Laplace - Contribuciones del usuario [es]

Pulso en una cuerda

Gonfer — Fri, 26 Mar 2010 19:15:42 GMT

Gonfer: Nueva página: ==Enunciado== Los puntos de una cuerda horizontal se mueven verticalmente, de forma que el perfil de la cuerda tiene la forma <center><math>y = \frac{1}{0.01x^2-0.6tx+9t^2+1}</math><...

==Enunciado==
Los puntos de una cuerda horizontal se mueven verticalmente, de forma que el perfil de la cuerda tiene la forma

<center><math>y = \frac{1}{0.01x^2-0.6tx+9t^2+1}</math></center>

donde <math>x</math> e <math>y</math> se miden en centímetros y <math>t</math> en segundos.

# Halle la velocidad de esta onda.
# Demuestre que esta señal cumple la ecuación de onda.
# Calcule la velocidad del punto de la cuerda situado en <math>x</math> = 15 cm, en (a) <math>t</math> = 0 s, (b) <math>t</math> = 0.5 s, (c) <math>t</math> = 1 s.

==Solución==
Podemos resolver los dos primeros apartados simultáneamente. Si calculamos la segunda derivada respecto a <math>x</math> la segunda derivada respecto a <math>t</math> y obtenemos que ambas son proporcionales

<center><math>\frac{\partial y^2}{\partial x^2}=K\frac{\partial y^2}{\partial t^2}</math></center>

entonces podemos afirmar que verifica la ecuación de onda y además que

<center><math>K=\frac{1}{v^2}</math>{{tose}} <math>v = \frac{1}{\sqrt{K}}</math></center>

[[Categoría:Problemas de movimiento ondulatorio]]

Problemas de Movimiento ondulatorio

Gonfer — Fri, 26 Mar 2010 19:08:08 GMT

Gonfer: /* Pulso en una cuerda */

==[[Pulso en una cuerda]]==
Los puntos de una cuerda horizontal se mueven verticalmente, de forma que el perfil de la cuerda tiene la forma

<center><math>y = \frac{1}{0.01x^2-0.6tx+9t^2+1}</math></center>

donde ''x'' e ''y'' se miden en centímetros y ''t'' en segundos.

# Halle la velocidad de esta onda.
# Demuestre que esta señal cumple la ecuación de onda.
# Calcule la velocidad del punto de la cuerda situado en ''x'' = 15 cm, en (a) ''t'' = 0 s, (b) ''t'' = 0.5 s, (c) ''t'' = 1 s.

[[Pulso en una cuerda|'''Solución''']]

==[[Propiedades de una onda sinusoidal]]==
Una perturbación a lo largo de una cuerda se describe mediante la ecuación

<center><math>y = 0.3\cos(126t-0.628x)\,</math></center>

con ''x'' e ''y'' medidos en centímetros y ''t'' en segundos.

Para esta onda, halle su amplitud, frecuencia angular, periodo, número de onda y longitud de onda.

[[Propiedades de una onda sinusoidal|'''Solución''']]

==[[Solución de onda estacionaria]]==
Una perturbación de una cuerda es de la forma

<center><math>y =0.2\cos(126t)\,\mathrm{sen}\,(0.314x)</math></center>

con ''x'' e ''y'' medidos en centímetros y ''t'' en segundos. Demuestre que esta función verifica la ecuación de ondas. ¿Qué velocidad le
corresponde?

[[Solución de onda estacionaria|'''Solución''']]

==[[Propiedades de una onda]]==
Una onda sinusoidal transversal que se desplaza por una cuerda tiene un periodo ''T'' = 25.0 ms y viaja en la dirección negativa
del eje ''x'' a una velocidad de 30 m/s. En el instante ''t'' = 0 s una partícula de la cuerda situada en la posición ''x'' = 0 m tiene un desplazamiento de 2.00 cm y se mueve hacia abajo con una velocidad de 2 m/s. Halle la amplitud, la longitud de onda, y el desfase inicial de esta señal.

[[Propiedades de una onda|'''Solución''']]

==Características de una onda en una cuerda==
Una cuerda de masa 0.2 kg y 4 m de longitud se conecta a un diapasón que oscila con una frecuencia de 20 Hz. La amplitud de las oscilaciones es de 1 cm. La onda transversal excitada en la cuerda resulta tener una longitud de onda de 10 cm. Determine la velocidad de la onda y la tensión aplicada a la cuerda. ¿Por qué factor es preciso multiplicar la tensión aplicada para que la longitud de onda se duplique?

==[[Onda en un hilo bimetálico]]==
Un hilo de acero (ρ = 7.85 g/cm³) de 3.0 m y un hilo de cobre (ρ = 8.96 g/cm³) de 2.0 m ambos con un diámetro de 1 mm están conectados por un extremo. El extremo libre del acero está atado al techo, mientras que del del cobre cuelga una masa de 20 kg. ¿Cuánto tarda una oscilación de la masa en llegar hasta el techo?

Suponga despreciable el incremento en la tensión debido al peso de los propios cables. ¿Podría hacerse una estimación del error cometido al hacer esta aproximación?

[[Onda en un hilo bimetálico|'''Solución''']]

==Potencia en una cuerda vibrante==
Se van a transmitir ondas sinusoidales de 5.00 cm de amplitud a lo largo de una cuerda que tiene una densidad de masa lineal 40 g/m. Si la fuente puede proporcionar una potencia máxima de 300 W y la cuerda soporta una tensión de 300 N ¿cuál es la frecuencia de vibración más alta con que puede operar la fuente?

==Potencia en una onda estacionaria==
Dos ondas sinusoidales de la misma amplitud y frecuencia viajan por una cuerda tensa en direcciones opuestas. Calcule y dibuje la forma de la onda resultante. Demuestre que la potencia promedio transmitida por esta onda es nula.

==[[Superposición de dos y tres señales]]==
Considere los casos de superposición siguientes

# <math>y_1= A \cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = A\,\mathrm{sen}\,(\omega t-kx)</math>
# <math>y_1= A \cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = A \,\mathrm{sen}\,(\omega t+kx)</math>
# <math>y_1= A\cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = -2A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\mathrm{sen}\,(k x)</math>
# <math>y_1= 4A\cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = 3A\,\mathrm{sen}\,(\omega t-kx)\qquad y_3 = 5A\cos(\omega t + kx )</math>

Para cada uno de los casos, determine la ecuación de la señal resultante, ¿es una onda viajera o una estacionaria?

[[Superposición de dos y tres señales|'''Solución''']]

==[[Tensión de una cuerda de piano]]==
Las cuerdas de los pianos están hechas esencialmente de acero (ρ = 7.85 g/cm&sup3) tensado

# Determine la ecuación para la tensión de una cuerda si su diámetro es ''D'' y su longitud ''L'' y debe producir una nota de frecuencia ''f''.
# La nota más grave de un piano es el La de la subcontraoctava (27.5 Hz). Calcule la longitud que debería tener esta cuerda si está hecha de hilo de 1.224 mm de diámetro y sometida a una tensión de 600 N. ¿Es factible esta longitud?
# Si la longitud de la cuerda está limitada a 110 cm, ¿con qué tensión habría que tensar el hilo anterior para producir la misma nota?
# Si la tensión debe ser 600 N y la longitud 110 cm, ¿qué grosor debería tener la cuerda para producir esta nota? ¿Cuál es el problema de este grosor?
# Si un piano tiene un total de 200 cuerdas, ¿a qué tensión se encuentra la estructura del piano?

[[Tensión de una cuerda de piano|'''Solución''']]

==[[Batidos en un piano]]==
Para las notas agudas de los pianos se emplean cuerdas dobles o triples, formadas por hilos de acero paralelos. El La de la octava menor (110 Hz) está formado por dos hilos, tensados teóricamente a 600 N. Uno de los dos hilos se destensa ligeramente y al tocar la tecla se oyen batidos con una frecuencia de 4 Hz. ¿Cuál es la tensión de la cuerda destensada?

[[Batidos en un piano|'''Solución''']]

[[Categoría:Problemas de movimiento ondulatorio|0]]
[[Categoría:Problemas de Física Aeronáuticos|110]]
[[Categoría:Movimiento ondulatorio]]

Problemas de Movimiento ondulatorio

Gonfer — Fri, 26 Mar 2010 19:07:20 GMT

Gonfer:

==Pulso en una cuerda==
Los puntos de una cuerda horizontal se mueven verticalmente, de forma que el perfil de la cuerda tiene la forma

<center><math>y = \frac{1}{0.01x^2-0.6tx+9t^2+1}</math></center>

donde ''x'' e ''y'' se miden en centímetros y ''t'' en segundos.

# Halle la velocidad de esta onda.
# Demuestre que esta señal cumple la ecuación de onda.
# Calcule la velocidad del punto de la cuerda situado en ''x'' = 15 cm, en (a) ''t'' = 0 s, (b) ''t'' = 0.5 s, (c) ''t'' = 1 s.

==[[Propiedades de una onda sinusoidal]]==
Una perturbación a lo largo de una cuerda se describe mediante la ecuación

<center><math>y = 0.3\cos(126t-0.628x)\,</math></center>

con ''x'' e ''y'' medidos en centímetros y ''t'' en segundos.

Para esta onda, halle su amplitud, frecuencia angular, periodo, número de onda y longitud de onda.

[[Propiedades de una onda sinusoidal|'''Solución''']]

==[[Solución de onda estacionaria]]==
Una perturbación de una cuerda es de la forma

<center><math>y =0.2\cos(126t)\,\mathrm{sen}\,(0.314x)</math></center>

con ''x'' e ''y'' medidos en centímetros y ''t'' en segundos. Demuestre que esta función verifica la ecuación de ondas. ¿Qué velocidad le
corresponde?

[[Solución de onda estacionaria|'''Solución''']]

==[[Propiedades de una onda]]==
Una onda sinusoidal transversal que se desplaza por una cuerda tiene un periodo ''T'' = 25.0 ms y viaja en la dirección negativa
del eje ''x'' a una velocidad de 30 m/s. En el instante ''t'' = 0 s una partícula de la cuerda situada en la posición ''x'' = 0 m tiene un desplazamiento de 2.00 cm y se mueve hacia abajo con una velocidad de 2 m/s. Halle la amplitud, la longitud de onda, y el desfase inicial de esta señal.

[[Propiedades de una onda|'''Solución''']]

==Características de una onda en una cuerda==
Una cuerda de masa 0.2 kg y 4 m de longitud se conecta a un diapasón que oscila con una frecuencia de 20 Hz. La amplitud de las oscilaciones es de 1 cm. La onda transversal excitada en la cuerda resulta tener una longitud de onda de 10 cm. Determine la velocidad de la onda y la tensión aplicada a la cuerda. ¿Por qué factor es preciso multiplicar la tensión aplicada para que la longitud de onda se duplique?

==[[Onda en un hilo bimetálico]]==
Un hilo de acero (ρ = 7.85 g/cm³) de 3.0 m y un hilo de cobre (ρ = 8.96 g/cm³) de 2.0 m ambos con un diámetro de 1 mm están conectados por un extremo. El extremo libre del acero está atado al techo, mientras que del del cobre cuelga una masa de 20 kg. ¿Cuánto tarda una oscilación de la masa en llegar hasta el techo?

Suponga despreciable el incremento en la tensión debido al peso de los propios cables. ¿Podría hacerse una estimación del error cometido al hacer esta aproximación?

[[Onda en un hilo bimetálico|'''Solución''']]

==Potencia en una cuerda vibrante==
Se van a transmitir ondas sinusoidales de 5.00 cm de amplitud a lo largo de una cuerda que tiene una densidad de masa lineal 40 g/m. Si la fuente puede proporcionar una potencia máxima de 300 W y la cuerda soporta una tensión de 300 N ¿cuál es la frecuencia de vibración más alta con que puede operar la fuente?

==Potencia en una onda estacionaria==
Dos ondas sinusoidales de la misma amplitud y frecuencia viajan por una cuerda tensa en direcciones opuestas. Calcule y dibuje la forma de la onda resultante. Demuestre que la potencia promedio transmitida por esta onda es nula.

==[[Superposición de dos y tres señales]]==
Considere los casos de superposición siguientes

# <math>y_1= A \cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = A\,\mathrm{sen}\,(\omega t-kx)</math>
# <math>y_1= A \cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = A \,\mathrm{sen}\,(\omega t+kx)</math>
# <math>y_1= A\cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = -2A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\mathrm{sen}\,(k x)</math>
# <math>y_1= 4A\cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = 3A\,\mathrm{sen}\,(\omega t-kx)\qquad y_3 = 5A\cos(\omega t + kx )</math>

Para cada uno de los casos, determine la ecuación de la señal resultante, ¿es una onda viajera o una estacionaria?

[[Superposición de dos y tres señales|'''Solución''']]

==[[Tensión de una cuerda de piano]]==
Las cuerdas de los pianos están hechas esencialmente de acero (ρ = 7.85 g/cm&sup3) tensado

# Determine la ecuación para la tensión de una cuerda si su diámetro es ''D'' y su longitud ''L'' y debe producir una nota de frecuencia ''f''.
# La nota más grave de un piano es el La de la subcontraoctava (27.5 Hz). Calcule la longitud que debería tener esta cuerda si está hecha de hilo de 1.224 mm de diámetro y sometida a una tensión de 600 N. ¿Es factible esta longitud?
# Si la longitud de la cuerda está limitada a 110 cm, ¿con qué tensión habría que tensar el hilo anterior para producir la misma nota?
# Si la tensión debe ser 600 N y la longitud 110 cm, ¿qué grosor debería tener la cuerda para producir esta nota? ¿Cuál es el problema de este grosor?
# Si un piano tiene un total de 200 cuerdas, ¿a qué tensión se encuentra la estructura del piano?

[[Tensión de una cuerda de piano|'''Solución''']]

==[[Batidos en un piano]]==
Para las notas agudas de los pianos se emplean cuerdas dobles o triples, formadas por hilos de acero paralelos. El La de la octava menor (110 Hz) está formado por dos hilos, tensados teóricamente a 600 N. Uno de los dos hilos se destensa ligeramente y al tocar la tecla se oyen batidos con una frecuencia de 4 Hz. ¿Cuál es la tensión de la cuerda destensada?

[[Batidos en un piano|'''Solución''']]

[[Categoría:Problemas de movimiento ondulatorio|0]]
[[Categoría:Problemas de Física Aeronáuticos|110]]
[[Categoría:Movimiento ondulatorio]]

Efecto Doppler de un tren que pasa frente al observador

Gonfer — Fri, 26 Mar 2010 19:04:39 GMT

Gonfer: /* Observador y fuente alejándose */

== Enunciado ==
La ecuación sencilla del efecto Doppler es válida cuando el movimiento entre el observador y la fuente se produce en línea recta, de modo que ambos están alejándose o acercándose directamente el uno al otro. Si eliminamos esta restricción, la expresión más general para el efecto Doppler es

<center>
<math>f'=\left(\frac{c+v_0\cos\theta_0}{c-v_S\cos\theta_S}\right)f</math></center>

Aquí, <math>\theta_O</math> es el ángulo que forma la velocidad del observador con la línea que une el observador y la fuente, mientras que <math>\theta_S</math> es el ángulo que forma la velocidad de la fuente con esa misma línea.

# Demuestre que, si el observador y la fuente se alejan el uno del otro, la ecuación anterior se reduce a la que hemos visto en teoría con valores negativos tanto para <math>v_0</math> como <math>v_S</math>.
# Utilice la ecuación anterior para resolver este problema: Un tren se mueve a una velocidad constante de 25.0 m/s hacia un paso a nivel. Un automóvil está parado cerca de la intersección, a 30 m metros de distancia de las vías. Si la frecuencia del silbato del tren es de 500 Hz, ¿cuál es la frecuencia que perciben los ocupantes del automóvil cuando el tren se encuentra a 40.0 m de la intersección?

== Solución ==
[[Imagen:Tren_observador_1.jpg|right]]
La figura muestra las velocidades y ángulos de la fuente y el observador como se indica en el enunciado. Los ángulos
están medidos respecto a la línea que une en cada instante la fuente y el observador.

=== Observador y fuente alejándose ===
En este caso los ángulos son
<center>
<math>
\theta_S=\theta_O=\pi
</math>
</center>
Con estos valores, la expresión del enunciado queda
<center>
<math>
\displaystyle f'=\frac{c-v_0}{c+v_S}f
</math>
</center>
que es precisamente la expresión del efecto Doppler cuando tanto el observador como la fuente se alejan el uno del otro.
El coseno viene de proyectar las velocidades sobre la dirección de la recta que une la fuente y el observador.
Observemos que al incluir los ángulos ya no es necesario especificar si el movimiento relativo es de alejamiento o
acercamiento. Esa información está contenida en el valor de los ángulos.

=== Tren acercándose a un coche en reposo ===

[[Imagen:Tren_observador_2.jpg|right]]
En la figura se indica las posiciones y velocidades del tren (la fuente) y el coche en reposo (el observador). En este
caso <math>\mathbf{v}_O=\mathbf{0}</math>. Vamos a determinar la frecuencia percibida por el observador no sólo en el
instante indicado por el enunciado, sino para cualquier distancia <math>y</math> del tren al paso a nivel. Para ello
debemos determinar el ángulo <math>\theta</math> en función de los parámetros <math>y</math> y <math>h</math>. Observando
la figura tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{lcccr}
\displaystyle \tan\theta = \frac{h}{y}&&&\displaystyle \cos\theta=\frac{y}{h^2+y^2}
\end{array}
</math>
</center>
Entonces, la frecuencia percibida por el coche es
<center>
<math>
\displaystyle f = \frac{1}{1-\frac{\displaystyle v_S}{\displaystyle c}\frac{\displaystyle y}{\displaystyle \sqrt{y^2+h^2}}}
f_S
</math>
</center>
[[Imagen:Tren_observador_3.jpg|right]]
Vemos en la gráfica como varía la frecuencia percibida en función de la distancia. Cuando el tren está lejos y acercándose
la frecuencia percibida corresponde al valor dado por la fórmula del efecto Doppler cuando la fuente y el observador
están en la misma línea. Cuando el tren se aleja el valor límite es el que corresponde al efecto Doppler cuando la fuente
se aleja del observador y se mueve a lo largo de la línea que los une. Estos dos valores límite son
<center>
<math>
\begin{array}{lccr}
\displaystyle f(y\to\infty) = \frac{1}{1-\frac{\displaystyle v_S}{\displaystyle c}}f_S,&&
\displaystyle f(y\to-\infty) = \frac{1}{1+\frac{\displaystyle v_S}{\displaystyle c}}f_S&
\end{array}
</math>
</center>
Esta curva describe la frecuencia que percibimos en realidad cuando, por ejemplo, una ambulancia pasa por la calle en que
nos encontramos. Cuando la ambulancia está lejos y acercándose la frecuencia es esencialmente la dada por el efecto Doppler cuando la
fuente se mueve a lo largo de la línea fuente-observador. Cuando la ambulancia se acerca lo bastante (<math>y\leq5h</math>), la
frecuencia percibida decrece, se hace igual a la que emite la fuente en el instante en el que la ambulancia está a la mínima distancia, y
sigue decreciendo hasta que, a una distancia <math>y\geq 5h</math> adquiere el valor límite correspondiente a la fuente alejándose a lo largo
de la línea observador-fuente.

En la gráfica la línea azul da los valores de la frecuencia percibida aplicando la fórmula del efecto Doppler cuando la fuente se mueve a lo largo de la línea fuente-observador.

[[Categoría:Problemas de ondas sonoras]]

Efecto Doppler de un tren que pasa frente al observador

Gonfer — Fri, 26 Mar 2010 19:04:20 GMT

Gonfer:

== Enunciado ==
La ecuación sencilla del efecto Doppler es válida cuando el movimiento entre el observador y la fuente se produce en línea recta, de modo que ambos están alejándose o acercándose directamente el uno al otro. Si eliminamos esta restricción, la expresión más general para el efecto Doppler es

<center>
<math>f'=\left(\frac{c+v_0\cos\theta_0}{c-v_S\cos\theta_S}\right)f</math></center>

Aquí, <math>\theta_O</math> es el ángulo que forma la velocidad del observador con la línea que une el observador y la fuente, mientras que <math>\theta_S</math> es el ángulo que forma la velocidad de la fuente con esa misma línea.

# Demuestre que, si el observador y la fuente se alejan el uno del otro, la ecuación anterior se reduce a la que hemos visto en teoría con valores negativos tanto para <math>v_0</math> como <math>v_S</math>.
# Utilice la ecuación anterior para resolver este problema: Un tren se mueve a una velocidad constante de 25.0 m/s hacia un paso a nivel. Un automóvil está parado cerca de la intersección, a 30 m metros de distancia de las vías. Si la frecuencia del silbato del tren es de 500 Hz, ¿cuál es la frecuencia que perciben los ocupantes del automóvil cuando el tren se encuentra a 40.0 m de la intersección?

== Solución ==
[[Imagen:Tren_observador_1.jpg|right]]
La figura muestra las velocidades y ángulos de la fuente y el observador como se indica en el enunciado. Los ángulos
están medidos respecto a la línea que une en cada instante la fuente y el observador.

=== Observador y fuente alejándose ===
En este caso los ángulos son
<center>
<math>
\theta_S=\theta_O=\pi
</math>
</center>
Con estos valores, la expresión del enunciado queda
<center>
<math>
\displaystyle f'=\frac{c-v_0}{c-v_S}f
</math>
</center>
que es precisamente la expresión del efecto Doppler cuando tanto el observador como la fuente se alejan el uno del otro.
El coseno viene de proyectar las velocidades sobre la dirección de la recta que une la fuente y el observador.
Observemos que al incluir los ángulos ya no es necesario especificar si el movimiento relativo es de alejamiento o
acercamiento. Esa información está contenida en el valor de los ángulos.

=== Tren acercándose a un coche en reposo ===

[[Imagen:Tren_observador_2.jpg|right]]
En la figura se indica las posiciones y velocidades del tren (la fuente) y el coche en reposo (el observador). En este
caso <math>\mathbf{v}_O=\mathbf{0}</math>. Vamos a determinar la frecuencia percibida por el observador no sólo en el
instante indicado por el enunciado, sino para cualquier distancia <math>y</math> del tren al paso a nivel. Para ello
debemos determinar el ángulo <math>\theta</math> en función de los parámetros <math>y</math> y <math>h</math>. Observando
la figura tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{lcccr}
\displaystyle \tan\theta = \frac{h}{y}&&&\displaystyle \cos\theta=\frac{y}{h^2+y^2}
\end{array}
</math>
</center>
Entonces, la frecuencia percibida por el coche es
<center>
<math>
\displaystyle f = \frac{1}{1-\frac{\displaystyle v_S}{\displaystyle c}\frac{\displaystyle y}{\displaystyle \sqrt{y^2+h^2}}}
f_S
</math>
</center>
[[Imagen:Tren_observador_3.jpg|right]]
Vemos en la gráfica como varía la frecuencia percibida en función de la distancia. Cuando el tren está lejos y acercándose
la frecuencia percibida corresponde al valor dado por la fórmula del efecto Doppler cuando la fuente y el observador
están en la misma línea. Cuando el tren se aleja el valor límite es el que corresponde al efecto Doppler cuando la fuente
se aleja del observador y se mueve a lo largo de la línea que los une. Estos dos valores límite son
<center>
<math>
\begin{array}{lccr}
\displaystyle f(y\to\infty) = \frac{1}{1-\frac{\displaystyle v_S}{\displaystyle c}}f_S,&&
\displaystyle f(y\to-\infty) = \frac{1}{1+\frac{\displaystyle v_S}{\displaystyle c}}f_S&
\end{array}
</math>
</center>
Esta curva describe la frecuencia que percibimos en realidad cuando, por ejemplo, una ambulancia pasa por la calle en que
nos encontramos. Cuando la ambulancia está lejos y acercándose la frecuencia es esencialmente la dada por el efecto Doppler cuando la
fuente se mueve a lo largo de la línea fuente-observador. Cuando la ambulancia se acerca lo bastante (<math>y\leq5h</math>), la
frecuencia percibida decrece, se hace igual a la que emite la fuente en el instante en el que la ambulancia está a la mínima distancia, y
sigue decreciendo hasta que, a una distancia <math>y\geq 5h</math> adquiere el valor límite correspondiente a la fuente alejándose a lo largo
de la línea observador-fuente.

En la gráfica la línea azul da los valores de la frecuencia percibida aplicando la fórmula del efecto Doppler cuando la fuente se mueve a lo largo de la línea fuente-observador.

[[Categoría:Problemas de ondas sonoras]]

Problemas de Ondas sonoras

Gonfer — Fri, 26 Mar 2010 19:02:27 GMT

Gonfer: /* Efecto Doppler de dos vehículos */

==[[Duración de un trueno]]==
Un rayo cae desde una nube situada a 2 km de altura. Si el rayo cae verticalmente e impacta de forma casi instantánea en un punto situado a 10 km de un observador, ¿cuánto tarda un el trueno en llegar a este observador? ¿Cuánto dura este trueno? Suponga que el aire se encuentra a 20 ºC.

[[Duración de un trueno|'''Solución''']]

==Onda sonora en agua==
Un barco usa un sistema de sonar para detectar objetos submarinos. El barco se encuentra en reposo en una zona en la que la profundidad del lecho marino es de 50 metros. El sistema emite un haz de ondas de sonido de frecuencia ''f'' = 262 Hz que forma un ángulo de 30º con la superficie del mar y mide el tiempo que tarda la onda, que se refleja en un pecio, en regresar al detector. Sabiendo que el tiempo de retardo es 0.135 segundos y que la densidad del agua es 1.06×10³ kg/m³, calcule

# La velocidad del sonido en el agua
# El módulo de compresibilidad del agua
# La longitud de onda de la señal emitida.

==[[Tiempo de un sonido para llegar al suelo]]==
La temperatura de la atmósfera en sus capas bajas decrece con la altura como

<center><math>T(^\circ\mathrm{C}) = T_0-kz\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math> T_0 = 20\,^\circ\mathrm{C}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math> k = 6\,\frac{^\circ\mathrm{C}}{\mathrm{km}}</math></center>

Un avión rompe la barrera del sonido cuando se encuentra a 8 km de altura. ¿Cuánto tarda el estampido sónico en llegar al suelo?

[[Tiempo de un sonido para llegar al suelo|'''Solución''']]

==Batidos por diferencia de temperaturas==
Determine la longitud de un tubo de órgano cerrado por uno de sus extremos y abierto por el otro, si debe producir una nota de 440 Hz a 25 ºC. Admita que la velocidad del sonido en el aire a temperaturas próximas a la ambiente depende de la temperatura como

<center><math>c = 331\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} + 0.6\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}\cdot^\circ\mathrm{C}}T_C</math></center>

con <math>T_C</math> la temperatura en grados centígrados. Si un trombón debe tocar la misma nota de 440 Hz que el órgano y el trombón está a 25 ºC, pero el órgano se encuentra sólo a 15 ºC, ¿cuál es la frecuencia de los batidos que se escuchan?

==[[Efecto Doppler de dos camiones en movimiento]]==
Dos camiones de bomberos acuden desde el este y el oeste a apagar un incendio situado entre ellos. Ambos camiones circulan a 80 km/h y hacen sonar sus sirenas a 600 Hz. Un viento de 50 km/h sopla del este al oeste. ¿Con qué frecuencia escucha las sirenas un observador situado en el punto intermedio? ¿Con qué frecuencia escucha cada conductor la sirena del otro camión?

[[Efecto Doppler de dos camiones en movimiento|'''Solución''']]

==[[Efecto Doppler de dos vehículos]]==
Al lugar de un incendio acuden por la misma carretera rectilínea, en el mismo sentido, un coche de bomberos a 108 km/h y una ambulancia de 72 km/h. El coche de bomberos usa una sirena de 880 Hz, mientras que la ambulancia emplea una de 900 Hz.

# En un momento dado el coche de bomberos se encuentra a 4 km del lugar del incendio, y la ambulacia a 3.00 km de él y ambos vehículos hacen sonar sus sirenas. Para una persona situada en el camino de los vehículos, pero 1 km antes del lugar del incendio, ¿cuál de los dos sonidos emitidos en ese instante llega antes?, ¿qué sirena suena más aguda?, ¿en cuántos hercios? ¿Cuál es la frecuencia de la señal y de los batidos que oye esa persona?
# Para el conductor de la ambulancia y el del coche de bomberos, ¿cuál es la frecuencia que le llega del otro vehículo cuando se encuentran en la posición del apartado anterior?
# A los 2 minutos ambos vehículos hacen sonar sus sirenas otra vez. ¿cómo quedan los dos resultados de los dos apartados anteriores?

Supóngase la velocidad del sonido c = 340 m/s.

[[Efecto Doppler de dos vehículos|'''Solución''']]

==[[Sonar de un murciélago]]==
Un murciélago que vuela hacia una pared emite un ultrasonido de frecuencia <math>f_0</math>. Recibe el eco un tiempo <math>\Delta t</math> más tarde y con una frecuencia <math>f_1</math>. Determine la velocidad con la que se mueve el murciélago y la distancia a la que se encuentra de la pared en el momento de recibir el eco. (Dato: ''c'' = 343 m/s)

==Efecto Doppler aplicado al radar de un aeropuerto==
El radar de un aeropuerto emite señales con frecuencia <math>f_0</math>. Una de estas señales incide en un avión que se dirige hacia el aeropuerto. El radar recibe el eco un tiempo <math>\Delta t</math> después y con una frecuencia <math>f_1</math>. Determine la posición del avión en el momento en el que la torre de control recibe el eco.

==[[Posición aparente de un avión]]==
Un observador escucha el ruido de un avión que se mueve con velocidad constante ''v'' (subsónica) a una altura ''h''. La trayectoria del avión pasa sobre la vertical del observador. Este torpe observador siempre mira en la dirección de la que viene el ruido. Para esta persona ¿cómo varía aparentemente la posición del avión con el tiempo? ¿Con qué velocidad se mueve aparentemente cuando se encuentra muy alejado acercándose? ¿Y cuando está muy lejos alejándose del observador?

==[[Posición aparente de un avión supersónico]]==
Un avión supersónico vuela a Mach 1.8 a 3 km de altura. Determine el tiempo entre que pasa por la vertical de un observador situado en el suelo y que a éste le llegue el frente de la onda de choque. Cuando llega este sonido, ¿dónde parece que se encuentra el avión, a juzgar por el ruido? ¿A qué distancia de su posición real en ese instante?

==[[Efecto Doppler de un tren que pasa frente al observador]]==

==Cálculo de la intensidad límite audible==
La intensidad acústica más baja que puede percibir el oído a una frecuencia de 1 kHz es <math>I_0=10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^2</math>. Calcule la amplitud del desplazamiento del tímpano y la sobrepresión en él en esa situación y para una intensidad
acústica de 120 dB, que corresponde al umbral de dolor.

[[Categoría:Problemas de ondas sonoras|0]]
[[Categoría:Problemas de Física Aeronáuticos|120]]
[[Categoría:Ondas sonoras]]

Fuerza de Lorentz sobre una esfera en rotación

Gonfer — Mon, 15 Mar 2010 23:18:27 GMT

Gonfer: /* Torque magnético */

==Introducción==
Suponemos una distribución de carga que posee simetría esférica alrededor de un punto central <math>\mathbf{r}_C</math>, de forma que su densidad de carga verifica

<center><math>\rho(\mathbf{r})=\rho(r')\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{r}'=\mathbf{r}-\mathbf{r}_C\qquad r'=|\mathbf{r}'|</math></center>

Suponemos que esta distribución de carga está localizada, de forma que tiende a cero rápidamente cuando <math>r'</math> crece

Esta distribución de carga se mueve rígidamente, de forma que la velocidad de cada punto puede escribirse como

<center><math>\mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}'</math></center>

Asimismo, esta distribución se encuentra en el seno de un campo electromagnético externo, de forma que cada elemento de carga se encuentra sometido a una fuerza

<center><math>\mathrm{d}\mathbf{F}=\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

==Fuerza sobre la distribución==
La fuerza neta sobre la distribución de carga será la resultante de las fuerzas diferenciales

<center><math>\mathbf{F}=\int \mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Veamos cada contribución por separado.
===Fuerza eléctrica===
La fuerza eléctrica sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=\int \rho\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Podemos calcular una expresión aproximada para esta fuerza aplicando que la distribución de carga está localizada en torno a su centro, de manera que podemos sustituir el campo eléctrico por su desarrollo en serie de Taylor en torno al centro de la distribución

<center><math>\mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{E}_C = \mathbf{r}'\cdot\mathbf{E}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C + \cdots</math></center>

donde <math>\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\nabla\mathbf{E}_C</math> son constantes iguales al valor del campo y sus derivadas sucesivas en el centro de la distribución.

De esta forma la fuerza eléctrica viene dada por la serie

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}= \int \rho \mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+ \int \rho \mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau + \frac{1}{2}\int \rho \mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+\cdots</math></center>

y, sacando las constantes fuera de las integrales

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=Q\mathbf{E}_C+(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}+\frac{1}{2}\mathsf{Q}:\nabla\nabla\mathbf{E}_C+\cdots</math></center>

donde

<center><math>Q=\int\rho\,\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{p}=\int\rho\,\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathsf{Q}=\int \rho\mathbf{r}'\mathbf{r}'\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí <math>Q</math> es la carga neta de la distribución. <math>\mathbf{p}</math> es el momento dipolar, el cual se anula debido a la simetría de la distribución.

El término <math>\mathsf{Q}</math> es un tensor. Por la simetría de la distribución, este tensor es realmente un escalar, ya que

<center><math>Q_{ik}=\int \rho x'_ix'_k\,\mathrm{d}\tau=0\qquad(i\neq k)</math></center>

y

<center><math>Q_{ii}=\int \rho {x'_i}^2\,\mathrm{d}\tau = \frac{1}{3}\int \rho r'^2 \,\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \qquad (i=k)</math></center>

aquí <math>\gamma</math> es un coeficiente que depende de la forma concreta de la distribución. Para una esfera cargada uniformemente en volumen vale 1/5, para una cargada en superficie es 1/3, para un decaimiento exponencial vale 4. Reuniendo los dos resultados

<center><math>\mathsf{Q}=\gamma Q R^2 \mathsf{I}\,</math></center>

o, empleando subíndices

<center><math>\int \rho x'_ix'_j\,\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \delta_{ij}</math></center>

Llevando esto a la expresión de la fuerza, queda

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\mathsf{I}:\nabla\nabla\mathbf{E}+\cdots</math></center>

pero la contracción del tensor unidad con el gradiente del gradiente es simplemente el laplaciano

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\nabla^2\mathbf{E}+\cdots</math></center>

Ahora, para un campo eléctrico externo estático y debido a cargas en posiciones no coincidentes con la distribución (como es el caso del campo de un núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo eléctrico se anula y la fuerza se reduce a

<center><math>\mathbf{F}=Q\mathbf{E}_C</math></center>

Hay que señalar que el término en <math>QR^2</math> '''no''' es un término cuadrupolar. El término cuadrupolar se refiere a la componente simétrica de traza nula. El término que sale aquí se debe a que el centro de fuerzas eléctricas no coincide con el centro de la distribución.

===Fuerza magnética===
La fuerza magnética sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int \rho\mathbf{v}\times\mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Sustituyendo la expresión de la velocidad

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int\rho(\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Para el primer término tenemos

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=\int \rho\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}\mathrm{d}\tau = \mathbf{v}_C\times\int\rho \mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí podemos hacer el mismo desarrollo que para el campo eléctrico y nos queda

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C + \frac{\gamma QR^2}{2}\mathbf{v}_C\times(\nabla^2\mathbf{B})</math></center>

De nuevo, si este campo magnético se debe a fuentes situadas fuera de la distribución (como el núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo magnético es nulo y este término se reduce a

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C</math></center>

Para el segundo término desarrollamos el doble producto vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m2}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})\mathbf{r}'\,\mathrm{d}\tau-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau=\mathbf{F}_{m21}+\mathbf{F}_{m22}</math></center>

Aplicando ahora la serie de Taylor para el campo magnético

<center><math>\mathbf{B}=\mathbf{B}_C+\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{B}</math></center>

obtenemos en primer lugar

<center><math>\mathbf{F}_{m21}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B}_C)\mathbf{r}'\,\mathrm{d}\tau+\int_\rho(\vec{\omega}\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}))\mathbf{r}'\,\mathrm{d}\tau</math></center>

En primer término es nulo, por la simetría. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>F_{m21i}=\int \rho x_i\omega_j(x_k\partial_k B_j)\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \delta_{ik} \omega_j\partial_k B_j = \gamma QR^2 \partial_i(\omega_jB_j)\,</math></center>

o, en forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m21} = \gamma QR^2 \nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

Para <math>\mathbf{F}_{m22}</math> tenemos, igualmente

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\mathrm{d}\tau =-\vec{\omega}\int \rho\mathbf{r}'\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{B}_C)\mathrm{d}\tau</math></center>

Empleando de nuevo subíndices

<center><math>F_{m22i} = -\omega_i \int \rho x'_jx'_k\partial_k B_j\mathrm{d}\tau = -\omega_i \gamma QR^2 \delta_{jk}\partial_kB_j=-\omega_i \gamma QR^2 \partial_jB_j\,</math>
</center>

En forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\vec{\omega}\gamma QR^2 \nabla\cdot\mathbf{B}</math></center>

pero la divergencia del campo magnético es siempre nula, por lo que este término se anula. Nos queda por tanto la fuerza magnética

<center><math>\mathbf{F}_m = Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C+ \gamma QR^2\nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

===Fuerza total===
Sumando las fuerzas eléctrica y magnética obtenemos la fuerza neta

<center><math>\mathbf{F}=Q(\mathbf{E}_C+\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C)+\gamma QR^2 \nabla(\omega\cdot\mathbf{B})</math></center>

Si las fuentes del campo eléctrico y magnético coinciden con lso puntos de la distribución, habrá que añadir los términos correspondientes a los laplacianos de los campos.

==Momento sobre la distribución==
De manera análoga se halla el momento de las fuerzas respecto al centro de la distribución. Este momento será

<center><math>\mathbf{M}_C=\int \mathbf{r}'\times\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Como con la fuerza, consideraremos cada momento por separado
===Torque eléctrico===
Para el término eléctrico, aplicando de nuevo la serie de Taylor nos queda

<center><math>\mathbf{M}_e=\int\rho\mathbf{r}'\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau=
\int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}_C+(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{E}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

El primer término se anula, por la simetría de la distribución. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>M_i = \int \rho \varepsilon_{ijk}x_jx_r\partial_r E_k = \gamma Q R^2 \varepsilon_{ijk} \delta_{jr} \partial_rE_k = \gamma QR^2 \varepsilon_{ijk}\partial_jE_k</math></center>

o, en forma vectorial,

<center><math>\mathbf{M}_e= \gamma QR^2\nabla\times\mathbf{E}</math></center>

Pero, si el campo externo es estacionario, este rotacional se anula y

<center><math>\mathbf{M}_e=\mathbf{0}</math></center>

===Torque magnético===
Para el torque de origen magnético sustituimos la expresión de la velocidad

<center><math>\mathbf{M}_m = \int \rho \mathbf{r}'\times((\mathbf{v}_c+\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Desglosamos en los diferentes términos e introducimos la serie de Taylor del
campo magnético.

En primer lugar tenemos

<center><math>\mathbf{M}_{m1}=\int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{v}_C\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau = \int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{v}_C\times(\mathbf{B}_C+\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Como de costumbre, el primer término, lineal en <math>\mathbf{r}'</math> se anula por la simetría. Para el segundo desarrollamos el doble producto vectorial

<center><math>\mathbf{M}_{m1}=\mathbf{v}_C\int \rho(\mathbf{r}'\cdot((\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau-\int\rho(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{v}_C)(\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Separamos los dos términos. Para el primero, empleando subíndices

<center><math>
M_i = v_i \int\rho(x_j x_k\partial_kB_j)\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 v_i \delta_{jk}\partial_k B_j = \gamma QR^2 v_i \partial_jB_j</math></center>

o, en forma vectorial

<center><math>\mathbf{M}_{m11}=\gamma QR^2 \mathbf{v}(\nabla\cdot\mathbf{B}) = \mathbf{0}</math></center>

Para el segundo, empleando también subíndices

<center><math>M_i = \int \rho(v_jx'_jx'_k\partial_kB_i)\,\mathrm{d}\tau = \gamma Q R^2 v_j\delta_{jk}\partial_k B_i = \gamma QR^2 v_j\partial_jB_i</math></center>

Vectorialmente

<center><math>\mathbf{M}_{m1}=\gamma QR^2 (\mathbf{v}_C\cdot\nabla)\mathbf{B}_C</math></center>

Para el segundo término del torque magnético, en primera aproximación nos basta con el campo en el centro de la distribución de carga

<center><math>\mathbf{M}_{m2} = \int \rho \mathbf{r}'\times((\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B}_C)\mathrm{d}\tau =\int \rho \mathbf{r}'\times((\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})\mathbf{r}'-(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\vec{\omega})\mathrm{d}\tau</math></center>

En el primer producto vectorial aparece <math>\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'</math>, que se anula. En el segundo

<center><math>M_i = -\int \rho\varepsilon_{ijk}x'_jx'_rB_r\omega_k\,\mathrm{d}\tau = -\gamma QR^2 \varepsilon_{ijk}\delta_{jr}B_r\omega_k = -\gamma QR^2 \varepsilon_{ijk}B_j\omega_k</math></center>

En forma vectorial

<center><math>\mathbf{M}_{m2}=\gamma QR^2 \vec{\omega}\times\mathbf{B}_C\,</math></center>

Sumando los dos términos obtenemos el torque debido al campo magnético

<center><math>\mathbf{M}_m = \gamma QR^2((\mathbf{v}_C\cdot\nabla)\mathbf{B}_C +\vec{\omega}\times\mathbf{B}_C)\,</math></center>

Puesto que el torque de origen eléctrico es nulo, este es todo el torque sobre la distribución

<center><math>\mathbf{M}=\mathbf{M}_e+\mathbf{M}_m = \gamma QR^2((\mathbf{v}_C\cdot\nabla)\mathbf{B}_C +\vec{\omega}\times\mathbf{B}_C)\,</math></center>

Fuerza de Lorentz sobre una esfera en rotación

Gonfer — Mon, 15 Mar 2010 23:17:34 GMT

Gonfer: /* Fuerza magnética */

==Introducción==
Suponemos una distribución de carga que posee simetría esférica alrededor de un punto central <math>\mathbf{r}_C</math>, de forma que su densidad de carga verifica

<center><math>\rho(\mathbf{r})=\rho(r')\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{r}'=\mathbf{r}-\mathbf{r}_C\qquad r'=|\mathbf{r}'|</math></center>

Suponemos que esta distribución de carga está localizada, de forma que tiende a cero rápidamente cuando <math>r'</math> crece

Esta distribución de carga se mueve rígidamente, de forma que la velocidad de cada punto puede escribirse como

<center><math>\mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}'</math></center>

Asimismo, esta distribución se encuentra en el seno de un campo electromagnético externo, de forma que cada elemento de carga se encuentra sometido a una fuerza

<center><math>\mathrm{d}\mathbf{F}=\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

==Fuerza sobre la distribución==
La fuerza neta sobre la distribución de carga será la resultante de las fuerzas diferenciales

<center><math>\mathbf{F}=\int \mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Veamos cada contribución por separado.
===Fuerza eléctrica===
La fuerza eléctrica sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=\int \rho\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Podemos calcular una expresión aproximada para esta fuerza aplicando que la distribución de carga está localizada en torno a su centro, de manera que podemos sustituir el campo eléctrico por su desarrollo en serie de Taylor en torno al centro de la distribución

<center><math>\mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{E}_C = \mathbf{r}'\cdot\mathbf{E}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C + \cdots</math></center>

donde <math>\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\nabla\mathbf{E}_C</math> son constantes iguales al valor del campo y sus derivadas sucesivas en el centro de la distribución.

De esta forma la fuerza eléctrica viene dada por la serie

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}= \int \rho \mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+ \int \rho \mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau + \frac{1}{2}\int \rho \mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+\cdots</math></center>

y, sacando las constantes fuera de las integrales

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=Q\mathbf{E}_C+(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}+\frac{1}{2}\mathsf{Q}:\nabla\nabla\mathbf{E}_C+\cdots</math></center>

donde

<center><math>Q=\int\rho\,\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{p}=\int\rho\,\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathsf{Q}=\int \rho\mathbf{r}'\mathbf{r}'\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí <math>Q</math> es la carga neta de la distribución. <math>\mathbf{p}</math> es el momento dipolar, el cual se anula debido a la simetría de la distribución.

El término <math>\mathsf{Q}</math> es un tensor. Por la simetría de la distribución, este tensor es realmente un escalar, ya que

<center><math>Q_{ik}=\int \rho x'_ix'_k\,\mathrm{d}\tau=0\qquad(i\neq k)</math></center>

y

<center><math>Q_{ii}=\int \rho {x'_i}^2\,\mathrm{d}\tau = \frac{1}{3}\int \rho r'^2 \,\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \qquad (i=k)</math></center>

aquí <math>\gamma</math> es un coeficiente que depende de la forma concreta de la distribución. Para una esfera cargada uniformemente en volumen vale 1/5, para una cargada en superficie es 1/3, para un decaimiento exponencial vale 4. Reuniendo los dos resultados

<center><math>\mathsf{Q}=\gamma Q R^2 \mathsf{I}\,</math></center>

o, empleando subíndices

<center><math>\int \rho x'_ix'_j\,\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \delta_{ij}</math></center>

Llevando esto a la expresión de la fuerza, queda

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\mathsf{I}:\nabla\nabla\mathbf{E}+\cdots</math></center>

pero la contracción del tensor unidad con el gradiente del gradiente es simplemente el laplaciano

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\nabla^2\mathbf{E}+\cdots</math></center>

Ahora, para un campo eléctrico externo estático y debido a cargas en posiciones no coincidentes con la distribución (como es el caso del campo de un núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo eléctrico se anula y la fuerza se reduce a

<center><math>\mathbf{F}=Q\mathbf{E}_C</math></center>

Hay que señalar que el término en <math>QR^2</math> '''no''' es un término cuadrupolar. El término cuadrupolar se refiere a la componente simétrica de traza nula. El término que sale aquí se debe a que el centro de fuerzas eléctricas no coincide con el centro de la distribución.

===Fuerza magnética===
La fuerza magnética sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int \rho\mathbf{v}\times\mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Sustituyendo la expresión de la velocidad

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int\rho(\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Para el primer término tenemos

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=\int \rho\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}\mathrm{d}\tau = \mathbf{v}_C\times\int\rho \mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí podemos hacer el mismo desarrollo que para el campo eléctrico y nos queda

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C + \frac{\gamma QR^2}{2}\mathbf{v}_C\times(\nabla^2\mathbf{B})</math></center>

De nuevo, si este campo magnético se debe a fuentes situadas fuera de la distribución (como el núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo magnético es nulo y este término se reduce a

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C</math></center>

Para el segundo término desarrollamos el doble producto vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m2}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})\mathbf{r}'\,\mathrm{d}\tau-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau=\mathbf{F}_{m21}+\mathbf{F}_{m22}</math></center>

Aplicando ahora la serie de Taylor para el campo magnético

<center><math>\mathbf{B}=\mathbf{B}_C+\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{B}</math></center>

obtenemos en primer lugar

<center><math>\mathbf{F}_{m21}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B}_C)\mathbf{r}'\,\mathrm{d}\tau+\int_\rho(\vec{\omega}\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}))\mathbf{r}'\,\mathrm{d}\tau</math></center>

En primer término es nulo, por la simetría. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>F_{m21i}=\int \rho x_i\omega_j(x_k\partial_k B_j)\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \delta_{ik} \omega_j\partial_k B_j = \gamma QR^2 \partial_i(\omega_jB_j)\,</math></center>

o, en forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m21} = \gamma QR^2 \nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

Para <math>\mathbf{F}_{m22}</math> tenemos, igualmente

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\mathrm{d}\tau =-\vec{\omega}\int \rho\mathbf{r}'\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{B}_C)\mathrm{d}\tau</math></center>

Empleando de nuevo subíndices

<center><math>F_{m22i} = -\omega_i \int \rho x'_jx'_k\partial_k B_j\mathrm{d}\tau = -\omega_i \gamma QR^2 \delta_{jk}\partial_kB_j=-\omega_i \gamma QR^2 \partial_jB_j\,</math>
</center>

En forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\vec{\omega}\gamma QR^2 \nabla\cdot\mathbf{B}</math></center>

pero la divergencia del campo magnético es siempre nula, por lo que este término se anula. Nos queda por tanto la fuerza magnética

<center><math>\mathbf{F}_m = Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C+ \gamma QR^2\nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

===Fuerza total===
Sumando las fuerzas eléctrica y magnética obtenemos la fuerza neta

<center><math>\mathbf{F}=Q(\mathbf{E}_C+\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C)+\gamma QR^2 \nabla(\omega\cdot\mathbf{B})</math></center>

Si las fuentes del campo eléctrico y magnético coinciden con lso puntos de la distribución, habrá que añadir los términos correspondientes a los laplacianos de los campos.

==Momento sobre la distribución==
De manera análoga se halla el momento de las fuerzas respecto al centro de la distribución. Este momento será

<center><math>\mathbf{M}_C=\int \mathbf{r}'\times\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Como con la fuerza, consideraremos cada momento por separado
===Torque eléctrico===
Para el término eléctrico, aplicando de nuevo la serie de Taylor nos queda

<center><math>\mathbf{M}_e=\int\rho\mathbf{r}'\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau=
\int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}_C+(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{E}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

El primer término se anula, por la simetría de la distribución. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>M_i = \int \rho \varepsilon_{ijk}x_jx_r\partial_r E_k = \gamma Q R^2 \varepsilon_{ijk} \delta_{jr} \partial_rE_k = \gamma QR^2 \varepsilon_{ijk}\partial_jE_k</math></center>

o, en forma vectorial,

<center><math>\mathbf{M}_e= \gamma QR^2\nabla\times\mathbf{E}</math></center>

Pero, si el campo externo es estacionario, este rotacional se anula y

<center><math>\mathbf{M}_e=\mathbf{0}</math></center>

===Torque magnético===
Para el torque de origen magnético sustituimos la expresión de la velocidad

<center><math>\mathbf{M}_m = \int \rho \mathbf{r}'\times((\mathbf{v}_c+\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Desglosamos en los diferentes términos e introducimos la serie de Taylor del
campo magnético.

En primer lugar tenemos

<center><math>\mathbf{M}_{m1}=\int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{v}_C\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau = \int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{v}_C\times(\mathbf{B}_C+\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Como de costumbre, el primer término, lineal en <math>\mathbf{r}'</math> se anula por la simetría. Para el segundo desarrollamos el doble producto vectorial

<center><math>\mathbf{M}_{m1}=\mathbf{v}_C\int \rho(\mathbf{r}'\cdot((\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau-\int\rho(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{v}_C)(\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Separamos los dos términos. Para el primero, empleando subíndices

<center><math>
M_i = v_i \int\rho(x_j x_k\partial_kB_j)\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 v_i \delta_{jk}\partial_k B_j = \gamma QR^2 v_i \partial_jB_j</math></center>

o, en forma vectorial

<center><math>\mathbf{M}_{m11}=\gamma QR^2 \mathbf{v}(\nabla\cdot\mathbf{B}) = \mathbf{0}</math></center>

Para el segundo, empleando también subíndices

<center><math>M_i = \int \rho(v_jx'_jx'_k\partial_kB_i)\,\mathrm{d}\tau = \gamma Q R^2 v_j\delta_{jk}\partial_k B_i = \gamma QR^2 v_j\partial_jB_i</math></center>

Vectorialmente

<center><math>\mathbf{M}_{m1}=\gamma QR^2 (\mathbf{v}_C\cdot\nabla)\mathbf{B}_C</math></center>

Para el segundo término del torque magnético, en primera aproximación nos basta con el campo en el centro de la distribución de carga

<center><math>\mathbf{M}_{m2} = \int \rho \mathbf{r}'\times((\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B}_C)\mathrm{d}\tau =\int \rho \mathbf{r}'\times((\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})\mathbf{r}'-(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\vec{\omega})\mathrm{d}\tau</math></center>

En el primer producto vectorial aparece <math>\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'</math>, que se anula. En el segundo

<center><math>M_i = -\int \rho(\varepsilon_{ijk}x'_jx'_rB_r\omega_k\,\mathrm{d}\tau = -\gamma QR^2 \varepsilon_{ijk}\delta_{jr}B_r\omega_k -\gamma QR^2 \varepsilon_{ijk}B_j\omega_k</math></center>

En forma vectorial

<center><math>\mathbf{M}_{m2}=\gamma QR^2 \vec{\omega}\times\mathbf{B}_C\,</math></center>

Sumando los dos términos obtenemos el torque debido al campo magnético

<center><math>\mathbf{M}_m = \gamma QR^2((\mathbf{v}_C\cdot\nabla)\mathbf{B}_C +\vec{\omega}\times\mathbf{B}_C)\,</math></center>

Puesto que el torque de origen eléctrico es nulo, este es todo el torque sobre la distribución

<center><math>\mathbf{M}=\mathbf{M}_e+\mathbf{M}_m = \gamma QR^2((\mathbf{v}_C\cdot\nabla)\mathbf{B}_C +\vec{\omega}\times\mathbf{B}_C)\,</math></center>

Fuerza de Lorentz sobre una esfera en rotación

Gonfer — Mon, 15 Mar 2010 23:16:31 GMT

Gonfer: /* Fuerza eléctrica */

==Introducción==
Suponemos una distribución de carga que posee simetría esférica alrededor de un punto central <math>\mathbf{r}_C</math>, de forma que su densidad de carga verifica

<center><math>\rho(\mathbf{r})=\rho(r')\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{r}'=\mathbf{r}-\mathbf{r}_C\qquad r'=|\mathbf{r}'|</math></center>

Suponemos que esta distribución de carga está localizada, de forma que tiende a cero rápidamente cuando <math>r'</math> crece

Esta distribución de carga se mueve rígidamente, de forma que la velocidad de cada punto puede escribirse como

<center><math>\mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}'</math></center>

Asimismo, esta distribución se encuentra en el seno de un campo electromagnético externo, de forma que cada elemento de carga se encuentra sometido a una fuerza

<center><math>\mathrm{d}\mathbf{F}=\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

==Fuerza sobre la distribución==
La fuerza neta sobre la distribución de carga será la resultante de las fuerzas diferenciales

<center><math>\mathbf{F}=\int \mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Veamos cada contribución por separado.
===Fuerza eléctrica===
La fuerza eléctrica sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=\int \rho\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Podemos calcular una expresión aproximada para esta fuerza aplicando que la distribución de carga está localizada en torno a su centro, de manera que podemos sustituir el campo eléctrico por su desarrollo en serie de Taylor en torno al centro de la distribución

<center><math>\mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{E}_C = \mathbf{r}'\cdot\mathbf{E}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C + \cdots</math></center>

donde <math>\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\nabla\mathbf{E}_C</math> son constantes iguales al valor del campo y sus derivadas sucesivas en el centro de la distribución.

De esta forma la fuerza eléctrica viene dada por la serie

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}= \int \rho \mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+ \int \rho \mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau + \frac{1}{2}\int \rho \mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+\cdots</math></center>

y, sacando las constantes fuera de las integrales

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=Q\mathbf{E}_C+(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}+\frac{1}{2}\mathsf{Q}:\nabla\nabla\mathbf{E}_C+\cdots</math></center>

donde

<center><math>Q=\int\rho\,\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{p}=\int\rho\,\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathsf{Q}=\int \rho\mathbf{r}'\mathbf{r}'\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí <math>Q</math> es la carga neta de la distribución. <math>\mathbf{p}</math> es el momento dipolar, el cual se anula debido a la simetría de la distribución.

El término <math>\mathsf{Q}</math> es un tensor. Por la simetría de la distribución, este tensor es realmente un escalar, ya que

<center><math>Q_{ik}=\int \rho x'_ix'_k\,\mathrm{d}\tau=0\qquad(i\neq k)</math></center>

y

<center><math>Q_{ii}=\int \rho {x'_i}^2\,\mathrm{d}\tau = \frac{1}{3}\int \rho r'^2 \,\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \qquad (i=k)</math></center>

aquí <math>\gamma</math> es un coeficiente que depende de la forma concreta de la distribución. Para una esfera cargada uniformemente en volumen vale 1/5, para una cargada en superficie es 1/3, para un decaimiento exponencial vale 4. Reuniendo los dos resultados

<center><math>\mathsf{Q}=\gamma Q R^2 \mathsf{I}\,</math></center>

o, empleando subíndices

<center><math>\int \rho x'_ix'_j\,\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \delta_{ij}</math></center>

Llevando esto a la expresión de la fuerza, queda

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\mathsf{I}:\nabla\nabla\mathbf{E}+\cdots</math></center>

pero la contracción del tensor unidad con el gradiente del gradiente es simplemente el laplaciano

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\nabla^2\mathbf{E}+\cdots</math></center>

Ahora, para un campo eléctrico externo estático y debido a cargas en posiciones no coincidentes con la distribución (como es el caso del campo de un núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo eléctrico se anula y la fuerza se reduce a

<center><math>\mathbf{F}=Q\mathbf{E}_C</math></center>

Hay que señalar que el término en <math>QR^2</math> '''no''' es un término cuadrupolar. El término cuadrupolar se refiere a la componente simétrica de traza nula. El término que sale aquí se debe a que el centro de fuerzas eléctricas no coincide con el centro de la distribución.

===Fuerza magnética===
La fuerza magnética sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int \rho\mathbf{v}\times\mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Sustituyendo la expresión de la velocidad

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int\rho(\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B}\mathrm{d}\tau</math></center>

Para el primer término tenemos

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=\int \rho\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}\mathrm{d}\tau = \mathbf{v}_C\times\int\rho \mathbf{B}\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí podemos hacer el mismo desarrollo que para el campo eléctrico y nos queda

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C + \frac{\gamma QR^2}{2}\mathbf{v}_C\times(\nabla^2\mathbf{B})</math></center>

De nuevo, si este campo magnético se debe a fuentes situadas fuera de la distribución (como el núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo magnético es nulo y este término se reduce a

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C</math></center>

Para el segundo término desarrollamos el doble producto vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m2}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\mathrm{d}\tau=\mathbf{F}_{m21}+\mathbf{F}_{m22}</math></center>

Aplicando ahora la serie de Taylor para el campo magnético

<center><math>\mathbf{B}=\mathbf{B}_C+\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{B}</math></center>

obtenemos en primer lugar

<center><math>\mathbf{F}_{m21}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B}_C)\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau+\int_\rho(\vec{\omega}\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}))\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau</math></center>

En primer término es nulo, por la simetría. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>F_{m21i}=\int \rho x_i\omega_j(x_k\partial_k B_j)\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \delta_{ik} \omega_j\partial_k B_j = \gamma QR^2 \partial_i(\omega_jB_j)\,</math></center>

o, en forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m21} = \gamma QR^2 \nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

Para <math>\mathbf{F}_{m22}</math> tenemos, igualmente

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\mathrm{d}\tau =-\vec{\omega}\int \rho\mathbf{r}'\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{B}_C)\mathrm{d}\tau</math></center>

Empleando de nuevo subíndices

<center><math>F_{m22i} = -\omega_i \int \rho x'_jx'_k\partial_k B_j\mathrm{d}\tau = -\omega_i \gamma QR^2 \delta_{jk}\partial_kB_j=-\omega_i \gamma QR^2 \partial_jB_j\,</math>
</center>

En forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\vec{\omega}\gamma QR^2 \nabla\cdot\mathbf{B}</math></center>

pero la divergencia del campo magnético es siempre nula, por lo que este término se anula. Nos queda por tanto la fuerza magnética

<center><math>\mathbf{F}_m = Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C+ \gamma QR^2\nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

===Fuerza total===
Sumando las fuerzas eléctrica y magnética obtenemos la fuerza neta

<center><math>\mathbf{F}=Q(\mathbf{E}_C+\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C)+\gamma QR^2 \nabla(\omega\cdot\mathbf{B})</math></center>

Si las fuentes del campo eléctrico y magnético coinciden con lso puntos de la distribución, habrá que añadir los términos correspondientes a los laplacianos de los campos.

==Momento sobre la distribución==
De manera análoga se halla el momento de las fuerzas respecto al centro de la distribución. Este momento será

<center><math>\mathbf{M}_C=\int \mathbf{r}'\times\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Como con la fuerza, consideraremos cada momento por separado
===Torque eléctrico===
Para el término eléctrico, aplicando de nuevo la serie de Taylor nos queda

<center><math>\mathbf{M}_e=\int\rho\mathbf{r}'\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau=
\int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}_C+(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{E}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

El primer término se anula, por la simetría de la distribución. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>M_i = \int \rho \varepsilon_{ijk}x_jx_r\partial_r E_k = \gamma Q R^2 \varepsilon_{ijk} \delta_{jr} \partial_rE_k = \gamma QR^2 \varepsilon_{ijk}\partial_jE_k</math></center>

o, en forma vectorial,

<center><math>\mathbf{M}_e= \gamma QR^2\nabla\times\mathbf{E}</math></center>

Pero, si el campo externo es estacionario, este rotacional se anula y

<center><math>\mathbf{M}_e=\mathbf{0}</math></center>

===Torque magnético===
Para el torque de origen magnético sustituimos la expresión de la velocidad

<center><math>\mathbf{M}_m = \int \rho \mathbf{r}'\times((\mathbf{v}_c+\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Desglosamos en los diferentes términos e introducimos la serie de Taylor del
campo magnético.

En primer lugar tenemos

<center><math>\mathbf{M}_{m1}=\int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{v}_C\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau = \int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{v}_C\times(\mathbf{B}_C+\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Como de costumbre, el primer término, lineal en <math>\mathbf{r}'</math> se anula por la simetría. Para el segundo desarrollamos el doble producto vectorial

<center><math>\mathbf{M}_{m1}=\mathbf{v}_C\int \rho(\mathbf{r}'\cdot((\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau-\int\rho(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{v}_C)(\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Separamos los dos términos. Para el primero, empleando subíndices

<center><math>
M_i = v_i \int\rho(x_j x_k\partial_kB_j)\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 v_i \delta_{jk}\partial_k B_j = \gamma QR^2 v_i \partial_jB_j</math></center>

o, en forma vectorial

<center><math>\mathbf{M}_{m11}=\gamma QR^2 \mathbf{v}(\nabla\cdot\mathbf{B}) = \mathbf{0}</math></center>

Para el segundo, empleando también subíndices

<center><math>M_i = \int \rho(v_jx'_jx'_k\partial_kB_i)\,\mathrm{d}\tau = \gamma Q R^2 v_j\delta_{jk}\partial_k B_i = \gamma QR^2 v_j\partial_jB_i</math></center>

Vectorialmente

<center><math>\mathbf{M}_{m1}=\gamma QR^2 (\mathbf{v}_C\cdot\nabla)\mathbf{B}_C</math></center>

Para el segundo término del torque magnético, en primera aproximación nos basta con el campo en el centro de la distribución de carga

<center><math>\mathbf{M}_{m2} = \int \rho \mathbf{r}'\times((\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B}_C)\mathrm{d}\tau =\int \rho \mathbf{r}'\times((\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})\mathbf{r}'-(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\vec{\omega})\mathrm{d}\tau</math></center>

En el primer producto vectorial aparece <math>\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'</math>, que se anula. En el segundo

<center><math>M_i = -\int \rho(\varepsilon_{ijk}x'_jx'_rB_r\omega_k\,\mathrm{d}\tau = -\gamma QR^2 \varepsilon_{ijk}\delta_{jr}B_r\omega_k -\gamma QR^2 \varepsilon_{ijk}B_j\omega_k</math></center>

En forma vectorial

<center><math>\mathbf{M}_{m2}=\gamma QR^2 \vec{\omega}\times\mathbf{B}_C\,</math></center>

Sumando los dos términos obtenemos el torque debido al campo magnético

<center><math>\mathbf{M}_m = \gamma QR^2((\mathbf{v}_C\cdot\nabla)\mathbf{B}_C +\vec{\omega}\times\mathbf{B}_C)\,</math></center>

Puesto que el torque de origen eléctrico es nulo, este es todo el torque sobre la distribución

<center><math>\mathbf{M}=\mathbf{M}_e+\mathbf{M}_m = \gamma QR^2((\mathbf{v}_C\cdot\nabla)\mathbf{B}_C +\vec{\omega}\times\mathbf{B}_C)\,</math></center>

Fuerza de Lorentz sobre una esfera en rotación

Gonfer — Mon, 15 Mar 2010 23:15:16 GMT

Gonfer: /* Torque magnético */

==Introducción==
Suponemos una distribución de carga que posee simetría esférica alrededor de un punto central <math>\mathbf{r}_C</math>, de forma que su densidad de carga verifica

<center><math>\rho(\mathbf{r})=\rho(r')\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{r}'=\mathbf{r}-\mathbf{r}_C\qquad r'=|\mathbf{r}'|</math></center>

Suponemos que esta distribución de carga está localizada, de forma que tiende a cero rápidamente cuando <math>r'</math> crece

Esta distribución de carga se mueve rígidamente, de forma que la velocidad de cada punto puede escribirse como

<center><math>\mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}'</math></center>

Asimismo, esta distribución se encuentra en el seno de un campo electromagnético externo, de forma que cada elemento de carga se encuentra sometido a una fuerza

<center><math>\mathrm{d}\mathbf{F}=\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

==Fuerza sobre la distribución==
La fuerza neta sobre la distribución de carga será la resultante de las fuerzas diferenciales

<center><math>\mathbf{F}=\int \mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Veamos cada contribución por separado.
===Fuerza eléctrica===
La fuerza eléctrica sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=\int \rho\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Podemos calcular una expresión aproximada para esta fuerza aplicando que la distribución de carga está localizada en torno a su centro, de manera que podemos sustituir el campo eléctrico por su desarrollo en serie de Taylor en torno al centro de la distribución

<center><math>\mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{E}_C = \mathbf{r}'\cdot\mathbf{E}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C + \cdots</math></center>

donde <math>\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\nabla\mathbf{E}_C</math> son constantes iguales al valor del campo y sus derivadas sucesivas en el centro de la distribución.

De esta forma la fuerza eléctrica viene dada por la serie

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}= \int \rho \mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+ \int \rho \mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau + \frac{1}{2}\int \rho \mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+\cdots</math></center>

y, sacando las constantes fuera de las integrales

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=Q\mathbf{E}_C+(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}+\frac{1}{2}\mathsf{Q}:\nabla\nabla\mathbf{E}_C+\cdots</math></center>

donde

<center><math>Q=\int\rho\,\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{p}=\int\rho\,\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathsf{Q}=\int \rho\mathbf{r}'\mathbf{r}'\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí <math>Q</math> es la carga neta de la distribución. <math>\mathbf{p}</math> es el momento dipolar, el cual se anula debido a la simetría de la distribución.

El término <math>\mathsf{Q}</math> es un tensor. Por la simetría de la distribución, este tensor es realmente un escalar, ya que

<center><math>Q_{ik}=\int \rho x'_ix'_k\,\mathrm{d}\tau=0\qquad(i\neq k)</math></center>

y

<center><math>Q_{ii}=\int \rho {x'_i}^2\,\mathrm{d}\tau = \frac{1}{3}\int \rho r'^2 \,\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \qquad (i=k)</math></center>

aquí <math>\gamma</math> es un coeficiente que depende de la forma concreta de la distribución. Para una esfera cargada uniformemente en volumen vale 1/5, para una cargada en superficie es 1/3, para un decaimiento exponencial vale 4. Reuniendo los dos resultados

<center><math>\mathsf{Q}=\gamma Q R^2 \mathsf{I}\,</math></center>

Llevando esto a la expresión de la fuerza, queda

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\mathsf{I}:\nabla\nabla\mathbf{E}+\cdots</math></center>

pero la contracción del tensor unidad con el gradiente del gradiente es simplemente el laplaciano

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\nabla^2\mathbf{E}+\cdots</math></center>

Ahora, para un campo eléctrico externo estático y debido a cargas en posiciones no coincidentes con la distribución (como es el caso del campo de un núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo eléctrico se anula y la fuerza se reduce a

<center><math>\mathbf{F}=Q\mathbf{E}_C</math></center>

Hay que señalar que el término en <math>QR^2</math> '''no''' es un término cuadrupolar. El término cuadrupolar se refiere a la componente simétrica de traza nula. El término que sale aquí se debe a que el centro de fuerzas eléctricas no coincide con el centro de la distribución.

===Fuerza magnética===
La fuerza magnética sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int \rho\mathbf{v}\times\mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Sustituyendo la expresión de la velocidad

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int\rho(\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B}\mathrm{d}\tau</math></center>

Para el primer término tenemos

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=\int \rho\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}\mathrm{d}\tau = \mathbf{v}_C\times\int\rho \mathbf{B}\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí podemos hacer el mismo desarrollo que para el campo eléctrico y nos queda

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C + \frac{\gamma QR^2}{2}\mathbf{v}_C\times(\nabla^2\mathbf{B})</math></center>

De nuevo, si este campo magnético se debe a fuentes situadas fuera de la distribución (como el núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo magnético es nulo y este término se reduce a

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C</math></center>

Para el segundo término desarrollamos el doble producto vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m2}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\mathrm{d}\tau=\mathbf{F}_{m21}+\mathbf{F}_{m22}</math></center>

Aplicando ahora la serie de Taylor para el campo magnético

<center><math>\mathbf{B}=\mathbf{B}_C+\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{B}</math></center>

obtenemos en primer lugar

<center><math>\mathbf{F}_{m21}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B}_C)\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau+\int_\rho(\vec{\omega}\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}))\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau</math></center>

En primer término es nulo, por la simetría. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>F_{m21i}=\int \rho x_i\omega_j(x_k\partial_k B_j)\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \delta_{ik} \omega_j\partial_k B_j = \gamma QR^2 \partial_i(\omega_jB_j)\,</math></center>

o, en forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m21} = \gamma QR^2 \nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

Para <math>\mathbf{F}_{m22}</math> tenemos, igualmente

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\mathrm{d}\tau =-\vec{\omega}\int \rho\mathbf{r}'\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{B}_C)\mathrm{d}\tau</math></center>

Empleando de nuevo subíndices

<center><math>F_{m22i} = -\omega_i \int \rho x'_jx'_k\partial_k B_j\mathrm{d}\tau = -\omega_i \gamma QR^2 \delta_{jk}\partial_kB_j=-\omega_i \gamma QR^2 \partial_jB_j\,</math>
</center>

En forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\vec{\omega}\gamma QR^2 \nabla\cdot\mathbf{B}</math></center>

pero la divergencia del campo magnético es siempre nula, por lo que este término se anula. Nos queda por tanto la fuerza magnética

<center><math>\mathbf{F}_m = Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C+ \gamma QR^2\nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

===Fuerza total===
Sumando las fuerzas eléctrica y magnética obtenemos la fuerza neta

<center><math>\mathbf{F}=Q(\mathbf{E}_C+\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C)+\gamma QR^2 \nabla(\omega\cdot\mathbf{B})</math></center>

Si las fuentes del campo eléctrico y magnético coinciden con lso puntos de la distribución, habrá que añadir los términos correspondientes a los laplacianos de los campos.

==Momento sobre la distribución==
De manera análoga se halla el momento de las fuerzas respecto al centro de la distribución. Este momento será

<center><math>\mathbf{M}_C=\int \mathbf{r}'\times\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Como con la fuerza, consideraremos cada momento por separado
===Torque eléctrico===
Para el término eléctrico, aplicando de nuevo la serie de Taylor nos queda

<center><math>\mathbf{M}_e=\int\rho\mathbf{r}'\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau=
\int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}_C+(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{E}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

El primer término se anula, por la simetría de la distribución. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>M_i = \int \rho \varepsilon_{ijk}x_jx_r\partial_r E_k = \gamma Q R^2 \varepsilon_{ijk} \delta_{jr} \partial_rE_k = \gamma QR^2 \varepsilon_{ijk}\partial_jE_k</math></center>

o, en forma vectorial,

<center><math>\mathbf{M}_e= \gamma QR^2\nabla\times\mathbf{E}</math></center>

Pero, si el campo externo es estacionario, este rotacional se anula y

<center><math>\mathbf{M}_e=\mathbf{0}</math></center>

===Torque magnético===
Para el torque de origen magnético sustituimos la expresión de la velocidad

<center><math>\mathbf{M}_m = \int \rho \mathbf{r}'\times((\mathbf{v}_c+\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Desglosamos en los diferentes términos e introducimos la serie de Taylor del
campo magnético.

En primer lugar tenemos

<center><math>\mathbf{M}_{m1}=\int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{v}_C\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau = \int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{v}_C\times(\mathbf{B}_C+\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Como de costumbre, el primer término, lineal en <math>\mathbf{r}'</math> se anula por la simetría. Para el segundo desarrollamos el doble producto vectorial

<center><math>\mathbf{M}_{m1}=\mathbf{v}_C\int \rho(\mathbf{r}'\cdot((\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau-\int\rho(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{v}_C)(\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Separamos los dos términos. Para el primero, empleando subíndices

<center><math>
M_i = v_i \int\rho(x_j x_k\partial_kB_j)\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 v_i \delta_{jk}\partial_k B_j = \gamma QR^2 v_i \partial_jB_j</math></center>

o, en forma vectorial

<center><math>\mathbf{M}_{m11}=\gamma QR^2 \mathbf{v}(\nabla\cdot\mathbf{B}) = \mathbf{0}</math></center>

Para el segundo, empleando también subíndices

<center><math>M_i = \int \rho(v_jx'_jx'_k\partial_kB_i)\,\mathrm{d}\tau = \gamma Q R^2 v_j\delta_{jk}\partial_k B_i = \gamma QR^2 v_j\partial_jB_i</math></center>

Vectorialmente

<center><math>\mathbf{M}_{m1}=\gamma QR^2 (\mathbf{v}_C\cdot\nabla)\mathbf{B}_C</math></center>

Para el segundo término del torque magnético, en primera aproximación nos basta con el campo en el centro de la distribución de carga

<center><math>\mathbf{M}_{m2} = \int \rho \mathbf{r}'\times((\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B}_C)\mathrm{d}\tau =\int \rho \mathbf{r}'\times((\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})\mathbf{r}'-(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\vec{\omega})\mathrm{d}\tau</math></center>

En el primer producto vectorial aparece <math>\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'</math>, que se anula. En el segundo

<center><math>M_i = -\int \rho(\varepsilon_{ijk}x'_jx'_rB_r\omega_k\,\mathrm{d}\tau = -\gamma QR^2 \varepsilon_{ijk}\delta_{jr}B_r\omega_k -\gamma QR^2 \varepsilon_{ijk}B_j\omega_k</math></center>

En forma vectorial

<center><math>\mathbf{M}_{m2}=\gamma QR^2 \vec{\omega}\times\mathbf{B}_C\,</math></center>

Sumando los dos términos obtenemos el torque debido al campo magnético

<center><math>\mathbf{M}_m = \gamma QR^2((\mathbf{v}_C\cdot\nabla)\mathbf{B}_C +\vec{\omega}\times\mathbf{B}_C)\,</math></center>

Puesto que el torque de origen eléctrico es nulo, este es todo el torque sobre la distribución

<center><math>\mathbf{M}=\mathbf{M}_e+\mathbf{M}_m = \gamma QR^2((\mathbf{v}_C\cdot\nabla)\mathbf{B}_C +\vec{\omega}\times\mathbf{B}_C)\,</math></center>

Fuerza de Lorentz sobre una esfera en rotación

Gonfer — Mon, 15 Mar 2010 23:14:02 GMT

Gonfer: /* Torque magnético */

==Introducción==
Suponemos una distribución de carga que posee simetría esférica alrededor de un punto central <math>\mathbf{r}_C</math>, de forma que su densidad de carga verifica

<center><math>\rho(\mathbf{r})=\rho(r')\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{r}'=\mathbf{r}-\mathbf{r}_C\qquad r'=|\mathbf{r}'|</math></center>

Suponemos que esta distribución de carga está localizada, de forma que tiende a cero rápidamente cuando <math>r'</math> crece

Esta distribución de carga se mueve rígidamente, de forma que la velocidad de cada punto puede escribirse como

<center><math>\mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}'</math></center>

Asimismo, esta distribución se encuentra en el seno de un campo electromagnético externo, de forma que cada elemento de carga se encuentra sometido a una fuerza

<center><math>\mathrm{d}\mathbf{F}=\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

==Fuerza sobre la distribución==
La fuerza neta sobre la distribución de carga será la resultante de las fuerzas diferenciales

<center><math>\mathbf{F}=\int \mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Veamos cada contribución por separado.
===Fuerza eléctrica===
La fuerza eléctrica sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=\int \rho\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Podemos calcular una expresión aproximada para esta fuerza aplicando que la distribución de carga está localizada en torno a su centro, de manera que podemos sustituir el campo eléctrico por su desarrollo en serie de Taylor en torno al centro de la distribución

<center><math>\mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{E}_C = \mathbf{r}'\cdot\mathbf{E}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C + \cdots</math></center>

donde <math>\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\nabla\mathbf{E}_C</math> son constantes iguales al valor del campo y sus derivadas sucesivas en el centro de la distribución.

De esta forma la fuerza eléctrica viene dada por la serie

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}= \int \rho \mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+ \int \rho \mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau + \frac{1}{2}\int \rho \mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+\cdots</math></center>

y, sacando las constantes fuera de las integrales

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=Q\mathbf{E}_C+(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}+\frac{1}{2}\mathsf{Q}:\nabla\nabla\mathbf{E}_C+\cdots</math></center>

donde

<center><math>Q=\int\rho\,\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{p}=\int\rho\,\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathsf{Q}=\int \rho\mathbf{r}'\mathbf{r}'\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí <math>Q</math> es la carga neta de la distribución. <math>\mathbf{p}</math> es el momento dipolar, el cual se anula debido a la simetría de la distribución.

El término <math>\mathsf{Q}</math> es un tensor. Por la simetría de la distribución, este tensor es realmente un escalar, ya que

<center><math>Q_{ik}=\int \rho x'_ix'_k\,\mathrm{d}\tau=0\qquad(i\neq k)</math></center>

y

<center><math>Q_{ii}=\int \rho {x'_i}^2\,\mathrm{d}\tau = \frac{1}{3}\int \rho r'^2 \,\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \qquad (i=k)</math></center>

aquí <math>\gamma</math> es un coeficiente que depende de la forma concreta de la distribución. Para una esfera cargada uniformemente en volumen vale 1/5, para una cargada en superficie es 1/3, para un decaimiento exponencial vale 4. Reuniendo los dos resultados

<center><math>\mathsf{Q}=\gamma Q R^2 \mathsf{I}\,</math></center>

Llevando esto a la expresión de la fuerza, queda

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\mathsf{I}:\nabla\nabla\mathbf{E}+\cdots</math></center>

pero la contracción del tensor unidad con el gradiente del gradiente es simplemente el laplaciano

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\nabla^2\mathbf{E}+\cdots</math></center>

Ahora, para un campo eléctrico externo estático y debido a cargas en posiciones no coincidentes con la distribución (como es el caso del campo de un núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo eléctrico se anula y la fuerza se reduce a

<center><math>\mathbf{F}=Q\mathbf{E}_C</math></center>

Hay que señalar que el término en <math>QR^2</math> '''no''' es un término cuadrupolar. El término cuadrupolar se refiere a la componente simétrica de traza nula. El término que sale aquí se debe a que el centro de fuerzas eléctricas no coincide con el centro de la distribución.

===Fuerza magnética===
La fuerza magnética sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int \rho\mathbf{v}\times\mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Sustituyendo la expresión de la velocidad

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int\rho(\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B}\mathrm{d}\tau</math></center>

Para el primer término tenemos

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=\int \rho\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}\mathrm{d}\tau = \mathbf{v}_C\times\int\rho \mathbf{B}\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí podemos hacer el mismo desarrollo que para el campo eléctrico y nos queda

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C + \frac{\gamma QR^2}{2}\mathbf{v}_C\times(\nabla^2\mathbf{B})</math></center>

De nuevo, si este campo magnético se debe a fuentes situadas fuera de la distribución (como el núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo magnético es nulo y este término se reduce a

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C</math></center>

Para el segundo término desarrollamos el doble producto vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m2}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\mathrm{d}\tau=\mathbf{F}_{m21}+\mathbf{F}_{m22}</math></center>

Aplicando ahora la serie de Taylor para el campo magnético

<center><math>\mathbf{B}=\mathbf{B}_C+\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{B}</math></center>

obtenemos en primer lugar

<center><math>\mathbf{F}_{m21}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B}_C)\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau+\int_\rho(\vec{\omega}\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}))\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau</math></center>

En primer término es nulo, por la simetría. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>F_{m21i}=\int \rho x_i\omega_j(x_k\partial_k B_j)\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \delta_{ik} \omega_j\partial_k B_j = \gamma QR^2 \partial_i(\omega_jB_j)\,</math></center>

o, en forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m21} = \gamma QR^2 \nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

Para <math>\mathbf{F}_{m22}</math> tenemos, igualmente

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\mathrm{d}\tau =-\vec{\omega}\int \rho\mathbf{r}'\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{B}_C)\mathrm{d}\tau</math></center>

Empleando de nuevo subíndices

<center><math>F_{m22i} = -\omega_i \int \rho x'_jx'_k\partial_k B_j\mathrm{d}\tau = -\omega_i \gamma QR^2 \delta_{jk}\partial_kB_j=-\omega_i \gamma QR^2 \partial_jB_j\,</math>
</center>

En forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\vec{\omega}\gamma QR^2 \nabla\cdot\mathbf{B}</math></center>

pero la divergencia del campo magnético es siempre nula, por lo que este término se anula. Nos queda por tanto la fuerza magnética

<center><math>\mathbf{F}_m = Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C+ \gamma QR^2\nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

===Fuerza total===
Sumando las fuerzas eléctrica y magnética obtenemos la fuerza neta

<center><math>\mathbf{F}=Q(\mathbf{E}_C+\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C)+\gamma QR^2 \nabla(\omega\cdot\mathbf{B})</math></center>

Si las fuentes del campo eléctrico y magnético coinciden con lso puntos de la distribución, habrá que añadir los términos correspondientes a los laplacianos de los campos.

==Momento sobre la distribución==
De manera análoga se halla el momento de las fuerzas respecto al centro de la distribución. Este momento será

<center><math>\mathbf{M}_C=\int \mathbf{r}'\times\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Como con la fuerza, consideraremos cada momento por separado
===Torque eléctrico===
Para el término eléctrico, aplicando de nuevo la serie de Taylor nos queda

<center><math>\mathbf{M}_e=\int\rho\mathbf{r}'\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau=
\int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}_C+(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{E}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

El primer término se anula, por la simetría de la distribución. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>M_i = \int \rho \varepsilon_{ijk}x_jx_r\partial_r E_k = \gamma Q R^2 \varepsilon_{ijk} \delta_{jr} \partial_rE_k = \gamma QR^2 \varepsilon_{ijk}\partial_jE_k</math></center>

o, en forma vectorial,

<center><math>\mathbf{M}_e= \gamma QR^2\nabla\times\mathbf{E}</math></center>

Pero, si el campo externo es estacionario, este rotacional se anula y

<center><math>\mathbf{M}_e=\mathbf{0}</math></center>

===Torque magnético===
Para el torque de origen magnético sustituimos la expresión de la velocidad

<center><math>\mathbf{M}_m = \int \rho \mathbf{r}'\times((\mathbf{v}_c+\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Desglosamos en los diferentes términos e introducimos la serie de Taylor del
campo magnético.

En primer lugar tenemos

<center><math>\mathbf{M}_{m1}=\int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{v}_C\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau = \int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{v}_C\times(\mathbf{B}_C+\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Como de costumbre, el primer término, lineal en <math>\mathbf{r}'</math> se anula por la simetría. Para el segundo desarrollamos el doble producto vectorial

<center><math>\mathbf{M}_{m1}=\mathbf{v}_C\int \rho(\mathbf{r}'\cdot((\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau-\int\rho(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{v}_C)(\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Separamos los dos términos. Para el primero, empleando subíndices

<center><math>
M_i = v_i \int\rho(x_j x_k\partial_kB_j)\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 v_i \delta_{jk}\partial_k B_j = \gamma QR^2 v_i \partial_jB_j</math></center>

o, en forma vectorial

<center><math>\mathbf{M}_{m11}=\gamma QR^2 \mathbf{v}(\nabla\cdot\mathbf{B}) = \mathbf{0}</math></center>

Para el segundo, empleando también subíndices

<center><math>M_i = \int \rho(v_jx'_jx'_k\partial_kB_i)\,\mathrm{d}\tau = \gamma Q R^2 v_j\delta_{jk}\partial_k B_i = \gamma QR^2 v_j\partial_jB_i</math></center>

Vectorialmente

<center><math>\mathbf{M}_{m1}=\gamma QR^2 (\mathbf{v}_C\cdot\nabla)\mathbf{B}_C</math></center>

Para el segundo término del torque magnético, en primera aproximación nos basta con el campo en el centro de la distribución de carga

<center><math>\mathbf{M}_{m2} = \int \rho \mathbf{r}'\times((\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B}_C)\mathrm{d}\tau =\int \rho \mathbf{r}'\times((\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})\mathbf{r}'-(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\vec{\omega})\mathrm{d}\tau</math></center>

En el primer producto vectorial aparece <math>\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'</math>, que se anula. En el segundo

<center><math>M_i = -\int \rho(\varepsilon_{ijk}x'_jx'_rB_r\omega_k\,\mathrm{d}\tau = -\gamma QR^2 \varepsilon_{ijk}\delta_{jr}B_r\omega_k -\gamma QR^2 \varepsilon_{ijk}B_j\omega_k</math></center>

En forma vectorial

<center><math>\mathbf{M}_{m2}=\gamma QR^2 \vec{\omega}\times\mathbf{B}_C\,</math></center>

Sumando los dos términos obtenemos el torque debido al campo magnético

<center><math>\mathbf{M}_m = \gamma QR^2((\mathbf{v}_C\cdot\nabla)\mathbf{B}_C +\vec{\omega}\times\mathbf{B}_C)\,</math></center>

Fuerza de Lorentz sobre una esfera en rotación

Gonfer — Mon, 15 Mar 2010 23:07:38 GMT

Gonfer: /* Torque magnético */

==Introducción==
Suponemos una distribución de carga que posee simetría esférica alrededor de un punto central <math>\mathbf{r}_C</math>, de forma que su densidad de carga verifica

<center><math>\rho(\mathbf{r})=\rho(r')\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{r}'=\mathbf{r}-\mathbf{r}_C\qquad r'=|\mathbf{r}'|</math></center>

Suponemos que esta distribución de carga está localizada, de forma que tiende a cero rápidamente cuando <math>r'</math> crece

Esta distribución de carga se mueve rígidamente, de forma que la velocidad de cada punto puede escribirse como

<center><math>\mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}'</math></center>

Asimismo, esta distribución se encuentra en el seno de un campo electromagnético externo, de forma que cada elemento de carga se encuentra sometido a una fuerza

<center><math>\mathrm{d}\mathbf{F}=\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

==Fuerza sobre la distribución==
La fuerza neta sobre la distribución de carga será la resultante de las fuerzas diferenciales

<center><math>\mathbf{F}=\int \mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Veamos cada contribución por separado.
===Fuerza eléctrica===
La fuerza eléctrica sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=\int \rho\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Podemos calcular una expresión aproximada para esta fuerza aplicando que la distribución de carga está localizada en torno a su centro, de manera que podemos sustituir el campo eléctrico por su desarrollo en serie de Taylor en torno al centro de la distribución

<center><math>\mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{E}_C = \mathbf{r}'\cdot\mathbf{E}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C + \cdots</math></center>

donde <math>\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\nabla\mathbf{E}_C</math> son constantes iguales al valor del campo y sus derivadas sucesivas en el centro de la distribución.

De esta forma la fuerza eléctrica viene dada por la serie

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}= \int \rho \mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+ \int \rho \mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau + \frac{1}{2}\int \rho \mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+\cdots</math></center>

y, sacando las constantes fuera de las integrales

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=Q\mathbf{E}_C+(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}+\frac{1}{2}\mathsf{Q}:\nabla\nabla\mathbf{E}_C+\cdots</math></center>

donde

<center><math>Q=\int\rho\,\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{p}=\int\rho\,\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathsf{Q}=\int \rho\mathbf{r}'\mathbf{r}'\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí <math>Q</math> es la carga neta de la distribución. <math>\mathbf{p}</math> es el momento dipolar, el cual se anula debido a la simetría de la distribución.

El término <math>\mathsf{Q}</math> es un tensor. Por la simetría de la distribución, este tensor es realmente un escalar, ya que

<center><math>Q_{ik}=\int \rho x'_ix'_k\,\mathrm{d}\tau=0\qquad(i\neq k)</math></center>

y

<center><math>Q_{ii}=\int \rho {x'_i}^2\,\mathrm{d}\tau = \frac{1}{3}\int \rho r'^2 \,\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \qquad (i=k)</math></center>

aquí <math>\gamma</math> es un coeficiente que depende de la forma concreta de la distribución. Para una esfera cargada uniformemente en volumen vale 1/5, para una cargada en superficie es 1/3, para un decaimiento exponencial vale 4. Reuniendo los dos resultados

<center><math>\mathsf{Q}=\gamma Q R^2 \mathsf{I}\,</math></center>

Llevando esto a la expresión de la fuerza, queda

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\mathsf{I}:\nabla\nabla\mathbf{E}+\cdots</math></center>

pero la contracción del tensor unidad con el gradiente del gradiente es simplemente el laplaciano

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\nabla^2\mathbf{E}+\cdots</math></center>

Ahora, para un campo eléctrico externo estático y debido a cargas en posiciones no coincidentes con la distribución (como es el caso del campo de un núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo eléctrico se anula y la fuerza se reduce a

<center><math>\mathbf{F}=Q\mathbf{E}_C</math></center>

Hay que señalar que el término en <math>QR^2</math> '''no''' es un término cuadrupolar. El término cuadrupolar se refiere a la componente simétrica de traza nula. El término que sale aquí se debe a que el centro de fuerzas eléctricas no coincide con el centro de la distribución.

===Fuerza magnética===
La fuerza magnética sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int \rho\mathbf{v}\times\mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Sustituyendo la expresión de la velocidad

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int\rho(\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B}\mathrm{d}\tau</math></center>

Para el primer término tenemos

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=\int \rho\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}\mathrm{d}\tau = \mathbf{v}_C\times\int\rho \mathbf{B}\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí podemos hacer el mismo desarrollo que para el campo eléctrico y nos queda

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C + \frac{\gamma QR^2}{2}\mathbf{v}_C\times(\nabla^2\mathbf{B})</math></center>

De nuevo, si este campo magnético se debe a fuentes situadas fuera de la distribución (como el núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo magnético es nulo y este término se reduce a

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C</math></center>

Para el segundo término desarrollamos el doble producto vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m2}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\mathrm{d}\tau=\mathbf{F}_{m21}+\mathbf{F}_{m22}</math></center>

Aplicando ahora la serie de Taylor para el campo magnético

<center><math>\mathbf{B}=\mathbf{B}_C+\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{B}</math></center>

obtenemos en primer lugar

<center><math>\mathbf{F}_{m21}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B}_C)\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau+\int_\rho(\vec{\omega}\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}))\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau</math></center>

En primer término es nulo, por la simetría. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>F_{m21i}=\int \rho x_i\omega_j(x_k\partial_k B_j)\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \delta_{ik} \omega_j\partial_k B_j = \gamma QR^2 \partial_i(\omega_jB_j)\,</math></center>

o, en forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m21} = \gamma QR^2 \nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

Para <math>\mathbf{F}_{m22}</math> tenemos, igualmente

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\mathrm{d}\tau =-\vec{\omega}\int \rho\mathbf{r}'\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{B}_C)\mathrm{d}\tau</math></center>

Empleando de nuevo subíndices

<center><math>F_{m22i} = -\omega_i \int \rho x'_jx'_k\partial_k B_j\mathrm{d}\tau = -\omega_i \gamma QR^2 \delta_{jk}\partial_kB_j=-\omega_i \gamma QR^2 \partial_jB_j\,</math>
</center>

En forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\vec{\omega}\gamma QR^2 \nabla\cdot\mathbf{B}</math></center>

pero la divergencia del campo magnético es siempre nula, por lo que este término se anula. Nos queda por tanto la fuerza magnética

<center><math>\mathbf{F}_m = Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C+ \gamma QR^2\nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

===Fuerza total===
Sumando las fuerzas eléctrica y magnética obtenemos la fuerza neta

<center><math>\mathbf{F}=Q(\mathbf{E}_C+\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C)+\gamma QR^2 \nabla(\omega\cdot\mathbf{B})</math></center>

Si las fuentes del campo eléctrico y magnético coinciden con lso puntos de la distribución, habrá que añadir los términos correspondientes a los laplacianos de los campos.

==Momento sobre la distribución==
De manera análoga se halla el momento de las fuerzas respecto al centro de la distribución. Este momento será

<center><math>\mathbf{M}_C=\int \mathbf{r}'\times\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Como con la fuerza, consideraremos cada momento por separado
===Torque eléctrico===
Para el término eléctrico, aplicando de nuevo la serie de Taylor nos queda

<center><math>\mathbf{M}_e=\int\rho\mathbf{r}'\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau=
\int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}_C+(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{E}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

El primer término se anula, por la simetría de la distribución. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>M_i = \int \rho \varepsilon_{ijk}x_jx_r\partial_r E_k = \gamma Q R^2 \varepsilon_{ijk} \delta_{jr} \partial_rE_k = \gamma QR^2 \varepsilon_{ijk}\partial_jE_k</math></center>

o, en forma vectorial,

<center><math>\mathbf{M}_e= \gamma QR^2\nabla\times\mathbf{E}</math></center>

Pero, si el campo externo es estacionario, este rotacional se anula y

<center><math>\mathbf{M}_e=\mathbf{0}</math></center>

===Torque magnético===
Para el torque de origen magnético sustituimos la expresión de la velocidad

<center><math>\mathbf{M}_m = \int \rho \mathbf{r}'\times((\mathbf{v}_c+\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Desglosamos en los diferentes términos e introducimos la serie de Taylor del
campo magnético.

En primer lugar tenemos

<center><math>\mathbf{M}_{m1}=\int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{v}_C\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau = \int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{v}_C\times(\mathbf{B}_C+\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Como de costumbre, el primer término, lineal en <math>\mathbf{r}'</math> se anula por la simetría. Para el segundo desarrollamos el doble producto vectorial

<center><math>\mathbf{M}_{m1}=\mathbf{v}_C\int \rho(\mathbf{r}'\cdot((\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau-\int\rho(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{v}_C)(\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Separamos los dos términos. Para el primero, empleando subíndices

<center><math>
M_i = v_i \int\rho(x_j x_k\partial_kB_j)\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 v_i \delta_{jk}\partial_k B_j = \gamma QR^2 v_i \partial_jB_j</math></center>

o, en forma vectorial

<center><math>\mathbf{M}_{m11}=\gamma QR^2 \mathbf{v}(\nabla\cdot\mathbf{B}) = \mathbf{0}</math></center>

Para el segundo, empleando también subíndices

<center><math>M_i = \int \rho(v_jx'_jx'_k\partial_kB_i)\,\mathrm{d}\tau = \gamma Q R^2 v_j\delta_{jk}\partial_k B_i = \gamma QR^2 v_j\partial_jB_i</math></center>

Vectorialmente

<center><math>\mathbf{M}_{m1}=\gamma QR^2 (\mathbf{v}_C\cdot\nabla)\mathbf{B}_C</math></center>

Para el segundo término del torque magnético, en primera aproximación nos basta con el campo en el centro de la distribución de carga

<center><math>\mathbf{M}_2 = \int \rho \mathbf{r}'\times((\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B}_C)\mathrm{d}\tau =\int \rho \mathbf{r}'\times((\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})\mathbf{r}'-(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\vec{\omega})\mathrm{d}\tau</math></center>

Fuerza de Lorentz sobre una esfera en rotación

Gonfer — Mon, 15 Mar 2010 22:57:40 GMT

Gonfer: /* Torque magnético */

==Introducción==
Suponemos una distribución de carga que posee simetría esférica alrededor de un punto central <math>\mathbf{r}_C</math>, de forma que su densidad de carga verifica

<center><math>\rho(\mathbf{r})=\rho(r')\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{r}'=\mathbf{r}-\mathbf{r}_C\qquad r'=|\mathbf{r}'|</math></center>

Suponemos que esta distribución de carga está localizada, de forma que tiende a cero rápidamente cuando <math>r'</math> crece

Esta distribución de carga se mueve rígidamente, de forma que la velocidad de cada punto puede escribirse como

<center><math>\mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}'</math></center>

Asimismo, esta distribución se encuentra en el seno de un campo electromagnético externo, de forma que cada elemento de carga se encuentra sometido a una fuerza

<center><math>\mathrm{d}\mathbf{F}=\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

==Fuerza sobre la distribución==
La fuerza neta sobre la distribución de carga será la resultante de las fuerzas diferenciales

<center><math>\mathbf{F}=\int \mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Veamos cada contribución por separado.
===Fuerza eléctrica===
La fuerza eléctrica sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=\int \rho\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Podemos calcular una expresión aproximada para esta fuerza aplicando que la distribución de carga está localizada en torno a su centro, de manera que podemos sustituir el campo eléctrico por su desarrollo en serie de Taylor en torno al centro de la distribución

<center><math>\mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{E}_C = \mathbf{r}'\cdot\mathbf{E}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C + \cdots</math></center>

donde <math>\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\nabla\mathbf{E}_C</math> son constantes iguales al valor del campo y sus derivadas sucesivas en el centro de la distribución.

De esta forma la fuerza eléctrica viene dada por la serie

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}= \int \rho \mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+ \int \rho \mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau + \frac{1}{2}\int \rho \mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+\cdots</math></center>

y, sacando las constantes fuera de las integrales

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=Q\mathbf{E}_C+(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}+\frac{1}{2}\mathsf{Q}:\nabla\nabla\mathbf{E}_C+\cdots</math></center>

donde

<center><math>Q=\int\rho\,\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{p}=\int\rho\,\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathsf{Q}=\int \rho\mathbf{r}'\mathbf{r}'\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí <math>Q</math> es la carga neta de la distribución. <math>\mathbf{p}</math> es el momento dipolar, el cual se anula debido a la simetría de la distribución.

El término <math>\mathsf{Q}</math> es un tensor. Por la simetría de la distribución, este tensor es realmente un escalar, ya que

<center><math>Q_{ik}=\int \rho x'_ix'_k\,\mathrm{d}\tau=0\qquad(i\neq k)</math></center>

y

<center><math>Q_{ii}=\int \rho {x'_i}^2\,\mathrm{d}\tau = \frac{1}{3}\int \rho r'^2 \,\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \qquad (i=k)</math></center>

aquí <math>\gamma</math> es un coeficiente que depende de la forma concreta de la distribución. Para una esfera cargada uniformemente en volumen vale 1/5, para una cargada en superficie es 1/3, para un decaimiento exponencial vale 4. Reuniendo los dos resultados

<center><math>\mathsf{Q}=\gamma Q R^2 \mathsf{I}\,</math></center>

Llevando esto a la expresión de la fuerza, queda

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\mathsf{I}:\nabla\nabla\mathbf{E}+\cdots</math></center>

pero la contracción del tensor unidad con el gradiente del gradiente es simplemente el laplaciano

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\nabla^2\mathbf{E}+\cdots</math></center>

Ahora, para un campo eléctrico externo estático y debido a cargas en posiciones no coincidentes con la distribución (como es el caso del campo de un núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo eléctrico se anula y la fuerza se reduce a

<center><math>\mathbf{F}=Q\mathbf{E}_C</math></center>

Hay que señalar que el término en <math>QR^2</math> '''no''' es un término cuadrupolar. El término cuadrupolar se refiere a la componente simétrica de traza nula. El término que sale aquí se debe a que el centro de fuerzas eléctricas no coincide con el centro de la distribución.

===Fuerza magnética===
La fuerza magnética sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int \rho\mathbf{v}\times\mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Sustituyendo la expresión de la velocidad

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int\rho(\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B}\mathrm{d}\tau</math></center>

Para el primer término tenemos

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=\int \rho\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}\mathrm{d}\tau = \mathbf{v}_C\times\int\rho \mathbf{B}\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí podemos hacer el mismo desarrollo que para el campo eléctrico y nos queda

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C + \frac{\gamma QR^2}{2}\mathbf{v}_C\times(\nabla^2\mathbf{B})</math></center>

De nuevo, si este campo magnético se debe a fuentes situadas fuera de la distribución (como el núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo magnético es nulo y este término se reduce a

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C</math></center>

Para el segundo término desarrollamos el doble producto vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m2}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\mathrm{d}\tau=\mathbf{F}_{m21}+\mathbf{F}_{m22}</math></center>

Aplicando ahora la serie de Taylor para el campo magnético

<center><math>\mathbf{B}=\mathbf{B}_C+\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{B}</math></center>

obtenemos en primer lugar

<center><math>\mathbf{F}_{m21}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B}_C)\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau+\int_\rho(\vec{\omega}\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}))\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau</math></center>

En primer término es nulo, por la simetría. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>F_{m21i}=\int \rho x_i\omega_j(x_k\partial_k B_j)\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \delta_{ik} \omega_j\partial_k B_j = \gamma QR^2 \partial_i(\omega_jB_j)\,</math></center>

o, en forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m21} = \gamma QR^2 \nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

Para <math>\mathbf{F}_{m22}</math> tenemos, igualmente

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\mathrm{d}\tau =-\vec{\omega}\int \rho\mathbf{r}'\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{B}_C)\mathrm{d}\tau</math></center>

Empleando de nuevo subíndices

<center><math>F_{m22i} = -\omega_i \int \rho x'_jx'_k\partial_k B_j\mathrm{d}\tau = -\omega_i \gamma QR^2 \delta_{jk}\partial_kB_j=-\omega_i \gamma QR^2 \partial_jB_j\,</math>
</center>

En forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\vec{\omega}\gamma QR^2 \nabla\cdot\mathbf{B}</math></center>

pero la divergencia del campo magnético es siempre nula, por lo que este término se anula. Nos queda por tanto la fuerza magnética

<center><math>\mathbf{F}_m = Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C+ \gamma QR^2\nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

===Fuerza total===
Sumando las fuerzas eléctrica y magnética obtenemos la fuerza neta

<center><math>\mathbf{F}=Q(\mathbf{E}_C+\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C)+\gamma QR^2 \nabla(\omega\cdot\mathbf{B})</math></center>

Si las fuentes del campo eléctrico y magnético coinciden con lso puntos de la distribución, habrá que añadir los términos correspondientes a los laplacianos de los campos.

==Momento sobre la distribución==
De manera análoga se halla el momento de las fuerzas respecto al centro de la distribución. Este momento será

<center><math>\mathbf{M}_C=\int \mathbf{r}'\times\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Como con la fuerza, consideraremos cada momento por separado
===Torque eléctrico===
Para el término eléctrico, aplicando de nuevo la serie de Taylor nos queda

<center><math>\mathbf{M}_e=\int\rho\mathbf{r}'\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau=
\int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}_C+(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{E}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

El primer término se anula, por la simetría de la distribución. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>M_i = \int \rho \varepsilon_{ijk}x_jx_r\partial_r E_k = \gamma Q R^2 \varepsilon_{ijk} \delta_{jr} \partial_rE_k = \gamma QR^2 \varepsilon_{ijk}\partial_jE_k</math></center>

o, en forma vectorial,

<center><math>\mathbf{M}_e= \gamma QR^2\nabla\times\mathbf{E}</math></center>

Pero, si el campo externo es estacionario, este rotacional se anula y

<center><math>\mathbf{M}_e=\mathbf{0}</math></center>

===Torque magnético===
Para el torque de origen magnético sustituimos la expresión de la velocidad

<center><math>\mathbf{M}_m = \int \rho \mathbf{r}'\times((\mathbf{v}_c+\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Desglosamos en los diferentes términos e introducimos la serie de Taylor del
campo magnético.

En primer lugar tenemos

<center><math>\mathbf{M}_{m1}=\int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{v}_C\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau = \int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{v}_C\times(\mathbf{B}_C+\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Como de costumbre, el primer término, lineal en <math>\mathbf{r}'</math> se anula por la simetría. Para el segundo desarrollamos el doble producto vectorial

<center><math>\mathbf{M}_{m1}=\mathbf{v}_C\int \rho(\mathbf{r}'\cdot((\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau-\int\rho(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{v}_C)(\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Separamos los dos términos. Para el primero, empleando subíndices

<center><math>
M_i = v_i \int\rho(x_j x_k\partial_kB_j)\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 v_i \delta_{jk}\partial_k B_j = \gamma QR^2 v_i \partial_jB_j</math></center>

o, en forma vectorial

<center><math>\mathbf{M}_{m11}=\gamma QR^2 \mathbf{v}(\nabla\cdot\mathbf{B}) = \mathbf{0}</math></center>

Para el segundo, empleando también subíndices

<center><math>M_i = \int \rho(v_jx'_jx'_k\partial_kB_i)\,\mathrm{d}\tau = \gamma Q R^2 v_j\delta_{jk}\partial_k B_i = \gamma QR^2 v_j\partial_jB_i</math></center>

Vectorialmente

<center><math>\mathbf{M}_{m1}=\gamma QR^2 (\mathbf{v}_C\dot\nabla)\mathbf{B}_C</math></center>

Fuerza de Lorentz sobre una esfera en rotación

Gonfer — Mon, 15 Mar 2010 22:51:05 GMT

Gonfer: /* Torque magnético */

==Introducción==
Suponemos una distribución de carga que posee simetría esférica alrededor de un punto central <math>\mathbf{r}_C</math>, de forma que su densidad de carga verifica

<center><math>\rho(\mathbf{r})=\rho(r')\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{r}'=\mathbf{r}-\mathbf{r}_C\qquad r'=|\mathbf{r}'|</math></center>

Suponemos que esta distribución de carga está localizada, de forma que tiende a cero rápidamente cuando <math>r'</math> crece

Esta distribución de carga se mueve rígidamente, de forma que la velocidad de cada punto puede escribirse como

<center><math>\mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}'</math></center>

Asimismo, esta distribución se encuentra en el seno de un campo electromagnético externo, de forma que cada elemento de carga se encuentra sometido a una fuerza

<center><math>\mathrm{d}\mathbf{F}=\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

==Fuerza sobre la distribución==
La fuerza neta sobre la distribución de carga será la resultante de las fuerzas diferenciales

<center><math>\mathbf{F}=\int \mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Veamos cada contribución por separado.
===Fuerza eléctrica===
La fuerza eléctrica sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=\int \rho\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Podemos calcular una expresión aproximada para esta fuerza aplicando que la distribución de carga está localizada en torno a su centro, de manera que podemos sustituir el campo eléctrico por su desarrollo en serie de Taylor en torno al centro de la distribución

<center><math>\mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{E}_C = \mathbf{r}'\cdot\mathbf{E}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C + \cdots</math></center>

donde <math>\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\nabla\mathbf{E}_C</math> son constantes iguales al valor del campo y sus derivadas sucesivas en el centro de la distribución.

De esta forma la fuerza eléctrica viene dada por la serie

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}= \int \rho \mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+ \int \rho \mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau + \frac{1}{2}\int \rho \mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+\cdots</math></center>

y, sacando las constantes fuera de las integrales

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=Q\mathbf{E}_C+(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}+\frac{1}{2}\mathsf{Q}:\nabla\nabla\mathbf{E}_C+\cdots</math></center>

donde

<center><math>Q=\int\rho\,\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{p}=\int\rho\,\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathsf{Q}=\int \rho\mathbf{r}'\mathbf{r}'\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí <math>Q</math> es la carga neta de la distribución. <math>\mathbf{p}</math> es el momento dipolar, el cual se anula debido a la simetría de la distribución.

El término <math>\mathsf{Q}</math> es un tensor. Por la simetría de la distribución, este tensor es realmente un escalar, ya que

<center><math>Q_{ik}=\int \rho x'_ix'_k\,\mathrm{d}\tau=0\qquad(i\neq k)</math></center>

y

<center><math>Q_{ii}=\int \rho {x'_i}^2\,\mathrm{d}\tau = \frac{1}{3}\int \rho r'^2 \,\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \qquad (i=k)</math></center>

aquí <math>\gamma</math> es un coeficiente que depende de la forma concreta de la distribución. Para una esfera cargada uniformemente en volumen vale 1/5, para una cargada en superficie es 1/3, para un decaimiento exponencial vale 4. Reuniendo los dos resultados

<center><math>\mathsf{Q}=\gamma Q R^2 \mathsf{I}\,</math></center>

Llevando esto a la expresión de la fuerza, queda

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\mathsf{I}:\nabla\nabla\mathbf{E}+\cdots</math></center>

pero la contracción del tensor unidad con el gradiente del gradiente es simplemente el laplaciano

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\nabla^2\mathbf{E}+\cdots</math></center>

Ahora, para un campo eléctrico externo estático y debido a cargas en posiciones no coincidentes con la distribución (como es el caso del campo de un núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo eléctrico se anula y la fuerza se reduce a

<center><math>\mathbf{F}=Q\mathbf{E}_C</math></center>

Hay que señalar que el término en <math>QR^2</math> '''no''' es un término cuadrupolar. El término cuadrupolar se refiere a la componente simétrica de traza nula. El término que sale aquí se debe a que el centro de fuerzas eléctricas no coincide con el centro de la distribución.

===Fuerza magnética===
La fuerza magnética sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int \rho\mathbf{v}\times\mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Sustituyendo la expresión de la velocidad

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int\rho(\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B}\mathrm{d}\tau</math></center>

Para el primer término tenemos

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=\int \rho\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}\mathrm{d}\tau = \mathbf{v}_C\times\int\rho \mathbf{B}\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí podemos hacer el mismo desarrollo que para el campo eléctrico y nos queda

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C + \frac{\gamma QR^2}{2}\mathbf{v}_C\times(\nabla^2\mathbf{B})</math></center>

De nuevo, si este campo magnético se debe a fuentes situadas fuera de la distribución (como el núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo magnético es nulo y este término se reduce a

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C</math></center>

Para el segundo término desarrollamos el doble producto vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m2}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\mathrm{d}\tau=\mathbf{F}_{m21}+\mathbf{F}_{m22}</math></center>

Aplicando ahora la serie de Taylor para el campo magnético

<center><math>\mathbf{B}=\mathbf{B}_C+\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{B}</math></center>

obtenemos en primer lugar

<center><math>\mathbf{F}_{m21}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B}_C)\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau+\int_\rho(\vec{\omega}\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}))\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau</math></center>

En primer término es nulo, por la simetría. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>F_{m21i}=\int \rho x_i\omega_j(x_k\partial_k B_j)\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \delta_{ik} \omega_j\partial_k B_j = \gamma QR^2 \partial_i(\omega_jB_j)\,</math></center>

o, en forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m21} = \gamma QR^2 \nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

Para <math>\mathbf{F}_{m22}</math> tenemos, igualmente

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\mathrm{d}\tau =-\vec{\omega}\int \rho\mathbf{r}'\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{B}_C)\mathrm{d}\tau</math></center>

Empleando de nuevo subíndices

<center><math>F_{m22i} = -\omega_i \int \rho x'_jx'_k\partial_k B_j\mathrm{d}\tau = -\omega_i \gamma QR^2 \delta_{jk}\partial_kB_j=-\omega_i \gamma QR^2 \partial_jB_j\,</math>
</center>

En forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\vec{\omega}\gamma QR^2 \nabla\cdot\mathbf{B}</math></center>

pero la divergencia del campo magnético es siempre nula, por lo que este término se anula. Nos queda por tanto la fuerza magnética

<center><math>\mathbf{F}_m = Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C+ \gamma QR^2\nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

===Fuerza total===
Sumando las fuerzas eléctrica y magnética obtenemos la fuerza neta

<center><math>\mathbf{F}=Q(\mathbf{E}_C+\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C)+\gamma QR^2 \nabla(\omega\cdot\mathbf{B})</math></center>

Si las fuentes del campo eléctrico y magnético coinciden con lso puntos de la distribución, habrá que añadir los términos correspondientes a los laplacianos de los campos.

==Momento sobre la distribución==
De manera análoga se halla el momento de las fuerzas respecto al centro de la distribución. Este momento será

<center><math>\mathbf{M}_C=\int \mathbf{r}'\times\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Como con la fuerza, consideraremos cada momento por separado
===Torque eléctrico===
Para el término eléctrico, aplicando de nuevo la serie de Taylor nos queda

<center><math>\mathbf{M}_e=\int\rho\mathbf{r}'\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau=
\int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}_C+(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{E}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

El primer término se anula, por la simetría de la distribución. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>M_i = \int \rho \varepsilon_{ijk}x_jx_r\partial_r E_k = \gamma Q R^2 \varepsilon_{ijk} \delta_{jr} \partial_rE_k = \gamma QR^2 \varepsilon_{ijk}\partial_jE_k</math></center>

o, en forma vectorial,

<center><math>\mathbf{M}_e= \gamma QR^2\nabla\times\mathbf{E}</math></center>

Pero, si el campo externo es estacionario, este rotacional se anula y

<center><math>\mathbf{M}_e=\mathbf{0}</math></center>

===Torque magnético===
Para el torque de origen magnético sustituimos la expresión de la velocidad

<center><math>\mathbf{M}_m = \int \rho \mathbf{r}'\times((\mathbf{v}_c+\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Desglosamos en los diferentes términos e introducimos la serie de Taylor del
campo magnético.

En primer lugar tenemos

<center><math>\mathbf{M}_{m1}=\int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{v}_C\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau = \int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{v}_C\times(\mathbf{B}_C+\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Como de costumbre, el primer término, lineal en <math>\mathbf{r}'</math> se anula por la simetría. Para el segundo desarrollamos el doble producto vectorial

<center><math>\mathbf{M}_{m1}=\mathbf{v}_C\int \rho(\mathbf{r}'\cdot((\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau-\int\rho(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{v}_C)(\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Separamos los dos términos. Para el primero, empleando subíndices

<center><math>
M_i = v_i \int\rho(x_j x_k\partial_kB_j)\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 v_i \delta_{jk}\partial_k B_j = \gamma QR^2 v_i \partial_jB_j</math></center>

o, en forma vectorial

<center><math>\mathbf{M}_{m11}=\gamma QR^2 \mathbf{v}(\nabla\cdot\mathbf{B}) = \mathbf{0}</math></center>

Fuerza de Lorentz sobre una esfera en rotación

Gonfer — Mon, 15 Mar 2010 22:50:48 GMT

Gonfer: /* Torque magnético */

==Introducción==
Suponemos una distribución de carga que posee simetría esférica alrededor de un punto central <math>\mathbf{r}_C</math>, de forma que su densidad de carga verifica

<center><math>\rho(\mathbf{r})=\rho(r')\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{r}'=\mathbf{r}-\mathbf{r}_C\qquad r'=|\mathbf{r}'|</math></center>

Suponemos que esta distribución de carga está localizada, de forma que tiende a cero rápidamente cuando <math>r'</math> crece

Esta distribución de carga se mueve rígidamente, de forma que la velocidad de cada punto puede escribirse como

<center><math>\mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}'</math></center>

Asimismo, esta distribución se encuentra en el seno de un campo electromagnético externo, de forma que cada elemento de carga se encuentra sometido a una fuerza

<center><math>\mathrm{d}\mathbf{F}=\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

==Fuerza sobre la distribución==
La fuerza neta sobre la distribución de carga será la resultante de las fuerzas diferenciales

<center><math>\mathbf{F}=\int \mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Veamos cada contribución por separado.
===Fuerza eléctrica===
La fuerza eléctrica sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=\int \rho\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Podemos calcular una expresión aproximada para esta fuerza aplicando que la distribución de carga está localizada en torno a su centro, de manera que podemos sustituir el campo eléctrico por su desarrollo en serie de Taylor en torno al centro de la distribución

<center><math>\mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{E}_C = \mathbf{r}'\cdot\mathbf{E}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C + \cdots</math></center>

donde <math>\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\nabla\mathbf{E}_C</math> son constantes iguales al valor del campo y sus derivadas sucesivas en el centro de la distribución.

De esta forma la fuerza eléctrica viene dada por la serie

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}= \int \rho \mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+ \int \rho \mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau + \frac{1}{2}\int \rho \mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+\cdots</math></center>

y, sacando las constantes fuera de las integrales

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=Q\mathbf{E}_C+(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}+\frac{1}{2}\mathsf{Q}:\nabla\nabla\mathbf{E}_C+\cdots</math></center>

donde

<center><math>Q=\int\rho\,\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{p}=\int\rho\,\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathsf{Q}=\int \rho\mathbf{r}'\mathbf{r}'\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí <math>Q</math> es la carga neta de la distribución. <math>\mathbf{p}</math> es el momento dipolar, el cual se anula debido a la simetría de la distribución.

El término <math>\mathsf{Q}</math> es un tensor. Por la simetría de la distribución, este tensor es realmente un escalar, ya que

<center><math>Q_{ik}=\int \rho x'_ix'_k\,\mathrm{d}\tau=0\qquad(i\neq k)</math></center>

y

<center><math>Q_{ii}=\int \rho {x'_i}^2\,\mathrm{d}\tau = \frac{1}{3}\int \rho r'^2 \,\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \qquad (i=k)</math></center>

aquí <math>\gamma</math> es un coeficiente que depende de la forma concreta de la distribución. Para una esfera cargada uniformemente en volumen vale 1/5, para una cargada en superficie es 1/3, para un decaimiento exponencial vale 4. Reuniendo los dos resultados

<center><math>\mathsf{Q}=\gamma Q R^2 \mathsf{I}\,</math></center>

Llevando esto a la expresión de la fuerza, queda

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\mathsf{I}:\nabla\nabla\mathbf{E}+\cdots</math></center>

pero la contracción del tensor unidad con el gradiente del gradiente es simplemente el laplaciano

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\nabla^2\mathbf{E}+\cdots</math></center>

Ahora, para un campo eléctrico externo estático y debido a cargas en posiciones no coincidentes con la distribución (como es el caso del campo de un núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo eléctrico se anula y la fuerza se reduce a

<center><math>\mathbf{F}=Q\mathbf{E}_C</math></center>

Hay que señalar que el término en <math>QR^2</math> '''no''' es un término cuadrupolar. El término cuadrupolar se refiere a la componente simétrica de traza nula. El término que sale aquí se debe a que el centro de fuerzas eléctricas no coincide con el centro de la distribución.

===Fuerza magnética===
La fuerza magnética sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int \rho\mathbf{v}\times\mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Sustituyendo la expresión de la velocidad

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int\rho(\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B}\mathrm{d}\tau</math></center>

Para el primer término tenemos

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=\int \rho\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}\mathrm{d}\tau = \mathbf{v}_C\times\int\rho \mathbf{B}\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí podemos hacer el mismo desarrollo que para el campo eléctrico y nos queda

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C + \frac{\gamma QR^2}{2}\mathbf{v}_C\times(\nabla^2\mathbf{B})</math></center>

De nuevo, si este campo magnético se debe a fuentes situadas fuera de la distribución (como el núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo magnético es nulo y este término se reduce a

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C</math></center>

Para el segundo término desarrollamos el doble producto vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m2}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\mathrm{d}\tau=\mathbf{F}_{m21}+\mathbf{F}_{m22}</math></center>

Aplicando ahora la serie de Taylor para el campo magnético

<center><math>\mathbf{B}=\mathbf{B}_C+\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{B}</math></center>

obtenemos en primer lugar

<center><math>\mathbf{F}_{m21}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B}_C)\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau+\int_\rho(\vec{\omega}\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}))\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau</math></center>

En primer término es nulo, por la simetría. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>F_{m21i}=\int \rho x_i\omega_j(x_k\partial_k B_j)\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \delta_{ik} \omega_j\partial_k B_j = \gamma QR^2 \partial_i(\omega_jB_j)\,</math></center>

o, en forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m21} = \gamma QR^2 \nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

Para <math>\mathbf{F}_{m22}</math> tenemos, igualmente

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\mathrm{d}\tau =-\vec{\omega}\int \rho\mathbf{r}'\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{B}_C)\mathrm{d}\tau</math></center>

Empleando de nuevo subíndices

<center><math>F_{m22i} = -\omega_i \int \rho x'_jx'_k\partial_k B_j\mathrm{d}\tau = -\omega_i \gamma QR^2 \delta_{jk}\partial_kB_j=-\omega_i \gamma QR^2 \partial_jB_j\,</math>
</center>

En forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\vec{\omega}\gamma QR^2 \nabla\cdot\mathbf{B}</math></center>

pero la divergencia del campo magnético es siempre nula, por lo que este término se anula. Nos queda por tanto la fuerza magnética

<center><math>\mathbf{F}_m = Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C+ \gamma QR^2\nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

===Fuerza total===
Sumando las fuerzas eléctrica y magnética obtenemos la fuerza neta

<center><math>\mathbf{F}=Q(\mathbf{E}_C+\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C)+\gamma QR^2 \nabla(\omega\cdot\mathbf{B})</math></center>

Si las fuentes del campo eléctrico y magnético coinciden con lso puntos de la distribución, habrá que añadir los términos correspondientes a los laplacianos de los campos.

==Momento sobre la distribución==
De manera análoga se halla el momento de las fuerzas respecto al centro de la distribución. Este momento será

<center><math>\mathbf{M}_C=\int \mathbf{r}'\times\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Como con la fuerza, consideraremos cada momento por separado
===Torque eléctrico===
Para el término eléctrico, aplicando de nuevo la serie de Taylor nos queda

<center><math>\mathbf{M}_e=\int\rho\mathbf{r}'\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau=
\int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}_C+(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{E}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

El primer término se anula, por la simetría de la distribución. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>M_i = \int \rho \varepsilon_{ijk}x_jx_r\partial_r E_k = \gamma Q R^2 \varepsilon_{ijk} \delta_{jr} \partial_rE_k = \gamma QR^2 \varepsilon_{ijk}\partial_jE_k</math></center>

o, en forma vectorial,

<center><math>\mathbf{M}_e= \gamma QR^2\nabla\times\mathbf{E}</math></center>

Pero, si el campo externo es estacionario, este rotacional se anula y

<center><math>\mathbf{M}_e=\mathbf{0}</math></center>

===Torque magnético===
Para el torque de origen magnético sustituimos la expresión de la velocidad

<center><math>\mathbf{M}_m = \int \rho \mathbf{r}'\times((\mathbf{v}_c+\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Desglosamos en los diferentes términos e introducimos la serie de Taylor del
campo magnético.

En primer lugar tenemos

<center><math>\mathbf{M}_{m1}=\int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{v}_C\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau = \int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{v}_C\times(\mathbf{B}_C+\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Como de costumbre, el primer término, lineal en <math>\mathbf{r}'</math> se anula por la simetría. Para el segundo desarrollamos el doble producto vectorial

<center><math>\mathbf{M}_{m1}=\mathbf{v}_C\int \rho(\mathbf{r}'\cdot((\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau-\int\rho(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{v}_C)(\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Separamos los dos términos. Para el primero, empleando subíndices

<center><math>
M_i = v_i \int\rho(x_j x_k\partial_kB_j)\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 v_i \delta_{jk}\partial_k B_j = \gamma QR^2 v_i \partial_jB_j</math></center>

o, en forma vectorial

<center><math>\mathbf{M}_{m11}=\gamma \mathbf{v}(\nabla\cdot\mathbf{B}) = \mathbf{0}</math></center>

Fuerza de Lorentz sobre una esfera en rotación

Gonfer — Mon, 15 Mar 2010 22:44:32 GMT

Gonfer: /* Torque magnético */

==Introducción==
Suponemos una distribución de carga que posee simetría esférica alrededor de un punto central <math>\mathbf{r}_C</math>, de forma que su densidad de carga verifica

<center><math>\rho(\mathbf{r})=\rho(r')\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{r}'=\mathbf{r}-\mathbf{r}_C\qquad r'=|\mathbf{r}'|</math></center>

Suponemos que esta distribución de carga está localizada, de forma que tiende a cero rápidamente cuando <math>r'</math> crece

Esta distribución de carga se mueve rígidamente, de forma que la velocidad de cada punto puede escribirse como

<center><math>\mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}'</math></center>

Asimismo, esta distribución se encuentra en el seno de un campo electromagnético externo, de forma que cada elemento de carga se encuentra sometido a una fuerza

<center><math>\mathrm{d}\mathbf{F}=\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

==Fuerza sobre la distribución==
La fuerza neta sobre la distribución de carga será la resultante de las fuerzas diferenciales

<center><math>\mathbf{F}=\int \mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Veamos cada contribución por separado.
===Fuerza eléctrica===
La fuerza eléctrica sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=\int \rho\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Podemos calcular una expresión aproximada para esta fuerza aplicando que la distribución de carga está localizada en torno a su centro, de manera que podemos sustituir el campo eléctrico por su desarrollo en serie de Taylor en torno al centro de la distribución

<center><math>\mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{E}_C = \mathbf{r}'\cdot\mathbf{E}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C + \cdots</math></center>

donde <math>\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\nabla\mathbf{E}_C</math> son constantes iguales al valor del campo y sus derivadas sucesivas en el centro de la distribución.

De esta forma la fuerza eléctrica viene dada por la serie

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}= \int \rho \mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+ \int \rho \mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau + \frac{1}{2}\int \rho \mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+\cdots</math></center>

y, sacando las constantes fuera de las integrales

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=Q\mathbf{E}_C+(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}+\frac{1}{2}\mathsf{Q}:\nabla\nabla\mathbf{E}_C+\cdots</math></center>

donde

<center><math>Q=\int\rho\,\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{p}=\int\rho\,\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathsf{Q}=\int \rho\mathbf{r}'\mathbf{r}'\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí <math>Q</math> es la carga neta de la distribución. <math>\mathbf{p}</math> es el momento dipolar, el cual se anula debido a la simetría de la distribución.

El término <math>\mathsf{Q}</math> es un tensor. Por la simetría de la distribución, este tensor es realmente un escalar, ya que

<center><math>Q_{ik}=\int \rho x'_ix'_k\,\mathrm{d}\tau=0\qquad(i\neq k)</math></center>

y

<center><math>Q_{ii}=\int \rho {x'_i}^2\,\mathrm{d}\tau = \frac{1}{3}\int \rho r'^2 \,\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \qquad (i=k)</math></center>

aquí <math>\gamma</math> es un coeficiente que depende de la forma concreta de la distribución. Para una esfera cargada uniformemente en volumen vale 1/5, para una cargada en superficie es 1/3, para un decaimiento exponencial vale 4. Reuniendo los dos resultados

<center><math>\mathsf{Q}=\gamma Q R^2 \mathsf{I}\,</math></center>

Llevando esto a la expresión de la fuerza, queda

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\mathsf{I}:\nabla\nabla\mathbf{E}+\cdots</math></center>

pero la contracción del tensor unidad con el gradiente del gradiente es simplemente el laplaciano

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\nabla^2\mathbf{E}+\cdots</math></center>

Ahora, para un campo eléctrico externo estático y debido a cargas en posiciones no coincidentes con la distribución (como es el caso del campo de un núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo eléctrico se anula y la fuerza se reduce a

<center><math>\mathbf{F}=Q\mathbf{E}_C</math></center>

Hay que señalar que el término en <math>QR^2</math> '''no''' es un término cuadrupolar. El término cuadrupolar se refiere a la componente simétrica de traza nula. El término que sale aquí se debe a que el centro de fuerzas eléctricas no coincide con el centro de la distribución.

===Fuerza magnética===
La fuerza magnética sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int \rho\mathbf{v}\times\mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Sustituyendo la expresión de la velocidad

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int\rho(\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B}\mathrm{d}\tau</math></center>

Para el primer término tenemos

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=\int \rho\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}\mathrm{d}\tau = \mathbf{v}_C\times\int\rho \mathbf{B}\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí podemos hacer el mismo desarrollo que para el campo eléctrico y nos queda

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C + \frac{\gamma QR^2}{2}\mathbf{v}_C\times(\nabla^2\mathbf{B})</math></center>

De nuevo, si este campo magnético se debe a fuentes situadas fuera de la distribución (como el núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo magnético es nulo y este término se reduce a

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C</math></center>

Para el segundo término desarrollamos el doble producto vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m2}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\mathrm{d}\tau=\mathbf{F}_{m21}+\mathbf{F}_{m22}</math></center>

Aplicando ahora la serie de Taylor para el campo magnético

<center><math>\mathbf{B}=\mathbf{B}_C+\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{B}</math></center>

obtenemos en primer lugar

<center><math>\mathbf{F}_{m21}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B}_C)\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau+\int_\rho(\vec{\omega}\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}))\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau</math></center>

En primer término es nulo, por la simetría. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>F_{m21i}=\int \rho x_i\omega_j(x_k\partial_k B_j)\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \delta_{ik} \omega_j\partial_k B_j = \gamma QR^2 \partial_i(\omega_jB_j)\,</math></center>

o, en forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m21} = \gamma QR^2 \nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

Para <math>\mathbf{F}_{m22}</math> tenemos, igualmente

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\mathrm{d}\tau =-\vec{\omega}\int \rho\mathbf{r}'\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{B}_C)\mathrm{d}\tau</math></center>

Empleando de nuevo subíndices

<center><math>F_{m22i} = -\omega_i \int \rho x'_jx'_k\partial_k B_j\mathrm{d}\tau = -\omega_i \gamma QR^2 \delta_{jk}\partial_kB_j=-\omega_i \gamma QR^2 \partial_jB_j\,</math>
</center>

En forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\vec{\omega}\gamma QR^2 \nabla\cdot\mathbf{B}</math></center>

pero la divergencia del campo magnético es siempre nula, por lo que este término se anula. Nos queda por tanto la fuerza magnética

<center><math>\mathbf{F}_m = Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C+ \gamma QR^2\nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

===Fuerza total===
Sumando las fuerzas eléctrica y magnética obtenemos la fuerza neta

<center><math>\mathbf{F}=Q(\mathbf{E}_C+\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C)+\gamma QR^2 \nabla(\omega\cdot\mathbf{B})</math></center>

Si las fuentes del campo eléctrico y magnético coinciden con lso puntos de la distribución, habrá que añadir los términos correspondientes a los laplacianos de los campos.

==Momento sobre la distribución==
De manera análoga se halla el momento de las fuerzas respecto al centro de la distribución. Este momento será

<center><math>\mathbf{M}_C=\int \mathbf{r}'\times\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Como con la fuerza, consideraremos cada momento por separado
===Torque eléctrico===
Para el término eléctrico, aplicando de nuevo la serie de Taylor nos queda

<center><math>\mathbf{M}_e=\int\rho\mathbf{r}'\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau=
\int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}_C+(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{E}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

El primer término se anula, por la simetría de la distribución. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>M_i = \int \rho \varepsilon_{ijk}x_jx_r\partial_r E_k = \gamma Q R^2 \varepsilon_{ijk} \delta_{jr} \partial_rE_k = \gamma QR^2 \varepsilon_{ijk}\partial_jE_k</math></center>

o, en forma vectorial,

<center><math>\mathbf{M}_e= \gamma QR^2\nabla\times\mathbf{E}</math></center>

Pero, si el campo externo es estacionario, este rotacional se anula y

<center><math>\mathbf{M}_e=\mathbf{0}</math></center>

===Torque magnético===
Para el torque de origen magnético sustituimos la expresión de la velocidad

<center><math>\mathbf{M}_m = \int \rho \mathbf{r}'\times((\mathbf{v}_c+\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Desglosamos en los diferentes términos e introducimos la serie de Taylor del
campo magnético.

En primer lugar tenemos

<center><math>\mathbf{M}_{m1}=\int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{v}_C\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau = \int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{v}_C\times(\mathbf{B}_C+\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Como de costumbre, el primer término, lineal en <math>\mathbf{r}'</math> se anula por la simetría. Para el segundo desarrollamos el doble producto vectorial

<center><math>\mathbf{M}_{m1}=\mathbf{v}_C\int \rho(\mathbf{r}'\cdot((\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau-\int\rho(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{v}_C)(\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Fuerza de Lorentz sobre una esfera en rotación

Gonfer — Mon, 15 Mar 2010 22:44:10 GMT

Gonfer: /* Torque magnético */

==Introducción==
Suponemos una distribución de carga que posee simetría esférica alrededor de un punto central <math>\mathbf{r}_C</math>, de forma que su densidad de carga verifica

<center><math>\rho(\mathbf{r})=\rho(r')\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{r}'=\mathbf{r}-\mathbf{r}_C\qquad r'=|\mathbf{r}'|</math></center>

Suponemos que esta distribución de carga está localizada, de forma que tiende a cero rápidamente cuando <math>r'</math> crece

Esta distribución de carga se mueve rígidamente, de forma que la velocidad de cada punto puede escribirse como

<center><math>\mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}'</math></center>

Asimismo, esta distribución se encuentra en el seno de un campo electromagnético externo, de forma que cada elemento de carga se encuentra sometido a una fuerza

<center><math>\mathrm{d}\mathbf{F}=\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

==Fuerza sobre la distribución==
La fuerza neta sobre la distribución de carga será la resultante de las fuerzas diferenciales

<center><math>\mathbf{F}=\int \mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Veamos cada contribución por separado.
===Fuerza eléctrica===
La fuerza eléctrica sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=\int \rho\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Podemos calcular una expresión aproximada para esta fuerza aplicando que la distribución de carga está localizada en torno a su centro, de manera que podemos sustituir el campo eléctrico por su desarrollo en serie de Taylor en torno al centro de la distribución

<center><math>\mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{E}_C = \mathbf{r}'\cdot\mathbf{E}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C + \cdots</math></center>

donde <math>\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\nabla\mathbf{E}_C</math> son constantes iguales al valor del campo y sus derivadas sucesivas en el centro de la distribución.

De esta forma la fuerza eléctrica viene dada por la serie

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}= \int \rho \mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+ \int \rho \mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau + \frac{1}{2}\int \rho \mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+\cdots</math></center>

y, sacando las constantes fuera de las integrales

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=Q\mathbf{E}_C+(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}+\frac{1}{2}\mathsf{Q}:\nabla\nabla\mathbf{E}_C+\cdots</math></center>

donde

<center><math>Q=\int\rho\,\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{p}=\int\rho\,\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathsf{Q}=\int \rho\mathbf{r}'\mathbf{r}'\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí <math>Q</math> es la carga neta de la distribución. <math>\mathbf{p}</math> es el momento dipolar, el cual se anula debido a la simetría de la distribución.

El término <math>\mathsf{Q}</math> es un tensor. Por la simetría de la distribución, este tensor es realmente un escalar, ya que

<center><math>Q_{ik}=\int \rho x'_ix'_k\,\mathrm{d}\tau=0\qquad(i\neq k)</math></center>

y

<center><math>Q_{ii}=\int \rho {x'_i}^2\,\mathrm{d}\tau = \frac{1}{3}\int \rho r'^2 \,\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \qquad (i=k)</math></center>

aquí <math>\gamma</math> es un coeficiente que depende de la forma concreta de la distribución. Para una esfera cargada uniformemente en volumen vale 1/5, para una cargada en superficie es 1/3, para un decaimiento exponencial vale 4. Reuniendo los dos resultados

<center><math>\mathsf{Q}=\gamma Q R^2 \mathsf{I}\,</math></center>

Llevando esto a la expresión de la fuerza, queda

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\mathsf{I}:\nabla\nabla\mathbf{E}+\cdots</math></center>

pero la contracción del tensor unidad con el gradiente del gradiente es simplemente el laplaciano

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\nabla^2\mathbf{E}+\cdots</math></center>

Ahora, para un campo eléctrico externo estático y debido a cargas en posiciones no coincidentes con la distribución (como es el caso del campo de un núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo eléctrico se anula y la fuerza se reduce a

<center><math>\mathbf{F}=Q\mathbf{E}_C</math></center>

Hay que señalar que el término en <math>QR^2</math> '''no''' es un término cuadrupolar. El término cuadrupolar se refiere a la componente simétrica de traza nula. El término que sale aquí se debe a que el centro de fuerzas eléctricas no coincide con el centro de la distribución.

===Fuerza magnética===
La fuerza magnética sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int \rho\mathbf{v}\times\mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Sustituyendo la expresión de la velocidad

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int\rho(\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B}\mathrm{d}\tau</math></center>

Para el primer término tenemos

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=\int \rho\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}\mathrm{d}\tau = \mathbf{v}_C\times\int\rho \mathbf{B}\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí podemos hacer el mismo desarrollo que para el campo eléctrico y nos queda

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C + \frac{\gamma QR^2}{2}\mathbf{v}_C\times(\nabla^2\mathbf{B})</math></center>

De nuevo, si este campo magnético se debe a fuentes situadas fuera de la distribución (como el núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo magnético es nulo y este término se reduce a

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C</math></center>

Para el segundo término desarrollamos el doble producto vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m2}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\mathrm{d}\tau=\mathbf{F}_{m21}+\mathbf{F}_{m22}</math></center>

Aplicando ahora la serie de Taylor para el campo magnético

<center><math>\mathbf{B}=\mathbf{B}_C+\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{B}</math></center>

obtenemos en primer lugar

<center><math>\mathbf{F}_{m21}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B}_C)\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau+\int_\rho(\vec{\omega}\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}))\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau</math></center>

En primer término es nulo, por la simetría. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>F_{m21i}=\int \rho x_i\omega_j(x_k\partial_k B_j)\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \delta_{ik} \omega_j\partial_k B_j = \gamma QR^2 \partial_i(\omega_jB_j)\,</math></center>

o, en forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m21} = \gamma QR^2 \nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

Para <math>\mathbf{F}_{m22}</math> tenemos, igualmente

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\mathrm{d}\tau =-\vec{\omega}\int \rho\mathbf{r}'\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{B}_C)\mathrm{d}\tau</math></center>

Empleando de nuevo subíndices

<center><math>F_{m22i} = -\omega_i \int \rho x'_jx'_k\partial_k B_j\mathrm{d}\tau = -\omega_i \gamma QR^2 \delta_{jk}\partial_kB_j=-\omega_i \gamma QR^2 \partial_jB_j\,</math>
</center>

En forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\vec{\omega}\gamma QR^2 \nabla\cdot\mathbf{B}</math></center>

pero la divergencia del campo magnético es siempre nula, por lo que este término se anula. Nos queda por tanto la fuerza magnética

<center><math>\mathbf{F}_m = Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C+ \gamma QR^2\nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

===Fuerza total===
Sumando las fuerzas eléctrica y magnética obtenemos la fuerza neta

<center><math>\mathbf{F}=Q(\mathbf{E}_C+\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C)+\gamma QR^2 \nabla(\omega\cdot\mathbf{B})</math></center>

Si las fuentes del campo eléctrico y magnético coinciden con lso puntos de la distribución, habrá que añadir los términos correspondientes a los laplacianos de los campos.

==Momento sobre la distribución==
De manera análoga se halla el momento de las fuerzas respecto al centro de la distribución. Este momento será

<center><math>\mathbf{M}_C=\int \mathbf{r}'\times\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Como con la fuerza, consideraremos cada momento por separado
===Torque eléctrico===
Para el término eléctrico, aplicando de nuevo la serie de Taylor nos queda

<center><math>\mathbf{M}_e=\int\rho\mathbf{r}'\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau=
\int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}_C+(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{E}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

El primer término se anula, por la simetría de la distribución. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>M_i = \int \rho \varepsilon_{ijk}x_jx_r\partial_r E_k = \gamma Q R^2 \varepsilon_{ijk} \delta_{jr} \partial_rE_k = \gamma QR^2 \varepsilon_{ijk}\partial_jE_k</math></center>

o, en forma vectorial,

<center><math>\mathbf{M}_e= \gamma QR^2\nabla\times\mathbf{E}</math></center>

Pero, si el campo externo es estacionario, este rotacional se anula y

<center><math>\mathbf{M}_e=\mathbf{0}</math></center>

===Torque magnético===
Para el torque de origen magnético sustituimos la expresión de la velocidad

<center><math>\mathbf{M}_m = \int \rho \mathbf{r}'\times((\mathbf{v}_c+\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Desglosamos en los diferentes términos e introducimos la serie de Taylor del
campo magnético.

En primer lugar tenemos

<center><math>\mathbf{M}_{m1}=\int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{v}_C\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau = \int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{v}_C\times(\mathbf{B}_C+\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Como de costumbre, el primer término, lineal en <math>\mathbf{r}'</math> se anula por la simetría. Para el segundo desarrollamos el doble producto vectorial

<center><math>\mathbf{M}_{m1}=\mathbf{v}_C\int \rho(\mathbf{r}'\cdot((\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{B}}\,\mathrm{d}\tau-\int\rho(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{v}_C)(\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Fuerza de Lorentz sobre una esfera en rotación

Gonfer — Mon, 15 Mar 2010 22:32:38 GMT

Gonfer: /* Torque magnético */

==Introducción==
Suponemos una distribución de carga que posee simetría esférica alrededor de un punto central <math>\mathbf{r}_C</math>, de forma que su densidad de carga verifica

<center><math>\rho(\mathbf{r})=\rho(r')\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{r}'=\mathbf{r}-\mathbf{r}_C\qquad r'=|\mathbf{r}'|</math></center>

Suponemos que esta distribución de carga está localizada, de forma que tiende a cero rápidamente cuando <math>r'</math> crece

Esta distribución de carga se mueve rígidamente, de forma que la velocidad de cada punto puede escribirse como

<center><math>\mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}'</math></center>

Asimismo, esta distribución se encuentra en el seno de un campo electromagnético externo, de forma que cada elemento de carga se encuentra sometido a una fuerza

<center><math>\mathrm{d}\mathbf{F}=\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

==Fuerza sobre la distribución==
La fuerza neta sobre la distribución de carga será la resultante de las fuerzas diferenciales

<center><math>\mathbf{F}=\int \mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Veamos cada contribución por separado.
===Fuerza eléctrica===
La fuerza eléctrica sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=\int \rho\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Podemos calcular una expresión aproximada para esta fuerza aplicando que la distribución de carga está localizada en torno a su centro, de manera que podemos sustituir el campo eléctrico por su desarrollo en serie de Taylor en torno al centro de la distribución

<center><math>\mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{E}_C = \mathbf{r}'\cdot\mathbf{E}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C + \cdots</math></center>

donde <math>\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\nabla\mathbf{E}_C</math> son constantes iguales al valor del campo y sus derivadas sucesivas en el centro de la distribución.

De esta forma la fuerza eléctrica viene dada por la serie

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}= \int \rho \mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+ \int \rho \mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau + \frac{1}{2}\int \rho \mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+\cdots</math></center>

y, sacando las constantes fuera de las integrales

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=Q\mathbf{E}_C+(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}+\frac{1}{2}\mathsf{Q}:\nabla\nabla\mathbf{E}_C+\cdots</math></center>

donde

<center><math>Q=\int\rho\,\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{p}=\int\rho\,\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathsf{Q}=\int \rho\mathbf{r}'\mathbf{r}'\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí <math>Q</math> es la carga neta de la distribución. <math>\mathbf{p}</math> es el momento dipolar, el cual se anula debido a la simetría de la distribución.

El término <math>\mathsf{Q}</math> es un tensor. Por la simetría de la distribución, este tensor es realmente un escalar, ya que

<center><math>Q_{ik}=\int \rho x'_ix'_k\,\mathrm{d}\tau=0\qquad(i\neq k)</math></center>

y

<center><math>Q_{ii}=\int \rho {x'_i}^2\,\mathrm{d}\tau = \frac{1}{3}\int \rho r'^2 \,\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \qquad (i=k)</math></center>

aquí <math>\gamma</math> es un coeficiente que depende de la forma concreta de la distribución. Para una esfera cargada uniformemente en volumen vale 1/5, para una cargada en superficie es 1/3, para un decaimiento exponencial vale 4. Reuniendo los dos resultados

<center><math>\mathsf{Q}=\gamma Q R^2 \mathsf{I}\,</math></center>

Llevando esto a la expresión de la fuerza, queda

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\mathsf{I}:\nabla\nabla\mathbf{E}+\cdots</math></center>

pero la contracción del tensor unidad con el gradiente del gradiente es simplemente el laplaciano

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\nabla^2\mathbf{E}+\cdots</math></center>

Ahora, para un campo eléctrico externo estático y debido a cargas en posiciones no coincidentes con la distribución (como es el caso del campo de un núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo eléctrico se anula y la fuerza se reduce a

<center><math>\mathbf{F}=Q\mathbf{E}_C</math></center>

Hay que señalar que el término en <math>QR^2</math> '''no''' es un término cuadrupolar. El término cuadrupolar se refiere a la componente simétrica de traza nula. El término que sale aquí se debe a que el centro de fuerzas eléctricas no coincide con el centro de la distribución.

===Fuerza magnética===
La fuerza magnética sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int \rho\mathbf{v}\times\mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Sustituyendo la expresión de la velocidad

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int\rho(\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B}\mathrm{d}\tau</math></center>

Para el primer término tenemos

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=\int \rho\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}\mathrm{d}\tau = \mathbf{v}_C\times\int\rho \mathbf{B}\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí podemos hacer el mismo desarrollo que para el campo eléctrico y nos queda

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C + \frac{\gamma QR^2}{2}\mathbf{v}_C\times(\nabla^2\mathbf{B})</math></center>

De nuevo, si este campo magnético se debe a fuentes situadas fuera de la distribución (como el núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo magnético es nulo y este término se reduce a

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C</math></center>

Para el segundo término desarrollamos el doble producto vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m2}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\mathrm{d}\tau=\mathbf{F}_{m21}+\mathbf{F}_{m22}</math></center>

Aplicando ahora la serie de Taylor para el campo magnético

<center><math>\mathbf{B}=\mathbf{B}_C+\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{B}</math></center>

obtenemos en primer lugar

<center><math>\mathbf{F}_{m21}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B}_C)\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau+\int_\rho(\vec{\omega}\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}))\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau</math></center>

En primer término es nulo, por la simetría. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>F_{m21i}=\int \rho x_i\omega_j(x_k\partial_k B_j)\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \delta_{ik} \omega_j\partial_k B_j = \gamma QR^2 \partial_i(\omega_jB_j)\,</math></center>

o, en forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m21} = \gamma QR^2 \nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

Para <math>\mathbf{F}_{m22}</math> tenemos, igualmente

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\mathrm{d}\tau =-\vec{\omega}\int \rho\mathbf{r}'\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{B}_C)\mathrm{d}\tau</math></center>

Empleando de nuevo subíndices

<center><math>F_{m22i} = -\omega_i \int \rho x'_jx'_k\partial_k B_j\mathrm{d}\tau = -\omega_i \gamma QR^2 \delta_{jk}\partial_kB_j=-\omega_i \gamma QR^2 \partial_jB_j\,</math>
</center>

En forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\vec{\omega}\gamma QR^2 \nabla\cdot\mathbf{B}</math></center>

pero la divergencia del campo magnético es siempre nula, por lo que este término se anula. Nos queda por tanto la fuerza magnética

<center><math>\mathbf{F}_m = Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C+ \gamma QR^2\nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

===Fuerza total===
Sumando las fuerzas eléctrica y magnética obtenemos la fuerza neta

<center><math>\mathbf{F}=Q(\mathbf{E}_C+\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C)+\gamma QR^2 \nabla(\omega\cdot\mathbf{B})</math></center>

Si las fuentes del campo eléctrico y magnético coinciden con lso puntos de la distribución, habrá que añadir los términos correspondientes a los laplacianos de los campos.

==Momento sobre la distribución==
De manera análoga se halla el momento de las fuerzas respecto al centro de la distribución. Este momento será

<center><math>\mathbf{M}_C=\int \mathbf{r}'\times\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Como con la fuerza, consideraremos cada momento por separado
===Torque eléctrico===
Para el término eléctrico, aplicando de nuevo la serie de Taylor nos queda

<center><math>\mathbf{M}_e=\int\rho\mathbf{r}'\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau=
\int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}_C+(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{E}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

El primer término se anula, por la simetría de la distribución. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>M_i = \int \rho \varepsilon_{ijk}x_jx_r\partial_r E_k = \gamma Q R^2 \varepsilon_{ijk} \delta_{jr} \partial_rE_k = \gamma QR^2 \varepsilon_{ijk}\partial_jE_k</math></center>

o, en forma vectorial,

<center><math>\mathbf{M}_e= \gamma QR^2\nabla\times\mathbf{E}</math></center>

Pero, si el campo externo es estacionario, este rotacional se anula y

<center><math>\mathbf{M}_e=\mathbf{0}</math></center>

===Torque magnético===
Para el torque de origen magnético sustituimos la expresión de la velocidad

<center><math>\mathbf{M}_m = \int \rho \mathbf{r}'\times((\mathbf{v}_c+\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Desglosamos en los diferentes términos e introducimos la serie de Taylor del campo magnético.

<center><math>\mathbf{M}_{m1}=\int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{v}_C\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau = \int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{v}_C\times(\mathbf{B}_C+\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Fuerza de Lorentz sobre una esfera en rotación

Gonfer — Mon, 15 Mar 2010 22:24:24 GMT

Gonfer: /* Torque magnético */

==Introducción==
Suponemos una distribución de carga que posee simetría esférica alrededor de un punto central <math>\mathbf{r}_C</math>, de forma que su densidad de carga verifica

<center><math>\rho(\mathbf{r})=\rho(r')\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{r}'=\mathbf{r}-\mathbf{r}_C\qquad r'=|\mathbf{r}'|</math></center>

Suponemos que esta distribución de carga está localizada, de forma que tiende a cero rápidamente cuando <math>r'</math> crece

Esta distribución de carga se mueve rígidamente, de forma que la velocidad de cada punto puede escribirse como

<center><math>\mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}'</math></center>

Asimismo, esta distribución se encuentra en el seno de un campo electromagnético externo, de forma que cada elemento de carga se encuentra sometido a una fuerza

<center><math>\mathrm{d}\mathbf{F}=\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

==Fuerza sobre la distribución==
La fuerza neta sobre la distribución de carga será la resultante de las fuerzas diferenciales

<center><math>\mathbf{F}=\int \mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Veamos cada contribución por separado.
===Fuerza eléctrica===
La fuerza eléctrica sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=\int \rho\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Podemos calcular una expresión aproximada para esta fuerza aplicando que la distribución de carga está localizada en torno a su centro, de manera que podemos sustituir el campo eléctrico por su desarrollo en serie de Taylor en torno al centro de la distribución

<center><math>\mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{E}_C = \mathbf{r}'\cdot\mathbf{E}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C + \cdots</math></center>

donde <math>\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\nabla\mathbf{E}_C</math> son constantes iguales al valor del campo y sus derivadas sucesivas en el centro de la distribución.

De esta forma la fuerza eléctrica viene dada por la serie

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}= \int \rho \mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+ \int \rho \mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau + \frac{1}{2}\int \rho \mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+\cdots</math></center>

y, sacando las constantes fuera de las integrales

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=Q\mathbf{E}_C+(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}+\frac{1}{2}\mathsf{Q}:\nabla\nabla\mathbf{E}_C+\cdots</math></center>

donde

<center><math>Q=\int\rho\,\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{p}=\int\rho\,\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathsf{Q}=\int \rho\mathbf{r}'\mathbf{r}'\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí <math>Q</math> es la carga neta de la distribución. <math>\mathbf{p}</math> es el momento dipolar, el cual se anula debido a la simetría de la distribución.

El término <math>\mathsf{Q}</math> es un tensor. Por la simetría de la distribución, este tensor es realmente un escalar, ya que

<center><math>Q_{ik}=\int \rho x'_ix'_k\,\mathrm{d}\tau=0\qquad(i\neq k)</math></center>

y

<center><math>Q_{ii}=\int \rho {x'_i}^2\,\mathrm{d}\tau = \frac{1}{3}\int \rho r'^2 \,\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \qquad (i=k)</math></center>

aquí <math>\gamma</math> es un coeficiente que depende de la forma concreta de la distribución. Para una esfera cargada uniformemente en volumen vale 1/5, para una cargada en superficie es 1/3, para un decaimiento exponencial vale 4. Reuniendo los dos resultados

<center><math>\mathsf{Q}=\gamma Q R^2 \mathsf{I}\,</math></center>

Llevando esto a la expresión de la fuerza, queda

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\mathsf{I}:\nabla\nabla\mathbf{E}+\cdots</math></center>

pero la contracción del tensor unidad con el gradiente del gradiente es simplemente el laplaciano

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\nabla^2\mathbf{E}+\cdots</math></center>

Ahora, para un campo eléctrico externo estático y debido a cargas en posiciones no coincidentes con la distribución (como es el caso del campo de un núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo eléctrico se anula y la fuerza se reduce a

<center><math>\mathbf{F}=Q\mathbf{E}_C</math></center>

Hay que señalar que el término en <math>QR^2</math> '''no''' es un término cuadrupolar. El término cuadrupolar se refiere a la componente simétrica de traza nula. El término que sale aquí se debe a que el centro de fuerzas eléctricas no coincide con el centro de la distribución.

===Fuerza magnética===
La fuerza magnética sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int \rho\mathbf{v}\times\mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Sustituyendo la expresión de la velocidad

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int\rho(\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B}\mathrm{d}\tau</math></center>

Para el primer término tenemos

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=\int \rho\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}\mathrm{d}\tau = \mathbf{v}_C\times\int\rho \mathbf{B}\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí podemos hacer el mismo desarrollo que para el campo eléctrico y nos queda

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C + \frac{\gamma QR^2}{2}\mathbf{v}_C\times(\nabla^2\mathbf{B})</math></center>

De nuevo, si este campo magnético se debe a fuentes situadas fuera de la distribución (como el núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo magnético es nulo y este término se reduce a

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C</math></center>

Para el segundo término desarrollamos el doble producto vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m2}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\mathrm{d}\tau=\mathbf{F}_{m21}+\mathbf{F}_{m22}</math></center>

Aplicando ahora la serie de Taylor para el campo magnético

<center><math>\mathbf{B}=\mathbf{B}_C+\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{B}</math></center>

obtenemos en primer lugar

<center><math>\mathbf{F}_{m21}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B}_C)\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau+\int_\rho(\vec{\omega}\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}))\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau</math></center>

En primer término es nulo, por la simetría. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>F_{m21i}=\int \rho x_i\omega_j(x_k\partial_k B_j)\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \delta_{ik} \omega_j\partial_k B_j = \gamma QR^2 \partial_i(\omega_jB_j)\,</math></center>

o, en forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m21} = \gamma QR^2 \nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

Para <math>\mathbf{F}_{m22}</math> tenemos, igualmente

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\mathrm{d}\tau =-\vec{\omega}\int \rho\mathbf{r}'\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{B}_C)\mathrm{d}\tau</math></center>

Empleando de nuevo subíndices

<center><math>F_{m22i} = -\omega_i \int \rho x'_jx'_k\partial_k B_j\mathrm{d}\tau = -\omega_i \gamma QR^2 \delta_{jk}\partial_kB_j=-\omega_i \gamma QR^2 \partial_jB_j\,</math>
</center>

En forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\vec{\omega}\gamma QR^2 \nabla\cdot\mathbf{B}</math></center>

pero la divergencia del campo magnético es siempre nula, por lo que este término se anula. Nos queda por tanto la fuerza magnética

<center><math>\mathbf{F}_m = Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C+ \gamma QR^2\nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

===Fuerza total===
Sumando las fuerzas eléctrica y magnética obtenemos la fuerza neta

<center><math>\mathbf{F}=Q(\mathbf{E}_C+\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C)+\gamma QR^2 \nabla(\omega\cdot\mathbf{B})</math></center>

Si las fuentes del campo eléctrico y magnético coinciden con lso puntos de la distribución, habrá que añadir los términos correspondientes a los laplacianos de los campos.

==Momento sobre la distribución==
De manera análoga se halla el momento de las fuerzas respecto al centro de la distribución. Este momento será

<center><math>\mathbf{M}_C=\int \mathbf{r}'\times\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Como con la fuerza, consideraremos cada momento por separado
===Torque eléctrico===
Para el término eléctrico, aplicando de nuevo la serie de Taylor nos queda

<center><math>\mathbf{M}_e=\int\rho\mathbf{r}'\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau=
\int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}_C+(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{E}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

El primer término se anula, por la simetría de la distribución. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>M_i = \int \rho \varepsilon_{ijk}x_jx_r\partial_r E_k = \gamma Q R^2 \varepsilon_{ijk} \delta_{jr} \partial_rE_k = \gamma QR^2 \varepsilon_{ijk}\partial_jE_k</math></center>

o, en forma vectorial,

<center><math>\mathbf{M}_e= \gamma QR^2\nabla\times\mathbf{E}</math></center>

Pero, si el campo externo es estacionario, este rotacional se anula y

<center><math>\mathbf{M}_e=\mathbf{0}</math></center>

===Torque magnético===
Para el torque de origen magnético sustituimos la expresión de la velocidad

<center><math>\mathbf{M}_m = \int \rho \mathbf{r}'\times((\mathbf{v}_c+\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B}</math></center>

Archivo:Cuadro.jpg

Gonfer — Mon, 15 Mar 2010 21:06:37 GMT

Gonfer:

Fuerza de Lorentz sobre una esfera en rotación

Gonfer — Mon, 15 Mar 2010 20:12:34 GMT

Gonfer: /* Torque magnético */

==Introducción==
Suponemos una distribución de carga que posee simetría esférica alrededor de un punto central <math>\mathbf{r}_C</math>, de forma que su densidad de carga verifica

<center><math>\rho(\mathbf{r})=\rho(r')\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{r}'=\mathbf{r}-\mathbf{r}_C\qquad r'=|\mathbf{r}'|</math></center>

Suponemos que esta distribución de carga está localizada, de forma que tiende a cero rápidamente cuando <math>r'</math> crece

Esta distribución de carga se mueve rígidamente, de forma que la velocidad de cada punto puede escribirse como

<center><math>\mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}'</math></center>

Asimismo, esta distribución se encuentra en el seno de un campo electromagnético externo, de forma que cada elemento de carga se encuentra sometido a una fuerza

<center><math>\mathrm{d}\mathbf{F}=\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

==Fuerza sobre la distribución==
La fuerza neta sobre la distribución de carga será la resultante de las fuerzas diferenciales

<center><math>\mathbf{F}=\int \mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Veamos cada contribución por separado.
===Fuerza eléctrica===
La fuerza eléctrica sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=\int \rho\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Podemos calcular una expresión aproximada para esta fuerza aplicando que la distribución de carga está localizada en torno a su centro, de manera que podemos sustituir el campo eléctrico por su desarrollo en serie de Taylor en torno al centro de la distribución

<center><math>\mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{E}_C = \mathbf{r}'\cdot\mathbf{E}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C + \cdots</math></center>

donde <math>\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\nabla\mathbf{E}_C</math> son constantes iguales al valor del campo y sus derivadas sucesivas en el centro de la distribución.

De esta forma la fuerza eléctrica viene dada por la serie

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}= \int \rho \mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+ \int \rho \mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau + \frac{1}{2}\int \rho \mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+\cdots</math></center>

y, sacando las constantes fuera de las integrales

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=Q\mathbf{E}_C+(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}+\frac{1}{2}\mathsf{Q}:\nabla\nabla\mathbf{E}_C+\cdots</math></center>

donde

<center><math>Q=\int\rho\,\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{p}=\int\rho\,\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathsf{Q}=\int \rho\mathbf{r}'\mathbf{r}'\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí <math>Q</math> es la carga neta de la distribución. <math>\mathbf{p}</math> es el momento dipolar, el cual se anula debido a la simetría de la distribución.

El término <math>\mathsf{Q}</math> es un tensor. Por la simetría de la distribución, este tensor es realmente un escalar, ya que

<center><math>Q_{ik}=\int \rho x'_ix'_k\,\mathrm{d}\tau=0\qquad(i\neq k)</math></center>

y

<center><math>Q_{ii}=\int \rho {x'_i}^2\,\mathrm{d}\tau = \frac{1}{3}\int \rho r'^2 \,\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \qquad (i=k)</math></center>

aquí <math>\gamma</math> es un coeficiente que depende de la forma concreta de la distribución. Para una esfera cargada uniformemente en volumen vale 1/5, para una cargada en superficie es 1/3, para un decaimiento exponencial vale 4. Reuniendo los dos resultados

<center><math>\mathsf{Q}=\gamma Q R^2 \mathsf{I}\,</math></center>

Llevando esto a la expresión de la fuerza, queda

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\mathsf{I}:\nabla\nabla\mathbf{E}+\cdots</math></center>

pero la contracción del tensor unidad con el gradiente del gradiente es simplemente el laplaciano

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\nabla^2\mathbf{E}+\cdots</math></center>

Ahora, para un campo eléctrico externo estático y debido a cargas en posiciones no coincidentes con la distribución (como es el caso del campo de un núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo eléctrico se anula y la fuerza se reduce a

<center><math>\mathbf{F}=Q\mathbf{E}_C</math></center>

Hay que señalar que el término en <math>QR^2</math> '''no''' es un término cuadrupolar. El término cuadrupolar se refiere a la componente simétrica de traza nula. El término que sale aquí se debe a que el centro de fuerzas eléctricas no coincide con el centro de la distribución.

===Fuerza magnética===
La fuerza magnética sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int \rho\mathbf{v}\times\mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Sustituyendo la expresión de la velocidad

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int\rho(\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B}\mathrm{d}\tau</math></center>

Para el primer término tenemos

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=\int \rho\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}\mathrm{d}\tau = \mathbf{v}_C\times\int\rho \mathbf{B}\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí podemos hacer el mismo desarrollo que para el campo eléctrico y nos queda

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C + \frac{\gamma QR^2}{2}\mathbf{v}_C\times(\nabla^2\mathbf{B})</math></center>

De nuevo, si este campo magnético se debe a fuentes situadas fuera de la distribución (como el núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo magnético es nulo y este término se reduce a

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C</math></center>

Para el segundo término desarrollamos el doble producto vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m2}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\mathrm{d}\tau=\mathbf{F}_{m21}+\mathbf{F}_{m22}</math></center>

Aplicando ahora la serie de Taylor para el campo magnético

<center><math>\mathbf{B}=\mathbf{B}_C+\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{B}</math></center>

obtenemos en primer lugar

<center><math>\mathbf{F}_{m21}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B}_C)\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau+\int_\rho(\vec{\omega}\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}))\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau</math></center>

En primer término es nulo, por la simetría. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>F_{m21i}=\int \rho x_i\omega_j(x_k\partial_k B_j)\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \delta_{ik} \omega_j\partial_k B_j = \gamma QR^2 \partial_i(\omega_jB_j)\,</math></center>

o, en forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m21} = \gamma QR^2 \nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

Para <math>\mathbf{F}_{m22}</math> tenemos, igualmente

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\mathrm{d}\tau =-\vec{\omega}\int \rho\mathbf{r}'\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{B}_C)\mathrm{d}\tau</math></center>

Empleando de nuevo subíndices

<center><math>F_{m22i} = -\omega_i \int \rho x'_jx'_k\partial_k B_j\mathrm{d}\tau = -\omega_i \gamma QR^2 \delta_{jk}\partial_kB_j=-\omega_i \gamma QR^2 \partial_jB_j\,</math>
</center>

En forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\vec{\omega}\gamma QR^2 \nabla\cdot\mathbf{B}</math></center>

pero la divergencia del campo magnético es siempre nula, por lo que este término se anula. Nos queda por tanto la fuerza magnética

<center><math>\mathbf{F}_m = Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C+ \gamma QR^2\nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

===Fuerza total===
Sumando las fuerzas eléctrica y magnética obtenemos la fuerza neta

<center><math>\mathbf{F}=Q(\mathbf{E}_C+\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C)+\gamma QR^2 \nabla(\omega\cdot\mathbf{B})</math></center>

Si las fuentes del campo eléctrico y magnético coinciden con lso puntos de la distribución, habrá que añadir los términos correspondientes a los laplacianos de los campos.

==Momento sobre la distribución==
De manera análoga se halla el momento de las fuerzas respecto al centro de la distribución. Este momento será

<center><math>\mathbf{M}_C=\int \mathbf{r}'\times\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Como con la fuerza, consideraremos cada momento por separado
===Torque eléctrico===
Para el término eléctrico, aplicando de nuevo la serie de Taylor nos queda

<center><math>\mathbf{M}_e=\int\rho\mathbf{r}'\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau=
\int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}_C+(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{E}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

El primer término se anula, por la simetría de la distribución. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>M_i = \int \rho \varepsilon_{ijk}x_jx_r\partial_r E_k = \gamma Q R^2 \varepsilon_{ijk} \delta_{jr} \partial_rE_k = \gamma QR^2 \varepsilon_{ijk}\partial_jE_k</math></center>

o, en forma vectorial,

<center><math>\mathbf{M}_e= \gamma QR^2\nabla\times\mathbf{E}</math></center>

Pero, si el campo externo es estacionario, este rotacional se anula y

<center><math>\mathbf{M}_e=\mathbf{0}</math></center>

===Torque magnético===
Para el torque de origen magnético

Fuerza de Lorentz sobre una esfera en rotación

Gonfer — Mon, 15 Mar 2010 19:30:15 GMT

Gonfer: /* Torque eléctrico */

==Introducción==
Suponemos una distribución de carga que posee simetría esférica alrededor de un punto central <math>\mathbf{r}_C</math>, de forma que su densidad de carga verifica

<center><math>\rho(\mathbf{r})=\rho(r')\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{r}'=\mathbf{r}-\mathbf{r}_C\qquad r'=|\mathbf{r}'|</math></center>

Suponemos que esta distribución de carga está localizada, de forma que tiende a cero rápidamente cuando <math>r'</math> crece

Esta distribución de carga se mueve rígidamente, de forma que la velocidad de cada punto puede escribirse como

<center><math>\mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}'</math></center>

Asimismo, esta distribución se encuentra en el seno de un campo electromagnético externo, de forma que cada elemento de carga se encuentra sometido a una fuerza

<center><math>\mathrm{d}\mathbf{F}=\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

==Fuerza sobre la distribución==
La fuerza neta sobre la distribución de carga será la resultante de las fuerzas diferenciales

<center><math>\mathbf{F}=\int \mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Veamos cada contribución por separado.
===Fuerza eléctrica===
La fuerza eléctrica sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=\int \rho\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Podemos calcular una expresión aproximada para esta fuerza aplicando que la distribución de carga está localizada en torno a su centro, de manera que podemos sustituir el campo eléctrico por su desarrollo en serie de Taylor en torno al centro de la distribución

<center><math>\mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{E}_C = \mathbf{r}'\cdot\mathbf{E}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C + \cdots</math></center>

donde <math>\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\nabla\mathbf{E}_C</math> son constantes iguales al valor del campo y sus derivadas sucesivas en el centro de la distribución.

De esta forma la fuerza eléctrica viene dada por la serie

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}= \int \rho \mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+ \int \rho \mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau + \frac{1}{2}\int \rho \mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+\cdots</math></center>

y, sacando las constantes fuera de las integrales

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=Q\mathbf{E}_C+(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}+\frac{1}{2}\mathsf{Q}:\nabla\nabla\mathbf{E}_C+\cdots</math></center>

donde

<center><math>Q=\int\rho\,\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{p}=\int\rho\,\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathsf{Q}=\int \rho\mathbf{r}'\mathbf{r}'\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí <math>Q</math> es la carga neta de la distribución. <math>\mathbf{p}</math> es el momento dipolar, el cual se anula debido a la simetría de la distribución.

El término <math>\mathsf{Q}</math> es un tensor. Por la simetría de la distribución, este tensor es realmente un escalar, ya que

<center><math>Q_{ik}=\int \rho x'_ix'_k\,\mathrm{d}\tau=0\qquad(i\neq k)</math></center>

y

<center><math>Q_{ii}=\int \rho {x'_i}^2\,\mathrm{d}\tau = \frac{1}{3}\int \rho r'^2 \,\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \qquad (i=k)</math></center>

aquí <math>\gamma</math> es un coeficiente que depende de la forma concreta de la distribución. Para una esfera cargada uniformemente en volumen vale 1/5, para una cargada en superficie es 1/3, para un decaimiento exponencial vale 4. Reuniendo los dos resultados

<center><math>\mathsf{Q}=\gamma Q R^2 \mathsf{I}\,</math></center>

Llevando esto a la expresión de la fuerza, queda

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\mathsf{I}:\nabla\nabla\mathbf{E}+\cdots</math></center>

pero la contracción del tensor unidad con el gradiente del gradiente es simplemente el laplaciano

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\nabla^2\mathbf{E}+\cdots</math></center>

Ahora, para un campo eléctrico externo estático y debido a cargas en posiciones no coincidentes con la distribución (como es el caso del campo de un núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo eléctrico se anula y la fuerza se reduce a

<center><math>\mathbf{F}=Q\mathbf{E}_C</math></center>

Hay que señalar que el término en <math>QR^2</math> '''no''' es un término cuadrupolar. El término cuadrupolar se refiere a la componente simétrica de traza nula. El término que sale aquí se debe a que el centro de fuerzas eléctricas no coincide con el centro de la distribución.

===Fuerza magnética===
La fuerza magnética sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int \rho\mathbf{v}\times\mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Sustituyendo la expresión de la velocidad

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int\rho(\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B}\mathrm{d}\tau</math></center>

Para el primer término tenemos

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=\int \rho\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}\mathrm{d}\tau = \mathbf{v}_C\times\int\rho \mathbf{B}\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí podemos hacer el mismo desarrollo que para el campo eléctrico y nos queda

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C + \frac{\gamma QR^2}{2}\mathbf{v}_C\times(\nabla^2\mathbf{B})</math></center>

De nuevo, si este campo magnético se debe a fuentes situadas fuera de la distribución (como el núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo magnético es nulo y este término se reduce a

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C</math></center>

Para el segundo término desarrollamos el doble producto vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m2}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\mathrm{d}\tau=\mathbf{F}_{m21}+\mathbf{F}_{m22}</math></center>

Aplicando ahora la serie de Taylor para el campo magnético

<center><math>\mathbf{B}=\mathbf{B}_C+\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{B}</math></center>

obtenemos en primer lugar

<center><math>\mathbf{F}_{m21}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B}_C)\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau+\int_\rho(\vec{\omega}\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}))\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau</math></center>

En primer término es nulo, por la simetría. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>F_{m21i}=\int \rho x_i\omega_j(x_k\partial_k B_j)\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \delta_{ik} \omega_j\partial_k B_j = \gamma QR^2 \partial_i(\omega_jB_j)\,</math></center>

o, en forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m21} = \gamma QR^2 \nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

Para <math>\mathbf{F}_{m22}</math> tenemos, igualmente

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\mathrm{d}\tau =-\vec{\omega}\int \rho\mathbf{r}'\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{B}_C)\mathrm{d}\tau</math></center>

Empleando de nuevo subíndices

<center><math>F_{m22i} = -\omega_i \int \rho x'_jx'_k\partial_k B_j\mathrm{d}\tau = -\omega_i \gamma QR^2 \delta_{jk}\partial_kB_j=-\omega_i \gamma QR^2 \partial_jB_j\,</math>
</center>

En forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\vec{\omega}\gamma QR^2 \nabla\cdot\mathbf{B}</math></center>

pero la divergencia del campo magnético es siempre nula, por lo que este término se anula. Nos queda por tanto la fuerza magnética

<center><math>\mathbf{F}_m = Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C+ \gamma QR^2\nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

===Fuerza total===
Sumando las fuerzas eléctrica y magnética obtenemos la fuerza neta

<center><math>\mathbf{F}=Q(\mathbf{E}_C+\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C)+\gamma QR^2 \nabla(\omega\cdot\mathbf{B})</math></center>

Si las fuentes del campo eléctrico y magnético coinciden con lso puntos de la distribución, habrá que añadir los términos correspondientes a los laplacianos de los campos.

==Momento sobre la distribución==
De manera análoga se halla el momento de las fuerzas respecto al centro de la distribución. Este momento será

<center><math>\mathbf{M}_C=\int \mathbf{r}'\times\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Como con la fuerza, consideraremos cada momento por separado
===Torque eléctrico===
Para el término eléctrico, aplicando de nuevo la serie de Taylor nos queda

<center><math>\mathbf{M}_e=\int\rho\mathbf{r}'\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau=
\int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}_C+(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{E}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

El primer término se anula, por la simetría de la distribución. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>M_i = \int \rho \varepsilon_{ijk}x_jx_r\partial_r E_k = \gamma Q R^2 \varepsilon_{ijk} \delta_{jr} \partial_rE_k = \gamma QR^2 \varepsilon_{ijk}\partial_jE_k</math></center>

o, en forma vectorial,

<center><math>\mathbf{M}_e= \gamma QR^2\nabla\times\mathbf{E}</math></center>

Pero, si el campo externo es estacionario, este rotacional se anula y

<center><math>\mathbf{M}_e=\mathbf{0}</math></center>

===Torque magnético===

Fuerza de Lorentz sobre una esfera en rotación

Gonfer — Mon, 15 Mar 2010 19:30:02 GMT

Gonfer: /* Torque eléctrico */

==Introducción==
Suponemos una distribución de carga que posee simetría esférica alrededor de un punto central <math>\mathbf{r}_C</math>, de forma que su densidad de carga verifica

<center><math>\rho(\mathbf{r})=\rho(r')\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{r}'=\mathbf{r}-\mathbf{r}_C\qquad r'=|\mathbf{r}'|</math></center>

Suponemos que esta distribución de carga está localizada, de forma que tiende a cero rápidamente cuando <math>r'</math> crece

Esta distribución de carga se mueve rígidamente, de forma que la velocidad de cada punto puede escribirse como

<center><math>\mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}'</math></center>

Asimismo, esta distribución se encuentra en el seno de un campo electromagnético externo, de forma que cada elemento de carga se encuentra sometido a una fuerza

<center><math>\mathrm{d}\mathbf{F}=\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

==Fuerza sobre la distribución==
La fuerza neta sobre la distribución de carga será la resultante de las fuerzas diferenciales

<center><math>\mathbf{F}=\int \mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Veamos cada contribución por separado.
===Fuerza eléctrica===
La fuerza eléctrica sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=\int \rho\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Podemos calcular una expresión aproximada para esta fuerza aplicando que la distribución de carga está localizada en torno a su centro, de manera que podemos sustituir el campo eléctrico por su desarrollo en serie de Taylor en torno al centro de la distribución

<center><math>\mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{E}_C = \mathbf{r}'\cdot\mathbf{E}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C + \cdots</math></center>

donde <math>\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\nabla\mathbf{E}_C</math> son constantes iguales al valor del campo y sus derivadas sucesivas en el centro de la distribución.

De esta forma la fuerza eléctrica viene dada por la serie

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}= \int \rho \mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+ \int \rho \mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau + \frac{1}{2}\int \rho \mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+\cdots</math></center>

y, sacando las constantes fuera de las integrales

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=Q\mathbf{E}_C+(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}+\frac{1}{2}\mathsf{Q}:\nabla\nabla\mathbf{E}_C+\cdots</math></center>

donde

<center><math>Q=\int\rho\,\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{p}=\int\rho\,\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathsf{Q}=\int \rho\mathbf{r}'\mathbf{r}'\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí <math>Q</math> es la carga neta de la distribución. <math>\mathbf{p}</math> es el momento dipolar, el cual se anula debido a la simetría de la distribución.

El término <math>\mathsf{Q}</math> es un tensor. Por la simetría de la distribución, este tensor es realmente un escalar, ya que

<center><math>Q_{ik}=\int \rho x'_ix'_k\,\mathrm{d}\tau=0\qquad(i\neq k)</math></center>

y

<center><math>Q_{ii}=\int \rho {x'_i}^2\,\mathrm{d}\tau = \frac{1}{3}\int \rho r'^2 \,\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \qquad (i=k)</math></center>

aquí <math>\gamma</math> es un coeficiente que depende de la forma concreta de la distribución. Para una esfera cargada uniformemente en volumen vale 1/5, para una cargada en superficie es 1/3, para un decaimiento exponencial vale 4. Reuniendo los dos resultados

<center><math>\mathsf{Q}=\gamma Q R^2 \mathsf{I}\,</math></center>

Llevando esto a la expresión de la fuerza, queda

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\mathsf{I}:\nabla\nabla\mathbf{E}+\cdots</math></center>

pero la contracción del tensor unidad con el gradiente del gradiente es simplemente el laplaciano

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\nabla^2\mathbf{E}+\cdots</math></center>

Ahora, para un campo eléctrico externo estático y debido a cargas en posiciones no coincidentes con la distribución (como es el caso del campo de un núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo eléctrico se anula y la fuerza se reduce a

<center><math>\mathbf{F}=Q\mathbf{E}_C</math></center>

Hay que señalar que el término en <math>QR^2</math> '''no''' es un término cuadrupolar. El término cuadrupolar se refiere a la componente simétrica de traza nula. El término que sale aquí se debe a que el centro de fuerzas eléctricas no coincide con el centro de la distribución.

===Fuerza magnética===
La fuerza magnética sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int \rho\mathbf{v}\times\mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Sustituyendo la expresión de la velocidad

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int\rho(\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B}\mathrm{d}\tau</math></center>

Para el primer término tenemos

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=\int \rho\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}\mathrm{d}\tau = \mathbf{v}_C\times\int\rho \mathbf{B}\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí podemos hacer el mismo desarrollo que para el campo eléctrico y nos queda

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C + \frac{\gamma QR^2}{2}\mathbf{v}_C\times(\nabla^2\mathbf{B})</math></center>

De nuevo, si este campo magnético se debe a fuentes situadas fuera de la distribución (como el núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo magnético es nulo y este término se reduce a

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C</math></center>

Para el segundo término desarrollamos el doble producto vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m2}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\mathrm{d}\tau=\mathbf{F}_{m21}+\mathbf{F}_{m22}</math></center>

Aplicando ahora la serie de Taylor para el campo magnético

<center><math>\mathbf{B}=\mathbf{B}_C+\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{B}</math></center>

obtenemos en primer lugar

<center><math>\mathbf{F}_{m21}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B}_C)\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau+\int_\rho(\vec{\omega}\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}))\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau</math></center>

En primer término es nulo, por la simetría. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>F_{m21i}=\int \rho x_i\omega_j(x_k\partial_k B_j)\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \delta_{ik} \omega_j\partial_k B_j = \gamma QR^2 \partial_i(\omega_jB_j)\,</math></center>

o, en forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m21} = \gamma QR^2 \nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

Para <math>\mathbf{F}_{m22}</math> tenemos, igualmente

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\mathrm{d}\tau =-\vec{\omega}\int \rho\mathbf{r}'\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{B}_C)\mathrm{d}\tau</math></center>

Empleando de nuevo subíndices

<center><math>F_{m22i} = -\omega_i \int \rho x'_jx'_k\partial_k B_j\mathrm{d}\tau = -\omega_i \gamma QR^2 \delta_{jk}\partial_kB_j=-\omega_i \gamma QR^2 \partial_jB_j\,</math>
</center>

En forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\vec{\omega}\gamma QR^2 \nabla\cdot\mathbf{B}</math></center>

pero la divergencia del campo magnético es siempre nula, por lo que este término se anula. Nos queda por tanto la fuerza magnética

<center><math>\mathbf{F}_m = Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C+ \gamma QR^2\nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

===Fuerza total===
Sumando las fuerzas eléctrica y magnética obtenemos la fuerza neta

<center><math>\mathbf{F}=Q(\mathbf{E}_C+\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C)+\gamma QR^2 \nabla(\omega\cdot\mathbf{B})</math></center>

Si las fuentes del campo eléctrico y magnético coinciden con lso puntos de la distribución, habrá que añadir los términos correspondientes a los laplacianos de los campos.

==Momento sobre la distribución==
De manera análoga se halla el momento de las fuerzas respecto al centro de la distribución. Este momento será

<center><math>\mathbf{M}_C=\int \mathbf{r}'\times\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Como con la fuerza, consideraremos cada momento por separado
===Torque eléctrico===
Para el término eléctrico, aplicando de nuevo la serie de Taylor nos queda

<center><math>\mathbf{M}_e=\int\rho\mathbf{r}'\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau=
\int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}_C+(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{E}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

El primer término se anula, por la simetría de la distribución. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>M_i = \int \rho \varepsilon_{ijk}x_jx_r\partial_r E_k = \gamma Q R^2 \varepsilon_{ijk} \delta_{jr} \partial_rE_k = \gamma QR^2 \varepsilon_{ijk}\partial_jE_k</math></center>

o, en forma vectorial,

<center><math>\mathbf{M}_e \gamma QR^2\nabla\times\mathbf{E}</math></center>

Pero, si el campo externo es estacionario, este rotacional se anula y

<center><math>\mathbf{M}_e=\mathbf{0}</math></center>

===Torque magnético===

Fuerza de Lorentz sobre una esfera en rotación

Gonfer — Mon, 15 Mar 2010 19:21:48 GMT

Gonfer: /* Momento sobre la distribución */

==Introducción==
Suponemos una distribución de carga que posee simetría esférica alrededor de un punto central <math>\mathbf{r}_C</math>, de forma que su densidad de carga verifica

<center><math>\rho(\mathbf{r})=\rho(r')\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{r}'=\mathbf{r}-\mathbf{r}_C\qquad r'=|\mathbf{r}'|</math></center>

Suponemos que esta distribución de carga está localizada, de forma que tiende a cero rápidamente cuando <math>r'</math> crece

Esta distribución de carga se mueve rígidamente, de forma que la velocidad de cada punto puede escribirse como

<center><math>\mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}'</math></center>

Asimismo, esta distribución se encuentra en el seno de un campo electromagnético externo, de forma que cada elemento de carga se encuentra sometido a una fuerza

<center><math>\mathrm{d}\mathbf{F}=\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

==Fuerza sobre la distribución==
La fuerza neta sobre la distribución de carga será la resultante de las fuerzas diferenciales

<center><math>\mathbf{F}=\int \mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Veamos cada contribución por separado.
===Fuerza eléctrica===
La fuerza eléctrica sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=\int \rho\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Podemos calcular una expresión aproximada para esta fuerza aplicando que la distribución de carga está localizada en torno a su centro, de manera que podemos sustituir el campo eléctrico por su desarrollo en serie de Taylor en torno al centro de la distribución

<center><math>\mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{E}_C = \mathbf{r}'\cdot\mathbf{E}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C + \cdots</math></center>

donde <math>\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\mathbf{E}_C</math>, <math>\nabla\nabla\mathbf{E}_C</math> son constantes iguales al valor del campo y sus derivadas sucesivas en el centro de la distribución.

De esta forma la fuerza eléctrica viene dada por la serie

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}= \int \rho \mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+ \int \rho \mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau + \frac{1}{2}\int \rho \mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{E}_C\,\mathrm{d}\tau+\cdots</math></center>

y, sacando las constantes fuera de las integrales

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{e}=Q\mathbf{E}_C+(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}+\frac{1}{2}\mathsf{Q}:\nabla\nabla\mathbf{E}_C+\cdots</math></center>

donde

<center><math>Q=\int\rho\,\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{p}=\int\rho\,\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathsf{Q}=\int \rho\mathbf{r}'\mathbf{r}'\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí <math>Q</math> es la carga neta de la distribución. <math>\mathbf{p}</math> es el momento dipolar, el cual se anula debido a la simetría de la distribución.

El término <math>\mathsf{Q}</math> es un tensor. Por la simetría de la distribución, este tensor es realmente un escalar, ya que

<center><math>Q_{ik}=\int \rho x'_ix'_k\,\mathrm{d}\tau=0\qquad(i\neq k)</math></center>

y

<center><math>Q_{ii}=\int \rho {x'_i}^2\,\mathrm{d}\tau = \frac{1}{3}\int \rho r'^2 \,\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \qquad (i=k)</math></center>

aquí <math>\gamma</math> es un coeficiente que depende de la forma concreta de la distribución. Para una esfera cargada uniformemente en volumen vale 1/5, para una cargada en superficie es 1/3, para un decaimiento exponencial vale 4. Reuniendo los dos resultados

<center><math>\mathsf{Q}=\gamma Q R^2 \mathsf{I}\,</math></center>

Llevando esto a la expresión de la fuerza, queda

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\mathsf{I}:\nabla\nabla\mathbf{E}+\cdots</math></center>

pero la contracción del tensor unidad con el gradiente del gradiente es simplemente el laplaciano

<center><math>\mathbf{F}_e = Q\mathbf{E}_C + \frac{\gamma}{2}QR^2\nabla^2\mathbf{E}+\cdots</math></center>

Ahora, para un campo eléctrico externo estático y debido a cargas en posiciones no coincidentes con la distribución (como es el caso del campo de un núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo eléctrico se anula y la fuerza se reduce a

<center><math>\mathbf{F}=Q\mathbf{E}_C</math></center>

Hay que señalar que el término en <math>QR^2</math> '''no''' es un término cuadrupolar. El término cuadrupolar se refiere a la componente simétrica de traza nula. El término que sale aquí se debe a que el centro de fuerzas eléctricas no coincide con el centro de la distribución.

===Fuerza magnética===
La fuerza magnética sobre la distribución será

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int \rho\mathbf{v}\times\mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Sustituyendo la expresión de la velocidad

<center><math>\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int\rho(\mathbf{v}_C+\vec{\omega}\times\mathbf{r}')\times\mathbf{B}\mathrm{d}\tau</math></center>

Para el primer término tenemos

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=\int \rho\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}\mathrm{d}\tau = \mathbf{v}_C\times\int\rho \mathbf{B}\mathrm{d}\tau</math></center>

Aquí podemos hacer el mismo desarrollo que para el campo eléctrico y nos queda

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C + \frac{\gamma QR^2}{2}\mathbf{v}_C\times(\nabla^2\mathbf{B})</math></center>

De nuevo, si este campo magnético se debe a fuentes situadas fuera de la distribución (como el núcleo sobre un electrón), el laplaciano del campo magnético es nulo y este término se reduce a

<center><math>\mathbf{F}_{m1}=Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C</math></center>

Para el segundo término desarrollamos el doble producto vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m2}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\mathrm{d}\tau=\mathbf{F}_{m21}+\mathbf{F}_{m22}</math></center>

Aplicando ahora la serie de Taylor para el campo magnético

<center><math>\mathbf{B}=\mathbf{B}_C+\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}_C+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\mathbf{r}':\nabla\nabla\mathbf{B}</math></center>

obtenemos en primer lugar

<center><math>\mathbf{F}_{m21}=\int \rho (\vec{\omega}\cdot\mathbf{B}_C)\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau+\int_\rho(\vec{\omega}\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla\mathbf{B}))\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau</math></center>

En primer término es nulo, por la simetría. Para el segundo, empleando subíndices

<center><math>F_{m21i}=\int \rho x_i\omega_j(x_k\partial_k B_j)\mathrm{d}\tau = \gamma QR^2 \delta_{ik} \omega_j\partial_k B_j = \gamma QR^2 \partial_i(\omega_jB_j)\,</math></center>

o, en forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m21} = \gamma QR^2 \nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

Para <math>\mathbf{F}_{m22}</math> tenemos, igualmente

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\int \rho \vec{\omega}(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{B})\mathrm{d}\tau =-\vec{\omega}\int \rho\mathbf{r}'\cdot(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{B}_C)\mathrm{d}\tau</math></center>

Empleando de nuevo subíndices

<center><math>F_{m22i} = -\omega_i \int \rho x'_jx'_k\partial_k B_j\mathrm{d}\tau = -\omega_i \gamma QR^2 \delta_{jk}\partial_kB_j=-\omega_i \gamma QR^2 \partial_jB_j\,</math>
</center>

En forma vectorial

<center><math>\mathbf{F}_{m22}=-\vec{\omega}\gamma QR^2 \nabla\cdot\mathbf{B}</math></center>

pero la divergencia del campo magnético es siempre nula, por lo que este término se anula. Nos queda por tanto la fuerza magnética

<center><math>\mathbf{F}_m = Q\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C+ \gamma QR^2\nabla(\vec{\omega}\cdot\mathbf{B})</math></center>

===Fuerza total===
Sumando las fuerzas eléctrica y magnética obtenemos la fuerza neta

<center><math>\mathbf{F}=Q(\mathbf{E}_C+\mathbf{v}_C\times\mathbf{B}_C)+\gamma QR^2 \nabla(\omega\cdot\mathbf{B})</math></center>

Si las fuentes del campo eléctrico y magnético coinciden con lso puntos de la distribución, habrá que añadir los términos correspondientes a los laplacianos de los campos.

==Momento sobre la distribución==
De manera análoga se halla el momento de las fuerzas respecto al centro de la distribución. Este momento será

<center><math>\mathbf{M}_C=\int \mathbf{r}'\times\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}\tau</math></center>

Como con la fuerza, consideraremos cada momento por separado
===Torque eléctrico===
Para el término eléctrico, aplicando de nuevo la serie de Taylor nos queda

<center><math>\mathbf{M}_E=\int\rho\mathbf{r}'\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau=
\int \rho\mathbf{r}'\times(\mathbf{E}_C+(\mathbf{r}'\cdot\nabla)\mathbf{E}_C)\,\mathrm{d}\tau</math></center>

===Torque magnético===

Fuerza de Lorentz sobre una esfera en rotación

Gonfer — Mon, 15 Mar 2010 19:16:44 GMT

Gonfer:

Archivo:Faro.jpg

Gonfer — Sun, 14 Mar 2010 19:53:10 GMT

Gonfer:

Archivo:Fotoppet.jpg

Gonfer — Sun, 14 Mar 2010 18:26:40 GMT

Gonfer:

Archivo:Ppet.jpg

Gonfer — Sun, 14 Mar 2010 18:25:00 GMT

Gonfer: uploaded a new version of "Imagen:Ppet.jpg"

Archivo:Ppet.jpg

Gonfer — Sun, 14 Mar 2010 18:17:27 GMT

Gonfer:

Ondas estacionarias

Gonfer — Sun, 14 Mar 2010 09:20:38 GMT

Gonfer: Nueva página: ==Superposición de ondas== Vamos a examinar ahora el caso de que tengamos dos ondas viajeras de la misma frecuencia y amplitud y propagándose en sentidos opuestos: <center><math>y_...

==Superposición de ondas==
Vamos a examinar ahora el caso de que tengamos dos ondas viajeras de la misma frecuencia y amplitud y propagándose en sentidos opuestos:

<center><math>y_1 = A\cos(\omega t - k x)\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>y_2 = A\cos(\omega t+kx)\,</math></center>

En este caso no es necesario introducir la constante <math>\phi\,</math> porque, para ondas que van en sentidos opuestos el concepto de desfase no tiene mucho sentido. Se puede incluir esta constante, pero los resultados no se diferencian en lo esencial de lo que se obtiene sin ella.

[[Imagen:Estacio2.gif|300px|right]]

La superposición de estas dos señales se puede transformar aplicando relaciones trigonométricas

<center><math>y=y_1 + y_2 = A\cos(\omega t - kx)+A\cos(\omega t + k x)=2A\cos(\omega t)\cos(kx)\,</math></center>

Esta es la ecuación de una [[Solución de onda estacionaria|onda estacionaria]], que se puede escribir en la forma

<center><math>y = A(x)\cos(\omega t)\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>A(x) = 2A\cos(k x)\,</math></center>

Lo que nos dice esta ecuación es que aunque tenemos la superposición de dos ondas viajeras, la suma es una onda en que todos los puntos oscilan en fase, con una amplitud dependiente de su posición. En los puntos en que resulta una amplitud <math>A(x)</math> negativa, debe entenderse que la amplitud es el valor absoluto de esta cantidad y que los puntos correspondientes están en ''oposición de fase'' (esto es, tienen una constante de fase igual a π).

[[Imagen:Estacio3.gif|300px|right]]

;Nodos: La amplitud varía como un coseno, lo cual implica que existen puntos para los cuales la amplitud de oscilación es nula. Estos puntos se denominan '''nodos'''. La posición de estos nodos la da la condición

<center><math>A(x_n) = 2A\cos(kx_n) = 0\,</math>{{tose}} <math>kx_n = \frac{\pi}{2}+n\pi</math>{{tose}} <math>\Delta x = x_{n+1}-x_n = \frac{\pi}{k}=\frac{\lambda}{2}</math></center>

:La distancia entre nodos consecutivos es media longitud de onda

;Vientres: Los puntos en que la amplitud de oscilación es máxima se denominan ''vientres''. Los vientres se encuentran en los puntos medios entre nodos, y por tanto la distancia entre vientres consecutivos es también media longitud de onda, y la distancia de un vientre al nodo más próximo es <math>\lambda/4</math>.

==Reflexión de ondas==
===En un extremo fijo===
===En un extremo libre===

==Ondas entre dos puntos fijos==
==Ondas entre dos extremos libres==

[[Categoría:Movimiento ondulatorio]]

Efecto Doppler

Gonfer — Sun, 14 Mar 2010 09:15:24 GMT

Gonfer: /* =Caso de que los dos estén en movimiento */

==Introducción==
==Efecto Doppler para ondas sonoras==
===Caso de un observador en movimiento===
===Caso de una fuente en movimiento===
===Caso de que los dos estén en movimiento===

==Efecto Doppler para la radiación electromagnética==
===Límite clásico===
===Expresión relativista===

[[Categoría:Ondas sonoras]]

Archivo:Problemanumeros.gif

Gonfer — Wed, 10 Mar 2010 08:20:15 GMT

Gonfer:

Colisiones de dos partículas

Gonfer — Sat, 20 Feb 2010 17:00:59 GMT

Gonfer: /* Caso de un blanco en reposo */

==Definición==
Una ''colisión'' entre dos partículas es una interacción entre dos partículas que ocurre en un espacio limitado y un intervalo de tiempo corto.

[[Imagen:raquetbol.gif|right]]Un ejemplo típico es el choque de dos bolas de billar. Durante el breve periodo de colisión, cada partícula se contrae elásticamente una pequeña cantidad, para acto seguido volver a expandirse, saliendo cada bola despedida en la misma dirección o en una dirección diferente. Otro ejemplo similar es el choque de una pelota de tenis contra una raqueta o una superficie rígida. En la imagen vemos una imagen a cámara lenta del choque de una pelota de raquetbol chocando contra una pared (fuente: [http://courses.ncssm.edu/hsi/ HSI at NCSSM]). Vemos que durante el tiempo de colisión la pelota se deforma enormemente.

Al considerar una colisión no nos interesa tanto el qué ocurre durante la colisión, sino la relación entre el estado de las partículas antes y después de la colisión. Para ello, lo que se utiliza es que las interacciones conservarán la [[Cantidad_de_movimiento_de_un_sistema_de_partículas|cantidad de movimiento]], el [[Momento_cinético_de_un_sistema_de_partículas|momento cinético]] y, en ciertas ocasiones, la [[Energía_cinética_de_un_sistema_de_partículas|energía cinética]].

También es una colisión un ''[[péndulo balístico]]'' en el cual una bala se empotra en un objeto masivo, comunicándole una cierta velocidad. Aunque la interacción de la bala y el péndulo se puede considerar que continúa tras la colisión (pues ahora forman el mismo sólido), los cambios bruscos de velocidad se producen en un intervalo reducido de tiempo.

No es una colisión una interacción a grandes distancias o que se prolonga durante un periodo largo de tiempo. Por ejemplo, la atracción gravitatoria entre dos masas que orbitan la una alrededor de la otra es un estado permanente y no puede ser considerada una colisión.

El concepto de intervalo de tiempo corto o largo es relativo. La comparación se hace con el intervalo de tiempo en el que estamos considerando el movimiento de la partículas. Por ejemplo, cuando se lanza un satélite a Saturno, la nave se mueve por la atracción gravitatoria solar durante años, por lo que esta atracción no es una colisión. Sin embargo, durante el camino, para acelerar la nave, se puede emplear el método de catapulta gravitatoria, haciéndola pasar junto a Júpiter y ganando energía en el encuentro. Este acercamiento a Júpiter dura algunos días y sí puede ser tratado como una colisión (aunque la nave no llega a “tocar” Júpiter, sólo su campo gravitatorio).

==Choques unidimensionales==
La descripción de una colisión suele hacerse en dos sistemas de referencia diferentes, ambos inerciales. Uno es el llamado ''sistema laboratorio'', que representa a un observador externo al sistema de dos partículas. El otro es el ''sistema centro de masas'' (CM), ligado al [[Centro_de_masas_de_un_sistema_de_part%C3%ADculas|centro de masas]] del sistema de dos partículas. En el sistema CM la descipción es más sencilla, pero, dado que las medidas experimentales son realizadas en el sistema laboratorio, el procedimiento habitual es comenzar el estudio en el sistema laboratorio, pasar al sistema centro de masas, analizar la colisión en éste, y luego transformar los resultados de vuelta al sistema laboratorio.

Aquí, por simplicidad, consideraremos solo el choque de dos masas que, tras la colisión, se separan en la misma dirección en la que se acercaron. Esto permite usar cantidades escalares en lugar de vectores.

Suponemos entonces dos partículas, de masas <math>m_1</math> y <math>m_2</math> que se mueven con velocidades iniciales <math>v_{1i}</math> y <math>v_{2i}</math>, respectivamente. Tras la colisión las velocidades pasarán a ser <math>v_{1f}</math> y <math>v_{2f}</math>

Al ser un problema sencillo, puede prescindirse del sistema CM para determinar el resultado de la colisión.

==Conservación de la cantidad de movimiento==
Al ser la colisión el resultado de fuerzas internas, la cantidad de movimiento se conserva en todo momento. Por tanto, su valor inicial y su valor final deben ser iguales y

<center><math>m_1v_{1i}+m_2v_{2i} = m_1v_{1f} + m_2v_{2f}\,</math></center>

Esta es la ecuación básica que gobierna las colisiones.

De que se conserve la cantidad de movimiento se deduce que la velocidad del centro de masas permanece constante

<center><math>v_C=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}=\mathrm{cte}</math></center>

Podemos medir las velocidades de cada partícula respecto al CM y obtener las velocidades relativas

<center><math>v'_1 = v_1 - v_C = v_1 - \frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2} = \frac{m_2(v_1-v_2)}{m_1+m_2}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>v'_2 = \frac{m_1(v_2-v_1)}{m_1+m_2}</math></center>

Estas velocidades relativas verifican la condición

<center><math>m_1v'_1+m_2v'_2 = 0\,</math></center>

tanto antes como después de la colisión.

==Conservación de la energía==
La energía cinética no se conserva en general en una colisión, sino que suele disiparse parcialmente. Una pelota que rebota en el suelo no vuelve a alcanzar la altura desde la que partió.

Esto quiere decir que habrá una diferencia en la energía cinética debido a la colisión

<center><math>Q = \Delta K = K_f-K_i = \left(\frac{1}{2}m_1v_{1f}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2f}^2\right) - \left(\frac{1}{2}m_1v_{1i}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2i}^2\right)</math></center>

Esta energía o bien se manifiesta como un aumento de la temperatura de las partículas, o bien se pierde en forma de calor (o un poco de cada cosa).

Dependiendo de la cantidad de energía cinética que se pierda, puede hacerse una clasificación de las colisiones:

;Colisión perfectamente elástica: Es aquella en la que no se disipa energía cinética y ésta se conserva.

;Colisión inelástica: Aquella en la que se disipa parte de la energía cinética.

;Colisión completamente inelástica: Aquella en la que se disipa el máximo de energía. Este máximo no es ''toda'' la energía cinética en el sistema laboratorio, ya que la conservación de la cantidad de movimiento impone que el sistema se mueva tras la colisión, y por tanto conserve parte de la energía cinética.

:Las colisiones completamente inelásticas se dan cuando los dos partículas se fusionan y continúan su marcha como una sola partícula con masa la suma de las dos originales.

:Podemos calcular el máximo de energía disipada, [[Energía_cinética_de_un_sistema_de_partículas#Descomposici.C3.B3n_de_la_energ.C3.ADa_cin.C3.A9tica|descomponiendo la energía cinética]] en suma de energía cinética del CM, más energía cinética relativa

<center><math>K = K_C + K' = \frac{m_1+m_2}{2}v_C^2 + \left(\frac{1}{2}m_1{v'_1}^2+\frac{1}{2}m_2{v'_2}^2\right)</math></center>

:El primer término es constante, por serlo la velocidad del CM. Por ello, el máximo de la energía disipada se dará cuando las velocidades relativas al CM, tras la colisión sean nulas, esto es, cuando las dos partículas resulten con la misma velocidad, que será la del CM,

<center><math>v'_{1f}=0\qquad v'_{2f}=0</math>{{tose}}<math>K'_f = 0\qquad \Delta K = K_C - K_i\,</math></center>

;Explosiones: Un proceso que no es estrictamente una colisión, pero que puede ser tratado matemáticamente como una, es el de la explosión. Una sola partícula se descompone en dos (o más) fragmentos, que pasan a moverse por separado. Vendría a ser el opuesto de una colisión completamente inelástica. En este caso la energía cinética del sistema ''aumenta'', normalmente a costa de la energía interna de origen químico.

===Coeficiente de restitución===
Para caracterizar el tipo de colisión del que se trata se define un parámetro denominado ''coeficiente de restitución''

<center><math>C_R = -\frac{v_{2f}-v_{1f}}{v_{2i}-v_{1i}}</math></center>

que en términos geométricos representa la proporción entre la velocidad relativa con la que se alejan las partícula y la velocidad con la que se acercaban. El coeficiente de restitución tiene l mismo valor en el sistema laboratorio que en el sistema centro de masas.

En una colisión perfectamente elástica, <math>C_R=1</math> y las partículas se alejan con la misma velocidad con la que se acercaban.

En una colisión completamente inelástica, <math>C_R=0</math> y las partículas no se alejan tras la colisión.

Para un caso intermedio se tendrá que <math>0 < C_R < 1</math>.

==Colisión perfectamente elástica==
Vamos a determinar las velocidades finales en el caso de que se conserve la energía cinética. Para ello debemos resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

<center><math>\begin{array}{ccccccc}m_1v_{1i}&+&m_2v_{2i}&= & m_1v_{1f}&+& m_2v_{2f} \\
&& \\
\displaystyle \frac{1}{2}m_1v_{1i}^2&+&\displaystyle\frac{1}{2}m_2v_{2i}^2 & = & \displaystyle \frac{1}{2}m_1v_{1f}^2&+&\displaystyle\frac{1}{2}m_2v_{2f}^2
\end{array}</math></center>

que podemos reescribir, reagrupando términos y factorizando

<center><math>\begin{array}{rcl}m_1(v_{1i}-v_{1f})&= & m_2(v_{2f}-v_{2i}) \\
&& \\
\displaystyle \frac{1}{2}m_1(v_{1i}-v_{1f})(v_{1i}+v_{1f}) & = & \displaystyle \frac{1}{2}m_2(v_{2f}-v_{2i})(v_{2f}+v_{2i})
\end{array}</math></center>

Sustituyendo la primera en la segunda llegamos a que efectivamente el coeficiente de restitución es igual a la unidad.

<center><math>
v_{1i}+v_{1f}=v_{2i}+v_{2f}\,</math>{{tose}}<math>v_{2f}-v_{1f}=-(v_{2i}-v_{1i})\,</math>{{tose}}<math>C_R = -\frac{v_{2f}-v_{1f}}{v_{2i}-v_{1i}} = 1</math></center>

Combinando esta relación la ley de conservación de la cantidad de movimiento tenemos un sistema de dos ecuaciones lienales con dos incógnitas, con solución

<center><math>v_{1f} = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{1i} + \frac{2m_2}{m_1+m_2}v_{2i}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>v_{2f} = \frac{2m_1}{m_1+m_2}v_{1i}+\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}v_{2i}</math></center>

===Choque de dos masas iguales===
[[Imagen:newtoncradle.gif|right|thumb|Cuna de Newton]]

Un caso particular importante es aquel en que las dos partículas que colisionan tienen la misma masa. En este caso

<center><math>v_{1f}= v_{2i}\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>v_{2f}=v_{1i}\,</math></center>

Las dos partículas intercambian sus velocidades. En particular si se trata de una partícula que choca contra una que está en reposo, la primera se queda “clavada”, mientras que la segunda sale con la velocidad que llevaba la primera. Este es un fenómeno común en el billar y la base del dispositivo conocido como ''cuna de Newton'', en el que varias bolas colisionan sucesivamente.

===Caso de un blanco en reposo===
Un caso importante entre las colisiones es el representado por una partícula móvil (''proyectil'') que impacta sobre una fija (''blanco'').

Matemáticamente la condición es

<center><math>v_{1i}=v_0\qquad v_{2i}=0</math></center>

lo que nos da las velocidades resultantes

<center><math>v_{1f} = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{0}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>v_{2f} = \frac{2m_1}{m_1+m_2}v_{0}</math></center>

Los resultados dependen de la proporción entre las masas. Si <math>\gamma = m_1/m_2</math> queda

<center><math>\gamma=\frac{m_1}{m_2}</math>{{tose}}<math>v_{1f}=\frac{\gamma-1}{1+\gamma}v_0</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>v_{2f}=\frac{2\gamma}{1+\gamma}v_0</math></center>

====Blanco masivo====
Cuando el blanco es más pesado que el proyectil (<math>m_2>m_1</math>, o <math>\gamma<1</math>), <math>v_{1f}</math> se hace negativo, lo cual quiere decir que el proyectil rebota.

El caso límite es aquel en que el blanco es infinitamente masivo. Esto corresponde, por ejemplo, al choque de una pelota contra una pared. En este caso

<center><math>\gamma\to0\qquad\Rightarrow\qquad v_{1f}\to -v_0\qquad\qquad v_{2f}\to 0</math></center>

esto es, el proyectil rebota con la misma velocidad con la que venía. El blanco permanece inmóvil (aunque adquiere la cantidad de movimiento que pierde el proyectil).

====Blanco ligero====
En el otro extremo tenemos el caso del blanco más ligero que el proyectil (“matar moscas a cañonazos”). En esta caso <math>\gamma > 1</math> y <math>v_{1f}>0</math>, lo que quiere decir que el proyectil no rebota, sino que continúa hacia adelante, con una velocidad menor que la incidente. El blanco sale despedido con una velocidad mayor que la del proyectil, por lo que se separa de éste.

En el caso límite de proyectil infinitamente masivo (<math>\gamma\to \infty</math>) el proyectil continúa su camino imperturbado, mientras que el blanco sale disparado con una velocidad doble de la del proyectil

<center><math>\gamma\to \infty\qquad\Rightarrow\qquad v_{1f}\to v_0\qquad\qquad v_{2f}\to 2v_0</math></center>

Podemos representar los resultados para los dos casos en una gráfica semilogarítmica. A la izquierda tenemos el límite de blanco ligero y a la derecha el de blanco infinitamente pesado. En la posición central tenemos el caso de dos masas iguales.

<center>[[Imagen:v1v2colision.gif]]</center>

==Colisión completamente inelástica==

==Colisiones en tres dimensiones==
[[Categoría:Dinámica de un sistema de partículas]]

Potencial eléctrico debido a una polarización

Gonfer — Fri, 12 Feb 2010 20:21:51 GMT

Gonfer:

El potencial eléctrico debido a una polarización es la suma de los potenciales debidos a cada dipolo.

El potencial de un solo dipolo situado en el origen de coordenadas es

<center><math>\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}{r^3}</math></center>

Si en lugar de encontrarse en el origen se encuentra en un punto <math>\mathbf{r}_0</math> empleamos la posición relativa a este punto

<center><math>\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathbf{p}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|^3}</math></center>

Si ahora consideramos un conjunto de dipolos situados en posiciones <math>\mathbf{r}_i</math> el potencial eléctrico total será la suma de los potenciales individuales

<center><math>\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^N\frac{\mathbf{p}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|^3}</math></center>

Cuando el número de dipolos es muy grande, la suma se puede aproximar por una integral. Para ello, dividimos el volumen total polarizado en elementos de volumen <math>\Delta\tau'</math> y aplicamos que, según la definición de [[polarización de un medio material]]

<center><math>\sum_{\mathbf{p}_i\in\Delta\tau'}\mathbf{p}_i = \mathbf{P}(\mathbf{r}')\,\Delta\tau'</math></center>

con lo que queda

<center><math>\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{\Delta\tau'}\left(\sum_{\mathbf{p}_i\in\Delta\tau'}\frac{\mathbf{p}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|^3}\right)\simeq \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{\Delta\tau'}\left(\mathbf{P}(\mathbf{r}')\cdot\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|^3}\Delta\tau'\right) \to \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_\tau \mathbf{P}(\mathbf{r}'){\cdot}\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,\mathrm{d}\tau'
</math></center>

Esta integral suele ser difícil de calcular por métodos analíticos. Uno de los pocos ejemplos en los que es factible es el de una [[esfera polarizada uniformemente]].

Una descripción alternativa es mediante las ''[[densidades de carga de polarización]]'' o de ''carga ligada'', definidas como

<center><math>\rho_p = -\nabla{\cdot}\mathbf{P}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\sigma_p = -\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{P}]\,</math></center>

La última fórmula, con el salto en la polarización, se aplica a una interfaz entre dos dieléctricos. Si uno de ellos es el vacío (en el
cual <math>\mathbf{P}=\mathbf{0}</math>), esta expresión se reduce a <math>\sigma_p = \mathbf{P}{\cdot}\mathbf{n}</math>. En términos de <math>\rho_p</math> y <math>\sigma_p</math> el potencial es

<center><math>\phi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_\tau\frac{\rho_p}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,\mathrm{d}\tau'+
\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\oint_{\partial\tau}\frac{\sigma_p}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,\mathrm{d}S'</math></center>

Empleando las densidades de carga de polarización, las ecuaciones de la electrostática en presencia de dieléctricos se escriben como

<center><math>\nabla{\cdot}\mathbf{E} = \frac{\rho_l+\rho_p}{\varepsilon_0}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\nabla\times \mathbf{E} =\mathbf{0}</math></center>

con las condiciones de salto

<center><math>\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{E}] = \frac{\sigma_l+\sigma_p}{\varepsilon_0}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{n}\times
[\mathbf{E}]=\mathbf{0}</math></center>

siendo <math>\rho_l</math> y <math>\sigma_l</math> las ''densidades de carga libre'', definidas como aquellas que no son de polarización.

[[Categoría:Comportamiento dieléctrico de la materia]]

Momento cinético de un sistema de partículas

Gonfer — Wed, 10 Feb 2010 20:55:53 GMT

Gonfer: /* Conservación del momento cinético */

==Definición==
De manera análoga a la cantidad de movimiento, se define el momento cinético (o angular) de un sistema de partículas como la suma vectorial de los momentos cinéticos individuales

<center><math>\mathbf{L}=\mathbf{L}_1+\mathbf{L}_2 +\cdots = m_1\mathbf{r}_1\times\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{r}_2\times\mathbf{r}_2+\cdots = \sum_{i=1}^N m_i\mathbf{r}_i\times\mathbf{v}_i</math></center>

===Descomposición del momento angular===
Las ecuaciones de la dinámica de sistemas se simplificarían notablemente si el momento angular, como el lineal, equivaliera al de una partícula puntual que concentrara toda la masa. No es así.

Para relacionar el momento angular con el centro de masa, descomponemos cada posición y cada velocidad en suma de la del centrode masa más la posición o velocidad relativas

<center><math>\mathbf{r}_i = \mathbf{r}_C+\mathbf{r}'_i\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{v}_i = \mathbf{v}_C+\mathbf{v}'_i\,</math></center>

Con esta descomposición, el momento angular de cada partícula se separa en cuatro términos

<center><math>
\mathbf{L}_i = m_i(\mathbf{r}_C+\mathbf{r}'_i)\times( \mathbf{v}_C+\mathbf{v}'_i)= m_i\mathbf{r}_C\times\mathbf{v}_C+m_i\mathbf{r}'_i\times \mathbf{v}_C+m_i\mathbf{r}_C\times\mathbf{v}'_i+m_i\mathbf{r}'_i\times\mathbf{v}'_i</math></center>

Al sumar los momentos cinéticos individuales para obtener el momento angular total nos quedan cuatro sumas, en cada una de las cuales podemos sacar factor común la posición o la velocidad del CM, que es una cantidad que no depende del índice <math>i</math>

<center><math>\mathbf{L}= \mathbf{L}_1+\mathbf{L}_2 +\cdots = \left(m_1+m_2+\cdots\right)\mathbf{r}_C\times\mathbf{v}_C+\left(m_1\mathbf{r}'_1+m_2\mathbf{r}'_2+\cdots\right)\times\mathbf{v}_C +</math>

<math>+\mathbf{r}_C\times\left(m_1\mathbf {v}'_1+m_2\mathbf{v}'_2+\cdots\right)+\left(m_1\mathbf{r}'_1\times\mathbf{v}'_1+m_2\mathbf{r}'_2\times\mathbf{v}'_2+\cdots\right)</math></center>

Ahora bien, de la definición de centro de masas se deduce que

<center><math>m_1\mathbf{r}'_1+m_2\mathbf{r}'_2 +\cdots = m_1(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_C)+m_2(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_C)+\cdots =
\left(m_1\mathbf{r}_1+m_2\mathbf{r}_2+\cdots\right)-\left(m_1+m_2+\cdots\right)\mathbf{r}_C = M\mathbf{r}_C-M\mathbf{r}_C = \mathbf{0}</math></center>

y, del mismo modo,

<center><math>m_1\mathbf{v}'_1 + m_2\mathbf{v}'_2 +\cdots = \mathbf{p}' = \mathbf{0}</math></center>

Por tanto, el segundo y el tercer término en la expresión del momento cinético total se anulan y la expresión se reduce a

<center><math>\mathbf{L}= M\mathbf{r}_C\times\mathbf{v}_C+\mathbf{L}'</math></center>

donde

<center><math>\mathbf{L}'= \sum_{i=1}^N m_i\mathbf{r}'_i\times\mathbf{v}'_i</math></center>

es el momento angular relativo al centro de masas.

Según esto, el momento angular o cinético de un sistema de partículas se compone de dos contribuciones: el momento angular que tendría una partícula que contuviera toda la masa y se moviera como el centro de masas del sistema, más el momento angular que tienen las partículas por moverse alrededor del centro de masas.

Un ejemplo físico sencillo de esta descomposición lo tenemos en el momento angular de la Tierra en cuanto planeta del Sistema Solar. Su momento angular se compone de una parte debida al movimiento de traslación alrededor del Sol (lo que se conoce como momento angular ''orbital''), que sería el primer término, más otra parte debida al movimiento de rotación alrededor de su eje (el llamado momento angular ''intrínseco''), que sería <math>\mathbf{L}'</math>.

==Conservación del momento cinético==
Derivando en la expresión del momento cinético de un sistema de partículas obtenemos

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_1}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_2}{\mathrm{d}t} + \cdots</math></center>

Para cada partícula la derivada del momento angular es el momento de las fuerzas aplicadas sobre ella:

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(m_i\mathbf{r}_i\times\mathbf{v}_i\right) = m_i\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_i}{\mathrm{d}t}\times\mathbf{v}_i + m_i\mathbf{r}_i\times\frac{\mathrm{d}\mathbf{v_i}}{\mathrm{d}t} = m_i\overbrace{\mathbf{v}_i\times\mathbf{v}_i}^{=\mathbf{0}} + \mathbf{r}_i\times\left(m_i\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_i}{\mathrm{d}t}\right) = \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i</math></center>

y, para el momento cinético total

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}= \sum_{i=1}^N \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i</math></center>

De nuevo, esta expresión requiere conocer las fuerzas internas del sistema, que son usualmente desconocidas. Por ello, descomponemos de nuevo en sumas de fuerzas externas e internas

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}= \mathbf{r}_1\times\left(\mathbf{F}_{1\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{2\to 1}+\cdots\right) + \mathbf{r}_2\times\left(\mathbf{F}_{2\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{1\to 2}+\cdots\right)+ \cdots</math></center>

Pero si las fuerzas internas entre dos partículas no solo cumplen la [[Leyes_de_Newton#Tercer_principio:_ley_de_acci.C3.B3n_y_reacci.C3.B3n|tercera ley de Newton]], sino que además son centrales, esto es, van en la dirección de la recta que une las dos partículas se verifica

<center><math>\mathbf{r}_1\times\mathbf{F}_{2\to 1}+\mathbf{r}_2\times\mathbf{F}_{1\to 2}=\mathbf{0}</math></center>

Esta condición se cumple en la mayoría de los casos prácticos (fuerzas eléctricas o gravitatorias). En este caso, los momentos de las fuerzas internas se anulan dos a dos y queda

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}= \sum_{i=1}^N \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_{i\mathrm{ext}}</math></center>

En palabras:

* La derivada del momento angular o cinético de un sistema de partículas es igual a la suma de los momentos de las fuerzas '''externas''' aplicadas sobre el sistema.

* En particular, en un sistema de partículas sometido exclusivamente a fuerzas internas, el momento angular permanece constante.

[[Categoría:Dinámica de un sistema de partículas]]

Momento cinético de un sistema de partículas

Gonfer — Wed, 10 Feb 2010 20:54:45 GMT

Gonfer: /* Conservación del momento cinético */

==Definición==
De manera análoga a la cantidad de movimiento, se define el momento cinético (o angular) de un sistema de partículas como la suma vectorial de los momentos cinéticos individuales

<center><math>\mathbf{L}=\mathbf{L}_1+\mathbf{L}_2 +\cdots = m_1\mathbf{r}_1\times\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{r}_2\times\mathbf{r}_2+\cdots = \sum_{i=1}^N m_i\mathbf{r}_i\times\mathbf{v}_i</math></center>

===Descomposición del momento angular===
Las ecuaciones de la dinámica de sistemas se simplificarían notablemente si el momento angular, como el lineal, equivaliera al de una partícula puntual que concentrara toda la masa. No es así.

Para relacionar el momento angular con el centro de masa, descomponemos cada posición y cada velocidad en suma de la del centrode masa más la posición o velocidad relativas

<center><math>\mathbf{r}_i = \mathbf{r}_C+\mathbf{r}'_i\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{v}_i = \mathbf{v}_C+\mathbf{v}'_i\,</math></center>

Con esta descomposición, el momento angular de cada partícula se separa en cuatro términos

<center><math>
\mathbf{L}_i = m_i(\mathbf{r}_C+\mathbf{r}'_i)\times( \mathbf{v}_C+\mathbf{v}'_i)= m_i\mathbf{r}_C\times\mathbf{v}_C+m_i\mathbf{r}'_i\times \mathbf{v}_C+m_i\mathbf{r}_C\times\mathbf{v}'_i+m_i\mathbf{r}'_i\times\mathbf{v}'_i</math></center>

Al sumar los momentos cinéticos individuales para obtener el momento angular total nos quedan cuatro sumas, en cada una de las cuales podemos sacar factor común la posición o la velocidad del CM, que es una cantidad que no depende del índice <math>i</math>

<center><math>\mathbf{L}= \mathbf{L}_1+\mathbf{L}_2 +\cdots = \left(m_1+m_2+\cdots\right)\mathbf{r}_C\times\mathbf{v}_C+\left(m_1\mathbf{r}'_1+m_2\mathbf{r}'_2+\cdots\right)\times\mathbf{v}_C +</math>

<math>+\mathbf{r}_C\times\left(m_1\mathbf {v}'_1+m_2\mathbf{v}'_2+\cdots\right)+\left(m_1\mathbf{r}'_1\times\mathbf{v}'_1+m_2\mathbf{r}'_2\times\mathbf{v}'_2+\cdots\right)</math></center>

Ahora bien, de la definición de centro de masas se deduce que

<center><math>m_1\mathbf{r}'_1+m_2\mathbf{r}'_2 +\cdots = m_1(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_C)+m_2(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_C)+\cdots =
\left(m_1\mathbf{r}_1+m_2\mathbf{r}_2+\cdots\right)-\left(m_1+m_2+\cdots\right)\mathbf{r}_C = M\mathbf{r}_C-M\mathbf{r}_C = \mathbf{0}</math></center>

y, del mismo modo,

<center><math>m_1\mathbf{v}'_1 + m_2\mathbf{v}'_2 +\cdots = \mathbf{p}' = \mathbf{0}</math></center>

Por tanto, el segundo y el tercer término en la expresión del momento cinético total se anulan y la expresión se reduce a

<center><math>\mathbf{L}= M\mathbf{r}_C\times\mathbf{v}_C+\mathbf{L}'</math></center>

donde

<center><math>\mathbf{L}'= \sum_{i=1}^N m_i\mathbf{r}'_i\times\mathbf{v}'_i</math></center>

es el momento angular relativo al centro de masas.

Según esto, el momento angular o cinético de un sistema de partículas se compone de dos contribuciones: el momento angular que tendría una partícula que contuviera toda la masa y se moviera como el centro de masas del sistema, más el momento angular que tienen las partículas por moverse alrededor del centro de masas.

Un ejemplo físico sencillo de esta descomposición lo tenemos en el momento angular de la Tierra en cuanto planeta del Sistema Solar. Su momento angular se compone de una parte debida al movimiento de traslación alrededor del Sol (lo que se conoce como momento angular ''orbital''), que sería el primer término, más otra parte debida al movimiento de rotación alrededor de su eje (el llamado momento angular ''intrínseco''), que sería <math>\mathbf{L}'</math>.

==Conservación del momento cinético==
Derivando en la expresión del momento cinético de un sistema de partículas obtenemos

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_1}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_2}{\mathrm{d}t} + \cdots</math></center>

Para cada partícula la derivada del momento angular es el momento de las fuerzas aplicadas sobre ella:

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(m_i\mathbf{r}_i\times\mathbf{v}_i\right) = m_i\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_i}{\mathrm{d}t}\times\mathbf{v}_i + m_i\mathbf{r}_i\times\frac{\mathrm{d}\mathbf{v_i}}{\mathrm{d}t} = m_i\overbrace{\mathbf{v}_i\times\mathbf{v}_i}^{=\mathbf{0}} + \mathbf{r}_i\times\left(m_i\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_i}{\mathrm{d}t}\right) = \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i</math></center>

y, para el momento cinético total

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}= \sum_{i=1}^N \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i</math></center>

De nuevo, esta expresión requiere conocer las fuerzas internas del sistema, que son usualmente desconocidas. Por ello, descomponemos de nuevo en sumas de fuerzas externas e internas

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}= \mathbf{r}_1\times\left(\mathbf{F}_{1\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{2\to 1}+\cdots\right) + \mathbf{r}_2\times\left(\mathbf{F}_{2\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{1\to 2}+\cdots\right)+ \cdots</math></center>

Pero, según dijimos al principio del artículo, si las fuerzas internas entre dos partículas no solo cumplen la tercera ley de Newton, sino que además son centrales, esto es, van en la dirección de la recta que une las dos partículas se verifica

<center><math>\mathbf{r}_1\times\mathbf{F}_{2\to 1}+\mathbf{r}_2\times\mathbf{F}_{1\to 2}=\mathbf{0}</math></center>

Esta condición se cumple en la mayoría de los casos prácticos (fuerzas eléctricas o gravitatorias). En este caso, los momentos de las fuerzas internas se anulan dos a dos y queda

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}= \sum_{i=1}^N \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_{i\mathrm{ext}}</math></center>

En palabras:

* La derivada del momento angular o cinético de un sistema de partículas es igual a la suma de los momentos de las fuerzas '''externas''' aplicadas sobre el sistema.

* En particular, en un sistema de partículas sometido exclusivamente a fuerzas internas, el momento angular permanece constante.

[[Categoría:Dinámica de un sistema de partículas]]

Momento cinético de un sistema de partículas

Gonfer — Wed, 10 Feb 2010 20:54:26 GMT

Gonfer: Nueva página: ==Definición== De manera análoga a la cantidad de movimiento, se define el momento cinético (o angular) de un sistema de partículas como la suma vectorial de los momentos cinétic...

==Definición==
De manera análoga a la cantidad de movimiento, se define el momento cinético (o angular) de un sistema de partículas como la suma vectorial de los momentos cinéticos individuales

<center><math>\mathbf{L}=\mathbf{L}_1+\mathbf{L}_2 +\cdots = m_1\mathbf{r}_1\times\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{r}_2\times\mathbf{r}_2+\cdots = \sum_{i=1}^N m_i\mathbf{r}_i\times\mathbf{v}_i</math></center>

===Descomposición del momento angular===
Las ecuaciones de la dinámica de sistemas se simplificarían notablemente si el momento angular, como el lineal, equivaliera al de una partícula puntual que concentrara toda la masa. No es así.

Para relacionar el momento angular con el centro de masa, descomponemos cada posición y cada velocidad en suma de la del centrode masa más la posición o velocidad relativas

<center><math>\mathbf{r}_i = \mathbf{r}_C+\mathbf{r}'_i\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{v}_i = \mathbf{v}_C+\mathbf{v}'_i\,</math></center>

Con esta descomposición, el momento angular de cada partícula se separa en cuatro términos

<center><math>
\mathbf{L}_i = m_i(\mathbf{r}_C+\mathbf{r}'_i)\times( \mathbf{v}_C+\mathbf{v}'_i)= m_i\mathbf{r}_C\times\mathbf{v}_C+m_i\mathbf{r}'_i\times \mathbf{v}_C+m_i\mathbf{r}_C\times\mathbf{v}'_i+m_i\mathbf{r}'_i\times\mathbf{v}'_i</math></center>

Al sumar los momentos cinéticos individuales para obtener el momento angular total nos quedan cuatro sumas, en cada una de las cuales podemos sacar factor común la posición o la velocidad del CM, que es una cantidad que no depende del índice <math>i</math>

<center><math>\mathbf{L}= \mathbf{L}_1+\mathbf{L}_2 +\cdots = \left(m_1+m_2+\cdots\right)\mathbf{r}_C\times\mathbf{v}_C+\left(m_1\mathbf{r}'_1+m_2\mathbf{r}'_2+\cdots\right)\times\mathbf{v}_C +</math>

<math>+\mathbf{r}_C\times\left(m_1\mathbf {v}'_1+m_2\mathbf{v}'_2+\cdots\right)+\left(m_1\mathbf{r}'_1\times\mathbf{v}'_1+m_2\mathbf{r}'_2\times\mathbf{v}'_2+\cdots\right)</math></center>

Ahora bien, de la definición de centro de masas se deduce que

<center><math>m_1\mathbf{r}'_1+m_2\mathbf{r}'_2 +\cdots = m_1(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_C)+m_2(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_C)+\cdots =
\left(m_1\mathbf{r}_1+m_2\mathbf{r}_2+\cdots\right)-\left(m_1+m_2+\cdots\right)\mathbf{r}_C = M\mathbf{r}_C-M\mathbf{r}_C = \mathbf{0}</math></center>

y, del mismo modo,

<center><math>m_1\mathbf{v}'_1 + m_2\mathbf{v}'_2 +\cdots = \mathbf{p}' = \mathbf{0}</math></center>

Por tanto, el segundo y el tercer término en la expresión del momento cinético total se anulan y la expresión se reduce a

<center><math>\mathbf{L}= M\mathbf{r}_C\times\mathbf{v}_C+\mathbf{L}'</math></center>

donde

<center><math>\mathbf{L}'= \sum_{i=1}^N m_i\mathbf{r}'_i\times\mathbf{v}'_i</math></center>

es el momento angular relativo al centro de masas.

Según esto, el momento angular o cinético de un sistema de partículas se compone de dos contribuciones: el momento angular que tendría una partícula que contuviera toda la masa y se moviera como el centro de masas del sistema, más el momento angular que tienen las partículas por moverse alrededor del centro de masas.

Un ejemplo físico sencillo de esta descomposición lo tenemos en el momento angular de la Tierra en cuanto planeta del Sistema Solar. Su momento angular se compone de una parte debida al movimiento de traslación alrededor del Sol (lo que se conoce como momento angular ''orbital''), que sería el primer término, más otra parte debida al movimiento de rotación alrededor de su eje (el llamado momento angular ''intrínseco''), que sería <math>\mathbf{L}'</math>.

==Conservación del momento cinético==
Derivando igualmente en la expresión del momento cinético de un sistema de partículas obtenemos

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_1}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_2}{\mathrm{d}t} + \cdots</math></center>

Para cada partícula la derivada del momento angular es el momento de las fuerzas aplicadas sobre ella:

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(m_i\mathbf{r}_i\times\mathbf{v}_i\right) = m_i\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_i}{\mathrm{d}t}\times\mathbf{v}_i + m_i\mathbf{r}_i\times\frac{\mathrm{d}\mathbf{v_i}}{\mathrm{d}t} = m_i\overbrace{\mathbf{v}_i\times\mathbf{v}_i}^{=\mathbf{0}} + \mathbf{r}_i\times\left(m_i\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_i}{\mathrm{d}t}\right) = \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i</math></center>

y, para el momento cinético total

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}= \sum_{i=1}^N \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i</math></center>

De nuevo, esta expresión requiere conocer las fuerzas internas del sistema, que son usualmente desconocidas. Por ello, descomponemos de nuevo en sumas de fuerzas externas e internas

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}= \mathbf{r}_1\times\left(\mathbf{F}_{1\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{2\to 1}+\cdots\right) + \mathbf{r}_2\times\left(\mathbf{F}_{2\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{1\to 2}+\cdots\right)+ \cdots</math></center>

Pero, según dijimos al principio del artículo, si las fuerzas internas entre dos partículas no solo cumplen la tercera ley de Newton, sino que además son centrales, esto es, van en la dirección de la recta que une las dos partículas se verifica

<center><math>\mathbf{r}_1\times\mathbf{F}_{2\to 1}+\mathbf{r}_2\times\mathbf{F}_{1\to 2}=\mathbf{0}</math></center>

Esta condición se cumple en la mayoría de los casos prácticos (fuerzas eléctricas o gravitatorias). En este caso, los momentos de las fuerzas internas se anulan dos a dos y queda

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}= \sum_{i=1}^N \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_{i\mathrm{ext}}</math></center>

En palabras:

* La derivada del momento angular o cinético de un sistema de partículas es igual a la suma de los momentos de las fuerzas '''externas''' aplicadas sobre el sistema.

* En particular, en un sistema de partículas sometido exclusivamente a fuerzas internas, el momento angular permanece constante.

[[Categoría:Dinámica de un sistema de partículas]]

Cantidad de movimiento de un sistema de partículas

Gonfer — Wed, 10 Feb 2010 20:08:06 GMT

Gonfer: /* Conservación de la cantidad de movimiento */

==Definición==
La cantidad de movimiento (o momento lineal) del sistema es la suma de las cantidades de movimiento de cada una de las partículas

<center><math>\mathbf{p} = \mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2+\cdots = m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2 + \cdots = \sum_{i=1}^N m_i\mathbf{v}_i</math></center>

==Sistema centro de masas==
La cantidad de movimiento se relaciona directamente con el [[centro de masas de un sistema de partículas|centro de masas]] del sistema. Derivando respecto al tiempo la relación

<center><math>M\mathbf{r}_C = m_1 \mathbf{r}_1 + m_2\mathbf{r}_2+\cdots </math></center>

obtenemos

<center><math>M \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_C}{\mathrm{d}t} = m_1 \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_1}{\mathrm{d}t} + m_2\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_2}{\mathrm{d}t} + \cdots = m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2+\cdots = \mathbf{p}</math></center>

esto es

<center><math>\mathbf{p} = M \mathbf{v}_C</math></center>

En palabras: la cantidad de movimiento del sistema equivale a la que tendría una sola partícula material que concentrara toda la masa del sistema y que se moviera como el centro de masas de éste.

De la relación entre cantidad de movimiento y centro de masas se llega a que la cantidad de movimiento del sistema respecto al centro de masas es siempre nula

<center><math>\mathbf{p}' = m_1 \mathbf{v}'_1 + m_2\mathbf{v}'_2 + \cdots = m_1 (\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_C) + m_2(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_C) +
\cdots = </math><math>( m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2 + \cdots) - (m_1+m_2+\cdots)\mathbf{v}_C = \mathbf{p}- M \mathbf{v}_C=\mathbf{0}</math></center>

Esto permite redefinir el centro de masas como aquel punto (variable) desde el cual la cantidad de movimiento del sistema es nula en todo momento. Cuando un sistema de partículas se estudia empleando este punto como origen del sistema de referencia se dice que se está estudiando desde el ''sistema centro de masas''.

==Conservación de la cantidad de movimiento==
Supongamos un sistema de partículas sometidas a fuerzas externas y también interactuantes entre sí, cumpliendo las fuerzas internas la tercera ley de Newton. En este caso, la variación en el tiempo de la cantidad de movimiento total es

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = m_1\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_1}{\mathrm{d}t}+ m_2\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_2}{\mathrm{d}t}+\cdots = \mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2 + \cdots</math></center>

esto es, la derivada de la cantidad de movimiento es la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre las partículas del sistema. Esto es consecuencia directa de la definición, pero es poco útil pues requiere conocer también las fuerzas internas que son normalmente desconocidas. Por ello, descomponemos las fuerzas sobre cada partícula en suma de las externas y de las internas

<center><math>\mathbf{F}_i = \mathbf{F}_{i\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{1\to i}+\mathbf{F}_{2\to i}+\cdots</math></center>

y la derivada de la cantidad de movimiento queda

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}=\left(\mathbf{F}_{1\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{2\to 1}+\mathbf{F}_{3\to 1}+\cdots\right)+\left(\mathbf{F}_{2\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{1\to 2}+\mathbf{F}_{3\to 2}+\cdots\right)+\left(\mathbf{F}_{3\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{1\to 3}+\mathbf{F}_{2\to 3}+\cdots\right)+\cdots</math></center>

Pero, de acuerdo con la [[Leyes_de_Newton#Tercer_principio:_ley_de_acci.C3.B3n_y_reacci.C3.B3n|tercera ley de Newton]]

<center><math>\mathbf{F}_{1\to 2}+\mathbf{F}_{2\to 1} = \mathbf{0}</math></center>

y análogamente para el resto de pares de partículas. Por tanto, las fuerzas internas se cancelan dos a dos y queda la expresión mucho más útil

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}= \mathbf{F}_{1\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{2\mathrm{ext}}+\cdots = \sum_i \mathbf{F}_{i\mathrm{ext}}</math></center>

esto es:

* la derivada de la cantidad de movimiento es igual a la resultante de las fuerzas '''externas''' aplicadas sobre el sistema.
* En particular: En ausencia de fuerzas externas, la cantidad de movimiento de un sistema de partículas permanece constante.

En términos del centro de masas, la ley de evolución de la cantidad de movimiento se escribe

<center><math>M\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_C}{\mathrm{d}t} = \sum_i \mathbf{F}_{i\mathrm{ext}}</math></center>

es decir:

* El centro de masas de un sistema de partículas se mueve como una sola partícula cuya masa fuera la total del sistema y que se ecnontrara sometida a la resultante de las fuerzas externas ejercidas sobre el sistema.

* En particular, el centro de masas de un sistema de partículas sometidas exclusivamente a fuerzas internas permanece en reposo o en un estado de movimiento uniforme.

Consideremos el ejemplo siguiente: un proyectil se lanza desde un mortero. El proyectil describe (despreciando la resistencia del aire) una trayectoria parabólica. En cierto punto del vuelo el proyectil explota en multitud de fragmentos. El centro de masas de estos fragmentos continúa el movimiento parabólico inicial.

Este principio imposibilita que, por ejemplo, un grupo de aguerridos astronautas consiga desviar la trayectoria de un cometa simplemente colocando una bomba en él, ya que las fuerzas debidas a la bomba son puramente internas, y el centro de masas continuará su trayectoria inalterada, por mucho que se fragmente el asteroide.

==Ejemplos==
===Colisiones===
===Explosión de un proyectil===

===Propulsión a reacción===

==Aplicación a colisiones==

[[Categoría:Dinámica de un sistema de partículas]]

Cantidad de movimiento de un sistema de partículas

Gonfer — Wed, 10 Feb 2010 20:06:57 GMT

Gonfer: /* Conservación de la cantidad de movimiento */

==Definición==
La cantidad de movimiento (o momento lineal) del sistema es la suma de las cantidades de movimiento de cada una de las partículas

<center><math>\mathbf{p} = \mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2+\cdots = m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2 + \cdots = \sum_{i=1}^N m_i\mathbf{v}_i</math></center>

==Sistema centro de masas==
La cantidad de movimiento se relaciona directamente con el [[centro de masas de un sistema de partículas|centro de masas]] del sistema. Derivando respecto al tiempo la relación

<center><math>M\mathbf{r}_C = m_1 \mathbf{r}_1 + m_2\mathbf{r}_2+\cdots </math></center>

obtenemos

<center><math>M \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_C}{\mathrm{d}t} = m_1 \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_1}{\mathrm{d}t} + m_2\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_2}{\mathrm{d}t} + \cdots = m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2+\cdots = \mathbf{p}</math></center>

esto es

<center><math>\mathbf{p} = M \mathbf{v}_C</math></center>

En palabras: la cantidad de movimiento del sistema equivale a la que tendría una sola partícula material que concentrara toda la masa del sistema y que se moviera como el centro de masas de éste.

De la relación entre cantidad de movimiento y centro de masas se llega a que la cantidad de movimiento del sistema respecto al centro de masas es siempre nula

<center><math>\mathbf{p}' = m_1 \mathbf{v}'_1 + m_2\mathbf{v}'_2 + \cdots = m_1 (\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_C) + m_2(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_C) +
\cdots = </math><math>( m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2 + \cdots) - (m_1+m_2+\cdots)\mathbf{v}_C = \mathbf{p}- M \mathbf{v}_C=\mathbf{0}</math></center>

Esto permite redefinir el centro de masas como aquel punto (variable) desde el cual la cantidad de movimiento del sistema es nula en todo momento. Cuando un sistema de partículas se estudia empleando este punto como origen del sistema de referencia se dice que se está estudiando desde el ''sistema centro de masas''.

==Conservación de la cantidad de movimiento==
Supongamos un sistema de partículas sometidas a fuerzas externas y también interactuantes entre sí, cumpliendo las fuerzas internas la tercera ley de Newton. En este caso, la variación en el tiempo de la cantidad de movimiento total es

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = m_1\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_1}{\mathrm{d}t}+ m_2\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_2}{\mathrm{d}t}+\cdots = \mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2 + \cdots</math></center>

esto es, la derivada de la cantidad de movimiento es la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre las partículas del sistema. Esto es consecuencia directa de la definición, pero es poco útil pues requiere conocer también las fuerzas internas que son normalmente desconocidas. Por ello, descomponemos las fuerzas sobre cada partícula en suma de las externas y de las internas

<center><math>\mathbf{F}_i = \mathbf{F}_{i\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{1\to i}+\mathbf{F}_{2\to i}+\cdots</math></center>

y la derivada de la cantidad de movimiento queda

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}=\left(\mathbf{F}_{1\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{2\to 1}+\mathbf{F}_{3\to 1}+\cdots\right)+\left(\mathbf{F}_{2\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{1\to 2}+\mathbf{F}_{3\to 2}+\cdots\right)+\left(\mathbf{F}_{3\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{1\to 3}+\mathbf{F}_{2\to 3}+\cdots\right)+\cdots</math></center>

Pero, de acuerdo con la [[tercera ley de Newton]]

<center><math>\mathbf{F}_{1\to 2}+\mathbf{F}_{2\to 1} = \mathbf{0}</math></center>

y análogamente para el resto de pares de partículas. Por tanto, las fuerzas internas se cancelan dos a dos y queda la expresión mucho más útil

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}= \mathbf{F}_{1\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{2\mathrm{ext}}+\cdots = \sum_i \mathbf{F}_{i\mathrm{ext}}</math></center>

esto es:

* la derivada de la cantidad de movimiento es igual a la resultante de las fuerzas '''externas''' aplicadas sobre el sistema.
* En particular: En ausencia de fuerzas externas, la cantidad de movimiento de un sistema de partículas permanece constante.

En términos del centro de masas, la ley de evolución de la cantidad de movimiento se escribe

<center><math>M\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_C}{\mathrm{d}t} = \sum_i \mathbf{F}_{i\mathrm{ext}}</math></center>

es decir:

* El centro de masas de un sistema de partículas se mueve como una sola partícula cuya masa fuera la total del sistema y que se ecnontrara sometida a la resultante de las fuerzas externas ejercidas sobre el sistema.

* En particular, el centro de masas de un sistema de partículas sometidas exclusivamente a fuerzas internas permanece en reposo o en un estado de movimiento uniforme.

Consideremos el ejemplo siguiente: un proyectil se lanza desde un mortero. El proyectil describe (despreciando la resistencia del aire) una trayectoria parabólica. En cierto punto del vuelo el proyectil explota en multitud de fragmentos. El centro de masas de estos fragmentos continúa el movimiento parabólico inicial.

Este principio imposibilita que, por ejemplo, un grupo de aguerridos astronautas consiga desviar la trayectoria de un cometa simplemente colocando una bomba en él, ya que las fuerzas debidas a la bomba son puramente internas, y el centro de masas continuará su trayectoria inalterada, por mucho que se fragmente el asteroide.

==Ejemplos==
===Colisiones===
===Explosión de un proyectil===

===Propulsión a reacción===

==Aplicación a colisiones==

[[Categoría:Dinámica de un sistema de partículas]]

Cantidad de movimiento de un sistema de partículas

Gonfer — Wed, 10 Feb 2010 20:06:30 GMT

Gonfer: /* Explosión de un cohete */

==Definición==
La cantidad de movimiento (o momento lineal) del sistema es la suma de las cantidades de movimiento de cada una de las partículas

<center><math>\mathbf{p} = \mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2+\cdots = m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2 + \cdots = \sum_{i=1}^N m_i\mathbf{v}_i</math></center>

==Sistema centro de masas==
La cantidad de movimiento se relaciona directamente con el [[centro de masas de un sistema de partículas|centro de masas]] del sistema. Derivando respecto al tiempo la relación

<center><math>M\mathbf{r}_C = m_1 \mathbf{r}_1 + m_2\mathbf{r}_2+\cdots </math></center>

obtenemos

<center><math>M \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_C}{\mathrm{d}t} = m_1 \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_1}{\mathrm{d}t} + m_2\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_2}{\mathrm{d}t} + \cdots = m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2+\cdots = \mathbf{p}</math></center>

esto es

<center><math>\mathbf{p} = M \mathbf{v}_C</math></center>

En palabras: la cantidad de movimiento del sistema equivale a la que tendría una sola partícula material que concentrara toda la masa del sistema y que se moviera como el centro de masas de éste.

De la relación entre cantidad de movimiento y centro de masas se llega a que la cantidad de movimiento del sistema respecto al centro de masas es siempre nula

<center><math>\mathbf{p}' = m_1 \mathbf{v}'_1 + m_2\mathbf{v}'_2 + \cdots = m_1 (\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_C) + m_2(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_C) +
\cdots = </math><math>( m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2 + \cdots) - (m_1+m_2+\cdots)\mathbf{v}_C = \mathbf{p}- M \mathbf{v}_C=\mathbf{0}</math></center>

Esto permite redefinir el centro de masas como aquel punto (variable) desde el cual la cantidad de movimiento del sistema es nula en todo momento. Cuando un sistema de partículas se estudia empleando este punto como origen del sistema de referencia se dice que se está estudiando desde el ''sistema centro de masas''.

==Conservación de la cantidad de movimiento==
Supongamos un sistema de partículas sometidas a fuerzas externas y también interactuantes entre sí, cumpliendo las fuerzas internas la tercera ley de Newton. En este caso, la variación en el tiempo de la cantidad de movimiento total es

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = m_1\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_1}{\mathrm{d}t}+ m_2\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_2}{\mathrm{d}t}+\cdots = \mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2 + \cdots</math></center>

esto es, la derivada de la cantidad de movimiento es la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre las partículas del sistema. Esto es consecuencia directa de la definición, pero es poco útil pues requiere conocer también las fuerzas internas que son normalmente desconocidas. Por ello, descomponemos las fuerzas sobre cada partícula en suma de las externas y de las internas

<center><math>\mathbf{F}_i = \mathbf{F}_{i\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{1\to i}+\mathbf{F}_{2\to i}+\cdots</math></center>

y la derivada de la cantidad de movimiento queda

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}=\left(\mathbf{F}_{1\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{2\to 1}+\mathbf{F}_{3\to 1}+\cdots\right)+\left(\mathbf{F}_{2\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{1\to 2}+\mathbf{F}_{3\to 2}+\cdots\right)+\left(\mathbf{F}_{3\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{1\to 3}+\mathbf{F}_{2\to 3}+\cdots\right)+\cdots</math></center>

Pero, de acuerdo con la tercera ley de Newton

<center><math>\mathbf{F}_{1\to 2}+\mathbf{F}_{2\to 1} = \mathbf{0}</math></center>

y análogamente para el resto de pares de partículas. Por tanto, las fuerzas internas se cancelan dos a dos y queda la expresión mucho más útil

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}= \mathbf{F}_{1\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{2\mathrm{ext}}+\cdots = \sum_i \mathbf{F}_{i\mathrm{ext}}</math></center>

esto es:

* la derivada de la cantidad de movimiento es igual a la resultante de las fuerzas '''externas''' aplicadas sobre el sistema.
* En particular: En ausencia de fuerzas externas, la cantidad de movimiento de un sistema de partículas permanece constante.

En términos del centro de masas, la ley de evolución de la cantidad de movimiento se escribe

<center><math>M\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_C}{\mathrm{d}t} = \sum_i \mathbf{F}_{i\mathrm{ext}}</math></center>

es decir:

* El centro de masas de un sistema de partículas se mueve como una sola partícula cuya masa fuera la total del sistema y que se ecnontrara sometida a la resultante de las fuerzas externas ejercidas sobre el sistema.

* En particular, el centro de masas de un sistema de partículas sometidas exclusivamente a fuerzas internas permanece en reposo o en un estado de movimiento uniforme.

Consideremos el ejemplo siguiente: un proyectil se lanza desde un mortero. El proyectil describe (despreciando la resistencia del aire) una trayectoria parabólica. En cierto punto del vuelo el proyectil explota en multitud de fragmentos. El centro de masas de estos fragmentos continúa el movimiento parabólico inicial.

Este principio imposibilita que, por ejemplo, un grupo de aguerridos astronautas consiga desviar la trayectoria de un cometa simplemente colocando una bomba en él, ya que las fuerzas debidas a la bomba son puramente internas, y el centro de masas continuará su trayectoria inalterada, por mucho que se fragmente el asteroide.

==Ejemplos==
===Colisiones===
===Explosión de un proyectil===

===Propulsión a reacción===

==Aplicación a colisiones==

[[Categoría:Dinámica de un sistema de partículas]]

Cantidad de movimiento de un sistema de partículas

Gonfer — Wed, 10 Feb 2010 20:04:44 GMT

Gonfer: /* Conservación de la cantidad de movimiento */

==Definición==
La cantidad de movimiento (o momento lineal) del sistema es la suma de las cantidades de movimiento de cada una de las partículas

<center><math>\mathbf{p} = \mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2+\cdots = m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2 + \cdots = \sum_{i=1}^N m_i\mathbf{v}_i</math></center>

==Sistema centro de masas==
La cantidad de movimiento se relaciona directamente con el [[centro de masas de un sistema de partículas|centro de masas]] del sistema. Derivando respecto al tiempo la relación

<center><math>M\mathbf{r}_C = m_1 \mathbf{r}_1 + m_2\mathbf{r}_2+\cdots </math></center>

obtenemos

<center><math>M \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_C}{\mathrm{d}t} = m_1 \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_1}{\mathrm{d}t} + m_2\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_2}{\mathrm{d}t} + \cdots = m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2+\cdots = \mathbf{p}</math></center>

esto es

<center><math>\mathbf{p} = M \mathbf{v}_C</math></center>

En palabras: la cantidad de movimiento del sistema equivale a la que tendría una sola partícula material que concentrara toda la masa del sistema y que se moviera como el centro de masas de éste.

De la relación entre cantidad de movimiento y centro de masas se llega a que la cantidad de movimiento del sistema respecto al centro de masas es siempre nula

<center><math>\mathbf{p}' = m_1 \mathbf{v}'_1 + m_2\mathbf{v}'_2 + \cdots = m_1 (\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_C) + m_2(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_C) +
\cdots = </math><math>( m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2 + \cdots) - (m_1+m_2+\cdots)\mathbf{v}_C = \mathbf{p}- M \mathbf{v}_C=\mathbf{0}</math></center>

Esto permite redefinir el centro de masas como aquel punto (variable) desde el cual la cantidad de movimiento del sistema es nula en todo momento. Cuando un sistema de partículas se estudia empleando este punto como origen del sistema de referencia se dice que se está estudiando desde el ''sistema centro de masas''.

==Conservación de la cantidad de movimiento==
Supongamos un sistema de partículas sometidas a fuerzas externas y también interactuantes entre sí, cumpliendo las fuerzas internas la tercera ley de Newton. En este caso, la variación en el tiempo de la cantidad de movimiento total es

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = m_1\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_1}{\mathrm{d}t}+ m_2\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_2}{\mathrm{d}t}+\cdots = \mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2 + \cdots</math></center>

esto es, la derivada de la cantidad de movimiento es la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre las partículas del sistema. Esto es consecuencia directa de la definición, pero es poco útil pues requiere conocer también las fuerzas internas que son normalmente desconocidas. Por ello, descomponemos las fuerzas sobre cada partícula en suma de las externas y de las internas

<center><math>\mathbf{F}_i = \mathbf{F}_{i\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{1\to i}+\mathbf{F}_{2\to i}+\cdots</math></center>

y la derivada de la cantidad de movimiento queda

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}=\left(\mathbf{F}_{1\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{2\to 1}+\mathbf{F}_{3\to 1}+\cdots\right)+\left(\mathbf{F}_{2\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{1\to 2}+\mathbf{F}_{3\to 2}+\cdots\right)+\left(\mathbf{F}_{3\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{1\to 3}+\mathbf{F}_{2\to 3}+\cdots\right)+\cdots</math></center>

Pero, de acuerdo con la tercera ley de Newton

<center><math>\mathbf{F}_{1\to 2}+\mathbf{F}_{2\to 1} = \mathbf{0}</math></center>

y análogamente para el resto de pares de partículas. Por tanto, las fuerzas internas se cancelan dos a dos y queda la expresión mucho más útil

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}= \mathbf{F}_{1\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{2\mathrm{ext}}+\cdots = \sum_i \mathbf{F}_{i\mathrm{ext}}</math></center>

esto es:

* la derivada de la cantidad de movimiento es igual a la resultante de las fuerzas '''externas''' aplicadas sobre el sistema.
* En particular: En ausencia de fuerzas externas, la cantidad de movimiento de un sistema de partículas permanece constante.

En términos del centro de masas, la ley de evolución de la cantidad de movimiento se escribe

<center><math>M\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_C}{\mathrm{d}t} = \sum_i \mathbf{F}_{i\mathrm{ext}}</math></center>

es decir:

* El centro de masas de un sistema de partículas se mueve como una sola partícula cuya masa fuera la total del sistema y que se ecnontrara sometida a la resultante de las fuerzas externas ejercidas sobre el sistema.

* En particular, el centro de masas de un sistema de partículas sometidas exclusivamente a fuerzas internas permanece en reposo o en un estado de movimiento uniforme.

Consideremos el ejemplo siguiente: un proyectil se lanza desde un mortero. El proyectil describe (despreciando la resistencia del aire) una trayectoria parabólica. En cierto punto del vuelo el proyectil explota en multitud de fragmentos. El centro de masas de estos fragmentos continúa el movimiento parabólico inicial.

Este principio imposibilita que, por ejemplo, un grupo de aguerridos astronautas consiga desviar la trayectoria de un cometa simplemente colocando una bomba en él, ya que las fuerzas debidas a la bomba son puramente internas, y el centro de masas continuará su trayectoria inalterada, por mucho que se fragmente el asteroide.

==Ejemplos==
===Colisiones===
===Explosión de un cohete===
===Propulsión a reacción===

==Aplicación a colisiones==

[[Categoría:Dinámica de un sistema de partículas]]

Cantidad de movimiento de un sistema de partículas

Gonfer — Wed, 10 Feb 2010 20:04:15 GMT

Gonfer: /* Conservación de la cantidad de movimiento */

==Definición==
La cantidad de movimiento (o momento lineal) del sistema es la suma de las cantidades de movimiento de cada una de las partículas

<center><math>\mathbf{p} = \mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2+\cdots = m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2 + \cdots = \sum_{i=1}^N m_i\mathbf{v}_i</math></center>

==Sistema centro de masas==
La cantidad de movimiento se relaciona directamente con el [[centro de masas de un sistema de partículas|centro de masas]] del sistema. Derivando respecto al tiempo la relación

<center><math>M\mathbf{r}_C = m_1 \mathbf{r}_1 + m_2\mathbf{r}_2+\cdots </math></center>

obtenemos

<center><math>M \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_C}{\mathrm{d}t} = m_1 \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_1}{\mathrm{d}t} + m_2\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_2}{\mathrm{d}t} + \cdots = m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2+\cdots = \mathbf{p}</math></center>

esto es

<center><math>\mathbf{p} = M \mathbf{v}_C</math></center>

En palabras: la cantidad de movimiento del sistema equivale a la que tendría una sola partícula material que concentrara toda la masa del sistema y que se moviera como el centro de masas de éste.

De la relación entre cantidad de movimiento y centro de masas se llega a que la cantidad de movimiento del sistema respecto al centro de masas es siempre nula

<center><math>\mathbf{p}' = m_1 \mathbf{v}'_1 + m_2\mathbf{v}'_2 + \cdots = m_1 (\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_C) + m_2(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_C) +
\cdots = </math><math>( m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2 + \cdots) - (m_1+m_2+\cdots)\mathbf{v}_C = \mathbf{p}- M \mathbf{v}_C=\mathbf{0}</math></center>

Esto permite redefinir el centro de masas como aquel punto (variable) desde el cual la cantidad de movimiento del sistema es nula en todo momento. Cuando un sistema de partículas se estudia empleando este punto como origen del sistema de referencia se dice que se está estudiando desde el ''sistema centro de masas''.

==Conservación de la cantidad de movimiento==
Supongamos un sistema de partículas sometidas a fuerzas externas y también interactuantes entre sí, cumpliendo las fuerzas internas la tercera ley de Newton. En este caso, la variación en el tiempo de la [[centro de masas de un sistema|cantidad de movimiento total]] es

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = m_1\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_1}{\mathrm{d}t}+ m_2\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_2}{\mathrm{d}t}+\cdots = \mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2 + \cdots</math></center>

esto es, la derivada de la cantidad de movimiento es la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre las partículas del sistema. Esto es consecuencia directa de la definición, pero es poco útil pues requiere conocer también las fuerzas internas que son normalmente desconocidas. Por ello, descomponemos las fuerzas sobre cada partícula en suma de las externas y de las internas

<center><math>\mathbf{F}_i = \mathbf{F}_{i\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{1\to i}+\mathbf{F}_{2\to i}+\cdots</math></center>

y la derivada de la cantidad de movimiento queda

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}=\left(\mathbf{F}_{1\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{2\to 1}+\mathbf{F}_{3\to 1}+\cdots\right)+\left(\mathbf{F}_{2\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{1\to 2}+\mathbf{F}_{3\to 2}+\cdots\right)+\left(\mathbf{F}_{3\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{1\to 3}+\mathbf{F}_{2\to 3}+\cdots\right)+\cdots</math></center>

Pero, de acuerdo con la tercera ley de Newton

<center><math>\mathbf{F}_{1\to 2}+\mathbf{F}_{2\to 1} = \mathbf{0}</math></center>

y análogamente para el resto de pares de partículas. Por tanto, las fuerzas internas se cancelan dos a dos y queda la expresión mucho más útil

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}= \mathbf{F}_{1\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{2\mathrm{ext}}+\cdots = \sum_i \mathbf{F}_{i\mathrm{ext}}</math></center>

esto es:

* la derivada de la cantidad de movimiento es igual a la resultante de las fuerzas '''externas''' aplicadas sobre el sistema.
* En particular: En ausencia de fuerzas externas, la cantidad de movimiento de un sistema de partículas permanece constante.

En términos del centro de masas, la ley de evolución de la cantidad de movimiento se escribe

<center><math>M\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_C}{\mathrm{d}t} = \sum_i \mathbf{F}_{i\mathrm{ext}}</math></center>

es decir:

* El centro de masas de un sistema de partículas se mueve como una sola partícula cuya masa fuera la total del sistema y que se ecnontrara sometida a la resultante de las fuerzas externas ejercidas sobre el sistema.

* En particular, el centro de masas de un sistema de partículas sometidas exclusivamente a fuerzas internas permanece en reposo o en un estado de movimiento uniforme.

Consideremos el ejemplo siguiente: un proyectil se lanza desde un mortero. El proyectil describe (despreciando la resistencia del aire) una trayectoria parabólica. En cierto punto del vuelo el proyectil explota en multitud de fragmentos. El centro de masas de estos fragmentos continúa el movimiento parabólico inicial.

Este principio imposibilita que, por ejemplo, un grupo de aguerridos astronautas consiga desviar la trayectoria de un cometa simplemente colocando una bomba en él, ya que las fuerzas debidas a la bomba son puramente internas, y el centro de masas continuará su trayectoria inalterada, por mucho que se fragmente el asteroide.

==Ejemplos==
===Colisiones===
===Explosión de un cohete===
===Propulsión a reacción===

==Aplicación a colisiones==

[[Categoría:Dinámica de un sistema de partículas]]

Cantidad de movimiento de un sistema de partículas

Gonfer — Wed, 10 Feb 2010 20:02:58 GMT

Gonfer: /* Sistema centro de masas */

Cantidad de movimiento de un sistema de partículas

Gonfer — Wed, 10 Feb 2010 20:02:20 GMT

Gonfer: /* Definición */

Cantidad de movimiento de un sistema de partículas

Gonfer — Wed, 10 Feb 2010 20:01:07 GMT

Gonfer:

==Definición==
==Sistema centro de masas==
==Conservación de la cantidad de movimiento==
==Aplicación a colisiones==

[[Categoría:Dinámica de un sistema de partículas]]

Dinámica de un sistema de partículas

Gonfer — Wed, 10 Feb 2010 19:59:49 GMT

Gonfer: /* Colisiones de dos partículas */

==Propiedades de un sistema de partículas==
{{ac|Propiedades de un sistema de partículas}}
===Centro de masas===
{{ac|Centro de masas de un sistema de partículas}}
===Cantidad de movimiento===
{{ac|Cantidad de movimiento de un sistema de partículas}}
===Momento cinético===
{{ac|Momento cinético de un sistema de partículas}}
===Energía cinética===
{{ac|Energía cinética de un sistema de partículas}}

==Teoremas de conservación de un sistema de partículas==
{{ac|Teoremas de conservación de un sistema de partículas}}
===Cantidad de movimiento de un sistema de partículas===

===Energía de un sistema de partículas===

===Momento angular de un sistema de partículas===

==Introducción a la dinámica de un sólido rígido==

==Colisiones de dos partículas==
{{ac|Colisiones de dos partículas}}

Consideremos dos partículas de masas <math>m_1</math> y <math>m_2</math>, con velocidades <math> \mathbf{v}_1</math> y <math> \mathbf{v}_2</math>, aisladas de toda influencia exterior, de modo que las únicas fuerzas que pueden sufrir son las que se ejercen la una sobre la otra. Las velocidades de las partículas son tales que colisionan la una con la otra. Después del choque, las masas de las partículas son las mismas, pero sus velocidades son <math> \mathbf{v}'_1</math> y <math> \mathbf{v}'_2</math>.

===Cantidad de movimiento===
La [[cantidad de movimiento de un sistema de partículas|cantidad de movimiento]] del sistema formado por las dos partículas será la suma de la cantidad de movimiento de cada una de ellas
<center>
<math>
\mathbf{p} = \mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2 = m_1\mathbf{v}_1 + m_2\mathbf{v}_2
</math>
</center>
Derivando respecto al tiempo, tenemos que la variación de la cantidad de movimiento del sistema es
<center>
<math>
\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}=
\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_1}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_2}{\mathrm{d}t}
</math>
</center>
Usando la segunda ley de Newton tenemos
<center>
<math>
\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_1}{\mathrm{d}t} = \mathbf{F}_{2\to1}
\qquad \qquad
\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_2}{\mathrm{d}t} = \mathbf{F}_{1\to2}
</math>
</center>
Aquí, <math> \mathbf{F}_{2\to1}</math> es la fuerza que la partícula 2 ejerce sobre la 1 y <math>\mathbf{F}_{1\to2} </math> es la fuerza que la partícula 1 ejerce sobre la 2. Si las fuerzas cumplen la Tercera Ley de Newton se cumple que
<center>
<math>
\mathbf{F}_{1\to2} = -\mathbf{F}_{2\to1}
</math>
</center>
Entonces, para dos partículas aisladas que colisionan, la cantidad de movimiento del sistema se conserva
<center>
<math>
\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{F}_{2\to1} + \mathbf{F}_{1\to2}=\mathbf{0}
\Rightarrow
\mathbf{P}=\mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2=\mathbf{cte}
</math>
</center>
Por tanto, si las velocidades antes del choque son <math>\mathbf{v}_1 </math> y <math>\mathbf{v}_2 </math>, y después del choque son <math>\mathbf{v}'_1 </math> y <math>\mathbf{v}'_2 </math>, se
tiene

<center>
<math>
m_1\mathbf{v}_1 + m_2\mathbf{v}_2 = m_1\mathbf{v}'_1 + m_2\mathbf{v}'_2
</math>
</center>
===Energía cinética===
A diferencia de la cantidad de movimiento, la [[energía cinética de un sistema de partículas|energía cinética del sistema]] de dos partículas no se conservará en general, ya que las fuerzas internas pueden realizar trabajo y disipar energía (normalmente en forma de calor desprendido).

Cuando hay disipación de energía se dice que la colisión es inelástica. Para medir el grado de disipación se define el [[coeficiente de restitución]]

<center><math>K = \frac{|\mathbf{v}'_2-\mathbf{v}'_1|}{|\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1|}</math></center>

esto es, el cociente entre la velocidad con la que se alejan relativamente las dos masas, y la velocidad con la que se acercan.

Existen dos casos límite en las colisiones:

;Colisión elástica: cuando no se disipa energía alguna y la energía cinética final es igual a la inicial. En este caso <math>K = 1</math>.

;Colisión perfectamente inelástica: cuando las dos partículas se fusionan o empotran en la colisión y tras esta permanecen unidas solidariamente. En ese caso <math>K=0</math> y se disipa el máximo posible de energía cinética.

[[Categoría:Dinámica de un sistema de partículas|0]]

Dinámica de un sistema de partículas

Gonfer — Wed, 10 Feb 2010 19:59:00 GMT

Gonfer: /* Colisiones de dos partículas */

==Propiedades de un sistema de partículas==
{{ac|Propiedades de un sistema de partículas}}
===Centro de masas===
{{ac|Centro de masas de un sistema de partículas}}
===Cantidad de movimiento===
{{ac|Cantidad de movimiento de un sistema de partículas}}
===Momento cinético===
{{ac|Momento cinético de un sistema de partículas}}
===Energía cinética===
{{ac|Energía cinética de un sistema de partículas}}

==Teoremas de conservación de un sistema de partículas==
{{ac|Teoremas de conservación de un sistema de partículas}}
===Cantidad de movimiento de un sistema de partículas===

===Energía de un sistema de partículas===

===Momento angular de un sistema de partículas===

==Introducción a la dinámica de un sólido rígido==

==Colisiones de dos partículas==
{{ac|Colisiones de dos partículas}}

Consideremos dos partículas de masas <math>m_1</math> y <math>m_2</math>, con velocidades <math> \mathbf{v}_1</math> y <math> \mathbf{v}_2</math>, aisladas de toda influencia exterior, de modo que las únicas fuerzas que pueden sufrir son las que se ejercen la una sobre la otra. Las velocidades de las partículas son tales que colisionan la una con la otra. Después del choque, las masas de las partículas son las mismas, pero sus velocidades son <math> \mathbf{v}'_1</math> y <math> \mathbf{v}'_2</math>.

===Cantidad de movimiento===
La [[cantidad de movimiento de un sistema de partículas|cantidad de movimiento]] del sistema formado por las dos partículas será la suma de la cantidad de movimiento de cada una de ellas
<center>
<math>
\mathbf{p} = \mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2 = m_1\mathbf{v}_1 + m_2\mathbf{v}_2
</math>
</center>
Derivando respecto al tiempo, tenemos que la variación de la cantidad de movimiento del sistema es
<center>
<math>
\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}=
\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_1}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_2}{\mathrm{d}t}
</math>
</center>
Usando la segunda ley de Newton tenemos
<center>
<math>
\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_1}{\mathrm{d}t} = \mathbf{F}_{2\to1}
\qquad \qquad
\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_2}{\mathrm{d}t} = \mathbf{F}_{1\to2}
</math>
</center>
Aquí, <math> \mathbf{F}_{2\to1}</math> es la fuerza que la partícula 2 ejerce sobre la 1 y <math>\mathbf{F}_{1\to2} </math> es la fuerza que la partícula 1 ejerce sobre la 2. Si las fuerzas cumplen la Tercera Ley de Newton se cumple que
<center>
<math>
\mathbf{F}_{1\to2} = -\mathbf{F}_{2\to1}
</math>
</center>
Entonces, para dos partículas aisladas que colisionan, la cantidad de movimiento del sistema se conserva
<center>
<math>
\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{F}_{2\to1} + \mathbf{F}_{1\to2}=\mathbf{0}
\Rightarrow
\mathbf{P}=\mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2=\mathbf{cte}
</math>
</center>
Por tanto, si las velocidades antes del choque son <math>\mathbf{v}_1 </math> y <math>\mathbf{v}_2 </math>, y después del choque son <math>\mathbf{v}'_1 </math> y <math>\mathbf{v}'_2 </math>, se
tiene

<center>
<math>
m_1\mathbf{v}_1 + m_2\mathbf{v}_2 = m_1\mathbf{v}'_1 + m_2\mathbf{v}'_2
</math>
</center>
===Energía cinética===
A diferencia de la cantidad de movimiento, la [[energía cinética de un sistema de partículas|energía cinética del sistema]] de dos partículas no se conservará en general, ya que las fuerzas internas pueden realizar trabajo y disipar energía (normalmente en forma de calor desprendido).

Cuando hay disipación de energía se dice que la colisión es inelástica. Para medir el grado de disipación se define el [[coeficiente de restitución]]

<center><math>K = \frac{|\mathbf{v}'_2-\mathbf{v}'_1|}{\frac{|\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1|}</math></center>

esto es, el cociente entre la velocidad con la que se alejan relativamente las dos masas, y la velocidad con la que se acercan.

Existen dos casos límite en las colisiones:

;Colisión elástica: cuando no se disipa energía alguna y la energía cinética final es igual a la inicial. En este caso <math>K = 1</math>.

;Colisión perfectamente inelástica: cuando las dos partículas se fusionan o empotran en la colisión y tras esta permanecen unidas solidariamente. En ese caso <math>K=0</math> y se disipa el máximo posible de energía cinética.

[[Categoría:Dinámica de un sistema de partículas|0]]

Dinámica de un sistema de partículas

Gonfer — Wed, 10 Feb 2010 19:49:42 GMT

Gonfer: /* Cantidad de movimiento del sistema */

==Propiedades de un sistema de partículas==
{{ac|Propiedades de un sistema de partículas}}
===Centro de masas===
{{ac|Centro de masas de un sistema de partículas}}
===Cantidad de movimiento===
{{ac|Cantidad de movimiento de un sistema de partículas}}
===Momento cinético===
{{ac|Momento cinético de un sistema de partículas}}
===Energía cinética===
{{ac|Energía cinética de un sistema de partículas}}

==Teoremas de conservación de un sistema de partículas==
{{ac|Teoremas de conservación de un sistema de partículas}}
===Cantidad de movimiento de un sistema de partículas===

===Energía de un sistema de partículas===

===Momento angular de un sistema de partículas===

==Introducción a la dinámica de un sólido rígido==

==Colisiones de dos partículas==
{{ac|Colisiones de dos partículas}}
Consideremos dos partículas de masas <math>m_1</math> y <math>m_2</math>, con velocidades
<math> \mathbf{v}_1</math> y <math> \mathbf{v}_2</math>, aisladas de toda influencia exterior,
de modo que las únicas fuerzas que pueden sufrir son las que se ejercen la una sobre la otra.
Las velocidades de las partículas son tales que colisionan
la una con la otra. Después del choque, las masas de las partículas son las mismas, pero
sus velocidades son <math> \mathbf{v}'_1</math> y <math> \mathbf{v}'_2</math>.

La [[cantidad de movimiento de un sistema de partículas|cantidad de movimiento]] del sistema formado por las dos partículas será la suma de la cantidad de movimiento de cada una de ellas
<center>
<math>
\mathbf{p} = \mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2 = m_1\mathbf{v}_1 + m_2\mathbf{v}_2
</math>
</center>
Derivando respecto al tiempo, tenemos que la variación de la cantidad de movimiento del sistema es
<center>
<math>
\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}=
\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_1}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_2}{\mathrm{d}t}
</math>
</center>
Usando la segunda ley de Newton tenemos
<center>
<math>
\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_1}{\mathrm{d}t} = \mathbf{F}_{2\to1}
\qquad \qquad
\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_2}{\mathrm{d}t} = \mathbf{F}_{1\to2}
</math>
</center>
Aquí, <math> \mathbf{F}_{2\to1}</math> es la fuerza que la partícula 2 ejerce sobre la 1 y <math>\mathbf{F}_{1\to2} </math> es la fuerza que la partícula 1 ejerce sobre la 2. Si las fuerzas cumplen la Tercera Ley de Newton se cumple que
<center>
<math>
\mathbf{F}_{1\to2} = -\mathbf{F}_{2\to1}
</math>
</center>
Entonces, para dos partículas aisladas que colisionan, la cantidad de movimiento del sistema se conserva
<center>
<math>
\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{F}_{2\to1} + \mathbf{F}_{1\to2}=\mathbf{0}
\Rightarrow
\mathbf{P}=\mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2=\mathbf{cte}
</math>
</center>
Por tanto, si las velocidades antes del choque son <math>\mathbf{v}_1 </math> y <math>\mathbf{v}_2 </math>, y después del choque son <math>\mathbf{v}'_1 </math> y <math>\mathbf{v}'_2 </math>, se
tiene

<center>
<math>
m_1\mathbf{v}_1 + m_2\mathbf{v}_2 = m_1\mathbf{v}'_1 + m_2\mathbf{v}'_2
</math>
</center>

[[Categoría:Dinámica de un sistema de partículas|0]]

Teoremas de conservación de un sistema de partículas

Gonfer — Wed, 10 Feb 2010 19:47:34 GMT

Gonfer: /* Conservación de la energía cinética */

==Introducción==
La utilidad de las definiciones del centro de masa y las propiedades colectivas del sistema se pone de manifiesto cuando se estudia cómo varían en el tiempo y en qué casos son constantes de movimiento.

==Conservación de la cantidad de movimiento==
Supongamos un sistema de partículas sometidas a fuerzas externas y también interactuantes entre sí, cumpliendo las fuerzas internas la tercera ley de Newton. En este caso, la variación en el tiempo de la [[centro de masas de un sistema|cantidad de movimiento total]] es

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = m_1\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_1}{\mathrm{d}t}+ m_2\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_2}{\mathrm{d}t}+\cdots = \mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2 + \cdots</math></center>

esto es, la derivada de la cantidad de movimiento es la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre las partículas del sistema. Esto es consecuencia directa de la definición, pero es poco útil pues requiere conocer también las fuerzas internas que son normalmente desconocidas. Por ello, descomponemos las fuerzas sobre cada partícula en suma de las externas y de las internas

<center><math>\mathbf{F}_i = \mathbf{F}_{i\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{1\to i}+\mathbf{F}_{2\to i}+\cdots</math></center>

y la derivada de la cantidad de movimiento queda

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}=\left(\mathbf{F}_{1\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{2\to 1}+\mathbf{F}_{3\to 1}+\cdots\right)+\left(\mathbf{F}_{2\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{1\to 2}+\mathbf{F}_{3\to 2}+\cdots\right)+\left(\mathbf{F}_{3\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{1\to 3}+\mathbf{F}_{2\to 3}+\cdots\right)+\cdots</math></center>

Pero, de acuerdo con la tercera ley de Newton

<center><math>\mathbf{F}_{1\to 2}+\mathbf{F}_{2\to 1} = \mathbf{0}</math></center>

y análogamente para el resto de pares de partículas. Por tanto, las fuerzas internas se cancelan dos a dos y queda la expresión mucho más útil

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}= \mathbf{F}_{1\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{2\mathrm{ext}}+\cdots = \sum_i \mathbf{F}_{i\mathrm{ext}}</math></center>

esto es:

* la derivada de la cantidad de movimiento es igual a la resultante de las fuerzas '''externas''' aplicadas sobre el sistema.
* En particular: En ausencia de fuerzas externas, la cantidad de movimiento de un sistema de partículas permanece constante.

En términos del centro de masas, la ley de evolución de la cantidad de movimiento se escribe

<center><math>M\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_C}{\mathrm{d}t} = \sum_i \mathbf{F}_{i\mathrm{ext}}</math></center>

es decir:

* El centro de masas de un sistema de partículas se mueve como una sola partícula cuya masa fuera la total del sistema y que se ecnontrara sometida a la resultante de las fuerzas externas ejercidas sobre el sistema.

* En particular, el centro de masas de un sistema de partículas sometidas exclusivamente a fuerzas internas permanece en reposo o en un estado de movimiento uniforme.

Consideremos el ejemplo siguiente: un proyectil se lanza desde un mortero. El proyectil describe (despreciando la resistencia del aire) una trayectoria parabólica. En cierto punto del vuelo el proyectil explota en multitud de fragmentos. El centro de masas de estos fragmentos continúa el movimiento parabólico inicial.

Este principio imposibilita que, por ejemplo, un grupo de aguerridos astronautas consiga desviar la trayectoria de un cometa simplemente colocando una bomba en él, ya que las fuerzas debidas a la bomba son puramente internas, y el centro de masas continuará su trayectoria inalterada, por mucho que se fragmente el asteroide.

==Conservación del momento cinético==
Derivando igualmente en la expresión del momento cinético de un sistema de partículas obtenemos

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_1}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_2}{\mathrm{d}t} + \cdots</math></center>

Para cada partícula la derivada del momento angular es el momento de las fuerzas aplicadas sobre ella:

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(m_i\mathbf{r}_i\times\mathbf{v}_i\right) = m_i\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_i}{\mathrm{d}t}\times\mathbf{v}_i + m_i\mathbf{r}_i\times\frac{\mathrm{d}\mathbf{v_i}}{\mathrm{d}t} = m_i\overbrace{\mathbf{v}_i\times\mathbf{v}_i}^{=\mathbf{0}} + \mathbf{r}_i\times\left(m_i\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_i}{\mathrm{d}t}\right) = \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i</math></center>

y, para el momento cinético total

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}= \sum_{i=1}^N \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i</math></center>

De nuevo, esta expresión requiere conocer las fuerzas internas del sistema, que son usualmente desconocidas. Por ello, descomponemos de nuevo en sumas de fuerzas externas e internas

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}= \mathbf{r}_1\times\left(\mathbf{F}_{1\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{2\to 1}+\cdots\right) + \mathbf{r}_2\times\left(\mathbf{F}_{2\mathrm{ext}}+\mathbf{F}_{1\to 2}+\cdots\right)+ \cdots</math></center>

Pero, según dijimos al principio del artículo, si las fuerzas internas entre dos partículas no solo cumplen la tercera ley de Newton, sino que además son centrales, esto es, van en la dirección de la recta que une las dos partículas se verifica

<center><math>\mathbf{r}_1\times\mathbf{F}_{2\to 1}+\mathbf{r}_2\times\mathbf{F}_{1\to 2}=\mathbf{0}</math></center>

Esta condición se cumple en la mayoría de los casos prácticos (fuerzas eléctricas o gravitatorias). En este caso, los momentos de las fuerzas internas se anulan dos a dos y queda

<center><math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}= \sum_{i=1}^N \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_{i\mathrm{ext}}</math></center>

En palabras:

* La derivada del momento angular o cinético de un sistema de partículas es igual a la suma de los momentos de las fuerzas '''externas''' aplicadas sobre el sistema.

* En particular, en un sistema de partículas sometido exclusivamente a fuerzas internas, el momento angular permanece constante.

==Conservación de la energía cinética==
Para la energía cinética no existe un teorema tan simple como para la cantidad de movimiento o el momento cinético. Operando del mismo modo que para estas dos cantidades, en sencillo probar que

<center><math>\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t} = \sum_{i=1}^N \mathbf{v}_i\cdot\mathbf{F}_i</math></center>

esto es, la derivada de la energía cinética es la potencia desarrollada por ''todas'' las fuerzas ejercidas en el sistema. Sin embargo, en este caso, no podemos eliminar las fuerzas internas de la ecuación. La razón es que las fuerzas internas sí pueden variar la energía cinética total.

Un ejemplo sencillo lo tenemos en las fuerzas de rozamiento entre dos partes de un sistema mecánico. La fricción (debida a fuerzas puramente internas) produce calor, que se manifiesta en un aumento de la temperatura del sistema, esto es, en un incremento de la energía cinética total.

[[Categoría:Dinámica de un sistema de partículas]]

Categoría:Dinámica de un sistema de partículas

Gonfer — Wed, 10 Feb 2010 19:47:19 GMT

Gonfer: Nueva página: Artículos del tema de Física "Dinámica de un sistema de partículas".

Artículos del tema de Física "Dinámica de un sistema de partículas".

Dinámica de un sistema de partículas

Gonfer — Wed, 10 Feb 2010 19:46:44 GMT

Gonfer:

==Propiedades de un sistema de partículas==
{{ac|Propiedades de un sistema de partículas}}
===Centro de masas===
{{ac|Centro de masas de un sistema de partículas}}
===Cantidad de movimiento===
{{ac|Cantidad de movimiento de un sistema de partículas}}
===Momento cinético===
{{ac|Momento cinético de un sistema de partículas}}
===Energía cinética===
{{ac|Energía cinética de un sistema de partículas}}

==Teoremas de conservación de un sistema de partículas==
{{ac|Teoremas de conservación de un sistema de partículas}}
===Cantidad de movimiento de un sistema de partículas===

===Energía de un sistema de partículas===

===Momento angular de un sistema de partículas===

==Introducción a la dinámica de un sólido rígido==

==Colisiones de dos partículas==
{{ac|Colisiones de dos partículas}}
Consideremos dos partículas de masas <math>m_1</math> y <math>m_2</math>, con velocidades
<math> \mathbf{v}_1</math> y <math> \mathbf{v}_2</math>, aisladas de toda influencia exterior,
de modo que las únicas fuerzas que pueden sufrir son las que se ejercen la una sobre la otra.
Las velocidades de las partículas son tales que colisionan
la una con la otra. Después del choque, las masas de las partículas son las mismas, pero
sus velocidades son <math> \mathbf{v}'_1</math> y <math> \mathbf{v}'_2</math>.

===Cantidad de movimiento del sistema ===
Podemos definir la cantidad de movimiento del sistema formado por las dos partículas como
la suma de la cantidad de movimiento de cada una de ellas
<center>
<math>
\mathbf{P} = \mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2 = m_1\mathbf{v}_1 + m_2\mathbf{v}_2
</math>
</center>
Derivando respecto al tiempo, tenemos que la variación de la cantidad de movimiento del sistema es
<center>
<math>
\frac{\mathrm{d}\mathbf{P}}{\mathrm{d}t}=
\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_1}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_2}{\mathrm{d}t}
</math>
</center>
Usando la segunda ley de Newton tenemos
<center>
<math>
\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_1}{\mathrm{d}t} = \mathbf{F}_{2\to1}
\qquad \qquad
\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_2}{\mathrm{d}t} = \mathbf{F}_{1\to2}
</math>
</center>
Aquí, <math> \mathbf{F}_{2\to1}</math> es la fuerza que la partícula 2 ejerce sobre la 1 y
<math>\mathbf{F}_{1\to2} </math> es la fuerza que la partícula 1 ejerce sobre la 2. Si las
fuerzas cumplen la Tercera Ley de Newton se cumple que
<center>
<math>
\mathbf{F}_{1\to2} = -\mathbf{F}_{2\to1}
</math>
</center>
Entonces, para dos partículas aisladas que colisionan, la cantidad de movimiento del sistema
se conserva
<center>
<math>
\frac{\mathrm{d}\mathbf{P}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{F}_{2\to1} + \mathbf{F}_{1\to2}=0
\Rightarrow
\mathbf{P}=\mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2=\mathbf{cte}
</math>
</center>
Por tanto, si las velocidades antes del choque son <math>\mathbf{v}_1 </math> y <math>\mathbf{v}_2 </math>, y después del choque son <math>\mathbf{v}'_1 </math> y <math>\mathbf{v}'_2 </math>, se
tiene

<center>
<math>
m_1\mathbf{v}_1 + m_2\mathbf{v}_2 = m_1\mathbf{v}'_1 + m_2\mathbf{v}'_2
</math>
</center>

[[Categoría:Dinámica de un sistema de partículas|0]]