>O</math> y radio <math>R</math>, que rueda sin deslizar sobre el eje horizontal <math>O_1X_1</math> del triedro fijo <math>O_1X_1Y_1</math> (sólido "1"); y de una barra de longitud indefinida (sólido "2"), que se desplaza horizontalmente con velocidad constante <math>v_0</math>, manteniéndose siempre en contacto tangente con el perímetro del disco (punto <math>A</math>) y sin deslizar sobre éste. Halla:
# Las reducciones cinemáticas de los movimientos {21}, {01} y {20} en el centro del disco (punto <math>O</math>), es decir: <math>{\vec{\omega}_{21};\vec{v}_{21}^O}</math>, <math>{\vec{\omega}_{01};\vec{v}_{01}^O}</math> y <math>{\vec{\omega}_{20};\vec{v}_{20}^O}</math>.
# La aceleración relativa barra-disco del punto de contacto <math>A</math>, es decir, <math>\vec{a}_{20}^A</math>.

==[[ Partícula moviéndose radialmente sobre el radio de un disco (G.I.A.) | Partícula moviéndose radialmente sobre el radio de un disco]]==

[[Imagen:F1_GIA_bola_ranura_enunciado.png|right]]

Una partícula <math>P</math> recorre con velocidad constante <math>v_0</math> el diámetro de un disco de radio <math>R</math> (sólido "0"). A su vez, el disco, contenido en todo instante en el plano fijo <math>OX_1Y_1</math> (sólido "1") rueda sin deslizar sobre el eje <math>OX_1</math>, de tal modo que su centro <math>C</math> avanza con velocidad <math>\vec{v}_{01}^C=v_0\,\vec{\imath}_1</math>.

Asociando al disco el triedro solidario <math>CX_0Y_0</math> (sólido "0"), y
definiendo un triedro auxilar <math>PX_2Y_2</math> (sólido "2") cuyos ejes
<math>PX_2</math> y <math>PY_2</math> tienen las mismas direcciones que los ejes <math>CX_0</math> y
<math>CY_0</math>, respectivamente; determina, en función de los datos del
problema (<math>R</math> y <math>v_0</math>) y de las coordenadas polares que se definen en
la figura (<math>\rho</math> y <math>\theta</math>):
# La velocidad absoluta (<math>\vec{v}_{21}^P</math>) y la aceleración absoluta (<math>\vec{a}_{21}^P</math>) de la partícula <math>P</math>.
# La posición del C.I.R. del movimiento {21} (analíticamente).
'''Nota:''' Se recomienda el uso de la base vectorial asociada al triedro "0" para resolver el ejercicio.

==[[ Disco articulado con una varilla (G.I.A.) | Disco articulado con una varilla]]==
[[Imagen:FI_gia_varilla_articulada_en_disco_y_barra.gif|right]]

El mecanismo de la figura está formado por un disco (sólido "0"), de radio <math>R</math>; y por una varilla <math>OA</math> (sólido "2"), de longitud <math>2R</math>, articulada en su extremo <math>O</math> al centro del disco. El disco rueda sin deslizar sobre la recta fija (sólido "1") de ecuación <math>y_1=-R</math>, mientras que el extremo <math>A</math> de la varilla está obligado a deslizar sobre el eje <math>O_1Y_1</math>. Sabiendo que el mecanismo se mueve conforme a la ley horaria <math>\theta(t)=\omega t</math> (donde <math>\omega</math> es una constante conocida), se pide:
# Los vectores de posición, <math>\overrightarrow{O_1A}=\vec{r}_{21}^A(t)</math>; velocidad, <math>\vec{v}_{21}^A(t)</math>; y aceleración <math>\vec{a}_{21}^A(t)</math>, del movimiento absoluto del extremo <math>A</math> de la varilla. ¿Qué tipo de movimiento describe dicho punto?
# Reducciones cinemáticas (vectores velocidad angular y velocidad de un punto) de los movimientos {21}, {01} y {20}.
# Determinación gráfica y analítica de la posición del C.I.R. del movimiento {21}.

==[[ Movimiento_plano_de_disco,_barra_y_cuadrado | Movimientos planos de disco, barra y cuadrado]]==

El sistema de la figura está formado por un disco de radio <math>R</math> (sólido “0”), que rueda sin deslizar sobre el eje fijo <math>OX_1</math>, desplazándose su centro <math>C</math> con velocidad constante <math>v_0</math>, respecto del sistema de referencia fijo <math>OX_1Y_1</math>. Una barra de longitud <math>8R</math> (sólido “2”), tiene un extremo articulado en <math>C</math> y está obligada a pasar por el punto fijo <math>O</math>. El otro extremo de la barra (<math>A</math>) se encuentra siempre de una acanaladura practicada en el lado de un cuadrado (sólido “3”) que desliza sobre el eje <math>OX_1</math>.

[[Archivo:disco_barra_cuadrado_peq.gif|right]]

# Describa las reducciones cinemáticas de los movimientos en función de los datos del enunciado y de la variable geométrica <math>\theta</math>.
# Para una posición arbitraria del sistema, dada por el ángulo <math>\theta</math>, determine gráfica o analíticamente -y de manera razonada-, las posiciones de los C.I.R. de todos los movimientos relativos en el sistema.
# Obtenga las posiciones en las que el cuadrado se detiene (respecto del sólido fijo) y calcule el valor de la aceleración absoluta del cuadrado (<math>\mathbf{a}_{31}^A</math>) en dicha posición.
# Calcule las componentes intrínsecas de la velocidad y la aceleración absolutas del extremo <math>A</math> de la barra cuando el sistema se halla en la posición dada por <math>\theta=\pi/2</math>.

==[[ Aplicación:Disco_empujando_una_varilla_articulada_en_él | Disco con varilla articulada]]==
[[Archivo:disco_con_varilla_articulada.gif|right]]
Un disco de radio <math>R</math> (sólido "0"), se mueve contenido siempre en el mismo plano vertical <math>OXY</math>.
El centro <math>C</math> del disco realiza un movimiento rectilíneo uniforme con velocidad <math>v_0</math> respecto del plano horizontal fijo (sólido "1"),
sobre el que rueda sin deslizar. Un barra rígida de longitud <math>4R</math> (sólido "2"), contenida también en <math>OXYZ</math>, tiene su extremo <math>A</math>
articulado en un punto del perímetro del disco, mientras que su extremo <math>B</math> se desliza sobre el plano horizontal.
#Determina la posición de los C.I.R. en las cuatro posiciones indicadas en la figura.
#Explica qué tipo de movimiento realiza la barra en cada uno de los instantes correspondientes a dichas posiciones.

==[[ Dos_discos_y_barra_rodando_sin_deslizar | Barra sobre dos discos que ruedan sin deslizar]]==

Sendos discos de radios radios <math>2R</math> y <math>R</math> (sólidos “0” y “2”, respectivamente) se encuentran siempre contenidos en el mismo plano y en contacto puntual sobre el sólido fijo “1”. Además, hay una barra rígida (sólido “3”), también contenida en el plano de los discos y en contacto puntual con éstos. El sistema se mueve de manera que los discos “0” y “2” ruedan sin deslizar de manera simultánea sobre los sólidos “1” y “3”.
[[Archivo:barra_sobre_discos.gif|right]]
# Determine los C.I.R. de los diferentes movimientos relativos en el sistema descrito. ¿Cómo es el movimiento instantáneo de la barra “3” respecto del sólido fijo “1”?
# Suponiendo que en el movimiento del disco de mayor radio respecto del sólido fijo la velocidad de su centro <math>C</math> es un vector constante de valor conocido <math>\mathbf{v}_0</math>, determine las reducciones cinemáticas de los movimientos <math>\{01\}</math>, <math>\{31\}</math> y <math>\{21\}</math>.
# Determine la ley horaria que sigue la distancia <math>\displaystyle\Delta x</math> entre los puntos de contacto de los discos con el sólido fijo. Supóngase que en el instante inicial esta distancia es <math>3R</math>.
# Determine la reducción cinemática del movimiento relativo del disco pequeño respecto del grande, <math>\{20\}</math>. Calcule la aceleración instantánea del centro <math>D</math> en dicho movimiento.

==[[ Disco_arrastrando_una_varilla | Disco que arrastra una varilla]]==

En el sistema de la figura los tres sólidos realizan un movimiento plano cuando el disco de radio <math>R</math> (sólido “0”) rueda sin deslizar sobre el sólido “1”. El centro del disco, <math>C</math>, se desplaza con una velocidad <math>\mathbf{v}_C=v(t)\mathbf{i}_1</math>. La barra de longitud <math>3R</math> (sólido “2”) tiene su extremo <math>C</math> articulado en el centro del disco, mientras que se apoya en el borde <math>O</math> del sólido “1”.[[Archivo:disco_arrastra_varilla.gif|right]]

# Determine gráficamente la posición de los C.I.R. de los movimientos {21}, {20} y {01}.
# En el instante en que la distancia entre los puntos <math>O</math> y <math>B</math> es igual a <math>R</math>, la velocidad del punto <math>C</math> es <math>\mathbf{v}_C=v_0\ \mathbf{i}_1</math>. Calcule las reducciones cinemáticas de los tres movimientos en el punto <math>C</math>.
# Exprese el vector de posición del punto <math>A</math> en el sistema “1”, <math>\mathbf{r}_{21}^A</math>, en función de un ángulo <math>\beta</math> arbitrario.
# Si <math>\dot{\beta}=-\Omega</math>, con <math>\Omega</math> constante y positiva, calcule <math>\mathbf{v}_{21}^A(t)</math> y <math>\mathbf{a}_{21}^A(t)</math> para todo instante de tiempo, en función de <math>\beta</math>, <math>\Omega</math> y <math>R</math>.

==[[Movimientos_Planos_de_Manivela_y_Disco,_F1_GIA_(Sept,_2012)|Movimientos planos de manivela y disco]]==
[[Archivo:P2_2aconv_11_12_0.gif|right]]El sistema de la figura está constituido por un plano vertical fijo <math>OX_1Y_1</math> (sólido “1”) que en todo instante contiene a otros dos sólidos en movimiento: un disco de radio <math>R</math> y centro <math>C</math> (sólido “2”), que rueda sin deslizar sobre el eje horizontal <math>OX_1</math>, y una manivela ranurada <math>OA</math> (sólido “0”) que es obligada a girar con velocidad angular constante <math>\omega</math> alrededor de un eje permanente de rotación que pasa por el punto <math>O</math> y es perpendicular al plano fijo definido como sólido “1” (eje <math>OZ_1</math>). Los movimientos de ambos sólidos se hayan vinculados entre sí porque el centro <math>C</math> del disco está obligado a deslizar en todo instante a lo largo de la ranura de la manivela. Considerando el movimiento <math>\{20\}</math> como el movimiento problema, se pide:
# Determinar el C.I.R. de dicho movimiento (<math>I_{20}</math>), haciendo uso de procedimientos graficos.
# Utilizando como parámetro geométrico el ángulo <math>\theta</math> indicado en la figura, obtener la reducción cinemática del movimiento <math>\{20\}</math> en el punto <math>C</math>, <math>\{\vec{\omega}_{20} (\theta), \vec{v}_{20}^C (\theta)\}</math>.
# Caracterizar el movimiento <math>\{20\}</math> en el instante en que <math>\theta=\pi/2</math>, indicando de forma razonada si se trata de una situación de: (a) rotación instantánea; (b) traslación instantánea; (c) movimiento helicoidal tangente, o (d) reposo instantáneo.

==[[Ejercicio de movimiento plano, Enero 2014 (F1 GIA)|Disco rodando sobre una barra que rota]]==
[[Imagen:F1_GIA_disco_sobre_barra_rotando_enunciado.png|right]]
Una barra de longitud indefinida (sólido "0") se mueve siempre contenida en un plano fijo <math> \Pi_1\equiv OX_1Y_1</math> (sólido "1"). En el punto fijo <math>O </math> del plano <math>\Pi_1 </math> está articulado uno de los extremos de la barra, la cuál se mueve de manera que el ángulo que forma con el eje <math>OX_1 </math> varía linealmente con el tiempo, según la ley horaria <math>\theta(t) =\omega t </math>. Un disco de radio <math>R </math> (sólido "2"), también siempre contenido en el plano <math>OX_1Y_1 </math>, rueda sin deslizar sobre la barra "0". Respecto de un sistema de referencia <math>OX_0Y_0 </math> solidario con la barra "0", el centro <math>C </math> del disco realiza un movimiento rectilíneo uniforme de velocidad <math>v_0 </math>. En el instante inicial <math>(t=0) </math>, el centro del disco se halla en el eje <math>OY_1 </math>.
#Obtenga los elementos de la reducción cinemática del movimiento {21} y su derivada temporal.
#Considérese el caso en que los parámetros del sistema verifican la relación <math>v_0=\omega R </math>. ¿Qué tipo de movimiento realiza el disco respecto del plano fijo? Determine gráficamente, y de manera razonada, las posiciones de los C.I.R. correspondientes a los movimientos {01}, {20} y {21}.
#También en el caso de <math>v_0=\omega R </math>, calcule las componentes intrínsecas de la aceleración y la velocidad del centro <math>C </math> del disco en movimiento {21}, en función del tiempo. Obtenga la ley horaria <math>s(t) </math> para la distancia recorrida por el centro <math>C </math> del disco, desde el instante inicial, sobre la trayectoria que dicho punto describe en el plano <math>\Pi_1 </math>.

==[[Aro con barra articulada, Enero 2018 (G.I.E.R.M.)| Aro con barra articulada]]==
[[Imagen:F1GIERM_DiscoBarra_enunciado.png|right]]
El disco de la figura (sólido "0"), de radio <math>R</math>, rueda sin deslizar sobre el
eje <math>O_1X_1</math>. El centro del disco se mueve con rapidez constante <math>v_0</math>, como
se indica en la figura. Una barra (sólido "2") de longitud <math>2R</math> está
articulada en el punto <math>B</math> de la circunferencia exterior del disco. El otro
extremo de la barra desliza sobre el eje <math>O_1X_1</math>.
#Localiza gráficamente los C.I.R. de los movimientos {01}, {20} y {21} en el instante indicado en la figura. Explica el procedimiento seguido.
#Encuentra reducciones cinemáticas de los tres movimientos relativos indicados.
#Calcula <math>\vec{\alpha}_{21}</math> y <math>\vec{a}^{\,D}_{21}</math>.

==[[Manivela y biela alargada, Enero 2018 (G.I.E.R.M.)| Manivela y biela alargada]]==
[[Imagen:F1GIERM_manivelabiela_enunciado.png|right]]
Una barra homogénea (sólido "0") de longitud <math>\sqrt{2}L</math> tiene un extremo articulado en el
punto fijo <math>O</math>. En el otro extremo, <math>A</math>, se articula otra barra homogénea de longitud
<math>2\sqrt{2}L</math> (sólido "2"). El punto medio de esta barra se articula a su vez en un pasador
(punto <math>B</math>), de modo que este punto de la barra se mueve sobre el eje <math>O_1X_1</math>. La barra "0"
gira alrededor del eje <math>O_1Z_1</math> con velocidad angular uniforme <math>\Omega</math>.
Todas las magnitudes físicas que se piden
corresponden al instante que se muestra en la figura.
#Localiza gráfica y analíticamente los C.I.R. de los tres movimientos relativos que se pueden definir en el sistema.
#Encuentra reducciones cinemáticas de los tres movimientos relativos. Calcula <math>\vec{v}^{\,C}_{21}</math>.
#Calcula la derivada temporal de la reducción cinemática del movimiento {21} en el punto <math>B</math>.

==[[ Barra apoyada sobre placa rectangular (Nov 2017 MR) | Barra apoyada sobre placa rectangular ]]==
[[Imagen:MR_barra_placa_enunciado.png|right]]
La barra de la figura (sólido "2") está articulada en el punto <math>O</math>. Se apoya
sobre el vértice <math>A</math> de una placa rectangular (sólido "0") de altura <math>d</math>. El
vértice <math>A</math> de la placa puede deslizar a lo largo de la barra. La
placa desliza sobre el eje <math>OX_1</math>, de forma que su base está siempre en contacto
con el eje. El ángulo que forma la barra con el eje <math>OX_1</math> es <math>\theta(t) = \omega_0t + \pi/6</math>, con
<math>\omega_0</math> constante y positivo.
#Escribe el vector de posición absoluto del punto <math>A</math> del sólido "0".
#Encuentra la reducción cinemática de los tres movimientos relativos del sistema.
#Determina aceleración <math>\vec{a}^{\,O}_{20}</math> en el instante en que <math>\theta=\pi/4</math>, así como la posición del C.I.R.

==[[Disco con barra articulada, Noviembre 2015 (MR G.I.C.) | Disco con barra articulada]]==
[[Imagen:MR_disco_barra_articulada_enunciado.png|right]]
El disco de la figura (sólido "0"), de masa <math>m</math> y radio <math>R</math>, rueda sin
deslizar sobre el eje <math>OX_1</math>. Una barra (sólido "2"), de masa <math>m</math> y longitud <math>R</math>, se encuentra articulada en el punto <math>A</math> de la circunferencia del disco. El otro extremo, <math>B</math> se conecta a un deslizador que
se mueve sobre una barra paralela al eje <math>OX_1</math>. En el instante
inicial los puntos <math>G</math> y <math>A</math> se encontraban sobre el eje <math>O_1Y_1</math> (con el punto <math>A</math> por encima del <math>G</math>).
# Calcula la velocidad absoluta del punto <math>A</math>.
#Determina la velocidad de rotación <math>\vec{\omega}_{20}</math>.
#En esta pregunta y las siguientes suponemos que el punto <math>B</math> se mueve con velocidad <math>\vec{v}=v_0\,\vec{\imath}_1</math>. Calcula el valor de <math>\dot{\theta}</math>.
#Calcula el valor de <math>\vec{\alpha}_{21}</math>.
#Determina el valor de <math>\vec{v}^{\,O_1}_{21}</math> en el instante incial.
#Calcula el momento cinético del disco respecto al punto de contacto con el suelo en el instante inicial.

==[[Barras articuladas con barra fija (Nov. 2019) | Barras articuladas con barra fija ]]==
[[File:MRGIC-2019-barras.png|right]]
Una barra delgada de longitud <math>2\sqrt{2}b</math> (sólido "0") está articulada en el punto
fijo <math>O</math>. En el otro extremo de la barra (punto <math>A</math>) se articula otra barra
(sólido "2") de longitud <math>\sqrt{2}b</math>. A su vez, el otro extremo de la barra 2 (punto
<math>B</math>) se articula en un pasador obligado a moverse sobre una barra fija
vertical. En todo instante la velocidad del punto <math>B</math> es <math>\vec{v}_0=
v_0\,\vec{\jmath}_1</math>, con <math>v_0>0</math> y constante. En el instante indicado en la
figura las dos barra son perpendiculares y forman un ángulo <math>\pi/4</math> con la
barra fija vertical. Todas las preguntas siguientes corresponden a este instante.

# Determina el vector de posición del punto <math>B</math> es
# Encuentra gráficamente y analíticamente la posición de los C.I.R. de los movimientos {01}, {20} y {21}.
#Calcula los vectores rotación de los movimientos {21} y {01}.
#Calcula el vector aceleración del movimiento {21}.

==[[ Movimiento instantáneo de barras adecuadas (Dic. 2020) | Movimiento instantáneo de barras articuladas ]]==
[[Archivo:MRGIC-barrasCir-enunciado.png | right ]]
Una barra delgada (sólido “0”), de longitud <math>\sqrt{2}d</math>, está articulada en un punto fijo <math>O</math> y rota en el plano fijo <math>OX_1Y_1</math>. Otra barra delgada (sólido “2”) de la misma longitud se articula en su punto <math>B</math> en en el extremo de la barra “0”. El punto <math>A</math> de la barra “2” desliza sobre el eje <math>OY_1</math> con una velocidad <math>v_0</math> . Los cálculos que se piden a continuación corresponden al instante indicado en la figura. En ese instante las dos barras son perpendiculares.
#Determina gráfica y analíticamente la posición de los C.I.R. de los movimientos {01}, {20} y {21}
#Calcula una reducción cinemática de esos movimientos.
#Si la velocidad absoluta del punto <math>A</math> es constante en el tiempo, calcula las derivadas temporales de esas reducciones cinemáticas.

==[[ Barra con extremo en un arco de circunferencia, Enero 2021 (G.I.E.R.M.)| Barra con extremo en un arco de circunferencia ]]==
[[Archivo:F1GIERM-barraCircunferencia-Enunciado.png|right]]
El extremo <math>A</math> de la barra de la figura (sólido "2") desliza sobre el eje fijo <math>OX_1</math>. El otro extremo <math>B</math>
se mueve a lo largo de un arco de circunferencia de radio <math>R=10b</math> (sólido "1"). La velocidad respecto al eje
<math>OX_1</math> del extremo <math>A</math> de la barra es constante y de módulo <math>v_0</math>. En el instante indicado en la figura el ángulo <math>
\beta</math> verifica
<center>
<math>
\mathrm{sen}\,\beta = 4/5, \qquad \cos\beta = 3/5.
</math>
</center>

#Escribe la expresión del vector <math>\overrightarrow{AB}</math> en la base del sólido "1".
#Encuentra gráficamente y analíticamente la posición del C.I.R. del movimiento {21} (puedes hacer la determinación gráfica en el propio dibujo)
#Encuentra la reducción cinemática del movimiento {21} en el punto <math>A</math>.

Problemas de Dinámica del punto (GIC)

Pedro — Sun, 14 Feb 2021 12:47:26 GMT

Pedro: /* Péndulo cónico */

= Problemas del boletín =

==[[ Ejemplos de sistemas de referencia inerciales (GIC) | Ejemplos de sistemas de referencia inerciales aproximados]] ==
Estima para qué rango de aceleraciones un sistema de referencia solidario con los siguientes objetos es un buen sistema de referencia inercial (busca en Internet los datos numéricos que no conozcas):
#Un laboratorio en la superficie de la Tierra.
#Un sistema que viaje con la Tierra alrededor del Sol (sin rotar con ella)
#Un sistema que viaje con el Sol alrededor del centro de la Vía Láctea.

==[[ Aproximación del valor de g en la ISS ]]==

La estación espacial internacional (ISS) se halla a unos 400 km de la superficie de la Tierra. Estima el valor de la aceleración de la gravedad en el interior de la ISS. ¿Cómo explicas que los astronautas parezcan estar flotando en el interior de la estación?

==[[ Partícula con dos muelles verticales (GIC) | Partícula con dos muelles verticales ]]==
[[File:F1_GIC_muelles_verticales.png |right |100px ]]
Una masa <math>m</math> está conectada a dos muelles como se indica en la figura. El muelle superior tiene constante elástica <math>k_1</math> y longitud natural nula, mientras que el inferior tiene constante elástica <math>k_2</math> y longitud natural <math>l_0</math>. Además la gravedad actúa en dirección vertical. Determina la posición de equilibrio de la masa.

==[[ Masa colgando de dos cuerdas (GIC) | Masa colgando de dos cuerdas]] ==
[[File:F1_GIC_masa_dos_cuerdas.png|right]]
Una masa <math>m</math> cuelga del conjunto de cuerdas ideales sin masas como se indica en la figura. Los datos del problema son las longitudes <math>a</math> y <math>b</math> y el ángulo <math>\alpha</math>. Si el sistema está en equilibrio, determina la tensión en las tres cuerdas.

==[[Partiícula en un rectángulo con muelle | Partícula en un rectángulo con muelle]]==
[[File:Muelle_rectangulo.png|right]]
En el sistema de la figura el muelle tiene longitud natural nula y constante de recuperación <math>k</math>. La masa de la partícula es <math>m</math>.
#Si los vínculos son lisos ¿cuál de las posiciones de la partícula puede ser de equilibrio? ¿Y si los vínculos son rugosos?
#Determina las posiciones de equilibrio en los casos en que éste pueda existir.
#Supongamos ahora que hay rozamiento. Suponiendo que la posición de la partícula está fijada, calcula la fuerza de rozamiento que debe actuar para que haya equilibrio estático.
#A partir del resultado del apartado anterior, encuentra el rango de posiciones de equilibrio en cada uno de los casos.

==[[Fuerza unidireccional (GIA)| Fuerza unidireccional]]==
Una partícula de masa <math>m</math> está sometida a una fuerza constante <math>\vec{F}=(A + Bt)\,\vec{\imath}</math>. Si parte del reposo y desde el origen del sistema de referencia, encuentra la posición y la velocidad de la partícula en cualquier instante.

==[[Fuerza sobre tres masas yuxtapuestas]]==
Tres masas <math>m_1</math>, <math>m_2 </math> y <math>m_3 </math> se encuentran yuxtapuestas sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Sobre la primera de ellas actúa una fuerza horizontal <math>F </math>. Calcula
#La aceleración de las masas.
#La fuerza resultante sobre cada una de ellas.
#Las magnitudes de las fuerzas de contacto entre ellas.

==[[Masa sobre una cuña con la misma aceleración]]==

[[Imagen:F1_GIC_masa_sobre_cuna_enunciado.png|right]]
En el sistema de la figura, ambos bloques están en reposo cuando se aplica la fuerza <math> F</math>, ¿Cuál debe ser la magnitud de la fuerza para que el bloque de masa <math>m</math> permanezca estacionario respecto a la cuña? Todas las superficies son lisas.

==[[Masa sobre una balanza de resorte en un ascensor]]==

Una masa <math>M</math> se encuentra sobre una balanza de resorte. Ambos objetos están dentro de un ascensor. ¿Qué fuerza mide la balanza cuando el ascensor tiene una aceleración <math>a_0</math> vertical? La gravedad actúa en dirección vertical con sentido hacia abajo.

== [[ Masa conectada a un muelle horizontal (GIC) | Masa conectada a un muelle horizontal ]] ==
Una masa <math>m</math> puede deslizar sin rozamiento sobre el eje horizontal <math>OX</math>. La masa está conectada a un muelle de constante elástica <math>k</math> y longitud natural <math>l_0</math>. El otro extremo del muelle está conectado al origen de coordenadas. Determina el movimiento <math>x(t)</math> de la masa en estos tres casos:
#Se suelta la masa desde el origen con velocidad nula.
#Se suelta la masa desde la poscición de equilibrio con velocidad <math>v_0</math>.
#Se suelta la masa desde la posición <math>x_0</math> con velocidad <math>v_0</math>.

==[[Masas deslizando sobre un plano horizontal, Noviembre 2014 (G.I.C.)| Masas deslizando sobre un plano horizontal]]==
[[Imagen:GIC_masas_deslizando_enunciado_PPC_2014.png|right]]
Las dos masas de la derecha se mueven horizontalmente. El contacto de la masa
<math>M</math> sobre el suelo es liso, mientras que el contacto entre las dos masas es
rugoso con un coeficiente de rozamiento estático <math>\mu</math>. Una fuerza
<math>\vec{F}</math> horizontal actúa sobre la masa <math>M</math>.
#Si durante el movimiento las dos masas mantienen su posición relativa, ¿cuál es su aceleración?
#Calcula la fuerza total que la masa <math>m </math> ejerce sobre la masa <math>M </math>.
#¿Qué condición debe cumplir <math>|\vec{F}|</math> para que la masa <math>m</math> no deslice respecto de la masa <math>M</math>?

==[[Partícula ensartada en un aro circular (GIA) | Partícula ensartada en un aro circular]]==
Se tiene un aro circular de radio <math>R</math>. Engarzado en él hay una masa <math>m</math> que puede deslizar siguiendo la circunferencia del aro bajo la acción de la gravedad.
#Suponiendo que el contacto es liso, encuentra las ecuaciones que describen el movimiento de la masa en función del ángulo <math>\alpha</math> de la figura.
#Soltamos la masa con velocidad inicial nula y un ángulo inicial <math>\alpha_0\ll1</math>. Encuentra la función <math>\alpha(t)</math> que describe el movimiento de la masa.
#Supongamos ahora que nos dicen que la masa realiza un movimiento circular uniforme con frecuencia angular <math>\Omega</math>. Encuentra la expresión de la fuerza de ligadura en función del ángulo <math>\theta</math>. ¿Es constante? En este caso, ¿el vínculo es liso o rugoso?

==[[ Masa en superficie horizontal con masa colgando verticalmente ]]==
[[Imagen:F1GIC_masaHorizontalMasaVerticalMuelle_enunciado.png|right|250px]]
Dos masas puntuales <math>m_1</math> y <math>m_2</math> están unidas por una cuerda sin masa y longitud <math>L</math>, que desliza sobre una polea también sin masa, como se indica en la figura. La masa <math>m_1</math> está conectada a un muelle de constante elástica <math>k</math> y longitud natural nula. El otro extremo del muelle está anclado en el origen del sistema de referencia <math>OXY</math>.
#Suponiendo que no hay rozamiento, encuentra la posición de equilibrio del sistema.
#Si hay rozamiento entre <math>m_1</math> y la superfice horizontal, caracterizado por un coeficiente de rozamiento estático <math>\mu</math>, encuentra el rango de posibles posiciones de equilibrio. Suponiendo <math>m_1= kL/4g</math> y <math>m_2= kL/2g</math> ¿que condición debe cumplir <math>\mu</math> para que toda la superfice sea una posible posición de equilibrio?
#Encuentra la ecuación de movimiento de las dos masas suponiendo que no hay rozamiento.
#Calcula el vector de posición de las dos masas en función del tiempo si las condiciones iniciales son <math>x_1(0)=m_2g/k</math> y <math>\dot{x}_1(0)=v_0</math>.

= Otros problemas =

== Equilibrio estático ==

===[[Equilibrio de una partícula bajo la acción de tres muelles (GIA) |Equilibrio de una partícula bajo la acción de tres muelles]]===
Una partícula libre de masa <math>m</math> está unida a tres muelles de longitud natural nula y constantes elásticas <math>k_A</math>, <math>k_B</math> y <math>k_C</math>. Cada uno de los muelle tiene el otro extremo fijado en un punto. Las coordenadas de los puntos de fijación son <math>A(-a,0,0)</math>, <math>B(a,0,0)</math> y <math>C(0,a,0)</math>.
#Calcula la posición de equilibrio de la partícula.
#Considera las situaciones siguientes
##<math>m=0</math> y <math>k_A=k_B=k_C=k</math>
##<math>m=0</math> y <math>k_A=k_B\gg k_C</math>
##<math>k_A=k_B=k_C=k</math> y <math>m>>ka/g</math>.

===[[Equilibrio de una partícula sobre una esfera lisa (GIA) | Equilibrio de una partícula sobre una esfera lisa]]===
[[Imagen:F1A_GIA_muelle_esfera_enunciado.png|right|160px]]
Un punto material <math>M</math> de peso <math>P</math> está obligado a permanecer en la superficie de una esfera de radio <math>R</math> y centro <math>O</math>. Además, <math>M</math> es atraído por un punto fijo <math>A</math> del ecuador de la superficie esférica, debido a la existencia de un resorte elástico ideal, de longitud natural nula y de constante recuperadora <math>k=P/\sqrt{3}R</math>, que conecta ambos puntos. Determina las posiciones de equilibrio del punto material <math>M</math>, y la fuerza de reacción vincular en ellas.

===[[Equilibrio de una partícula sobre una hélice (GIA) | Equilibrio de una partícula sobre una hélice]]===
[[Imagen:F1A_GIA_particula_en_helice_estatica_a.png|right]]
Un punto material <math>M</math>, de peso <math>P</math>, está vinculado a la hélice <math>\Gamma</math>, definida en el sistema de referencia cartesiano <math>OXYZ</math> por la ecuación vectorial <math>\vec{r}(\theta)=a\cos\theta\,\vec{\imath}+a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}+h\,\theta\,\vec{k}</math>. Determina la posición de equilibrio estático del punto <math>M</math> si, además, este es atraído por el origen por una fuerza <math>\vec{F}</math> proporcional a la distancia entre ambos puntos, siendo <math>k</math> la constante de proporcionalidad.

===[[Particula con un muelle horizontal y otro inclinado, Noviembre 2013 (G.I.C.)| Particula con un muelle horizontal y otro inclinado]] ===
[[Imagen:Particula_muelle_horizontal_inclinado_GIC.png|right]]

Un partícula de masa <math>m</math> reposa sobre un plano horizontal sin rozamiento. Está atada a dos muelles de constantes elásticas <math>k_1</math> y <math>k_2</math> y longitud natural nula, anclados en los puntos <math>A</math> y <math>B</math>. La partícula no puede desplazarse a lo largo del eje <math>OZ</math>.
#Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la partícula.
#Condición para que la masa no se separe del plano.
#Posición de equilibrio de la partícula en la situación del apartado anterior.
#Supongamos que existe rozamiento entre la partícula y el plano, con un coeficiente de rozamiento estático <math>\mu_e </math>. Si <math>x_m </math> es la coordenada de la partícula sobre el eje <math>OX </math>, en situación de equilibrio, calcula el módulo de la fuerza de rozamiento.

===[[Partícula en semiaro con muelle anclado en un extremo, Noviembre 2016 (G.I.C.) | Partícula en semiaro con muelle anclado en un extremo]]===
[[Imagen:GIC_semiaro_muelle_PPC_2016_enunciado.png|right]]
Una partícula de masa <math>m</math> está engarzada en un semiaro de radio <math>R</math> cuyo centro coincide con el origen de coordenadas, como se observa en la figura. La partícula está conectada a un muelle de constante elástica <math>k</math> y longitud natural nula conectada al punto <math>A</math>. La gravedad actúa hacia abajo.
#Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la partícula en situación de contacto rugoso, indicando de que fuerzas se conoce su dirección y sentido y de cuales no.
#Escribe la expresión que da la fuerza que el muelle ejerce sobre la partícula.
#En situación de contacto liso, encuentra el valor del ángulo de equilibrio.
#Supongamos ahora que el contacto es rugoso con un coeficiente de rozamiento estático <math>\mu</math>. Además el ángulo <math>\theta</math> es tal que <math>\cos\theta=3/5</math>, y el sistema se ajusta de modo que <math>m g=kR</math>. ¿Cuál es valor mínimo del coeficiente de rozamiento para que esta configuración sea de equilibrio?

== Dinámica ==
===[[Partícula sobre plano inclinado con muelle y cuerda, Noviembre 2017 (G.I.E.R.M.)| Partícula sobre plano inclinado con muelle y cuerda]]===
[[Imagen:F1GIERM_masa_plano_muelle_enunciado.png|right|250px]]
Una partícula de masa <math>m=5m_0</math> puede moverse sobre un plano inclinado que forma
un ángulo <math>\beta</math> con la horizontal. Este ángulo es tal que <math>\cos\beta = 4/5</math> y,
por tanto, <math>\mathrm{sen}\,\beta=3/5</math>. La partícula está conectada a un muelle de
constante elástica <math>k</math> y longitud natural nula.
El otro extremo del muelle se conecta al punto fijo <math>A</math> indicado en la figura.
La masa también está conectada a una cuerda
inextensible sin masa sobre la que se ejerce una fuerza constante <math>\vec{F}_0=F_0\,\vec{\imath}</math>. El sistema se ajusta de modo que <math>m_0g=kd</math>.
#Dibuja el esquema de cuerpo libre de la partícula, teniendo en cuenta el rozamiento. Indica de que fuerzas se conoce su sentido a priori y de cuales no.
#Escribe la expresión que da la fuerza del muelle.
#Suponiendo que no hay rozamiento, ¿cuánto debe valer <math>F_0</math> para que la posición de equilibrio venga dada por <math>x=3d</math>?
#Con el valor de <math>F_0</math> calculado en la pregunta anterior, ¿qué condición debe cumplir el coeficiente de rozamiento estático <math>\mu</math>, entre la masa y el plano, para que el punto <math>O</math> sea de equilibrio?
#Supongamos que no hay rozamiento. ¿Cuanto debe valer <math>F_0</math> para que la ecuación de movimiento de la masa tenga la forma <math>m\ddot{x}=-kx</math>?

===[[Partícula en el campo gravitatorio terrestre (GIA)| Partícula en el campo gravitatorio terrestre]]===
Una partícula de masa <math>m</math> se mueve en el seno del campo gravitatorio terrestre cerca de la superficie, de modo que la aceleración de la gravedad puede suponerse constante y dirigida verticalmente a la superficie (<math>\vec{g}=-g\,\vec{k}</math>). Analiza el movimiento de la partícula para las siguientes condiciones iniciales
#<math>\vec{r}(0)=\vec{0}</math>, <math>\vec{v}(0)=v_0\,\vec{k}</math>.
#<math>\vec{r}(0)=h\,\vec{k}</math>, <math>\vec{v}(0)=v_0\,\vec{\imath}</math>.
#<math>\vec{r}(0)=\vec{0}</math>, <math>\vec{v}(0)=\vec{v}_0=v_0\cos\alpha\,\vec{\imath} + v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{k}</math>.

===[[Muelle vertical (GIA) | Muelle vertical]]===
Se tiene un muelle vertical de constante <math>K</math> y longitud natural <math>l_0</math>. El sistema está sometido a la acción de la gravedad, <math>\vec{g}=g\,\vec{\imath}_1</math>.
#Se cuelga una masa <math>m</math> del extremo del muelle. ¿Cuál es la nueva elongación del muelle cuando se alcanza el equilibrio?
#Partiendo de la situación del apartado anterior, estiramos la masa de modo que la elongación del muelle aumenta una distancia <math>L</math>, y lo soltamos. Describe las fuerzas actuando sobre la masa justo después de soltarla.
#Aplicando la Segunda Ley de Newton calcula la posición de la masa como función del tiempo. ¿Que movimiento describe?
'''Nota''' : Podemos suponer que todos los desplazamientos del muelle son verticales.

=== [[ Partícula sometida a la acción de dos muelles colineales, Enero 2012 (G.I.C.) | Partícula sometida a la acción de dos muelles colineales ]] ===
[[Imagen:F1_GIC_SPc_2011_dos_muelles_enunciado.png|right]]
Se tiene el sistema de la figura, formado por dos muelles de longitud natural nula y constantes elásticas <math>k_1 </math> y <math>k_2 </math> . Los puntos de anclaje de los muelles están separados por una distancia <math>L </math>. Una partícula de masa <math>m </math> está conectada a los dos muelles y se mueve bajo la acción de éstos. El rozamiento con la superficie es despreciable. Los valores numéricos de los parámetros del problema son
<math>k_1=100\,\mathrm{N/m} </math>, <math>k_2=200\,\mathrm{N/m} </math>, <math>L = 10.0\,\mathrm{cm} </math>, <math>m=100\,\mathrm{g} </math>.
#Calcula la posición de equilibrio de la partícula.
#Calcula la energía potencial elástica de la partícula cuando está en su posición de equilibrio.
#Estando la partícula en la posición de equilibrio, se le da un empujón hacia la derecha de modo que su velocidad inicial es <math>v_0 </math>. ¿Cuál es el período de las oscilaciones de la partícula?
#Si el valor numérico de la velocidad inicial es <math>v_0=100\,\mathrm{cm/s} </math>, ¿cuál es la amplitud de las oscilaciones de la partícula?

===[[Partícula con dos muelles apoyada sobre un plano vertical, Noviembre 2014 (G.I.C.)| Partícula con dos muelles apoyada sobre un plano vertical]]===
[[Imagen:GIC_muelles_plano_vertical_enunciado_PPC_2014.png|right]]
Un partícula de masa <math>m</math> reposa sin rozamiento sobre un plano vertical definido por los puntos <math>A</math> y <math>B</math> de la figura. Está atada a dos muelles de constantes elásticas <math>k_1</math> y <math>k_2</math> y longitud natural nula, anclados en los puntos <math>O</math> y <math>C</math>, respectivamente. La partícula no puede deplazarse a lo largo del eje <math>OZ</math>. El plano <math>AB</math> puede desplazarse a lo largo del eje <math>OX</math> de modo que se mantiene siempre vertical.
#Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la partícula.
#¿Que condición debe cumplirse para que el punto de equilibrio de la masa esté sobre el eje <math>OX</math>
#¿Qué condición debe cumplir <math>x_P</math> para que el plano <math>AB</math> ejerza una fuerza sobre la partícula?
#Supongamos que existe rozamiento entre la partícula y el plano, con un coeficiente de rozamiento estático <math>\mu_e</math>. Si <math>y_m</math> es la coordenada de la partícula sobre el eje <math>OY</math>, calcula el módulo de la fuerza de rozamiento.
#En la situación con rozamiento, supongamos que <math>k_1=k_2=k</math>, <math>mg=2kd</math>, <math>d=l</math> y <math>x_P=l/4</math>. ¿Cuál es el rango de posiciones de equilibrio de la partícula sobre el plano?

===[[Partícula en hilo vertical con dos muelles (Nov. 2017 G.I.C.)| Partícula en hilo vertical con dos muelles]]===

[[Imagen:F1GIC_particula_muelles_enunciado.png|right|250px]]
Una partícula de masa <math>m</math> puede moverse a lo largo del eje vertical <math>Y</math>. Está
conectada a dos muelles como se indica en la figura. El muelle anclado en <math>A</math>
tiene constante elástica <math>k</math> y longitud natural nula. El muelle anclado en <math>O</math>
tiene constante elástica <math>k</math> y longitud natural <math>d</math>. El contacto entre la masa y
el eje <math>Y</math> es rugoso con coeficiente de rozamiento estático <math>\mu</math>. La partícula
puede moverse a lo largo de todo el eje <math>Y</math>, por encima y por debajo del punto <math>O</math>.
#Dibuja el esquema de cuerpo libre de la partícula, teniendo en cuenta el rozamiento, indicando de que fuerzas se conoce su sentido a priori y de cuales no.
#Escribe las expresiones que dan las fuerzas de los muelles.
#Encuentra la posición de equilibrio sin rozamiento.
#Volviendo a considerar el rozamiento, y asumiendo que <math>mg=kd/2</math>, encuentra el rango de posiciones de equilibrio.
#Considera de nuevo que no hay rozamiento. Ahora no hay ninguna condición sobre <math>mg</math>. ¿Cual es el período de las oscilaciones de la partícula?
#Supongamos ahora que el sistema se ajusta de modo que <math>g=10.0\,\mathrm{m/s^2}</math>, <math>k=10.0\,\mathrm{N/m}</math>, <math>m=1.00\,\mathrm{kg}</math>, <math>d=1.00\,\mathrm{m}</math>. En el instante inicial la masa se suelta en reposo desde el punto <math>y=1.00\,\mathrm{m}</math>. ¿Cuál es la posición de la partícula en cada instante?

[[Categoría:Problemas de dinámica de la partícula|0]]
[[Categoría:Problemas de Física I (G.I.C.)|1]]

===[[Bloque_sobre_plano_inclinado_girando|Bloque sobre plano inclinado girando]]===
[[Imagen:F1_GIA_plano_inclinado_giratorio_enunciado.png|right]]
Una partícula puntual de masa <math>m</math> se mueve sobre un plano inclinado. A su vez, el
plano gira de modo que el ángulo con la horizontal es <math>\theta(t) = \omega t</math>. Sobre la masa actúa
además la gravedad <math>\vec{g}</math>. El contacto entre la partícula y el plano es liso.

#Encuentra la expresión de la ecuación diferencial que cumple la distancia de la partícula al origen de coordenadas, <math>\rho(t)</math>, así como la expresión que da el valor de la fuerza de reacción vincular <math>\vec{\Phi}(t)</math>.
#Demuestra que, para los valores apropiados de las constantes <math>\alpha</math> y <math>K</math>, la expresión siguiente es solución de la ecuación diferencial. ¿Cuáles son esos valores de <math>\alpha</math> y <math>K</math>? <center> <math> \rho(t) = A\,\cosh(\alpha t) + B\,\mathrm{senh}\,(\alpha t) + K\,\mathrm{sen}\,(\omega t) </math> </center>
#Si en el instante inicial tenemos <math>\rho(0)=0</math> y <math>\dot{\rho}(0)=v_0</math> encuentra cuánto valen las constantes <math>A</math> y <math>B</math> de la expresión anterior.
#¿Se conserva la energía mecánica del sistema? Razona la respuesta.

===[[Masa sobre un plano inclinado conectado a un muelle y otra masa, Febrero 2013 (G.I.C.)| Masa sobre un plano inclinado conectado a un muelle y otra masa]] ===
[[Imagen:GIC_masa_plano_muelle_masa_enunciado.png|right]]
En el sistema de la figura, la masa <math>m_A</math> desliza sin rozamiento sobre el plano inclinado. El muelle tiene constante elástica <math>k</math> y longitud natural nula. La longitud de la cuerda es <math>l=L</math>. La cuerda se supone que tiene masa nula y que siempre se mantiene tensa. La masa <math>m_B</math> se mueve de modo que la cuerda se mantiene siempre vertical. La cuña se supone estática en todo el problema.

# Dibuja el diagrama de cuerpo libre de las dos masas.
# Determina la posición <math>x_{eq}</math> de la masa <math>m_A</math> cuando el sistema está en equilibrio.
# La masa <math>m_A</math> se separa de su posición de equilibrio y se suelta. Escribe la ecuación de movimiento de la masa <math>m_A</math>. Demuestra que realiza un movimiento armónico simple y encuentra su período.
# Suponiendo que el origen de energía potencial se sitúa en la base de la cuña, ¿cuánto vale la energía mecánica del sistema cuando <math>x_A = L/2</math>, estando las dos masas en reposo?

===[[Partícula sobre una circunferencia tirada por una cuerda, Julio 2013 (G.I.C.)| Partícula sobre una circunferencia tirada por una cuerda]] ===
[[Imagen:GIC_particula_cuerda_enunciado.png|right]]
Una partícula de masa <math>m</math> se mueve a lo largo de una circunferencia de radio <math>R</math> sin rozamiento. Una fuerza
horizontal tira de ella por medio de una cuerda que se mantiene siempre pegada a la circunferencia. La partícula está sometida a la acción de la gravedad.
}
#Expresa los vectores de posición, velocidad y aceleración de la partícula en coordenadas polares.
#Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la partícula y expresa las fuerzas que actúan sobre ella en coordenadas polares.
#Escribe las ecuaciones de movimiento de la partícula. ¿Cuál es la condición que debe cumplir la fuerza <math>\vec{F}</math> para que la celeridad de la partícula sea constante durante el movimiento? ¿Cuanto vale la fuerza de reacción vincular en este caso?
#Supongamos que la partícula parte del reposo desde el punto <math>A</math>. Al llegar al punto <math>B</math> su velocidad es de 12.0 m/s. Calcula el trabajo realizado por la fuerza <math>F</math> en el movimiento desde <math>A</math> hasta <math>B</math>.

'''Datos numéricos: <math>m=1.00\,\mathrm{kg}</math>, <math>R=2.00\,\mathrm{m}</math>, <math>g=9.81\,\mathrm{m/s}</math>.'''

===[[Masa conectada a dos muelles, Enero 2014 (G.I.C.)|Masa conectada a dos muelles ]] ===
[[Imagen:GIC_masa_muelles_enunciado.png|right]]
La masa <math>m</math> de la figura puede deslizarse sin rozamiento sobre una superficie horizontal. Conectados a ella
hay dos resortes de longitud natural nula y constantes elásticas <math>k_1</math> y <math>k_2</math>. Los muelles están anclados
en los puntos <math>A</math> y <math>B</math> respectivamente.

#Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la masa.
#Encuentra la posición de equilibrio mecánico de la masa.
#Situamos la masa en su posición de equilibrio. Le damos un empujón hacia la derecha de modo que en <math>t=0</math> el módulo de su velocidad es <math>v_0</math>. Encuentra la ecuación diferencial que describe el movimiento de la partícula.
#Encuentra la función que da la posición <math>x(t)</math> de la masa.
#En el caso <math>k_1=k_2</math>, ¿cuál es el valor máximo de la velocidad para que la partícula no choque con la pared de la derecha?

===[[Dos partículas conectadas por un muelle, Enero 2017 (G.I.C.) | Dos partículas conectadas por un muelle]]===
[[Imagen:F1GIC_muelle_masas.png|right|150px]]
Dos partículas con la misma masa <math>m</math> están unidas por un muelle de constante elástica <math>k</math> y longitud natural <math>l_0=2d</math>. Debido a una perturbación externa, las dos masas empiezan a oscilar. Después de la perturbación, cada masa está sometida únicamente a la acción del muelle. Los ejes <math>X</math> e <math>Y</math> están indicados en la figura. El origen de coordenadas está en el punto medio entre las dos masas. Suponemos que el movimiento es rectilíneo sobre el eje <math>X</math>.
#Fuerza sobre las partículas
#Encuentra la frecuencia natural de las oscilaciones
#Esta configuración puede modelar una molécula de hidrógeno (H2) o de Deuterio (D2), usando la misma constante elástica y la misma longitud natural para las dos. La frecuencia vibracional de la molécula de hidrógeno es <math>f_0=1.30\times10^{14}\,\mathrm{Hz}</math>. Sabiendo que la masa de la molécula de deuterio es el doble de la masa de la molécula de hidrógeno, ¿cuál es la frecuencia de vibración de la molécula de deuterio, aproximadamente?

===[[Partícula en barra giratoria con dos muelles, Septiembre 2014 (G.I.C.)|Partícula en barra giratoria con dos muelles ]] ===
[[Imagen:particula_barra_dos_muelles_enunciado.png|right]]
Una partícula <math>P</math> de masa <math>m</math> desliza sin rozamiento a lo largo de una varilla <math>OA</math> de longitud <math>L</math>. Actúan sobre ella dos muelles, ambos de longitud natural nula y constante elástica <math>k</math>, anclados en los puntos <math>O</math> y <math>A</math>, respectivamente. El efecto de la gravedad es despreciable.

#Escribe las expresiones del vector posición y velocidad de la partícula en coordenadas cartesianas y polares. Deja las expresiones en función de <math>r(t)</math>, <math>\theta(t)</math> y sus derivadas temporales.
#Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la partícula y escribe, usando coordenadas polares, las dos componentes de la Segunda Ley de Newton aplicada al movimiento de la partícula.
#Supongamos que la barra gira con velocidad angular constante <math>\omega</math>. Durante el giro, la distancia de la partícula al origen permanece constante. ¿Cuánto vale esa distancia? ¿Que condición debe cumplirse para que esta situación sea posible físicamente?
#Calcula el valor numérico de los módulos de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula en la situación del apartado anterior y con estos valores numéricos: <math>m=10.0\,\mathrm{g}</math>, <math>k=100\,\mathrm{N/m}</math>, <math>L=100\,\mathrm{cm}</math>, <math>\omega=5.00\,\mathrm{rad/s}</math>.

===[[Masa en barra rotando con muelle, Sept 2017 (G.I.C.) | Masa en barra rotando con muelle]]===
[[File:GIC_masa_barra_rotando_muelle_enunciado.png|right]]
Una partícula de masa <math>m</math> puede moverse a lo largo de una barra de longitud <math>L</math>. La
partícula está conectada al extremo de un muelle de constante elástica <math>k</math> y
longitud natural <math>l_0</math>. El ángulo que forma la barra con el eje horizontal <math>OX</math>
es <math>\theta=\omega t</math>, donde <math>\omega</math> es una constante conocida. La barra se
situá en un plano horizontal, de modo que la
gravedad actúa como se indica en la figura. El contacto entre la masa y la barra
es liso.

#Encuentra la expresión de los vectores de posición, velocidad y aceleración de la masa usando las coordenadas y la base polares.
#Encuentra las expresiones del momento cinético de la masa respecto a <math>O</math> y su energía mecánica.
#Determina el valor de <math>r</math> para el que la masa no se mueve respecto a la barra. ¿Cuanto vale la fuerza de reacción vincular en este caso? ¿Que ocurre si <math>\omega>\sqrt{k/m}</math>?.
#Encuentra la ecuación diferencial de movimiento para <math>r(t)</math>. ¿Que condición debe cumplirse para que el movimiento sea armónico simple?

===[[Masa en barra fija con muelle, Sept 2017 (G.I.C.) | Masa en barra fija con muelle]]===
[[File:GIC_masa_barra_fija_muelle_enunciado.png|right]]

Una partícula de masa <math>m</math> puede moverse a lo largo de una barra de longitud <math>L</math>. La
partícula está conectada al extremo de un muelle de constante elástica <math>k</math> y
longitud natural nula. El ángulo que forma la barra con el eje horizontal <math>OX</math>
es <math>\alpha</math>, y no cambia con el tiempo. La gravedad actúa como se indica en la
figura. El coeficiente de rozamiento estático entre la partícula y la barra es
<math>\mu</math>.
#Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la partícula, así como la expresión de las fuerzas que actúan sobre ella.
#Suponiendo que no hay rozamiento, determina el valor de equilibrio de <math>s</math> (<math>s=0</math> corresponde al punto <math>O</math> de la barra).
#Si ahora incluimos el rozamiento, calcula el rango posible de valores de equilibrio de <math>s</math>.
#Supongamos de nuevo que no hay rozamiento. Encuentra la expresión del vector velocidad y aceleración de la partícula.
#Aplicando la Segunda Ley de Newton, encuentra la ecuación de movimiento, así como la frecuencia de las oscilaciones.

===[[Péndulo cónico, Enero 2018 (G.I.E.R.M.)| Péndulo cónico]]===
[[Imagen:F1GIERM_penduloconico_enunciado.png|right]]
Una masa <math>m</math> cuelga de un hilo tenso, inextensible y sin masa, de longitud
<math>L</math>. La masa se
mueve de modo que describe un movimiento circular uniforme en torno al eje <math>X</math>,
como se indica en la figura. La masa está también sometida a la acción
de la gravedad. En el instante mostrado en la figura la partícula está en el plano <math>OXY</math>.

#Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la masa. Añade a este diagrama el vector aceleración de la partícula. ¿Cuanto vale el radio de la circunferencia que describe la partícula?
#Aplicando la Segunda Ley de Newton, determina la relación entre la rapidez de la partícula y el ángulo <math>\alpha</math> que forma el hilo con la vertical.
#Suponiendo que <math>\alpha=\pi/4</math>, y que la dirección de la velocidad apunta en el sentido negativo del eje <math>Z</math>, calcula el momento angular de la partícula respecto al punto <math>O</math> en el instante que se muestra en la figura, así como su derivada temporal.

==[[ Partícula colgando de una cuerda con longitud variable, Enero 2021 (G.I.E.R.M.)| Partícula colgando de una cuerda con longitud variable ]]==
[[Archivo:F1GEIRM-particulaCuerda-Enunciado.png|right]]
El punto <math>A</math> recorre la línea de puntos con rapidez constante <math>v_0=\lambda R</math>, siendo <math>\lambda</math> una constante.
La masa <math>m</math> cuelga de una cuerda que desliza sobre el punto <math>A</math>. La longitud total de la cuerda (es decir, la suma de las longitudes <math>\overline{OA}</math> y <math>\overline{AB}</math>) varía en el tiempo según la ley <math>L = R\lambda^2 t^2 + R\sqrt{1+\lambda^2t^2}</math>. Esto puede realizarse con un pequeño motor que desenrolle la cuerda en <math>O</math>. En el instante
inicial el punto <math>A</math> se encontraba sobre el eje <math>Y</math>. Durante todo el movimiento el trozo de cuerda entre
<math>A</math> y <math>B</math> se mantiene vertical.
#Escribe el vector <math>\overrightarrow{OB}</math>. ¿Que tipo de curva describe la masa?
#Calcula la velocidad y aceleración de la masa en todo instante de tiempo.
#Calcula fuerza que la cuerda ejerce sobre la masa y la potencia que le transmite.

==[[Masa sobre otra masa con rozamiento, Noviembre 2017 (G.I.E.R.M.) | Masa sobre otra masa con rozamiento ]]==
[[Imagen:F1GIERM_masas_rozamiento_enunciado.png|right|250px]]
Un bloque de masa <math>m</math> puede deslizar sobre otro bloque de masa <math>M=2m</math>. El
contacto entre los dos bloques es rugoso con coeficiente de rozamiento estático
<math>\mu</math>. El bloque de masa <math>M</math> desliza sin rozamiento sobre una superficie
horizontal. Se aplica sobre el bloque superior una fuerza horizontal <math>\vec{F}_0
= 3At\,\vec{\imath}</math>, con <math>A>0</math> y constante y <math>t</math> el tiempo.
#Si la masa superior no desliza respecto de la inferior, ¿cuál es la aceleración de las masas?
#¿En que instante la masa superior empieza a deslizar respecto a la inferior?
#Supongamos ahora que hay rozamiento entre el bloque inferior y la superficie horizontal, con un coeficiente de rozamiento dinámico <math>\mu</math>. ¿Cuánto vale la aceleración de los bloques en este caso?
#¿En que instante empieza a deslizar el bloque superior respecto del inferior en este caso?

===[[Masa deslizando verticalmente sobre otra masa con un muelle, Nov 2017 (G.I.C.) | Masa deslizando verticalmente sobre otra masa con un muelle]]===
[[Imagen:F1GIC_bloques_muelle_rozamiento_enunciado.png|right]]
El bloque de masa <math>M</math> y longitud <math>L</math> de la figura se mueve hacia la derecha, con una aceleración constante <math>\vec{a} = a\,\vec{\imath}</math>. Un bloque pequeño de masa <math>m</math> puede deslizar sobre la cara lateral del bloque grande. Un muelle horizontal, con constante elástica <math>k</math> y longitud natural nula, está anclado en el lado izquierdo del bloque grande. El muelle se mantiene siempre horizontal. El contacto entre los dos bloques es rugoso, con un coeficiente de rozamiento estático <math>\mu=0.5</math>. ¿Para que valores de <math>a</math> el bloque pequeño no desliza sobre el grande?

===[[Dos bloques superpuestos conectados a un muelle, Enero 2017 (G.I.C.) | Dos bloques superpuestos conectados a un muelle]]===
[[Imagen:F1_GIC_bloques_muelle_enunciado.png|right]]
Un bloque de masa <math>m_2</math> desliza sin rozamiento sobre una superficie horizontal.
El bloque está conectado a un muelle de constante elástica <math>k</math>. El muelle se
encuentra relajado cuando la coordenada <math>x</math> de la figura es cero. Encima de este
bloque se pone otro de masa <math>m_1</math>. El contacto entre los dos bloques es rugoso,
caracterizado por un coeficiente de rozamiento estático <math>\mu</math>. Los bloques están
sometidos a la acción de la gravedad.
#Dibuja el diagrama de fuerzas de cada bloque. Exprésalas en el sistema de ejes de la figura.
#Suponiendo que los dos bloques se mueven a la vez, encuentra la ecuación diferencial para <math>x(t)</math>, así como los valores de todas las fuerzas. (Pueden quedar en función de <math>x(t)</math>)
#Si las condiciones iniciales son <math>x(0)=0</math> y <math>\dot{x}(0)=v_0</math>, con <math>v_0</math> una constante positiva, encuentra la posición y velocidad de los bloques en función del tiempo.
#¿Cuál es el valor máximo de <math>v_0</math> para que el bloque de arriba no deslice respecto al de abajo?

==[[ Partícula en semiaro circular con muelle (Ene. 2020 G.I.C.)| Partícula en semiaro circular con muelle]]==
[[File:F1GIERM-particula-aro-muelle-enunciado.png|right]]
Una partícula de masa <math>m</math> está engarzada en un semiaro de radio <math>R</math>. Un muelle de
constante elástica <math>k=mg/R</math> y longitud natural nula conecta la partícula y el punto <math>A</math>
del semiaro. La gravedad actúa como se indica en la figura.

#Escribe los vectores de posición y velocidad de la partícula en la base vectorial cartesiana.
#Escribe la expresión que da la energía mecánica de la partícula para una posición arbitraria sobre el semiaro.
#En el instante inicial, la partícula se encuentra en el punto <math>A</math>. Se le da un empujón de modo que su rapidez es <math>v_0</math>. Suponiendo que el contacto entre la partícula y el semiaro es liso, ¿cuanto debe valer <math>v_0</math> para que la partícula llegue hasta el punto <math>B</math>?
#Supongamos que el vínculo es rugoso. El trabajo que realiza el semiaro sobre la partícula es <math>|W_R|=\lambda mgR</math>, siendo <math>\lambda</math> una constante sin dimensiones. ¿Cuál es el valor mínimo de <math>v_0</math> para repetir el apartado anterior?

Problemas de dinámica de un sistema de partículas F1-GIC

Pedro — Sun, 14 Feb 2021 12:46:13 GMT

Pedro: /* Disco con muelle: energía */

=Problemas del boletín =

==[[Centro de masas de sistemas continuos]]==
Calcula por la posición del centro de masas de estos sistemas
#Una barra homogénea delgada de longitud <math>h</math> y masa <math>M</math>.
#Una barra de longitud <math>a</math> y densidad lineal de masa <math>\lambda = Cx</math>, siendo <math>x</math> la distancia a un extremo de la barra y <math>C</math> una constante.
#Una barra homogénea delgada en forma de semicírculo de radio <math>a</math> y masa <math>M</math>.
#Dos esferas macizas de masas <math>M_1</math> y <math>M_2</math> y radios <math>R</math> y <math>2R</math>, unidas por un cilindro de masa <math>M_3</math> y longitud <math>L</math>.
#Una esfera maciza de radio <math>2b</math>, densidad homogénea <math>\rho_0</math>, con una cavidad también esférica, de radio <math>b</math>, cuyo centro se encuentra a una distancia <math>b</math> del centro de la esfera original.

[[Centro de masas de sistemas continuos|'''Solución''']]

== [[ Bloque deslizando sobre una cuña apoyada en una balanza ]] ==
Un bloque de masa <math>m_1</math> se desliza sin rozamiento sobre una cuña de masa <math>m_2</math> que forma un ángulo <math>\beta</math> con la horizontal. El conjunto está sobre una balanza de muelle. El plato de la balanza permanece en reposo durante toda la experiencia.
#Determina la aceleración de la masa <math>m_1</math> al desplazarse sobre la cuña.
#Calcula la aceleración del cento de masas del sistema cuña-masa.
#¿Cuál es la lectura en la balanza mientras cae la masa?

==[[Momento cinético de una barra]]==
Una barra homogénea de masa <math>m</math> y longitud <math>L</math> gira en torno a un eje perpendicular a ella y que pasa
por su centro, con velocidad angular uniforme <math>\vec{\omega}</math>.

# Calcula el momento angular de la barra respecto a su punto central.
# Ahora el eje de giro pasa por uno de sus extremos. Calcula el momento angular de la barra en este caso, respecto a un punto del eje de giro.
# En la situación anterior, la longitud de la barra se multiplica por dos, mientras que su masa permanece constante. ¿Cómo cambia la velocidad angular? ¿Y si se divide por dos?

== [[ Polea pesada con dos masas (GIC) | Polea pesada con dos masas]] ==
Una máquina de Atwood consiste en una polea de masa <math>M</math> y radio <math>R</math> de la que cuelgan dos masas <math>m_1</math> y <math>m_2</math>, una a cada lado. El sistema está sometido a la acción de la gravedad.
#Suponiendo que las dos masas parten del reposo, determina sus aceleraciones, la velocidad angular con que rota la polea y la tensión de la cuerda a cada lado de la polea.
#Resuelve el mismo problema suponiendo que hay un momento de rozamiento sobre la polea constante e igual a <math>M_r</math>.
#Obtén los valores numéricos de las soluciones para los datos <math>m_1=1.50\,\mathrm{kg}</math>, <math>m_2 = 2.00\,\mathrm{kg}</math>, <math>M=1.00\,\mathrm{kg}</math>, <math>R=30.0\,\mathrm{cm}</math> <math>M_r = 2.00\,\mathrm{N\cdot m}</math>.

<center>[[Archivo:Atwood-real.png]]</center>

== [[ Volante de inercia (GIC) | Volante de inercia]] ==
Un volante de inercia es un gran cilindro en rotación que puede usarse para almacenar energía. Estima la energía cinética que puede almacenar un volante de inercia de masa <math>M=80.0\,\mathrm{t}</math> y radio <math>R=10.0\,\mathrm{m}</math>. Supón que el volante puede girar sin romperse a una velocidad angular de 100 rpm. ¿Cuánto tiempo podría funcionar un horno microondas de <math>3.00\,\mathrm{kW}</math> de potencia con la energía almacenada en el volante?

==[[Colisiones_de_dos_partículas|Colisiones de dos partículas]]==
Una partícula de masa <math>M </math> se encuentra en reposo. Otra partícula de masa <math>m</math> impacta con ella con una
velocidad <math>v </math>. Después del choque las dos partículas se mueven en la misma dirección en la que se
movía la partÍcula <math>m </math>.
#Encuentra la expresión de la velocidad de cada una de las partículas en función de sus masas y de <math>v </math> si el choque es perfectamente elástico.
#Calcula la velocidad si el choque es completamente inelástico. ¿Cuánta energía cinética se pierde en el choque?
#¿Qué ocurre si <math>M\gg m </math>? ¿Y si <math>M\ll m </math>?

==[[Mono intentado alcanzar unos plátanos|Mono intentado alcanzar unos plátanos ]]==
[[Archivo:F!IC-mono-platanos.png|right|200px]]
Un mono de masa <math>m</math> cuelga de una cuerda ideal inextensible y sin masa, que está enrollada en una polea de radio <math>R</math>. En el otro extremo de la cuerda hay un racimo de plátanos que tienen la misma masa <math>m</math> del mono. Los plátanos están por encima del mono, como se indica en la figura. Éste los ve y comienza a trepar por la cuerda para intentar alcanzarlos.
#Supongamos que la masa de la polea es despreciable. ¿Consigue el mono atrapar los platanos antes de que estos alcancen la altura de la polea?
#Supongamos ahora que la polea es un aro con masa <math>M</math>. En el instante inicial los plátanos están a una distancia <math>L</math> de la altura de la polea y el mono a una distancia <math>2L</math>. El mono sube la cuerda con velocidad <math>v_0</math> respecto a la polea. ¿Que condición debe cumplir <math>M</math> para que el mono pueda alcanzar los plátanos antes de que estos lleguen a la polea?

==[[ Partículas en colisión inelástica unidireccional ]] ==
Una partícula de masa <math>m</math> y velocidad <math>\vec{v}_0</math> colisiona con otra partícula de masa <math>m</math> que está en reposo. Después del choque las dos partículas se mueven en la dirección de <math>\vec{v}_0</math>. El coeficiente de restitución del choque es <math>C_R</math>.
#Determina la velocidad de las dos partículas después del choque.
#Calcula la pérdida de energía cinética en función del valor del coeficiente de restitución. ¿Cómo es la variación de energía cinética en los valores límites del coeficiente de restitución?

 
 

= Otros problemas =

==[[Cuatro partículas en un cuadrado]]==
Se tienen 4 masas que ocupan los vértices de un cuadrado de lado <math>a=1\,\mathrm{m}</math>. Calcula la
posición del centro de masas del sistema en cada uno de los casos siguientes
#<math>m_1=m_2=m_3=m_4=1\,\mathrm{kg}</math>.
#<math>m_1=m_2=2\,\mathrm{kg}</math>, <math>m_3=m_4=1\,\mathrm{kg}</math>.
#<math>m_1=m_4=2\,\mathrm{kg}</math>, <math>m_2=m_3=1\,\mathrm{kg}</math>.
#<math>m_1=100\,\mathrm{kg}</math>, <math>m_2=m_3=m_4=1\,\mathrm{kg}</math>.

<center>[[Imagen:Cuatro_masas_en_un_cuadrado.png|300px]]</center>

==[[Ejemplo de un sistema de partículas]]==
Tres partículas puntuales se encuentran en un cierto instante en los vértices de un triángulo. Las masas, posiciones y velocidades de las partículas son, en el SI,

<center>
{|class="bordeado"
|-
! <math>i</math>
! <math>m_i</math>
! <math>\mathbf{r}_i</math>
! <math>\mathbf{v}_i</math>
|-
| 1
| 5
|<math>\mathbf{0}</math>
|<math>\mathbf{0}</math>
|-
| 2
| 4
|<math>3\mathbf{i}</math>
|<math>3\mathbf{j}</math>
|-
| 3
| 3
|<math>4\mathbf{j}</math>
|<math>-4\mathbf{i}</math>
|-
|}
</center>

Las tres partículas están conectadas por resortes con la misma constante <math>k = 30\mathrm{N}/\mathrm{m}</math> y longitud natural nula. No hay más fuerzas actuando en el sistema. Para el instante indicado:

# Determina la aceleración de cada partícula.
# Calcula la posición, velocidad y aceleración del CM.
# Calcula el momento cinético del sistema respecto al origen y respecto al CM.
# Halla la energía cinética del sistema respecto al origen y respecto al CM.
# Calcula las derivadas respecto al tiempo de la cantidad de movimiento, del momento cinético y de la energía cinética.

==[[Dos partículas unidas por un oscilador armónico]]==
Supongamos dos partículas de la misma masa <math>m</math> unidas por un resorte de constante <math>k</math> y longitud natural nula. Inicialmente ambas masas se encuentran en el mismo punto; y se le comunica a la partícula 2 una velocidad <math>v_0</math> alejándola de la primera, mientras que la partícula 1 se encuentra inicialmente en reposo. ¿Cuál es el movimiento subsiguiente de ambas partículas?

==[[Dos partículas unidas por una barra]]==
Supongamos dos masas iguales unidas por una barra rígida, sin masa. Las masas reposan sobre un plano, sobre el que pueden moverse sin rozamiento. A una de las masas se le comunica una velocidad inicial <math>v_0</math> perpendicular a la línea de la barra. ¿Cómo es el movimiento siguiente de la barra?

== [[ Barra oscilando respecto a uno de sus extremos (GIC) | Barra oscilando respecto a uno de sus extremos]] ==
Una barra homogénea de longitud <math>L</math> y masa <math>M</math> cuelga por uno de sus extremos de modo que se encuentra en equilibio en posición vertical. Analiza el movimiento de la barra si se separa de la vertical un ángulo <math>\theta_0</math> pequeño.

==[[Barra girando, Enero 2014 (G.I.C.)| Barra girando]] ==
[[Imagen:GIC_SPC_barra_girando_enunciado.png | right]]
La barra de la figura puede girar sobre su extremo inferior <math>O</math>. La barra es homogénea, de lonigtud <math>L</math> y masa <math>M</math>. En el instante inicial se encuentra en posición vertical <math>(\theta(0)=\pi/2)</math>. En ese instante empieza a moverse de modo que el extremo <math>A</math> tiene una velocidad instantánea <math>v_0\,\vec{\imath}</math>.

#Calcula la velocidad angular de la barra en el instante inicial.
#Si <math>I</math> es el momento de inercia de la barra respecto a un eje perpendicular al plano <math>OXY</math> y que pasa por el punto <math>O</math>, encuentra la ecuación diferencial que describe el movimiento de la barra.
#Encuentra la expresión que da la velocidad angular con la que gira la barra en función del ángulo <math>\theta</math>.

==[[Polea con masa colgando y freno, Septiembre 2014 (G.I.C.)| Polea con masa colgando y freno ]] ==
[[Imagen: Polea_masa_freno_enunciado.png|right]]

El disco de la figura, de radio <math>R</math> y masa <math>M</math>, puede rotar sin rozamiento alrededor de un eje
perpendicular al plano del papel y que pasa por <math>O</math>. La masa <math>m</math> cuelga de una
cuerda vertical, inextensible y sin masa,
de modo que su altura respecto del suelo <math>H</math> coincide con la del borde inferior del disco. En
el punto <math>A</math>, un freno ejerce una fuerza de rozamiento sobre el disco de módulo <math>F_R</math>. Todo
el sistema está sometido a la fuerza de la gravedad con la dirección que se indica en la figura.
El momento de inercia de un disco respecto a un eje perpendicular a él que pasa por su centro
es <math>I=MR^2/2</math>.

#Dibuja el diagrama de cuerpo libre del disco y de la masa, cuando el sistema está en equilibrio estático.
#¿Cuánto valen los módulos de todas las fuerzas que actúan sobre el disco en situación de equilibrio estático?
#Liberamos el freno y la masa <math>m</math> cae con velocidad siempre vertical. Calcula la aceleración angular del disco.
#Calcula el módulo de la velocidad de la masa cuando impacta en el suelo y la velocidad angular de rotación del disco en ese instante.

==[[Cilindro desenrollándose en cuerda vertical, Enero 2018 (G.I.E.R.M.)| Cilindro desenrollándose en cuerda vertical]]==
[[Imagen:F1GIERM_yoyo_enunciado.png|right]]
Un disco homogéneo de masa <math>m</math> y radio <math>R</math> se desenrolla bajo la acción de la
gravedad sobre una cuerda vertical,
como se indica en la figura, de forma que la velocidad del punto de contacto del disco
con la cuerda es siempre nula. La cuerda se mantiene siempre vertical. El punto <math>O</math> al
que está atada la cuerda es un punto fijo.
#Escribe el vector de posición, velocidad y aceleración del centro del disco. ¿Cuál es la relación entre la velocidad del centro del disco y su velocidad de rotación?
#En el instante inicial el disco está en reposo con <math>x(0)=0</math>. Calcula la velocidad del centro del disco en función de su posición.
#Calcula la fuerza neta que actúa sobre el disco y la tensión de la cuerda.

==[[ Masa con cuerda desenrollándose de un disco, Enero 2021 (G.I.E.R.M.)| Masa con cuerda desenrollándose de un disco ]]==
[[Archivo:F1GIERM-masaMuelleDisco-enunciado.png|right]]
Una masa <math>m</math> desliza sobre una superficie horizontal lisa. Está conectada a un muelle de constante
elástica <math>k=mg/R</math> y longitud natural <math>l_0=R</math>. Por el otro lado tira de ella una cuerda sin masa que
puede enrollarse y desenrollarse en un disco de masa <math>m</math> y radio <math>R</math>. El disco puede rotar alrededor de
un eje perpendicular a él que pasa por su centro. El sistema está sometido a la
acción de la gravedad. En el instante inicial la masa se encuentra en el punto <math>B</math>. Tanto la masa como
el disco están en reposo en ese instante inicial. Durante todo el movimiento la cuerda permanece tensa.
El momento de inercia de un disco de masa <math>M</math> y radio <math>R</math>
respecto a un eje perpendicular a él que pasa por su centro es <math>I=MR^2/2</math>.

#Calcula la rapidez de la masa cuando llega al punto <math>O</math>
#¿Qué trabajo ha hecho la cuerda sobre la masa durante su movimiento?
#Si el contacto entre la masa y la superficie horizontal es rugoso con coeficiente de rozamiento dinámico <math>\mu</math>, calcula la velocidad de la masa en el punto <math>O</math>
#¿Qué condición debe cumplir <math>\mu</math> para que la masa no llegue al punto <math>O</math>?

==[[ Disco con muelle enganchado en su centro, Enero 2021 (G.I.E.R.M.)| Disco con muelle enganchado en su centro ]]==
[[Archivo:F1GIERM-discoMuelle-Enunciado.png|right]]
Un disco de masa <math>m</math> y radio <math>R</math> rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal rugosa. El centro
del disco está conectado al punto <math>A</math> con un muelle de constante elástica <math>k=mg/R</math> y longitud natural nula.
Además, actúa sobre el disco un par de fuerzas <math>\vec{\tau}=-\tau_0\,\vec{k}</math>, con <math>\tau_0>0</math>. En el instante
inicial el disco estaba en reposo y su centro se encontraba sobre el eje <math>Y</math>.
#Dibuja el diagrama de cuerpo libre del disco.
#Calcula la aceleración del centro del disco.
#Si <math>\tau_0=mgR</math>, ¿para que valor de <math>x</math> el disco empieza a deslizar?

==[[ Disco con muelle: energía (Ene. 2020 G.I.C.)| Disco con muelle: energía ]]==
[[File:F1-GIC-Disco-muelle-energia-enunciado.png|right]]
El disco de la figura rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal rugosa. El punto más alto del disco está conectado a un muelle de constante elástica <math>k</math> y longitud natural nula. El otro extremo del muelle está conectado al punto <math>A</math> del eje <math>OY</math>. El disco se suelta desde la posición de la figura con situación inicial de reposo. ¿Cuánto
vale la velocidad del centro del disco en el instante en que está sobre el eje <math>Y</math>? El disco puede atravesar el eje vertical.

'''Nota''': El momento de inercia del disco respecto a un eje perpendicular a él que pase por su centro es <math>I=mR^2/2</math>.

==[[Barra con muelle vertical y masa colgando, Enero 2017 (G.I.C.) | Barra con muelle vertical y masa colgando]]==
[[Imagen:F1_GIC_barra_muelle_enunciado.png|right]]
Una barra homogénea, de masa <math>m</math> y longitud <math>2L</math>, está articulada en el origen
de coordenadas en su punto medio, de modo que ese punto permanece fijo. De su
extremo izquierda cuelga una masa <math>m</math>, conectada a la barra por un hilo
inextensible y sin masa. El hilo se mantiene siempre vertical. El extremo
derecho está conectado a un muelle ideal de constante elástica <math>k</math> y longitud
natural nula. El otro extremo del muelle se ancla en un pasador <math>C</math>, de modo que
el muelle siempre permanece vertical. La gravedad actúa hacia abajo, como se
indica en la figura.
#Dibuja el diagrama de fuerzas que actúan sobre la barra.
#Determina las posiciones de equilibrio de la barra, así como la expresión de la fuerza vincular que actúa sobre ella en cada una de las posiciones.
#Supongamos que sustitiumos la masa en el extremo <math>A</math> por una tuerca apretada en <math>O</math>, que ejerce un momento de fuerzas sobre la barra <math>\vec{\tau}=\tau_0\,\vec{k}</math>. ¿Cuánto vale <math>\theta</math> en este caso en situación de equilibrio?
#Partiendo de la situación descrita en 3, con la barra en reposo y con <math>\theta=\pi/4</math>, aflojamos completa y rápidamente la tuerca. ¿Cuánto vale la energía cinética de la barra y la rapidez del punto <math>B</math> cuándo este está sobre el eje <math>OX</math>? (Dato: <math>I_O=mL^2/3</math>)

==[[Propulsión a reacción]]==
Un cohete a reacción se impulsa en el espacio emitiendo gases a cierta velocidad en el sentido opuesto a su propio movimiento. Sea un cohete que tiene una masa <math>M_0</math> y lleva una carga inicial de combustible <math>m_0</math>. Este combustible es expulsado a ritmo constante <math>\dot{m}</math> con una velocidad constante respecto a la nave, <math>v_0</math>. Si la nave parte del reposo, ¿cuál será su velocidad cuando se le agote el combustible?

==[[Colisión de dos péndulos]]==
Se tienen dos péndulos ideales con barras rígidas de la misma longitud <math>L</math> y masa nula, que cuelgan del mismo punto <math>O</math>. Las masas sujetas a los extremos de los hilos son respectivamente <math>m_1</math> y <math>m_2</math>. La masa <math>m_1</math> es elevada a una altura <math>h_1</math> y se suelta desde el reposo, colisionando con la masa <math>m_2</math> que se encuentra en el punto más bajo.

Suponiendo que la colisión es elástica, determina la altura a la que sube cada masa tras la colisión. Distingue los casos <math>m_1 > m_2</math>, <math>m_1 = m_2</math> y <math>m_1 < m_2</math>.

¿Qué condiciones deben cumplirse para conseguir que la masa <math>m_2</math> gire y llegue hasta arriba del todo?

==[[ Granada en movimiento vertical (Ene. 2018 G.I.C.)| Granada en movimiento vertical ]]==
Una granada de masa <math>M</math> se lanza verticalmente desde el suelo con una velocidad de módulo
<math>v_0</math>. Se mueve sometida únicamente a la acción de la
gravedad. En el punto más alto de la trayectoria la granada explota en dos trozos con la
misma masa. Justo después de la explosión uno de los trozos se mueve verticalmente hacia arriba con una velocidad
de módulo <math>v_1</math>. Determina la velocidad en ese instante del otro trozo.

==[[ Intercambio de posiciones en una barca (Ene. 2020 G.I.C.)| Intercambio de posiciones en una barca ]]==

Una barca de longitud <math>2L</math> y masa <math>m_b=3m_0</math> está en reposo sobre el agua. En el
extremo izquierdo de la barca se encuentra una persona de masa <math>m_1=2m_0</math>. En
el extremo derecho hay otra persona de masa <math>m_2=m_0</math>. Las dos personas intercambian sus
posiciones caminando sobre la barca hacia el extremo opuesto. Si se desprecian las
fuerzas que ejerce el agua sobre la barca, ¿cuanto se ha desplazado la barca y hacia donde?

[[Categoría:Problemas de dinámica de un sistema de partículas|0]]
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Disco con muelle enganchado en su centro, Enero 2021 (G.I.E.R.M.)

Pedro — Sun, 14 Feb 2021 12:44:41 GMT

Pedro: Página creada con '= Enunciado = right Un disco de masa <math>m</math> y radio <math>R</math> rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal rugos…'

= Enunciado =
[[Archivo:F1GIERM-discoMuelle-Enunciado.png|right]]
Un disco de masa <math>m</math> y radio <math>R</math> rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal rugosa. El centro
del disco está conectado al punto <math>A</math> con un muelle de constante elástica <math>k=mg/R</math> y longitud natural nula.
Además, actúa sobre el disco un par de fuerzas <math>\vec{\tau}=-\tau_0\,\vec{k}</math>, con <math>\tau_0>0</math>. En el instante
inicial el disco estaba en reposo y su centro se encontraba sobre el eje <math>Y</math>.
#Dibuja el diagrama de cuerpo libre del disco.
#Calcula la aceleración del centro del disco.
#Si <math>\tau_0=mgR</math>, ¿para que valor de <math>x</math> el disco empieza a deslizar?

= Solución =

== Diagrama de cuerpo libre ==

La figura de la derecha muestra las fuerzas y pares de fuerzas que actúan sobre el disco: el par aplicado, su peso, la fuerza elástica del muelle, la fuerza vincular normal del suelo y la fuerza de rozamiento, también ejercida por el suelo. Estas fuerzas se pueden escribir así
<center>
<math>
\begin{array}{lr}
\vec{P} = -mg\,\vec{\jmath}, & (G)\\
\vec{F}_k = -k\overrightarrow{AG} = -kx\,\vec{\imath}, & (G)\\
\vec{N} = N\,\vec{\jmath}, & (B)\\
\vec{F}_R = f\,\vec{\imath}, & (B)\\
\vec{\tau} = -\tau_0\,\vec{k}. &
\end{array}
</math>
</center>
Las letras indican los puntos en los que se aplican las fuerzas. Recordemos que un par de fuerzas se aplica a todo el sólido, pues representa la acción de un sistema de fuerzas con resultante nula. Una forma de aplicar este par sería actuar con un destornillador sobre el centro del disco.

== Aceleración del disco ==
Para resolver los problemas que involucran a sólidos rígidos hay que aplicar los dos teoremas fundamentales: El Teorema del Centro de Masas (TCM) y el Teorema del Momento Cinético (TMC).

=== Teorema del Centro de Masas ===
La aplicación de este teorema nos da una ecuación vectorial
<center>
<math>
m\vec{a}_G = \vec{P} + \vec{F}_k + \vec{N} + \vec{F}_R.
</math>
</center>
En el TCM '''no intervine el par aplicado'''. Esto se debe a que este par, como se ha dicho antes, representa la acción de un sistema de fuerzas de resultante nula.

Dado que el centro del disco hace un movimiento rectilíneo su aceleración es
<center>
<math>
\vec{a}_G = a_G\,\vec{\imath} = \ddot{x}\,\vec{\imath}.
</math>
</center>
Por tanto, el TCM nos da dos ecuaciones escalares
<center>
<math>
\begin{array}{lr}
ma_G = -kx + f, & (1)\\
0 = -mg + N. & (2)
\end{array}
</math>
</center>

=== Teorema del Momento Cinético ===
Aplicamos el TMC en el centro de masas del disco
<center>
<math>
\dot{\vec{L}}_G = \vec{M}_G = \overrightarrow{GB}\times\vec{F}_R + \vec{\tau}.
</math>
</center>
El peso y la fuerza elástica no crean momento pues se aplican en <math>G</math>. La fuerza normal tampoco pues es paralela a <math>\overrightarrow{GB}</math>. Es aquí donde hay que incluir el par externo.

El momento cinético del disco respecto a su centro es
<center>
<math>
\vec{L}_G = I\,\vec{\omega}.
</math>
</center>
Llamamos <math>I</math> al momento de inercia del disco respecto a un eje perpendicular a él que pasa por su centro.
Debido a que el disco rueda sin deslizar, la velocidad de rotación y la velocidad del centro del disco están relacionadas
<center>
<math>
\vec{v}^{\,B} = 0 \Longrightarrow \vec{\omega} = -(v_G/R)\,\vec{k}.
</math>
</center>
El signo menos puede entenderse por el hecho de que si el centro del disco se desplaza hacia la derecha (<math>v_G>0</math>) el vector de rotación debe apuntar hacia dentro (sentido negativo del eje <math>OZ</math>)

Entonces el momento cinético del disco y su derivada temporal son
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{L}_G = -I\dfrac{v_G}{R}\,\vec{k}, \\
\\
\dot{\vec{L}}_G = -I\dfrac{a_G}{R}\,\vec{k}, \\
\end{array}
</math>
</center>

El producto vectorial del TMC es
<center>
<math>
\overrightarrow{GB}\times\vec{F}_R = (-R\,\vec{\jmath})\times(f\,\vec{\imath}) = fR\,\vec{k}.
</math>
</center>
La ecuación que obtenemos del TMC es
<center>
<math>
-I\,\dfrac{a_G}{R} = fR - \tau_0. \qquad (3)
</math>
</center>
Despejando <math>f</math> en (3) y sustituyendo en (1) obtenemos la aceleración del centro del disco
<center>
<math>
a_G = -\dfrac{k}{m+I/R^2}\,x + \dfrac{\tau_0R}{mR^2+I}.
</math>
</center>

=== Tipo de movimiento ===
Aunque esto no se pedía en el problema, podemos ver que tipo de movimiento describe el centro del disco. Escribiendo la aceleración como <math>a_G = \ddot{x}</math> tenemos
<center>
<math>
\ddot{x} = -\dfrac{k}{m+I/R^2}\,x + \dfrac{\tau_0R}{mR^2+I}.
</math>
</center>
Es decir, el movimiento descrito por el centro del disco es un Movimiento Armónico Simple (MAS). Si usamos que el momento de inercia es <math>I = mR^2/2</math> obtenemos
<center>
<math>
\ddot{x} = -\dfrac{2k}{3m}\,x + \dfrac{2\tau_0}{3mR}.
</math>
</center>
Obtenemos la posición de equilibrio imponiendo que el centro del disco no se mueva
<center>
<math>
\dot{x} = \ddot{x} = 0
\Longrightarrow
x_{eq} = \dfrac{\tau_0}{kR}.
</math>
</center>
La frecuencia angular del movimiento se obtiene observando el factor que multiplica a <math>x</math> en el lado derecho de la ecuación
<center>
<math>
\omega^2 = \dfrac{2k}{3m}
\Longrightarrow
\omega = \sqrt{\dfrac{2k}{3m}}.
</math>
</center>
Y el período de oscilación es
<center>
<math>
T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\dfrac{3m}{2k}}
</math>
</center>

== Deslizamiento del disco ==
La fuerza de rozamiento impide que el disco deslice en el punto de contacto con el suelo. Sin embargo, para que pueda hacerlo, el módulo de esta fuerza de rozamiento no debe superar el valor máximo que puede alcanzar. Es decir, para que no haya deslizamiento debe cumplirse
<center>
<math>
|\vec{F}_R| \leq \mu|\vec{N}|.
</math>
</center>
Obtenemos las fuerzas necesarias de las ecuaciones (2) y (3)
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{N} = mg\,\vec{\jmath},\\
\\
\vec{F}_R = \left(\dfrac{2\tau_0}{3R} + \dfrac{kx}{3}\right)\,\vec{\jmath}.
\end{array}
</math>
</center>
La condición de no deslizamiento se traduce en
<center>
<math>
\left|\dfrac{2\tau_0}{3R} + \dfrac{kx}{3}\right| \leq \mu mg.
</math>
</center>
Con esto ya se considera el problema resuelto. Para afinar un poco mas, vamos a suponer que el disco se mueve
siempre con <math>x\geq 0</math>. Entonces
<center>
<math>
\left|\dfrac{2\tau_0}{3R} + \dfrac{kx}{3}\right| = \dfrac{2\tau_0}{3R} + \dfrac{kx}{3},
</math>
</center>
y la condición de no deslizamiento queda
<center>
<math>
x\leq \mu\,\dfrac{3mg}{k} - \dfrac{2\tau_0}{kR}.
</math>
</center>

== Errores principales detectados en la corrección ==
#El error más común es olvidarse de aplicar el TMC para resolver el problema. Cuando hay un sólido rígido hay que aplicar el TCM y el TMC.
#Otro error común, relacionado con el anterior, es introducir el par aplicado en el TCM sumándolo a las fuerzas. Esto es un error muy grave. Para empezar, el par y las fuerzas tienen unidades distintas, por lo que no se pueden sumar. Y el par hay que aplicarlo en el TMC.

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Primera Convocatoria Ordinaria 2020/21 (G.I.E.R.M.)

Pedro — Sun, 14 Feb 2021 11:28:49 GMT

Pedro: /* Partícula colgando de una cuerda con longitud variable */