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Problemas de campo magnético de corrientes estacionarias

Gcano — Fri, 06 Jun 2008 09:31:57 GMT

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[[Categoría:Problemas de campo magnético de corrientes estacionarias]]
[[Categoría:Campo magnético de corrientes estacionarias]]

Campo magnético de corrientes estacionarias

Gcano — Fri, 06 Jun 2008 09:30:50 GMT

Gcano: /* Problemas */

==Fuerza sobre una carga en movimiento==
==Campo magnético B==
==Fuerza sobre un circuito==
==Ley de Biot y Savart==
==Fuentes del campo magnético. Ley de Ampère==
==El potencial vector magnético==
==Desarrollo multipolar magnético. Dipolo magnético==
==Problemas==
Artículo completo: [[Problemas de campo magnético de corrientes estacionarias]]

[[Categoría:Campo magnético de corrientes estacionarias]][[Categoría:Magnetismo]][[Categoría:Campos Electromagnéticos]]

Problemas de corriente eléctrica

Gcano — Fri, 06 Jun 2008 09:29:18 GMT

Gcano: /* Condensador sometido a un voltaje en rampa */

===[[Flujo de líquido por una tubería]]===
Por el interior de una tubería cilíndrica de radio <math>a</math> fluye un líquido con una velocidad, dependiente de la distancia al eje, <math>\rho</math>, como

<center><math>\mathbf{v} = v_0\left(1-\frac{\rho^2}{a^2}\right)\mathbf{u}_{z}</math></center>

El líquido posee una densidad de carga uniforme <math>\rho_0</math>, de forma que la densidad de corriente es <math>\mathbf{J} = \rho_0\mathbf{v}</math>. En el exterior del tubo no hay corriente.

# Calcule la intensidad de corriente que atraviesa una sección por la tubería.
# Si se desea que por la superficie del tubo circule una corriente superficial <math>\mathbf{K}</math>, de forma que la corriente total sea nula, ¿cuánto debe valer <math>\mathbf{K}</math>?

===[[Velocidad de arrastre]]===
Halle la velocidad de arrastre de los electrones en un cable de plata de 0.5 mm² de sección por el cual circula una corriente de 100 mA.

===[[Nube de carga en expansión]]===
Una nube esférica de carga (compuesta de una distribución de cargas puntuales flotando en el vacío) se encuentra en expansión, creciendo el radio de la esfera como <math>R(t)=R_0 + v t</math>. La carga total de la nube, <math>Q_0</math>, se encuentra distribuida en todo momento de forma uniforme en el volumen de la esfera.

A partir de la ley de conservación de la carga, calcule la densidad de corriente de conducción en la nube. Puede suponer que <math>\mathbf{J} = J(r)\mathbf{u}_{r}</math> y que esta densidad no es infinita en el centro de la esfera.

Calcule el campo eléctrico en los puntos del espacio y, a partir de éste, la corriente de desplazamiento. ¿Cuánto vale la densidad de corriente total?

¿Habrá campo magnético en el sistema?

[[Nube de carga en expansión|'''Solución''']]

===[[Resistencia de un tubo]]===
Sea un tubo cilíndrico, de radio interior <math>a</math> y exterior <math>b</math>, y longitud <math>h</math>, de un material de conductividad <math>\sigma</math>. Calcule la resistencia eléctrica

# Entre las dos bases.
# Entre la cara interior y la exterior.

===[[Cable bimetálico]]===
Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de ''aluminio revestido de cobre''. Está formado por un núcleo de aluminio de radio <math>a</math> (suponga <math>a=2\,\mathrm{mm}</math>), rodeado por una capa de cobre, de radio exterior <math>b</math> (sea <math>b= 3\,\mathrm{mm}</math>).

# Calcule la resistencia de cable de esta clase de longitud <math>h=10\,\mathrm{km}</math>.
# Determine la corriente que circula por cada metal cuando se aplica una diferencia de potencial <math>V_0=100\,\mathrm{V}</math> al cable anterior.

===[[Conductividad del suelo]]===
Para determinar la conductividad σ del suelo se mide la corriente entre dos electrodos clavados en tierra y sometidos a una cierta diferencia de potencial.

# Suponga en primer lugar sólo un electrodo hemisférico de radio <math>a</math>, perfectamente conductor, puesto a un potencial <math>V_1</math> respecto a puntos muy alejados. En el estado estacionario, determínese la distribución de potencial en el suelo. Admita que el potencial depende exclusivamente de la distancia al centro del electrodo. A partir de este resultado, calcule la resistencia entre el electrodo y el infinito. Suponga que el suelo posee conductividad igual en todos sus puntos.
# Suponga ahora dos electrodos del tipo anterior, del mismo radio, y muy alejados entre sí. Si se conectan por el aire mediante un cable ideal y una fuente de continua de tensión <math>V_0</math>, ¿qué corriente circula de un electrodo al otro?
# Si para una tensión de <math>100\,\mathrm{V}</math> entre dos electrodos de <math>10\,\mathrm{cm}</math> de radio se mide una corriente de <math>0.63\,\mathrm{A}</math>, ¿cuánto vale la conductividad del suelo?

===[[Corrientes atmosféricas]]===
La resistividad del aire en la atmósfera decrece exponencialmente con la altura como

<center><math>\sigma^{-1}=r=r_1 \mathrm{e}^{-\alpha_1 z}+
r_2 \mathrm{e}^{-\alpha_2 z}+r_3 \mathrm{e}^{-\alpha_3 z}\,
</math></center>

donde

<center><math>\begin{array}{|c|c|c|}
\hline i & r_i\ (10^{12}\,\Omega{\cdot}{\rm m}) & \alpha_i ({\rm km}^{-1})
\\ \hline \hline
1 & 46.9 & 4.527\\ \hline 2 & 22.2 & 0.375 \\ \hline 3 & 5.9 &
0.121 \\\hline
\end{array}
</math></center>

El campo eléctrico en zonas despejadas de la superficie de la Tierra vale <math>E_0=-100\,\mathrm{V}/\mathrm{m}</math>. Este campo es prácticamente constante y va siempre en la dirección vertical.

A partir de estos datos halle

# El valor del campo eléctrico para un punto situado entre la superficie de la Tierra y la ionosfera (<math>z = 100\,\mathrm{km}</math>).
# La diferencia de potencial entre la superficie y la ionosfera.
# La distribución de cargas en la atmósfera.
# La corriente total que llega a la superficie de la Tierra.
# La potencia necesaria para mantener esta corriente estacionaria
# Estime el tiempo que tardaría la atmósfera en descargarse si no existiera un mecanismo generador

[[Corrientes atmosféricas|'''Solución''']]

===[[Resistencia de una soldadura]]===
Tras una rotura de un cable de cobre (de resistividad <math>r_1</math>) de sección <math>S</math> y gran longitud, se procede a unir los dos pedazos mediante una soldadura. Como consecuencia de la presencia de óxido la resistividad
del cable aumenta hasta un valor <math>r_2</math> en una región alrededor del punto de contacto, pudiéndose describir matemáticamente según la ley

<center><math>r(x) = r_1 + \frac{r_2-r_1}{1+(x/a)^2}</math></center>

# Calcule el aumento de la resistencia total del cable. Aplíquese al caso <math>S=1\,\mathrm{mm}^2</math>, <math>r_1= 1.7\times 10^{-8}\,\Omega{\cdot}\mathrm{m}</math>, <math>r_2=1.1\times 10^{-6}\,\Omega{\cdot}\mathrm{m}</math>, <math>a=2\,\mathrm{mm}</math>.
# Si la potencia máxima por unidad de volumen que soporta el hilo antes de fundirse es <math>p=700\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^3</math>, determine la intensidad de corriente máxima que puede circular por el cable antes de la soldadura y después de ella.

===[[Matriz de conductancia de bloques]]===
Se tiene un sistema de cuatro electrodos tal como se indica en la figura. Uno de ellos (electrodo "0") es un prisma cuadrado hueco de lado interior 43 mm y longitud 50 mm. Este electrodo se encuentra siempre a tierra.

En su interior se encuentran tres conductores perfectos. El electrodo "1" es un paralelepípedo de lados 41 mm, 20 mm y 50 mm. Los electrodos "2" y "3" son sendos prismas cuadrados de lado 20 mm y altura 50 mm. la distancia entre superficies conductoras vecinas es de 1 mm.

Todo el espacio entre los distintos electrodos (pero no el exterior al conductor 0) se encuentra lleno de un material óhmico de conductividad <math>\sigma=10^{-4}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>

# Teniendo en cuenta la pequeñez relativa de las diferentes distancias calcule, aproximadamente, la matriz de coeficientes de conductancia en este sistema.
# Halle las corrientes que llegan a los conductores 1, 2 y 3, cuando se encuentran conectados a generadores que fijan sus tensiones en <math>V_1=10\,\mathrm{V}</math>, <math>V_2=20\,\mathrm{V}</math> y <math>V_3=-10\,\mathrm{V}</math>.
# Para la configuración anterior, calcule la potencia disipada en el sistema.
# Si el electrodo 2 se encuentra a tensión <math>V_0=100\,\mathrm{V}</math>, el 1 se deja desconectado y el 3 se pone a tierra, ¿cuáles son las corrientes que llegan a cada conductor y las tensiones de cada uno? ¿Y si también se desconecta el 3?

===[[Pista en forma de H]]===
Se tiene
un circuito impreso en forma de "H" de un material de conductividad <math>\sigma</math>, con cuatro terminales, una de las cuales se encuentra permanentemente a tierra. Los brazos de la H y el tabique central poseen longitud <math>b</math>. Los cuatro brazos tienen anchura <math>a</math>, (<math>a\ll b</math>) mientras que el tramo central posee anchura <math>2a</math>, según indica la figura. El espesor de toda la pista es <math>c</math>.

# Determine la matriz de los coeficientes de conductancia, <math>G_{ij}</math>, correspondiente a los tres terminales libres. Desprecie la pequeña contribución de las esquinas donde confluyen los brazos.
# A partir de la matriz anterior, calcule las conductancias <math>\overline{G}_{ij}</math> y elabore un circuito equivalente al sistema de tres electrodos, que no emplee nodos intermedios.
# Determine la potencia consumida en la pista cuando el terminal 1 se encuentra a potencial <math>V_0</math> y los otros a tierra.
# En la configuración anterior se corta la conexión a tierra del electrodo 2. En el nuevo estado estacionario, ¿se consume más o menos potencia que antes de la desconexión? ¿Cuánto?

===[[Pista con varias terminales]]===
Se tiene un modelo de circuito integrado formado por una pista con las dimensiones indicadas en la figura. La pista es de grafito (<math>\sigma=7.3\times 10^{5}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>). El espesor de la pista vale <math>d=1\,\mathrm{mm}</math> en todas partes. La anchura de cada segmento rectilíneo es <math>a=4\,\mathrm{mm}</math>, salvo el central, que tiene una anchura de <math>2\,\mathrm{mm}</math>. Todas las fuentes y conexiones exteriores son ideales (sin resistencia).

# Inicialmente el interruptor A está abierto. Calcule el valor aproximado de la corriente que entra por el electrodo 1, cuando el electrodo 1 está a una tensión de 0.5 V y el electrodo 4 está a tierra.
# ¿Cuánto vale aproximadamente la potencia disipada en el sistema en la situación anterior?
# Suponga que se cierra el interruptor A. ¿Cómo cambia la corriente que entra por el electrodo 1? ¿Y la potencia consumida?
# En la situación del apartado anterior, ¿cuánto vale aproximadamente la densidad de corriente en cada tramo recto del circuito? ¿Y la potencia disipada por unidad de volumen?

===[[Modelo esférico de generador]]===
Como modelo ideal de generador suponga el siguiente sistema: una esfera de radio <math>a</math> de conductividad <math>\sigma_1</math> se encuentra inmersa en un medio de conductividad <math>\sigma_2</math> que se extiende hasta el infinito. En el interior de la esfera actúa una fuerza no electrostática por unidad de carga <math>\mathbf{E}' = E'_0\mathbf{u}_{z}</math>, constante y uniforme.

# Escriba las ecuaciones y condiciones de salto para la densidad de corriente, el campo y el potencial eléctrico en todo el espacio.
# Sabiendo que en el interior de la esfera el potencial es de la forma
#:<center><math>\phi_1 = A r\cos\theta \qquad (r<a)</math></center>
#:y en el exterior de ella
#:<center><math>\phi_1 = \frac{B}{r^2}\cos\theta \qquad (r>a)</math></center>
#:calcule las constantes <math>A</math> y <math>B</math>.
# Halle la potencia desarrollada por el campo eléctrico en el interior y el exterior de la esfera.
# Considerando que la corriente es la que atraviesa el plano ecuatorial de la esfera (<math>z=0</math>, <math>r<a</math>) determine la fuerza electromotriz, la resistencia interna y la externa del circuito equivalente.
# ¿A qué tienden los resultados cuando <math>\sigma_1 \ll \sigma_2</math>? ¿Y cuando <math>\sigma_1\gg \sigma_2</math>?

===[[Descarga de un condensador]]===
Entre dos placas planas y paralelas, perfectamente conductoras, de sección <math>S</math>, y separadas una distancia <math>a</math> se encuentra un medio resistivo, de permitividad <math>\varepsilon</math> y conductividad <math>\sigma</math>. Entre las placas hay establecida una tensión <math>V_0</math>.

# Halle la corriente que circula entre las placas y la carga almacenada en cada una, así como la energía almacenada en el sistema.
# En <math>t=0</math> se desconecta el generador. Determine la evolución de la carga en las placas a partir de ese momento.
# Halle la energía disipada en el medio durante el proceso de descarga del condensador.
# Describa el comportamiento del sistema mediante un circuito equivalente.

===[[Carga de un condensador parcialmente relleno]]===
Entre dos placas planas y paralelas separadas una distancia <math>a+b</math> se coloca una capa de espesor <math>a</math> de un medio de permitividad <math>\varepsilon</math> y conductividad <math>\sigma</math>. El resto del espacio lo ocupa una capa de espesor <math>b</math> vacía.

En el instante <math>t=0</math> se conecta una diferencia de potencial <math>V_0</math>.

# ¿Cuánto valen <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{D}</math> y <math>\mathbf{J}</math> inmediatamente después de conectar el potencial?
# ¿Cuánto valen un tiempo largo después de que se haya establecido?
# ¿Cuánto valen en cualquier instante?

===[[Descarga de un sistema "corte de helado"]]===
Un medio óhmico de permitivida <math>\varepsilon</math>, conductividad <math>\sigma</math> y sección <math>S/2</math> rellena parcialmente el espacio entre dos placas planas y paralelas perfectamente conductoras, ambas de sección <math>S</math> y separadas una distancia <math>a</math>. La otra mitad del espacio entre las placas queda vacío.

Inicialmente el sistema se halla en estado estacionario, con una diferencia de potencial $V_0$ entre las placas

# Determine los campos <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{J}</math> y <math>\mathbf{D}</math> en el sistema, así como las densidades (volumétricas y superficiales) de carga libre y de polarización.
# Calcule la energía eléctrica almacenada y la potencia que se disipa en el sistema en este estado estacionario.
# En <math>t=0</math> se desconecta el generador, quedando el circuito abierto
## Determine los campos <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{J}</math> y <math>\mathbf{D}</math> y las distribuciones de carga en el sistema cuando, pasado un tiempo largo, se alcanza de nuevo un estado estacionario.
## Determine la evolución temporal de estos campos y cargas para todo <math>t>0</math>.
## ¿Cuánta energía se disipa en el proceso?

===[[Condensador sometido a un voltaje en rampa]]===
Entre dos placas metálicas, planas y paralelas, de sección <math>S</math>, y separadas una distancia <math>a</math>, se encuentra un medio óhmico de permitividad <math>\varepsilon</math> y conductividad <math>\sigma</math>.

Ambas placas están conectadas a sendos generadores de tensión variable.

# Inicialmente ambas placas se encuentran a tierra. Entonces, la tensión de la placa 1 se varía gradualmente de 0 a <math>V_0</math> en un tiempo <math>T</math> como <math>V_1(t)=V_0 t/T</math>. Determine la corriente que llega a esta placa durante este tiempo.
# Para el periodo anterior, calcule la energía disipada en el medio óhmico, así como la energía aportada por el generador en este intervalo. ¿Coinciden estas dos cantidades? Si no lo hacen, ¿a qué se debe su diferencia?
# Una vez que la placa 1 se encuentra a tensión <math>V_0</math>, el potencial de la placa <math>2</math> comienza a elevarse hasta el mismo valor, requiriendo de nuevo un periodo <math>T</math> para alcanzar el valor límite. ¿Cuánta corriente llega a la placa 1 durante este intervalo? ¿Y a la placa 2?
# Durante este segundo periodo, ¿cuánta energía se disipa en el medio? ¿Cuánta aporta cada generador? ¿Se verifica el balance energético?

[[Categoría:Problemas de corriente eléctrica]]
[[Categoría:Corriente eléctrica]]

Problemas de corriente eléctrica

Gcano — Fri, 06 Jun 2008 09:27:51 GMT

Gcano: /* Descarga de un sistema "corte de helado" */

Problemas de corriente eléctrica

Gcano — Fri, 06 Jun 2008 09:26:51 GMT

Gcano: /* Descarga de un sistema "corte de helado" */

===[[Flujo de líquido por una tubería]]===
Por el interior de una tubería cilíndrica de radio <math>a</math> fluye un líquido con una velocidad, dependiente de la distancia al eje, <math>\rho</math>, como

<center><math>\mathbf{v} = v_0\left(1-\frac{\rho^2}{a^2}\right)\mathbf{u}_{z}</math></center>

El líquido posee una densidad de carga uniforme <math>\rho_0</math>, de forma que la densidad de corriente es <math>\mathbf{J} = \rho_0\mathbf{v}</math>. En el exterior del tubo no hay corriente.

# Calcule la intensidad de corriente que atraviesa una sección por la tubería.
# Si se desea que por la superficie del tubo circule una corriente superficial <math>\mathbf{K}</math>, de forma que la corriente total sea nula, ¿cuánto debe valer <math>\mathbf{K}</math>?

===[[Velocidad de arrastre]]===
Halle la velocidad de arrastre de los electrones en un cable de plata de 0.5 mm² de sección por el cual circula una corriente de 100 mA.

===[[Nube de carga en expansión]]===
Una nube esférica de carga (compuesta de una distribución de cargas puntuales flotando en el vacío) se encuentra en expansión, creciendo el radio de la esfera como <math>R(t)=R_0 + v t</math>. La carga total de la nube, <math>Q_0</math>, se encuentra distribuida en todo momento de forma uniforme en el volumen de la esfera.

A partir de la ley de conservación de la carga, calcule la densidad de corriente de conducción en la nube. Puede suponer que <math>\mathbf{J} = J(r)\mathbf{u}_{r}</math> y que esta densidad no es infinita en el centro de la esfera.

Calcule el campo eléctrico en los puntos del espacio y, a partir de éste, la corriente de desplazamiento. ¿Cuánto vale la densidad de corriente total?

¿Habrá campo magnético en el sistema?

[[Nube de carga en expansión|'''Solución''']]

===[[Resistencia de un tubo]]===
Sea un tubo cilíndrico, de radio interior <math>a</math> y exterior <math>b</math>, y longitud <math>h</math>, de un material de conductividad <math>\sigma</math>. Calcule la resistencia eléctrica

# Entre las dos bases.
# Entre la cara interior y la exterior.

===[[Cable bimetálico]]===
Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de ''aluminio revestido de cobre''. Está formado por un núcleo de aluminio de radio <math>a</math> (suponga <math>a=2\,\mathrm{mm}</math>), rodeado por una capa de cobre, de radio exterior <math>b</math> (sea <math>b= 3\,\mathrm{mm}</math>).

# Calcule la resistencia de cable de esta clase de longitud <math>h=10\,\mathrm{km}</math>.
# Determine la corriente que circula por cada metal cuando se aplica una diferencia de potencial <math>V_0=100\,\mathrm{V}</math> al cable anterior.

===[[Conductividad del suelo]]===
Para determinar la conductividad σ del suelo se mide la corriente entre dos electrodos clavados en tierra y sometidos a una cierta diferencia de potencial.

# Suponga en primer lugar sólo un electrodo hemisférico de radio <math>a</math>, perfectamente conductor, puesto a un potencial <math>V_1</math> respecto a puntos muy alejados. En el estado estacionario, determínese la distribución de potencial en el suelo. Admita que el potencial depende exclusivamente de la distancia al centro del electrodo. A partir de este resultado, calcule la resistencia entre el electrodo y el infinito. Suponga que el suelo posee conductividad igual en todos sus puntos.
# Suponga ahora dos electrodos del tipo anterior, del mismo radio, y muy alejados entre sí. Si se conectan por el aire mediante un cable ideal y una fuente de continua de tensión <math>V_0</math>, ¿qué corriente circula de un electrodo al otro?
# Si para una tensión de <math>100\,\mathrm{V}</math> entre dos electrodos de <math>10\,\mathrm{cm}</math> de radio se mide una corriente de <math>0.63\,\mathrm{A}</math>, ¿cuánto vale la conductividad del suelo?

===[[Corrientes atmosféricas]]===
La resistividad del aire en la atmósfera decrece exponencialmente con la altura como

<center><math>\sigma^{-1}=r=r_1 \mathrm{e}^{-\alpha_1 z}+
r_2 \mathrm{e}^{-\alpha_2 z}+r_3 \mathrm{e}^{-\alpha_3 z}\,
</math></center>

donde

<center><math>\begin{array}{|c|c|c|}
\hline i & r_i\ (10^{12}\,\Omega{\cdot}{\rm m}) & \alpha_i ({\rm km}^{-1})
\\ \hline \hline
1 & 46.9 & 4.527\\ \hline 2 & 22.2 & 0.375 \\ \hline 3 & 5.9 &
0.121 \\\hline
\end{array}
</math></center>

El campo eléctrico en zonas despejadas de la superficie de la Tierra vale <math>E_0=-100\,\mathrm{V}/\mathrm{m}</math>. Este campo es prácticamente constante y va siempre en la dirección vertical.

A partir de estos datos halle

# El valor del campo eléctrico para un punto situado entre la superficie de la Tierra y la ionosfera (<math>z = 100\,\mathrm{km}</math>).
# La diferencia de potencial entre la superficie y la ionosfera.
# La distribución de cargas en la atmósfera.
# La corriente total que llega a la superficie de la Tierra.
# La potencia necesaria para mantener esta corriente estacionaria
# Estime el tiempo que tardaría la atmósfera en descargarse si no existiera un mecanismo generador

[[Corrientes atmosféricas|'''Solución''']]

===[[Resistencia de una soldadura]]===
Tras una rotura de un cable de cobre (de resistividad <math>r_1</math>) de sección <math>S</math> y gran longitud, se procede a unir los dos pedazos mediante una soldadura. Como consecuencia de la presencia de óxido la resistividad
del cable aumenta hasta un valor <math>r_2</math> en una región alrededor del punto de contacto, pudiéndose describir matemáticamente según la ley

<center><math>r(x) = r_1 + \frac{r_2-r_1}{1+(x/a)^2}</math></center>

# Calcule el aumento de la resistencia total del cable. Aplíquese al caso <math>S=1\,\mathrm{mm}^2</math>, <math>r_1= 1.7\times 10^{-8}\,\Omega{\cdot}\mathrm{m}</math>, <math>r_2=1.1\times 10^{-6}\,\Omega{\cdot}\mathrm{m}</math>, <math>a=2\,\mathrm{mm}</math>.
# Si la potencia máxima por unidad de volumen que soporta el hilo antes de fundirse es <math>p=700\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^3</math>, determine la intensidad de corriente máxima que puede circular por el cable antes de la soldadura y después de ella.

===[[Matriz de conductancia de bloques]]===
Se tiene un sistema de cuatro electrodos tal como se indica en la figura. Uno de ellos (electrodo "0") es un prisma cuadrado hueco de lado interior 43 mm y longitud 50 mm. Este electrodo se encuentra siempre a tierra.

En su interior se encuentran tres conductores perfectos. El electrodo "1" es un paralelepípedo de lados 41 mm, 20 mm y 50 mm. Los electrodos "2" y "3" son sendos prismas cuadrados de lado 20 mm y altura 50 mm. la distancia entre superficies conductoras vecinas es de 1 mm.

Todo el espacio entre los distintos electrodos (pero no el exterior al conductor 0) se encuentra lleno de un material óhmico de conductividad <math>\sigma=10^{-4}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>

# Teniendo en cuenta la pequeñez relativa de las diferentes distancias calcule, aproximadamente, la matriz de coeficientes de conductancia en este sistema.
# Halle las corrientes que llegan a los conductores 1, 2 y 3, cuando se encuentran conectados a generadores que fijan sus tensiones en <math>V_1=10\,\mathrm{V}</math>, <math>V_2=20\,\mathrm{V}</math> y <math>V_3=-10\,\mathrm{V}</math>.
# Para la configuración anterior, calcule la potencia disipada en el sistema.
# Si el electrodo 2 se encuentra a tensión <math>V_0=100\,\mathrm{V}</math>, el 1 se deja desconectado y el 3 se pone a tierra, ¿cuáles son las corrientes que llegan a cada conductor y las tensiones de cada uno? ¿Y si también se desconecta el 3?

===[[Pista en forma de H]]===
Se tiene
un circuito impreso en forma de "H" de un material de conductividad <math>\sigma</math>, con cuatro terminales, una de las cuales se encuentra permanentemente a tierra. Los brazos de la H y el tabique central poseen longitud <math>b</math>. Los cuatro brazos tienen anchura <math>a</math>, (<math>a\ll b</math>) mientras que el tramo central posee anchura <math>2a</math>, según indica la figura. El espesor de toda la pista es <math>c</math>.

# Determine la matriz de los coeficientes de conductancia, <math>G_{ij}</math>, correspondiente a los tres terminales libres. Desprecie la pequeña contribución de las esquinas donde confluyen los brazos.
# A partir de la matriz anterior, calcule las conductancias <math>\overline{G}_{ij}</math> y elabore un circuito equivalente al sistema de tres electrodos, que no emplee nodos intermedios.
# Determine la potencia consumida en la pista cuando el terminal 1 se encuentra a potencial <math>V_0</math> y los otros a tierra.
# En la configuración anterior se corta la conexión a tierra del electrodo 2. En el nuevo estado estacionario, ¿se consume más o menos potencia que antes de la desconexión? ¿Cuánto?

===[[Pista con varias terminales]]===
Se tiene un modelo de circuito integrado formado por una pista con las dimensiones indicadas en la figura. La pista es de grafito (<math>\sigma=7.3\times 10^{5}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>). El espesor de la pista vale <math>d=1\,\mathrm{mm}</math> en todas partes. La anchura de cada segmento rectilíneo es <math>a=4\,\mathrm{mm}</math>, salvo el central, que tiene una anchura de <math>2\,\mathrm{mm}</math>. Todas las fuentes y conexiones exteriores son ideales (sin resistencia).

# Inicialmente el interruptor A está abierto. Calcule el valor aproximado de la corriente que entra por el electrodo 1, cuando el electrodo 1 está a una tensión de 0.5 V y el electrodo 4 está a tierra.
# ¿Cuánto vale aproximadamente la potencia disipada en el sistema en la situación anterior?
# Suponga que se cierra el interruptor A. ¿Cómo cambia la corriente que entra por el electrodo 1? ¿Y la potencia consumida?
# En la situación del apartado anterior, ¿cuánto vale aproximadamente la densidad de corriente en cada tramo recto del circuito? ¿Y la potencia disipada por unidad de volumen?

===[[Modelo esférico de generador]]===
Como modelo ideal de generador suponga el siguiente sistema: una esfera de radio <math>a</math> de conductividad <math>\sigma_1</math> se encuentra inmersa en un medio de conductividad <math>\sigma_2</math> que se extiende hasta el infinito. En el interior de la esfera actúa una fuerza no electrostática por unidad de carga <math>\mathbf{E}' = E'_0\mathbf{u}_{z}</math>, constante y uniforme.

# Escriba las ecuaciones y condiciones de salto para la densidad de corriente, el campo y el potencial eléctrico en todo el espacio.
# Sabiendo que en el interior de la esfera el potencial es de la forma
#:<center><math>\phi_1 = A r\cos\theta \qquad (r<a)</math></center>
#:y en el exterior de ella
#:<center><math>\phi_1 = \frac{B}{r^2}\cos\theta \qquad (r>a)</math></center>
#:calcule las constantes <math>A</math> y <math>B</math>.
# Halle la potencia desarrollada por el campo eléctrico en el interior y el exterior de la esfera.
# Considerando que la corriente es la que atraviesa el plano ecuatorial de la esfera (<math>z=0</math>, <math>r<a</math>) determine la fuerza electromotriz, la resistencia interna y la externa del circuito equivalente.
# ¿A qué tienden los resultados cuando <math>\sigma_1 \ll \sigma_2</math>? ¿Y cuando <math>\sigma_1\gg \sigma_2</math>?

===[[Descarga de un condensador]]===
Entre dos placas planas y paralelas, perfectamente conductoras, de sección <math>S</math>, y separadas una distancia <math>a</math> se encuentra un medio resistivo, de permitividad <math>\varepsilon</math> y conductividad <math>\sigma</math>. Entre las placas hay establecida una tensión <math>V_0</math>.

# Halle la corriente que circula entre las placas y la carga almacenada en cada una, así como la energía almacenada en el sistema.
# En <math>t=0</math> se desconecta el generador. Determine la evolución de la carga en las placas a partir de ese momento.
# Halle la energía disipada en el medio durante el proceso de descarga del condensador.
# Describa el comportamiento del sistema mediante un circuito equivalente.

===[[Carga de un condensador parcialmente relleno]]===
Entre dos placas planas y paralelas separadas una distancia <math>a+b</math> se coloca una capa de espesor <math>a</math> de un medio de permitividad <math>\varepsilon</math> y conductividad <math>\sigma</math>. El resto del espacio lo ocupa una capa de espesor <math>b</math> vacía.

En el instante <math>t=0</math> se conecta una diferencia de potencial <math>V_0</math>.

# ¿Cuánto valen <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{D}</math> y <math>\mathbf{J}</math> inmediatamente después de conectar el potencial?
# ¿Cuánto valen un tiempo largo después de que se haya establecido?
# ¿Cuánto valen en cualquier instante?

===[[Descarga de un sistema "corte de helado"]]===
Un medio óhmico de [[permitividad]] <math>\varepsilon</math>, conductividad <math>\sigma</math> y sección <math>S/2</math> rellena parcialmente el espacio entre dos placas planas y paralelas perfectamente conductoras, ambas de sección <math>S</math> y separadas una distancia <math>a</math>. La otra mitad del espacio entre las placas queda vacío.

Inicialmente el sistema se halla en estado estacionario, con una diferencia de potencial $V_0$ entre las placas

# Determine los campos <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{J}</math> y <math>\mathbf{D}</math> en el sistema, así como las densidades (volumétricas y superficiales) de carga libre y de polarización.
# Calcule la energía eléctrica almacenada y la potencia que se disipa en el sistema en este estado estacionario.
# En <math>t=0</math> se desconecta el generador, quedando el circuito abierto
## Determine los campos <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{J}</math> y <math>\mathbf{D}</math> y las distribuciones de carga en el sistema cuando, pasado un tiempo largo, se alcanza de nuevo un estado estacionario.
## Determine la evolución temporal de estos campos y cargas para todo <math>t>0</math>.
## ¿Cuánta energía se disipa en el proceso?

===[[Condensador sometido a un voltaje en rampa]]===
Entre dos placas metálicas, planas y paralelas, de sección <math>S</math>, y separadas una distancia <math>a</math>, se encuentra un medio óhmico de permitividad <math>\varepsilon</math> y conductividad <math>\sigma</math>.

Ambas placas están conectadas a sendos generadores de tensión variable.

# Inicialmente ambas placas se encuentran a tierra. Entonces, la tensión de la placa 1 se varía gradualmente de 0 a <math>V_0</math> en un tiempo <math>T</math> como <math>V_1(t)=V_0 t/T</math>. Determine la corriente que llega a esta placa durante este tiempo.
# Para el periodo anterior, calcule la energía disipada en el medio óhmico, así como la energía aportada por el generador en este intervalo. ¿Coinciden estas dos cantidades? Si no lo hacen, ¿a qué se debe su diferencia?
# Una vez que la placa 1 se encuentra a tensión <math>V_0</math>, el potencial de la placa <math>2</math> comienza a elevarse hasta el mismo valor, requiriendo de nuevo un periodo <math>T</math> para alcanzar el valor límite. ¿Cuánta corriente llega a la placa 1 durante este intervalo? ¿Y a la placa 2?
# Durante este segundo periodo, ¿cuánta energía se disipa en el medio? ¿Cuánta aporta cada generador? ¿Se verifica el balance energético?

[[Categoría:Problemas de corriente eléctrica]]
[[Categoría:Corriente eléctrica]]
[[Categoría:Problemas de Campos Electromagnéticos]]

Problemas de corriente eléctrica

Gcano — Fri, 06 Jun 2008 09:25:40 GMT

Gcano: /* Nube de carga en expansión */

===[[Flujo de líquido por una tubería]]===
Por el interior de una tubería cilíndrica de radio <math>a</math> fluye un líquido con una velocidad, dependiente de la distancia al eje, <math>\rho</math>, como

<center><math>\mathbf{v} = v_0\left(1-\frac{\rho^2}{a^2}\right)\mathbf{u}_{z}</math></center>

El líquido posee una densidad de carga uniforme <math>\rho_0</math>, de forma que la densidad de corriente es <math>\mathbf{J} = \rho_0\mathbf{v}</math>. En el exterior del tubo no hay corriente.

# Calcule la intensidad de corriente que atraviesa una sección por la tubería.
# Si se desea que por la superficie del tubo circule una corriente superficial <math>\mathbf{K}</math>, de forma que la corriente total sea nula, ¿cuánto debe valer <math>\mathbf{K}</math>?

===[[Velocidad de arrastre]]===
Halle la velocidad de arrastre de los electrones en un cable de plata de 0.5 mm² de sección por el cual circula una corriente de 100 mA.

===[[Nube de carga en expansión]]===
Una nube esférica de carga (compuesta de una distribución de cargas puntuales flotando en el vacío) se encuentra en expansión, creciendo el radio de la esfera como <math>R(t)=R_0 + v t</math>. La carga total de la nube, <math>Q_0</math>, se encuentra distribuida en todo momento de forma uniforme en el volumen de la esfera.

A partir de la ley de conservación de la carga, calcule la densidad de corriente de conducción en la nube. Puede suponer que <math>\mathbf{J} = J(r)\mathbf{u}_{r}</math> y que esta densidad no es infinita en el centro de la esfera.

Calcule el campo eléctrico en los puntos del espacio y, a partir de éste, la corriente de desplazamiento. ¿Cuánto vale la densidad de corriente total?

¿Habrá campo magnético en el sistema?

[[Nube de carga en expansión|'''Solución''']]

===[[Resistencia de un tubo]]===
Sea un tubo cilíndrico, de radio interior <math>a</math> y exterior <math>b</math>, y longitud <math>h</math>, de un material de conductividad <math>\sigma</math>. Calcule la resistencia eléctrica

# Entre las dos bases.
# Entre la cara interior y la exterior.

===[[Cable bimetálico]]===
Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de ''aluminio revestido de cobre''. Está formado por un núcleo de aluminio de radio <math>a</math> (suponga <math>a=2\,\mathrm{mm}</math>), rodeado por una capa de cobre, de radio exterior <math>b</math> (sea <math>b= 3\,\mathrm{mm}</math>).

# Calcule la resistencia de cable de esta clase de longitud <math>h=10\,\mathrm{km}</math>.
# Determine la corriente que circula por cada metal cuando se aplica una diferencia de potencial <math>V_0=100\,\mathrm{V}</math> al cable anterior.

===[[Conductividad del suelo]]===
Para determinar la conductividad σ del suelo se mide la corriente entre dos electrodos clavados en tierra y sometidos a una cierta diferencia de potencial.

# Suponga en primer lugar sólo un electrodo hemisférico de radio <math>a</math>, perfectamente conductor, puesto a un potencial <math>V_1</math> respecto a puntos muy alejados. En el estado estacionario, determínese la distribución de potencial en el suelo. Admita que el potencial depende exclusivamente de la distancia al centro del electrodo. A partir de este resultado, calcule la resistencia entre el electrodo y el infinito. Suponga que el suelo posee conductividad igual en todos sus puntos.
# Suponga ahora dos electrodos del tipo anterior, del mismo radio, y muy alejados entre sí. Si se conectan por el aire mediante un cable ideal y una fuente de continua de tensión <math>V_0</math>, ¿qué corriente circula de un electrodo al otro?
# Si para una tensión de <math>100\,\mathrm{V}</math> entre dos electrodos de <math>10\,\mathrm{cm}</math> de radio se mide una corriente de <math>0.63\,\mathrm{A}</math>, ¿cuánto vale la conductividad del suelo?

===[[Corrientes atmosféricas]]===
La resistividad del aire en la atmósfera decrece exponencialmente con la altura como

<center><math>\sigma^{-1}=r=r_1 \mathrm{e}^{-\alpha_1 z}+
r_2 \mathrm{e}^{-\alpha_2 z}+r_3 \mathrm{e}^{-\alpha_3 z}\,
</math></center>

donde

<center><math>\begin{array}{|c|c|c|}
\hline i & r_i\ (10^{12}\,\Omega{\cdot}{\rm m}) & \alpha_i ({\rm km}^{-1})
\\ \hline \hline
1 & 46.9 & 4.527\\ \hline 2 & 22.2 & 0.375 \\ \hline 3 & 5.9 &
0.121 \\\hline
\end{array}
</math></center>

El campo eléctrico en zonas despejadas de la superficie de la Tierra vale <math>E_0=-100\,\mathrm{V}/\mathrm{m}</math>. Este campo es prácticamente constante y va siempre en la dirección vertical.

A partir de estos datos halle

# El valor del campo eléctrico para un punto situado entre la superficie de la Tierra y la ionosfera (<math>z = 100\,\mathrm{km}</math>).
# La diferencia de potencial entre la superficie y la ionosfera.
# La distribución de cargas en la atmósfera.
# La corriente total que llega a la superficie de la Tierra.
# La potencia necesaria para mantener esta corriente estacionaria
# Estime el tiempo que tardaría la atmósfera en descargarse si no existiera un mecanismo generador

[[Corrientes atmosféricas|'''Solución''']]

===[[Resistencia de una soldadura]]===
Tras una rotura de un cable de cobre (de resistividad <math>r_1</math>) de sección <math>S</math> y gran longitud, se procede a unir los dos pedazos mediante una soldadura. Como consecuencia de la presencia de óxido la resistividad
del cable aumenta hasta un valor <math>r_2</math> en una región alrededor del punto de contacto, pudiéndose describir matemáticamente según la ley

<center><math>r(x) = r_1 + \frac{r_2-r_1}{1+(x/a)^2}</math></center>

# Calcule el aumento de la resistencia total del cable. Aplíquese al caso <math>S=1\,\mathrm{mm}^2</math>, <math>r_1= 1.7\times 10^{-8}\,\Omega{\cdot}\mathrm{m}</math>, <math>r_2=1.1\times 10^{-6}\,\Omega{\cdot}\mathrm{m}</math>, <math>a=2\,\mathrm{mm}</math>.
# Si la potencia máxima por unidad de volumen que soporta el hilo antes de fundirse es <math>p=700\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^3</math>, determine la intensidad de corriente máxima que puede circular por el cable antes de la soldadura y después de ella.

===[[Matriz de conductancia de bloques]]===
Se tiene un sistema de cuatro electrodos tal como se indica en la figura. Uno de ellos (electrodo "0") es un prisma cuadrado hueco de lado interior 43 mm y longitud 50 mm. Este electrodo se encuentra siempre a tierra.

En su interior se encuentran tres conductores perfectos. El electrodo "1" es un paralelepípedo de lados 41 mm, 20 mm y 50 mm. Los electrodos "2" y "3" son sendos prismas cuadrados de lado 20 mm y altura 50 mm. la distancia entre superficies conductoras vecinas es de 1 mm.

Todo el espacio entre los distintos electrodos (pero no el exterior al conductor 0) se encuentra lleno de un material óhmico de conductividad <math>\sigma=10^{-4}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>

# Teniendo en cuenta la pequeñez relativa de las diferentes distancias calcule, aproximadamente, la matriz de coeficientes de conductancia en este sistema.
# Halle las corrientes que llegan a los conductores 1, 2 y 3, cuando se encuentran conectados a generadores que fijan sus tensiones en <math>V_1=10\,\mathrm{V}</math>, <math>V_2=20\,\mathrm{V}</math> y <math>V_3=-10\,\mathrm{V}</math>.
# Para la configuración anterior, calcule la potencia disipada en el sistema.
# Si el electrodo 2 se encuentra a tensión <math>V_0=100\,\mathrm{V}</math>, el 1 se deja desconectado y el 3 se pone a tierra, ¿cuáles son las corrientes que llegan a cada conductor y las tensiones de cada uno? ¿Y si también se desconecta el 3?

===[[Pista en forma de H]]===
Se tiene
un circuito impreso en forma de "H" de un material de conductividad <math>\sigma</math>, con cuatro terminales, una de las cuales se encuentra permanentemente a tierra. Los brazos de la H y el tabique central poseen longitud <math>b</math>. Los cuatro brazos tienen anchura <math>a</math>, (<math>a\ll b</math>) mientras que el tramo central posee anchura <math>2a</math>, según indica la figura. El espesor de toda la pista es <math>c</math>.

# Determine la matriz de los coeficientes de conductancia, <math>G_{ij}</math>, correspondiente a los tres terminales libres. Desprecie la pequeña contribución de las esquinas donde confluyen los brazos.
# A partir de la matriz anterior, calcule las conductancias <math>\overline{G}_{ij}</math> y elabore un circuito equivalente al sistema de tres electrodos, que no emplee nodos intermedios.
# Determine la potencia consumida en la pista cuando el terminal 1 se encuentra a potencial <math>V_0</math> y los otros a tierra.
# En la configuración anterior se corta la conexión a tierra del electrodo 2. En el nuevo estado estacionario, ¿se consume más o menos potencia que antes de la desconexión? ¿Cuánto?

===[[Pista con varias terminales]]===
Se tiene un modelo de circuito integrado formado por una pista con las dimensiones indicadas en la figura. La pista es de grafito (<math>\sigma=7.3\times 10^{5}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>). El espesor de la pista vale <math>d=1\,\mathrm{mm}</math> en todas partes. La anchura de cada segmento rectilíneo es <math>a=4\,\mathrm{mm}</math>, salvo el central, que tiene una anchura de <math>2\,\mathrm{mm}</math>. Todas las fuentes y conexiones exteriores son ideales (sin resistencia).

# Inicialmente el interruptor A está abierto. Calcule el valor aproximado de la corriente que entra por el electrodo 1, cuando el electrodo 1 está a una tensión de 0.5 V y el electrodo 4 está a tierra.
# ¿Cuánto vale aproximadamente la potencia disipada en el sistema en la situación anterior?
# Suponga que se cierra el interruptor A. ¿Cómo cambia la corriente que entra por el electrodo 1? ¿Y la potencia consumida?
# En la situación del apartado anterior, ¿cuánto vale aproximadamente la densidad de corriente en cada tramo recto del circuito? ¿Y la potencia disipada por unidad de volumen?

===[[Modelo esférico de generador]]===
Como modelo ideal de generador suponga el siguiente sistema: una esfera de radio <math>a</math> de conductividad <math>\sigma_1</math> se encuentra inmersa en un medio de conductividad <math>\sigma_2</math> que se extiende hasta el infinito. En el interior de la esfera actúa una fuerza no electrostática por unidad de carga <math>\mathbf{E}' = E'_0\mathbf{u}_{z}</math>, constante y uniforme.

# Escriba las ecuaciones y condiciones de salto para la densidad de corriente, el campo y el potencial eléctrico en todo el espacio.
# Sabiendo que en el interior de la esfera el potencial es de la forma
#:<center><math>\phi_1 = A r\cos\theta \qquad (r<a)</math></center>
#:y en el exterior de ella
#:<center><math>\phi_1 = \frac{B}{r^2}\cos\theta \qquad (r>a)</math></center>
#:calcule las constantes <math>A</math> y <math>B</math>.
# Halle la potencia desarrollada por el campo eléctrico en el interior y el exterior de la esfera.
# Considerando que la corriente es la que atraviesa el plano ecuatorial de la esfera (<math>z=0</math>, <math>r<a</math>) determine la fuerza electromotriz, la resistencia interna y la externa del circuito equivalente.
# ¿A qué tienden los resultados cuando <math>\sigma_1 \ll \sigma_2</math>? ¿Y cuando <math>\sigma_1\gg \sigma_2</math>?

===[[Descarga de un condensador]]===
Entre dos placas planas y paralelas, perfectamente conductoras, de sección <math>S</math>, y separadas una distancia <math>a</math> se encuentra un medio resistivo, de permitividad <math>\varepsilon</math> y conductividad <math>\sigma</math>. Entre las placas hay establecida una tensión <math>V_0</math>.

# Halle la corriente que circula entre las placas y la carga almacenada en cada una, así como la energía almacenada en el sistema.
# En <math>t=0</math> se desconecta el generador. Determine la evolución de la carga en las placas a partir de ese momento.
# Halle la energía disipada en el medio durante el proceso de descarga del condensador.
# Describa el comportamiento del sistema mediante un circuito equivalente.

===[[Carga de un condensador parcialmente relleno]]===
Entre dos placas planas y paralelas separadas una distancia <math>a+b</math> se coloca una capa de espesor <math>a</math> de un medio de permitividad <math>\varepsilon</math> y conductividad <math>\sigma</math>. El resto del espacio lo ocupa una capa de espesor <math>b</math> vacía.

En el instante <math>t=0</math> se conecta una diferencia de potencial <math>V_0</math>.

# ¿Cuánto valen <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{D}</math> y <math>\mathbf{J}</math> inmediatamente después de conectar el potencial?
# ¿Cuánto valen un tiempo largo después de que se haya establecido?
# ¿Cuánto valen en cualquier instante?

===[[Descarga de un sistema "corte de helado"]]===
Un medio óhmico de permitividad <math>\varepsilon</math>, conductividad <math>\sigma</math> y sección <math>S/2</math> rellena parcialmente el espacio entre dos placas planas y paralelas perfectamente conductoras, ambas de sección <math>S</math> y separadas una distancia <math>a</math>. La otra mitad del espacio entre las placas queda vacío.

Inicialmente el sistema se halla en estado estacionario, con una diferencia de potencial $V_0$ entre las placas

# Determine los campos <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{J}</math> y <math>\mathbf{D}</math> en el sistema, así como las densidades (volumétricas y superficiales) de carga libre y de polarización.
# Calcule la energía eléctrica almacenada y la potencia que se disipa en el sistema en este estado estacionario.
# En <math>t=0</math> se desconecta el generador, quedando el circuito abierto
## Determine los campos <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{J}</math> y <math>\mathbf{D}</math> y las distribuciones de carga en el sistema cuando, pasado un tiempo largo, se alcanza de nuevo un estado estacionario.
## Determine la evolución temporal de estos campos y cargas para todo <math>t>0</math>.
## ¿Cuánta energía se disipa en el proceso?

===[[Condensador sometido a un voltaje en rampa]]===
Entre dos placas metálicas, planas y paralelas, de sección <math>S</math>, y separadas una distancia <math>a</math>, se encuentra un medio óhmico de permitividad <math>\varepsilon</math> y conductividad <math>\sigma</math>.

Ambas placas están conectadas a sendos generadores de tensión variable.

# Inicialmente ambas placas se encuentran a tierra. Entonces, la tensión de la placa 1 se varía gradualmente de 0 a <math>V_0</math> en un tiempo <math>T</math> como <math>V_1(t)=V_0 t/T</math>. Determine la corriente que llega a esta placa durante este tiempo.
# Para el periodo anterior, calcule la energía disipada en el medio óhmico, así como la energía aportada por el generador en este intervalo. ¿Coinciden estas dos cantidades? Si no lo hacen, ¿a qué se debe su diferencia?
# Una vez que la placa 1 se encuentra a tensión <math>V_0</math>, el potencial de la placa <math>2</math> comienza a elevarse hasta el mismo valor, requiriendo de nuevo un periodo <math>T</math> para alcanzar el valor límite. ¿Cuánta corriente llega a la placa 1 durante este intervalo? ¿Y a la placa 2?
# Durante este segundo periodo, ¿cuánta energía se disipa en el medio? ¿Cuánta aporta cada generador? ¿Se verifica el balance energético?

[[Categoría:Problemas de corriente eléctrica]]
[[Categoría:Corriente eléctrica]]
[[Categoría:Problemas de Campos Electromagnéticos]]

Problemas de corriente eléctrica

Gcano — Fri, 06 Jun 2008 09:25:17 GMT

Gcano: /* Nube de carga en expansión */

===[[Flujo de líquido por una tubería]]===
Por el interior de una tubería cilíndrica de radio <math>a</math> fluye un líquido con una velocidad, dependiente de la distancia al eje, <math>\rho</math>, como

<center><math>\mathbf{v} = v_0\left(1-\frac{\rho^2}{a^2}\right)\mathbf{u}_{z}</math></center>

El líquido posee una densidad de carga uniforme <math>\rho_0</math>, de forma que la densidad de corriente es <math>\mathbf{J} = \rho_0\mathbf{v}</math>. En el exterior del tubo no hay corriente.

# Calcule la intensidad de corriente que atraviesa una sección por la tubería.
# Si se desea que por la superficie del tubo circule una corriente superficial <math>\mathbf{K}</math>, de forma que la corriente total sea nula, ¿cuánto debe valer <math>\mathbf{K}</math>?

===[[Velocidad de arrastre]]===
Halle la velocidad de arrastre de los electrones en un cable de plata de 0.5 mm² de sección por el cual circula una corriente de 100 mA.

===[[Nube de carga en expansión]]===
[[Image:esfera.gif|thumb|left]]Una nube esférica de carga (compuesta de una distribución de cargas puntuales flotando en el vacío) se encuentra en expansión, creciendo el radio de la esfera como <math>R(t)=R_0 + v t</math>. La carga total de la nube, <math>Q_0</math>, se encuentra distribuida en todo momento de forma uniforme en el volumen de la esfera.

A partir de la ley de conservación de la carga, calcule la densidad de corriente de conducción en la nube. Puede suponer que <math>\mathbf{J} = J(r)\mathbf{u}_{r}</math> y que esta densidad no es infinita en el centro de la esfera.

Calcule el campo eléctrico en los puntos del espacio y, a partir de éste, la corriente de desplazamiento. ¿Cuánto vale la densidad de corriente total?

¿Habrá campo magnético en el sistema?

[[Nube de carga en expansión|'''Solución''']]

===[[Resistencia de un tubo]]===
Sea un tubo cilíndrico, de radio interior <math>a</math> y exterior <math>b</math>, y longitud <math>h</math>, de un material de conductividad <math>\sigma</math>. Calcule la resistencia eléctrica

# Entre las dos bases.
# Entre la cara interior y la exterior.

===[[Cable bimetálico]]===
Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de ''aluminio revestido de cobre''. Está formado por un núcleo de aluminio de radio <math>a</math> (suponga <math>a=2\,\mathrm{mm}</math>), rodeado por una capa de cobre, de radio exterior <math>b</math> (sea <math>b= 3\,\mathrm{mm}</math>).

# Calcule la resistencia de cable de esta clase de longitud <math>h=10\,\mathrm{km}</math>.
# Determine la corriente que circula por cada metal cuando se aplica una diferencia de potencial <math>V_0=100\,\mathrm{V}</math> al cable anterior.

===[[Conductividad del suelo]]===
Para determinar la conductividad σ del suelo se mide la corriente entre dos electrodos clavados en tierra y sometidos a una cierta diferencia de potencial.

# Suponga en primer lugar sólo un electrodo hemisférico de radio <math>a</math>, perfectamente conductor, puesto a un potencial <math>V_1</math> respecto a puntos muy alejados. En el estado estacionario, determínese la distribución de potencial en el suelo. Admita que el potencial depende exclusivamente de la distancia al centro del electrodo. A partir de este resultado, calcule la resistencia entre el electrodo y el infinito. Suponga que el suelo posee conductividad igual en todos sus puntos.
# Suponga ahora dos electrodos del tipo anterior, del mismo radio, y muy alejados entre sí. Si se conectan por el aire mediante un cable ideal y una fuente de continua de tensión <math>V_0</math>, ¿qué corriente circula de un electrodo al otro?
# Si para una tensión de <math>100\,\mathrm{V}</math> entre dos electrodos de <math>10\,\mathrm{cm}</math> de radio se mide una corriente de <math>0.63\,\mathrm{A}</math>, ¿cuánto vale la conductividad del suelo?

===[[Corrientes atmosféricas]]===
La resistividad del aire en la atmósfera decrece exponencialmente con la altura como

<center><math>\sigma^{-1}=r=r_1 \mathrm{e}^{-\alpha_1 z}+
r_2 \mathrm{e}^{-\alpha_2 z}+r_3 \mathrm{e}^{-\alpha_3 z}\,
</math></center>

donde

<center><math>\begin{array}{|c|c|c|}
\hline i & r_i\ (10^{12}\,\Omega{\cdot}{\rm m}) & \alpha_i ({\rm km}^{-1})
\\ \hline \hline
1 & 46.9 & 4.527\\ \hline 2 & 22.2 & 0.375 \\ \hline 3 & 5.9 &
0.121 \\\hline
\end{array}
</math></center>

El campo eléctrico en zonas despejadas de la superficie de la Tierra vale <math>E_0=-100\,\mathrm{V}/\mathrm{m}</math>. Este campo es prácticamente constante y va siempre en la dirección vertical.

A partir de estos datos halle

# El valor del campo eléctrico para un punto situado entre la superficie de la Tierra y la ionosfera (<math>z = 100\,\mathrm{km}</math>).
# La diferencia de potencial entre la superficie y la ionosfera.
# La distribución de cargas en la atmósfera.
# La corriente total que llega a la superficie de la Tierra.
# La potencia necesaria para mantener esta corriente estacionaria
# Estime el tiempo que tardaría la atmósfera en descargarse si no existiera un mecanismo generador

[[Corrientes atmosféricas|'''Solución''']]

===[[Resistencia de una soldadura]]===
Tras una rotura de un cable de cobre (de resistividad <math>r_1</math>) de sección <math>S</math> y gran longitud, se procede a unir los dos pedazos mediante una soldadura. Como consecuencia de la presencia de óxido la resistividad
del cable aumenta hasta un valor <math>r_2</math> en una región alrededor del punto de contacto, pudiéndose describir matemáticamente según la ley

<center><math>r(x) = r_1 + \frac{r_2-r_1}{1+(x/a)^2}</math></center>

# Calcule el aumento de la resistencia total del cable. Aplíquese al caso <math>S=1\,\mathrm{mm}^2</math>, <math>r_1= 1.7\times 10^{-8}\,\Omega{\cdot}\mathrm{m}</math>, <math>r_2=1.1\times 10^{-6}\,\Omega{\cdot}\mathrm{m}</math>, <math>a=2\,\mathrm{mm}</math>.
# Si la potencia máxima por unidad de volumen que soporta el hilo antes de fundirse es <math>p=700\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^3</math>, determine la intensidad de corriente máxima que puede circular por el cable antes de la soldadura y después de ella.

===[[Matriz de conductancia de bloques]]===
Se tiene un sistema de cuatro electrodos tal como se indica en la figura. Uno de ellos (electrodo "0") es un prisma cuadrado hueco de lado interior 43 mm y longitud 50 mm. Este electrodo se encuentra siempre a tierra.

En su interior se encuentran tres conductores perfectos. El electrodo "1" es un paralelepípedo de lados 41 mm, 20 mm y 50 mm. Los electrodos "2" y "3" son sendos prismas cuadrados de lado 20 mm y altura 50 mm. la distancia entre superficies conductoras vecinas es de 1 mm.

Todo el espacio entre los distintos electrodos (pero no el exterior al conductor 0) se encuentra lleno de un material óhmico de conductividad <math>\sigma=10^{-4}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>

# Teniendo en cuenta la pequeñez relativa de las diferentes distancias calcule, aproximadamente, la matriz de coeficientes de conductancia en este sistema.
# Halle las corrientes que llegan a los conductores 1, 2 y 3, cuando se encuentran conectados a generadores que fijan sus tensiones en <math>V_1=10\,\mathrm{V}</math>, <math>V_2=20\,\mathrm{V}</math> y <math>V_3=-10\,\mathrm{V}</math>.
# Para la configuración anterior, calcule la potencia disipada en el sistema.
# Si el electrodo 2 se encuentra a tensión <math>V_0=100\,\mathrm{V}</math>, el 1 se deja desconectado y el 3 se pone a tierra, ¿cuáles son las corrientes que llegan a cada conductor y las tensiones de cada uno? ¿Y si también se desconecta el 3?

===[[Pista en forma de H]]===
Se tiene
un circuito impreso en forma de "H" de un material de conductividad <math>\sigma</math>, con cuatro terminales, una de las cuales se encuentra permanentemente a tierra. Los brazos de la H y el tabique central poseen longitud <math>b</math>. Los cuatro brazos tienen anchura <math>a</math>, (<math>a\ll b</math>) mientras que el tramo central posee anchura <math>2a</math>, según indica la figura. El espesor de toda la pista es <math>c</math>.

# Determine la matriz de los coeficientes de conductancia, <math>G_{ij}</math>, correspondiente a los tres terminales libres. Desprecie la pequeña contribución de las esquinas donde confluyen los brazos.
# A partir de la matriz anterior, calcule las conductancias <math>\overline{G}_{ij}</math> y elabore un circuito equivalente al sistema de tres electrodos, que no emplee nodos intermedios.
# Determine la potencia consumida en la pista cuando el terminal 1 se encuentra a potencial <math>V_0</math> y los otros a tierra.
# En la configuración anterior se corta la conexión a tierra del electrodo 2. En el nuevo estado estacionario, ¿se consume más o menos potencia que antes de la desconexión? ¿Cuánto?

===[[Pista con varias terminales]]===
Se tiene un modelo de circuito integrado formado por una pista con las dimensiones indicadas en la figura. La pista es de grafito (<math>\sigma=7.3\times 10^{5}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>). El espesor de la pista vale <math>d=1\,\mathrm{mm}</math> en todas partes. La anchura de cada segmento rectilíneo es <math>a=4\,\mathrm{mm}</math>, salvo el central, que tiene una anchura de <math>2\,\mathrm{mm}</math>. Todas las fuentes y conexiones exteriores son ideales (sin resistencia).

# Inicialmente el interruptor A está abierto. Calcule el valor aproximado de la corriente que entra por el electrodo 1, cuando el electrodo 1 está a una tensión de 0.5 V y el electrodo 4 está a tierra.
# ¿Cuánto vale aproximadamente la potencia disipada en el sistema en la situación anterior?
# Suponga que se cierra el interruptor A. ¿Cómo cambia la corriente que entra por el electrodo 1? ¿Y la potencia consumida?
# En la situación del apartado anterior, ¿cuánto vale aproximadamente la densidad de corriente en cada tramo recto del circuito? ¿Y la potencia disipada por unidad de volumen?

===[[Modelo esférico de generador]]===
Como modelo ideal de generador suponga el siguiente sistema: una esfera de radio <math>a</math> de conductividad <math>\sigma_1</math> se encuentra inmersa en un medio de conductividad <math>\sigma_2</math> que se extiende hasta el infinito. En el interior de la esfera actúa una fuerza no electrostática por unidad de carga <math>\mathbf{E}' = E'_0\mathbf{u}_{z}</math>, constante y uniforme.

# Escriba las ecuaciones y condiciones de salto para la densidad de corriente, el campo y el potencial eléctrico en todo el espacio.
# Sabiendo que en el interior de la esfera el potencial es de la forma
#:<center><math>\phi_1 = A r\cos\theta \qquad (r<a)</math></center>
#:y en el exterior de ella
#:<center><math>\phi_1 = \frac{B}{r^2}\cos\theta \qquad (r>a)</math></center>
#:calcule las constantes <math>A</math> y <math>B</math>.
# Halle la potencia desarrollada por el campo eléctrico en el interior y el exterior de la esfera.
# Considerando que la corriente es la que atraviesa el plano ecuatorial de la esfera (<math>z=0</math>, <math>r<a</math>) determine la fuerza electromotriz, la resistencia interna y la externa del circuito equivalente.
# ¿A qué tienden los resultados cuando <math>\sigma_1 \ll \sigma_2</math>? ¿Y cuando <math>\sigma_1\gg \sigma_2</math>?

===[[Descarga de un condensador]]===
Entre dos placas planas y paralelas, perfectamente conductoras, de sección <math>S</math>, y separadas una distancia <math>a</math> se encuentra un medio resistivo, de permitividad <math>\varepsilon</math> y conductividad <math>\sigma</math>. Entre las placas hay establecida una tensión <math>V_0</math>.

# Halle la corriente que circula entre las placas y la carga almacenada en cada una, así como la energía almacenada en el sistema.
# En <math>t=0</math> se desconecta el generador. Determine la evolución de la carga en las placas a partir de ese momento.
# Halle la energía disipada en el medio durante el proceso de descarga del condensador.
# Describa el comportamiento del sistema mediante un circuito equivalente.

===[[Carga de un condensador parcialmente relleno]]===
Entre dos placas planas y paralelas separadas una distancia <math>a+b</math> se coloca una capa de espesor <math>a</math> de un medio de permitividad <math>\varepsilon</math> y conductividad <math>\sigma</math>. El resto del espacio lo ocupa una capa de espesor <math>b</math> vacía.

En el instante <math>t=0</math> se conecta una diferencia de potencial <math>V_0</math>.

# ¿Cuánto valen <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{D}</math> y <math>\mathbf{J}</math> inmediatamente después de conectar el potencial?
# ¿Cuánto valen un tiempo largo después de que se haya establecido?
# ¿Cuánto valen en cualquier instante?

===[[Descarga de un sistema "corte de helado"]]===
Un medio óhmico de permitividad <math>\varepsilon</math>, conductividad <math>\sigma</math> y sección <math>S/2</math> rellena parcialmente el espacio entre dos placas planas y paralelas perfectamente conductoras, ambas de sección <math>S</math> y separadas una distancia <math>a</math>. La otra mitad del espacio entre las placas queda vacío.

Inicialmente el sistema se halla en estado estacionario, con una diferencia de potencial $V_0$ entre las placas

# Determine los campos <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{J}</math> y <math>\mathbf{D}</math> en el sistema, así como las densidades (volumétricas y superficiales) de carga libre y de polarización.
# Calcule la energía eléctrica almacenada y la potencia que se disipa en el sistema en este estado estacionario.
# En <math>t=0</math> se desconecta el generador, quedando el circuito abierto
## Determine los campos <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{J}</math> y <math>\mathbf{D}</math> y las distribuciones de carga en el sistema cuando, pasado un tiempo largo, se alcanza de nuevo un estado estacionario.
## Determine la evolución temporal de estos campos y cargas para todo <math>t>0</math>.
## ¿Cuánta energía se disipa en el proceso?

===[[Condensador sometido a un voltaje en rampa]]===
Entre dos placas metálicas, planas y paralelas, de sección <math>S</math>, y separadas una distancia <math>a</math>, se encuentra un medio óhmico de permitividad <math>\varepsilon</math> y conductividad <math>\sigma</math>.

Ambas placas están conectadas a sendos generadores de tensión variable.

# Inicialmente ambas placas se encuentran a tierra. Entonces, la tensión de la placa 1 se varía gradualmente de 0 a <math>V_0</math> en un tiempo <math>T</math> como <math>V_1(t)=V_0 t/T</math>. Determine la corriente que llega a esta placa durante este tiempo.
# Para el periodo anterior, calcule la energía disipada en el medio óhmico, así como la energía aportada por el generador en este intervalo. ¿Coinciden estas dos cantidades? Si no lo hacen, ¿a qué se debe su diferencia?
# Una vez que la placa 1 se encuentra a tensión <math>V_0</math>, el potencial de la placa <math>2</math> comienza a elevarse hasta el mismo valor, requiriendo de nuevo un periodo <math>T</math> para alcanzar el valor límite. ¿Cuánta corriente llega a la placa 1 durante este intervalo? ¿Y a la placa 2?
# Durante este segundo periodo, ¿cuánta energía se disipa en el medio? ¿Cuánta aporta cada generador? ¿Se verifica el balance energético?

[[Categoría:Problemas de corriente eléctrica]]
[[Categoría:Corriente eléctrica]]
[[Categoría:Problemas de Campos Electromagnéticos]]

Problemas de corriente eléctrica

Gcano — Fri, 06 Jun 2008 09:24:50 GMT

Gcano: /* Nube de carga en expansión */

===[[Flujo de líquido por una tubería]]===
Por el interior de una tubería cilíndrica de radio <math>a</math> fluye un líquido con una velocidad, dependiente de la distancia al eje, <math>\rho</math>, como

<center><math>\mathbf{v} = v_0\left(1-\frac{\rho^2}{a^2}\right)\mathbf{u}_{z}</math></center>

El líquido posee una densidad de carga uniforme <math>\rho_0</math>, de forma que la densidad de corriente es <math>\mathbf{J} = \rho_0\mathbf{v}</math>. En el exterior del tubo no hay corriente.

# Calcule la intensidad de corriente que atraviesa una sección por la tubería.
# Si se desea que por la superficie del tubo circule una corriente superficial <math>\mathbf{K}</math>, de forma que la corriente total sea nula, ¿cuánto debe valer <math>\mathbf{K}</math>?

===[[Velocidad de arrastre]]===
Halle la velocidad de arrastre de los electrones en un cable de plata de 0.5 mm² de sección por el cual circula una corriente de 100 mA.

===[[Nube de carga en expansión]]===
[[Image:esfera.gif|200px|left]]Una nube esférica de carga (compuesta de una distribución de cargas puntuales flotando en el vacío) se encuentra en expansión, creciendo el radio de la esfera como <math>R(t)=R_0 + v t</math>. La carga total de la nube, <math>Q_0</math>, se encuentra distribuida en todo momento de forma uniforme en el volumen de la esfera.

A partir de la ley de conservación de la carga, calcule la densidad de corriente de conducción en la nube. Puede suponer que <math>\mathbf{J} = J(r)\mathbf{u}_{r}</math> y que esta densidad no es infinita en el centro de la esfera.

Calcule el campo eléctrico en los puntos del espacio y, a partir de éste, la corriente de desplazamiento. ¿Cuánto vale la densidad de corriente total?

¿Habrá campo magnético en el sistema?

[[Nube de carga en expansión|'''Solución''']]

===[[Resistencia de un tubo]]===
Sea un tubo cilíndrico, de radio interior <math>a</math> y exterior <math>b</math>, y longitud <math>h</math>, de un material de conductividad <math>\sigma</math>. Calcule la resistencia eléctrica

# Entre las dos bases.
# Entre la cara interior y la exterior.

===[[Cable bimetálico]]===
Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de ''aluminio revestido de cobre''. Está formado por un núcleo de aluminio de radio <math>a</math> (suponga <math>a=2\,\mathrm{mm}</math>), rodeado por una capa de cobre, de radio exterior <math>b</math> (sea <math>b= 3\,\mathrm{mm}</math>).

# Calcule la resistencia de cable de esta clase de longitud <math>h=10\,\mathrm{km}</math>.
# Determine la corriente que circula por cada metal cuando se aplica una diferencia de potencial <math>V_0=100\,\mathrm{V}</math> al cable anterior.

===[[Conductividad del suelo]]===
Para determinar la conductividad σ del suelo se mide la corriente entre dos electrodos clavados en tierra y sometidos a una cierta diferencia de potencial.

# Suponga en primer lugar sólo un electrodo hemisférico de radio <math>a</math>, perfectamente conductor, puesto a un potencial <math>V_1</math> respecto a puntos muy alejados. En el estado estacionario, determínese la distribución de potencial en el suelo. Admita que el potencial depende exclusivamente de la distancia al centro del electrodo. A partir de este resultado, calcule la resistencia entre el electrodo y el infinito. Suponga que el suelo posee conductividad igual en todos sus puntos.
# Suponga ahora dos electrodos del tipo anterior, del mismo radio, y muy alejados entre sí. Si se conectan por el aire mediante un cable ideal y una fuente de continua de tensión <math>V_0</math>, ¿qué corriente circula de un electrodo al otro?
# Si para una tensión de <math>100\,\mathrm{V}</math> entre dos electrodos de <math>10\,\mathrm{cm}</math> de radio se mide una corriente de <math>0.63\,\mathrm{A}</math>, ¿cuánto vale la conductividad del suelo?

===[[Corrientes atmosféricas]]===
La resistividad del aire en la atmósfera decrece exponencialmente con la altura como

<center><math>\sigma^{-1}=r=r_1 \mathrm{e}^{-\alpha_1 z}+
r_2 \mathrm{e}^{-\alpha_2 z}+r_3 \mathrm{e}^{-\alpha_3 z}\,
</math></center>

donde

<center><math>\begin{array}{|c|c|c|}
\hline i & r_i\ (10^{12}\,\Omega{\cdot}{\rm m}) & \alpha_i ({\rm km}^{-1})
\\ \hline \hline
1 & 46.9 & 4.527\\ \hline 2 & 22.2 & 0.375 \\ \hline 3 & 5.9 &
0.121 \\\hline
\end{array}
</math></center>

El campo eléctrico en zonas despejadas de la superficie de la Tierra vale <math>E_0=-100\,\mathrm{V}/\mathrm{m}</math>. Este campo es prácticamente constante y va siempre en la dirección vertical.

A partir de estos datos halle

# El valor del campo eléctrico para un punto situado entre la superficie de la Tierra y la ionosfera (<math>z = 100\,\mathrm{km}</math>).
# La diferencia de potencial entre la superficie y la ionosfera.
# La distribución de cargas en la atmósfera.
# La corriente total que llega a la superficie de la Tierra.
# La potencia necesaria para mantener esta corriente estacionaria
# Estime el tiempo que tardaría la atmósfera en descargarse si no existiera un mecanismo generador

[[Corrientes atmosféricas|'''Solución''']]

===[[Resistencia de una soldadura]]===
Tras una rotura de un cable de cobre (de resistividad <math>r_1</math>) de sección <math>S</math> y gran longitud, se procede a unir los dos pedazos mediante una soldadura. Como consecuencia de la presencia de óxido la resistividad
del cable aumenta hasta un valor <math>r_2</math> en una región alrededor del punto de contacto, pudiéndose describir matemáticamente según la ley

<center><math>r(x) = r_1 + \frac{r_2-r_1}{1+(x/a)^2}</math></center>

# Calcule el aumento de la resistencia total del cable. Aplíquese al caso <math>S=1\,\mathrm{mm}^2</math>, <math>r_1= 1.7\times 10^{-8}\,\Omega{\cdot}\mathrm{m}</math>, <math>r_2=1.1\times 10^{-6}\,\Omega{\cdot}\mathrm{m}</math>, <math>a=2\,\mathrm{mm}</math>.
# Si la potencia máxima por unidad de volumen que soporta el hilo antes de fundirse es <math>p=700\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^3</math>, determine la intensidad de corriente máxima que puede circular por el cable antes de la soldadura y después de ella.

===[[Matriz de conductancia de bloques]]===
Se tiene un sistema de cuatro electrodos tal como se indica en la figura. Uno de ellos (electrodo "0") es un prisma cuadrado hueco de lado interior 43 mm y longitud 50 mm. Este electrodo se encuentra siempre a tierra.

En su interior se encuentran tres conductores perfectos. El electrodo "1" es un paralelepípedo de lados 41 mm, 20 mm y 50 mm. Los electrodos "2" y "3" son sendos prismas cuadrados de lado 20 mm y altura 50 mm. la distancia entre superficies conductoras vecinas es de 1 mm.

Todo el espacio entre los distintos electrodos (pero no el exterior al conductor 0) se encuentra lleno de un material óhmico de conductividad <math>\sigma=10^{-4}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>

# Teniendo en cuenta la pequeñez relativa de las diferentes distancias calcule, aproximadamente, la matriz de coeficientes de conductancia en este sistema.
# Halle las corrientes que llegan a los conductores 1, 2 y 3, cuando se encuentran conectados a generadores que fijan sus tensiones en <math>V_1=10\,\mathrm{V}</math>, <math>V_2=20\,\mathrm{V}</math> y <math>V_3=-10\,\mathrm{V}</math>.
# Para la configuración anterior, calcule la potencia disipada en el sistema.
# Si el electrodo 2 se encuentra a tensión <math>V_0=100\,\mathrm{V}</math>, el 1 se deja desconectado y el 3 se pone a tierra, ¿cuáles son las corrientes que llegan a cada conductor y las tensiones de cada uno? ¿Y si también se desconecta el 3?

===[[Pista en forma de H]]===
Se tiene
un circuito impreso en forma de "H" de un material de conductividad <math>\sigma</math>, con cuatro terminales, una de las cuales se encuentra permanentemente a tierra. Los brazos de la H y el tabique central poseen longitud <math>b</math>. Los cuatro brazos tienen anchura <math>a</math>, (<math>a\ll b</math>) mientras que el tramo central posee anchura <math>2a</math>, según indica la figura. El espesor de toda la pista es <math>c</math>.

# Determine la matriz de los coeficientes de conductancia, <math>G_{ij}</math>, correspondiente a los tres terminales libres. Desprecie la pequeña contribución de las esquinas donde confluyen los brazos.
# A partir de la matriz anterior, calcule las conductancias <math>\overline{G}_{ij}</math> y elabore un circuito equivalente al sistema de tres electrodos, que no emplee nodos intermedios.
# Determine la potencia consumida en la pista cuando el terminal 1 se encuentra a potencial <math>V_0</math> y los otros a tierra.
# En la configuración anterior se corta la conexión a tierra del electrodo 2. En el nuevo estado estacionario, ¿se consume más o menos potencia que antes de la desconexión? ¿Cuánto?

===[[Pista con varias terminales]]===
Se tiene un modelo de circuito integrado formado por una pista con las dimensiones indicadas en la figura. La pista es de grafito (<math>\sigma=7.3\times 10^{5}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>). El espesor de la pista vale <math>d=1\,\mathrm{mm}</math> en todas partes. La anchura de cada segmento rectilíneo es <math>a=4\,\mathrm{mm}</math>, salvo el central, que tiene una anchura de <math>2\,\mathrm{mm}</math>. Todas las fuentes y conexiones exteriores son ideales (sin resistencia).

# Inicialmente el interruptor A está abierto. Calcule el valor aproximado de la corriente que entra por el electrodo 1, cuando el electrodo 1 está a una tensión de 0.5 V y el electrodo 4 está a tierra.
# ¿Cuánto vale aproximadamente la potencia disipada en el sistema en la situación anterior?
# Suponga que se cierra el interruptor A. ¿Cómo cambia la corriente que entra por el electrodo 1? ¿Y la potencia consumida?
# En la situación del apartado anterior, ¿cuánto vale aproximadamente la densidad de corriente en cada tramo recto del circuito? ¿Y la potencia disipada por unidad de volumen?

===[[Modelo esférico de generador]]===
Como modelo ideal de generador suponga el siguiente sistema: una esfera de radio <math>a</math> de conductividad <math>\sigma_1</math> se encuentra inmersa en un medio de conductividad <math>\sigma_2</math> que se extiende hasta el infinito. En el interior de la esfera actúa una fuerza no electrostática por unidad de carga <math>\mathbf{E}' = E'_0\mathbf{u}_{z}</math>, constante y uniforme.

# Escriba las ecuaciones y condiciones de salto para la densidad de corriente, el campo y el potencial eléctrico en todo el espacio.
# Sabiendo que en el interior de la esfera el potencial es de la forma
#:<center><math>\phi_1 = A r\cos\theta \qquad (r<a)</math></center>
#:y en el exterior de ella
#:<center><math>\phi_1 = \frac{B}{r^2}\cos\theta \qquad (r>a)</math></center>
#:calcule las constantes <math>A</math> y <math>B</math>.
# Halle la potencia desarrollada por el campo eléctrico en el interior y el exterior de la esfera.
# Considerando que la corriente es la que atraviesa el plano ecuatorial de la esfera (<math>z=0</math>, <math>r<a</math>) determine la fuerza electromotriz, la resistencia interna y la externa del circuito equivalente.
# ¿A qué tienden los resultados cuando <math>\sigma_1 \ll \sigma_2</math>? ¿Y cuando <math>\sigma_1\gg \sigma_2</math>?

===[[Descarga de un condensador]]===
Entre dos placas planas y paralelas, perfectamente conductoras, de sección <math>S</math>, y separadas una distancia <math>a</math> se encuentra un medio resistivo, de permitividad <math>\varepsilon</math> y conductividad <math>\sigma</math>. Entre las placas hay establecida una tensión <math>V_0</math>.

# Halle la corriente que circula entre las placas y la carga almacenada en cada una, así como la energía almacenada en el sistema.
# En <math>t=0</math> se desconecta el generador. Determine la evolución de la carga en las placas a partir de ese momento.
# Halle la energía disipada en el medio durante el proceso de descarga del condensador.
# Describa el comportamiento del sistema mediante un circuito equivalente.

===[[Carga de un condensador parcialmente relleno]]===
Entre dos placas planas y paralelas separadas una distancia <math>a+b</math> se coloca una capa de espesor <math>a</math> de un medio de permitividad <math>\varepsilon</math> y conductividad <math>\sigma</math>. El resto del espacio lo ocupa una capa de espesor <math>b</math> vacía.

En el instante <math>t=0</math> se conecta una diferencia de potencial <math>V_0</math>.

# ¿Cuánto valen <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{D}</math> y <math>\mathbf{J}</math> inmediatamente después de conectar el potencial?
# ¿Cuánto valen un tiempo largo después de que se haya establecido?
# ¿Cuánto valen en cualquier instante?

===[[Descarga de un sistema "corte de helado"]]===
Un medio óhmico de permitividad <math>\varepsilon</math>, conductividad <math>\sigma</math> y sección <math>S/2</math> rellena parcialmente el espacio entre dos placas planas y paralelas perfectamente conductoras, ambas de sección <math>S</math> y separadas una distancia <math>a</math>. La otra mitad del espacio entre las placas queda vacío.

Inicialmente el sistema se halla en estado estacionario, con una diferencia de potencial $V_0$ entre las placas

# Determine los campos <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{J}</math> y <math>\mathbf{D}</math> en el sistema, así como las densidades (volumétricas y superficiales) de carga libre y de polarización.
# Calcule la energía eléctrica almacenada y la potencia que se disipa en el sistema en este estado estacionario.
# En <math>t=0</math> se desconecta el generador, quedando el circuito abierto
## Determine los campos <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{J}</math> y <math>\mathbf{D}</math> y las distribuciones de carga en el sistema cuando, pasado un tiempo largo, se alcanza de nuevo un estado estacionario.
## Determine la evolución temporal de estos campos y cargas para todo <math>t>0</math>.
## ¿Cuánta energía se disipa en el proceso?

===[[Condensador sometido a un voltaje en rampa]]===
Entre dos placas metálicas, planas y paralelas, de sección <math>S</math>, y separadas una distancia <math>a</math>, se encuentra un medio óhmico de permitividad <math>\varepsilon</math> y conductividad <math>\sigma</math>.

Ambas placas están conectadas a sendos generadores de tensión variable.

# Inicialmente ambas placas se encuentran a tierra. Entonces, la tensión de la placa 1 se varía gradualmente de 0 a <math>V_0</math> en un tiempo <math>T</math> como <math>V_1(t)=V_0 t/T</math>. Determine la corriente que llega a esta placa durante este tiempo.
# Para el periodo anterior, calcule la energía disipada en el medio óhmico, así como la energía aportada por el generador en este intervalo. ¿Coinciden estas dos cantidades? Si no lo hacen, ¿a qué se debe su diferencia?
# Una vez que la placa 1 se encuentra a tensión <math>V_0</math>, el potencial de la placa <math>2</math> comienza a elevarse hasta el mismo valor, requiriendo de nuevo un periodo <math>T</math> para alcanzar el valor límite. ¿Cuánta corriente llega a la placa 1 durante este intervalo? ¿Y a la placa 2?
# Durante este segundo periodo, ¿cuánta energía se disipa en el medio? ¿Cuánta aporta cada generador? ¿Se verifica el balance energético?

[[Categoría:Problemas de corriente eléctrica]]
[[Categoría:Corriente eléctrica]]
[[Categoría:Problemas de Campos Electromagnéticos]]

Archivo:Esfera.gif

Gcano — Fri, 06 Jun 2008 09:24:14 GMT

Gcano:

Problemas de corriente eléctrica

Gcano — Fri, 06 Jun 2008 09:23:56 GMT

Gcano: /* Nube de carga en expansión */

===[[Flujo de líquido por una tubería]]===
Por el interior de una tubería cilíndrica de radio <math>a</math> fluye un líquido con una velocidad, dependiente de la distancia al eje, <math>\rho</math>, como

<center><math>\mathbf{v} = v_0\left(1-\frac{\rho^2}{a^2}\right)\mathbf{u}_{z}</math></center>

El líquido posee una densidad de carga uniforme <math>\rho_0</math>, de forma que la densidad de corriente es <math>\mathbf{J} = \rho_0\mathbf{v}</math>. En el exterior del tubo no hay corriente.

# Calcule la intensidad de corriente que atraviesa una sección por la tubería.
# Si se desea que por la superficie del tubo circule una corriente superficial <math>\mathbf{K}</math>, de forma que la corriente total sea nula, ¿cuánto debe valer <math>\mathbf{K}</math>?

===[[Velocidad de arrastre]]===
Halle la velocidad de arrastre de los electrones en un cable de plata de 0.5 mm² de sección por el cual circula una corriente de 100 mA.

===[[Nube de carga en expansión]]===
[[Image:esfera.gif|left]]Una nube esférica de carga (compuesta de una distribución de cargas puntuales flotando en el vacío) se encuentra en expansión, creciendo el radio de la esfera como <math>R(t)=R_0 + v t</math>. La carga total de la nube, <math>Q_0</math>, se encuentra distribuida en todo momento de forma uniforme en el volumen de la esfera.

A partir de la ley de conservación de la carga, calcule la densidad de corriente de conducción en la nube. Puede suponer que <math>\mathbf{J} = J(r)\mathbf{u}_{r}</math> y que esta densidad no es infinita en el centro de la esfera.

Calcule el campo eléctrico en los puntos del espacio y, a partir de éste, la corriente de desplazamiento. ¿Cuánto vale la densidad de corriente total?

¿Habrá campo magnético en el sistema?

[[Nube de carga en expansión|'''Solución''']]

===[[Resistencia de un tubo]]===
Sea un tubo cilíndrico, de radio interior <math>a</math> y exterior <math>b</math>, y longitud <math>h</math>, de un material de conductividad <math>\sigma</math>. Calcule la resistencia eléctrica

# Entre las dos bases.
# Entre la cara interior y la exterior.

===[[Cable bimetálico]]===
Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de ''aluminio revestido de cobre''. Está formado por un núcleo de aluminio de radio <math>a</math> (suponga <math>a=2\,\mathrm{mm}</math>), rodeado por una capa de cobre, de radio exterior <math>b</math> (sea <math>b= 3\,\mathrm{mm}</math>).

# Calcule la resistencia de cable de esta clase de longitud <math>h=10\,\mathrm{km}</math>.
# Determine la corriente que circula por cada metal cuando se aplica una diferencia de potencial <math>V_0=100\,\mathrm{V}</math> al cable anterior.

===[[Conductividad del suelo]]===
Para determinar la conductividad σ del suelo se mide la corriente entre dos electrodos clavados en tierra y sometidos a una cierta diferencia de potencial.

# Suponga en primer lugar sólo un electrodo hemisférico de radio <math>a</math>, perfectamente conductor, puesto a un potencial <math>V_1</math> respecto a puntos muy alejados. En el estado estacionario, determínese la distribución de potencial en el suelo. Admita que el potencial depende exclusivamente de la distancia al centro del electrodo. A partir de este resultado, calcule la resistencia entre el electrodo y el infinito. Suponga que el suelo posee conductividad igual en todos sus puntos.
# Suponga ahora dos electrodos del tipo anterior, del mismo radio, y muy alejados entre sí. Si se conectan por el aire mediante un cable ideal y una fuente de continua de tensión <math>V_0</math>, ¿qué corriente circula de un electrodo al otro?
# Si para una tensión de <math>100\,\mathrm{V}</math> entre dos electrodos de <math>10\,\mathrm{cm}</math> de radio se mide una corriente de <math>0.63\,\mathrm{A}</math>, ¿cuánto vale la conductividad del suelo?

===[[Corrientes atmosféricas]]===
La resistividad del aire en la atmósfera decrece exponencialmente con la altura como

<center><math>\sigma^{-1}=r=r_1 \mathrm{e}^{-\alpha_1 z}+
r_2 \mathrm{e}^{-\alpha_2 z}+r_3 \mathrm{e}^{-\alpha_3 z}\,
</math></center>

donde

<center><math>\begin{array}{|c|c|c|}
\hline i & r_i\ (10^{12}\,\Omega{\cdot}{\rm m}) & \alpha_i ({\rm km}^{-1})
\\ \hline \hline
1 & 46.9 & 4.527\\ \hline 2 & 22.2 & 0.375 \\ \hline 3 & 5.9 &
0.121 \\\hline
\end{array}
</math></center>

El campo eléctrico en zonas despejadas de la superficie de la Tierra vale <math>E_0=-100\,\mathrm{V}/\mathrm{m}</math>. Este campo es prácticamente constante y va siempre en la dirección vertical.

A partir de estos datos halle

# El valor del campo eléctrico para un punto situado entre la superficie de la Tierra y la ionosfera (<math>z = 100\,\mathrm{km}</math>).
# La diferencia de potencial entre la superficie y la ionosfera.
# La distribución de cargas en la atmósfera.
# La corriente total que llega a la superficie de la Tierra.
# La potencia necesaria para mantener esta corriente estacionaria
# Estime el tiempo que tardaría la atmósfera en descargarse si no existiera un mecanismo generador

[[Corrientes atmosféricas|'''Solución''']]

===[[Resistencia de una soldadura]]===
Tras una rotura de un cable de cobre (de resistividad <math>r_1</math>) de sección <math>S</math> y gran longitud, se procede a unir los dos pedazos mediante una soldadura. Como consecuencia de la presencia de óxido la resistividad
del cable aumenta hasta un valor <math>r_2</math> en una región alrededor del punto de contacto, pudiéndose describir matemáticamente según la ley

<center><math>r(x) = r_1 + \frac{r_2-r_1}{1+(x/a)^2}</math></center>

# Calcule el aumento de la resistencia total del cable. Aplíquese al caso <math>S=1\,\mathrm{mm}^2</math>, <math>r_1= 1.7\times 10^{-8}\,\Omega{\cdot}\mathrm{m}</math>, <math>r_2=1.1\times 10^{-6}\,\Omega{\cdot}\mathrm{m}</math>, <math>a=2\,\mathrm{mm}</math>.
# Si la potencia máxima por unidad de volumen que soporta el hilo antes de fundirse es <math>p=700\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^3</math>, determine la intensidad de corriente máxima que puede circular por el cable antes de la soldadura y después de ella.

===[[Matriz de conductancia de bloques]]===
Se tiene un sistema de cuatro electrodos tal como se indica en la figura. Uno de ellos (electrodo "0") es un prisma cuadrado hueco de lado interior 43 mm y longitud 50 mm. Este electrodo se encuentra siempre a tierra.

En su interior se encuentran tres conductores perfectos. El electrodo "1" es un paralelepípedo de lados 41 mm, 20 mm y 50 mm. Los electrodos "2" y "3" son sendos prismas cuadrados de lado 20 mm y altura 50 mm. la distancia entre superficies conductoras vecinas es de 1 mm.

Todo el espacio entre los distintos electrodos (pero no el exterior al conductor 0) se encuentra lleno de un material óhmico de conductividad <math>\sigma=10^{-4}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>

# Teniendo en cuenta la pequeñez relativa de las diferentes distancias calcule, aproximadamente, la matriz de coeficientes de conductancia en este sistema.
# Halle las corrientes que llegan a los conductores 1, 2 y 3, cuando se encuentran conectados a generadores que fijan sus tensiones en <math>V_1=10\,\mathrm{V}</math>, <math>V_2=20\,\mathrm{V}</math> y <math>V_3=-10\,\mathrm{V}</math>.
# Para la configuración anterior, calcule la potencia disipada en el sistema.
# Si el electrodo 2 se encuentra a tensión <math>V_0=100\,\mathrm{V}</math>, el 1 se deja desconectado y el 3 se pone a tierra, ¿cuáles son las corrientes que llegan a cada conductor y las tensiones de cada uno? ¿Y si también se desconecta el 3?

===[[Pista en forma de H]]===
Se tiene
un circuito impreso en forma de "H" de un material de conductividad <math>\sigma</math>, con cuatro terminales, una de las cuales se encuentra permanentemente a tierra. Los brazos de la H y el tabique central poseen longitud <math>b</math>. Los cuatro brazos tienen anchura <math>a</math>, (<math>a\ll b</math>) mientras que el tramo central posee anchura <math>2a</math>, según indica la figura. El espesor de toda la pista es <math>c</math>.

# Determine la matriz de los coeficientes de conductancia, <math>G_{ij}</math>, correspondiente a los tres terminales libres. Desprecie la pequeña contribución de las esquinas donde confluyen los brazos.
# A partir de la matriz anterior, calcule las conductancias <math>\overline{G}_{ij}</math> y elabore un circuito equivalente al sistema de tres electrodos, que no emplee nodos intermedios.
# Determine la potencia consumida en la pista cuando el terminal 1 se encuentra a potencial <math>V_0</math> y los otros a tierra.
# En la configuración anterior se corta la conexión a tierra del electrodo 2. En el nuevo estado estacionario, ¿se consume más o menos potencia que antes de la desconexión? ¿Cuánto?

===[[Pista con varias terminales]]===
Se tiene un modelo de circuito integrado formado por una pista con las dimensiones indicadas en la figura. La pista es de grafito (<math>\sigma=7.3\times 10^{5}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}</math>). El espesor de la pista vale <math>d=1\,\mathrm{mm}</math> en todas partes. La anchura de cada segmento rectilíneo es <math>a=4\,\mathrm{mm}</math>, salvo el central, que tiene una anchura de <math>2\,\mathrm{mm}</math>. Todas las fuentes y conexiones exteriores son ideales (sin resistencia).

# Inicialmente el interruptor A está abierto. Calcule el valor aproximado de la corriente que entra por el electrodo 1, cuando el electrodo 1 está a una tensión de 0.5 V y el electrodo 4 está a tierra.
# ¿Cuánto vale aproximadamente la potencia disipada en el sistema en la situación anterior?
# Suponga que se cierra el interruptor A. ¿Cómo cambia la corriente que entra por el electrodo 1? ¿Y la potencia consumida?
# En la situación del apartado anterior, ¿cuánto vale aproximadamente la densidad de corriente en cada tramo recto del circuito? ¿Y la potencia disipada por unidad de volumen?

===[[Modelo esférico de generador]]===
Como modelo ideal de generador suponga el siguiente sistema: una esfera de radio <math>a</math> de conductividad <math>\sigma_1</math> se encuentra inmersa en un medio de conductividad <math>\sigma_2</math> que se extiende hasta el infinito. En el interior de la esfera actúa una fuerza no electrostática por unidad de carga <math>\mathbf{E}' = E'_0\mathbf{u}_{z}</math>, constante y uniforme.

# Escriba las ecuaciones y condiciones de salto para la densidad de corriente, el campo y el potencial eléctrico en todo el espacio.
# Sabiendo que en el interior de la esfera el potencial es de la forma
#:<center><math>\phi_1 = A r\cos\theta \qquad (r<a)</math></center>
#:y en el exterior de ella
#:<center><math>\phi_1 = \frac{B}{r^2}\cos\theta \qquad (r>a)</math></center>
#:calcule las constantes <math>A</math> y <math>B</math>.
# Halle la potencia desarrollada por el campo eléctrico en el interior y el exterior de la esfera.
# Considerando que la corriente es la que atraviesa el plano ecuatorial de la esfera (<math>z=0</math>, <math>r<a</math>) determine la fuerza electromotriz, la resistencia interna y la externa del circuito equivalente.
# ¿A qué tienden los resultados cuando <math>\sigma_1 \ll \sigma_2</math>? ¿Y cuando <math>\sigma_1\gg \sigma_2</math>?

===[[Descarga de un condensador]]===
Entre dos placas planas y paralelas, perfectamente conductoras, de sección <math>S</math>, y separadas una distancia <math>a</math> se encuentra un medio resistivo, de permitividad <math>\varepsilon</math> y conductividad <math>\sigma</math>. Entre las placas hay establecida una tensión <math>V_0</math>.

# Halle la corriente que circula entre las placas y la carga almacenada en cada una, así como la energía almacenada en el sistema.
# En <math>t=0</math> se desconecta el generador. Determine la evolución de la carga en las placas a partir de ese momento.
# Halle la energía disipada en el medio durante el proceso de descarga del condensador.
# Describa el comportamiento del sistema mediante un circuito equivalente.

===[[Carga de un condensador parcialmente relleno]]===
Entre dos placas planas y paralelas separadas una distancia <math>a+b</math> se coloca una capa de espesor <math>a</math> de un medio de permitividad <math>\varepsilon</math> y conductividad <math>\sigma</math>. El resto del espacio lo ocupa una capa de espesor <math>b</math> vacía.

En el instante <math>t=0</math> se conecta una diferencia de potencial <math>V_0</math>.

# ¿Cuánto valen <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{D}</math> y <math>\mathbf{J}</math> inmediatamente después de conectar el potencial?
# ¿Cuánto valen un tiempo largo después de que se haya establecido?
# ¿Cuánto valen en cualquier instante?

===[[Descarga de un sistema "corte de helado"]]===
Un medio óhmico de permitividad <math>\varepsilon</math>, conductividad <math>\sigma</math> y sección <math>S/2</math> rellena parcialmente el espacio entre dos placas planas y paralelas perfectamente conductoras, ambas de sección <math>S</math> y separadas una distancia <math>a</math>. La otra mitad del espacio entre las placas queda vacío.

Inicialmente el sistema se halla en estado estacionario, con una diferencia de potencial $V_0$ entre las placas

# Determine los campos <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{J}</math> y <math>\mathbf{D}</math> en el sistema, así como las densidades (volumétricas y superficiales) de carga libre y de polarización.
# Calcule la energía eléctrica almacenada y la potencia que se disipa en el sistema en este estado estacionario.
# En <math>t=0</math> se desconecta el generador, quedando el circuito abierto
## Determine los campos <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{J}</math> y <math>\mathbf{D}</math> y las distribuciones de carga en el sistema cuando, pasado un tiempo largo, se alcanza de nuevo un estado estacionario.
## Determine la evolución temporal de estos campos y cargas para todo <math>t>0</math>.
## ¿Cuánta energía se disipa en el proceso?

===[[Condensador sometido a un voltaje en rampa]]===
Entre dos placas metálicas, planas y paralelas, de sección <math>S</math>, y separadas una distancia <math>a</math>, se encuentra un medio óhmico de permitividad <math>\varepsilon</math> y conductividad <math>\sigma</math>.

Ambas placas están conectadas a sendos generadores de tensión variable.

# Inicialmente ambas placas se encuentran a tierra. Entonces, la tensión de la placa 1 se varía gradualmente de 0 a <math>V_0</math> en un tiempo <math>T</math> como <math>V_1(t)=V_0 t/T</math>. Determine la corriente que llega a esta placa durante este tiempo.
# Para el periodo anterior, calcule la energía disipada en el medio óhmico, así como la energía aportada por el generador en este intervalo. ¿Coinciden estas dos cantidades? Si no lo hacen, ¿a qué se debe su diferencia?
# Una vez que la placa 1 se encuentra a tensión <math>V_0</math>, el potencial de la placa <math>2</math> comienza a elevarse hasta el mismo valor, requiriendo de nuevo un periodo <math>T</math> para alcanzar el valor límite. ¿Cuánta corriente llega a la placa 1 durante este intervalo? ¿Y a la placa 2?
# Durante este segundo periodo, ¿cuánta energía se disipa en el medio? ¿Cuánta aporta cada generador? ¿Se verifica el balance energético?

[[Categoría:Problemas de corriente eléctrica]]
[[Categoría:Corriente eléctrica]]
[[Categoría:Problemas de Campos Electromagnéticos]]

Problemas de Inducción electromagnética

Gcano — Fri, 06 Jun 2008 09:20:40 GMT

Gcano: /* Barra que se mueve en un campo uniforme */

===[[Barra que se mueve en un campo uniforme]]===
[[Image:barraenb.gif|right]]Una barra metálica de longitud <math>a=10\,\mathrm{cm}</math> se mueve en el interior de un campo magnético uniforme <math>\mathbf{B}_0</math> (<math>B_0=10\,\mathrm{mT}</math>) con velocidad constante <math>\mathbf{v}</math>, siendo <math>\mathbf{v}</math> perpendicular tanto al eje de la varilla como al campo magnético y de módulo <math>v=1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}</math>.

# Calcule la fuerza magnética sobre una carga <math>q\,</math> de la varilla. ¿Hacia donde se mueven las cargas positivas y negativas de la varilla?
# La separación de carga alcanza el equilibrio cuando la fuerza eléctrica debido a dicha separación compensa exactamente la fuerza magnética. Usando esto, halle el campo eléctrico en el interior de la varilla.
# Calcule el voltaje entre los extremos de la varilla.
# Calcule la f.e.m. inducida, de acuerdo con la ley de Faraday, a lo largo de una curva formada por la varilla y un cierre por el exterior del campo magnético. Compruebe que coincide con el voltaje calculado en el apartado anterior.

===[[Espira cuadrada rotante en un campo B]]===
[[Image:cuadradorotante.gif|right]]Una espira cuadrada de lado <math>a=2\,\mathrm{cm}</math>, de hilo de cobre de sección <math>A=0.5\,\mathrm{mm}^2</math> gira con frecuencia <math>f=400\,\mathrm{Hz}</math> en el interior de un campo magnético uniforme de módulo <math>B_0=200\,\mathrm{mT}</math>. El eje de giro es perpendicular al campo magnético.

# Determine la corriente que se induce en la espira.
# Calcule la potencia instantánea disipada en la espira y la energía total disipada en un periodo de giro.

[[Espira cuadrada rotante en un campo B|'''Solución''']]

===[[Conductor que se desplaza sobre otro]]===
[[Image:eles.gif|left]]Se construye un sistema con dos hilos metálicos doblados en forma de L. Ambos hilos son de un material de conductividad <math>\sigma\,</math> y sección <math>A\,</math>. Uno de los conductores ("1") es fijo, mientras que el segundo ("2") puede deslizarse manteniendo el contacto con el primero y su orientación, de forma que entre ambos conductores definen un rectángulo de base <math>a\,</math> y altura <math>b\,</math>, siendo <math>x=0</math>, <math>y=0</math> la esquina del conductor fijo. El conductor móvil se desplaza con velocidad constante, de forma que

<center><math>a = x_0+v_x t\qquad b=y_0+v_y t</math></center>

Todo el sistema está sometido a un campo magnético no uniforme <math>\mathbf{B}=Cxy\mathbf{u}_{z}</math>, perpendicular al plano de los conductores.

# Calcule la corriente que circula por el sistema en cada instante. Desprecie el efecto de la autoinducción.
# Halle la fuerza que se ejerce sobre el conductor móvil.

[[Conductor que se desplaza sobre otro|'''Solución''']]

===[[Barra deslizante sobre raíles]]===
[[Image:barraenrailes.gif|left]]Se tienen dos raíles paralelos, perfectamente conductores, de longitud <math>2L</math> separados una distancia <math>a</math>, tal como se indica en la figura. Los extremos de los raíles están conectados por sendas resistencias <math>R_1</math> y <math>R_2</math>. Sobre ellos se desliza una barra también perfectamente conductora de longitud $b$. La barra se desplaza con velocidad constante <math>\mathbf{v}=V\mathbf{u}_{x}</math>. En el espacio entre los raíles hay aplicado un campo magnético uniforme perpendicular al plano de los raíles, <math>\mathbf{B} = B_0\mathbf{u}_{z}</math>.

# Calcule la corriente que circula por la barra.
# Calcule la fuerza ejercida sobre la barra por el campo magnético.
# Halle la potencia disipada por efecto Joule.

===[[Frenado de espira cuadrada]]===
[[Image:cuadradoenB.gif|right]]Una espira cuadrada de lado <math>a=10\,\mathrm{cm}</math>, hecha de un hilo de cobre de sección <math>A=1\,\mathrm{mm}^2</math> penetra en un campo magnético uniforme perpendicular al plano de la espira y de módulo <math>B_0=30\,\mathrm{mT}</math>. La espira se mueve inicialmente con velocidad <math>v_0=0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}</math> tangente a uno de sus lados y perpendicular al campo magnético. En <math>t=0</math> la espira entra en el campo.

# Calcule la corriente que se induce en la espira cuando la espira ha avanzado una distancia <math>x\,</math> y se está moviendo con velocidad <math>v\,</math>.
# Halle la fuerza que el campo magnético ejerce con la espira.
# Si la velocidad de la espira se mantiene constante, halle la potencia disipada en la espira por efecto Joule. ¿De dónde proviene la energía disipada?
# Si se deja que la espira frene por acción del campo magnético, determine la evolución en el tiempo de la velocidad, así como la energía total disipada por efecto Joule.

[[Frenado de espira cuadrada|'''Solución''']]

===[[Espira doble rotante]]===
[[Image:doblerotante.gif|left]]Se construye una espira doble, soldando una barra a una espira cuadrada de lado <math>3a\,</math>. La barra une dos lados opuestos y está situada a una distancia <math>a\,</math> de uno de los lados. Tanto la barra como la espira
cuadrada están hechas de un alambre metálico de sección <math>A</math> y conductividad <math>\sigma</math>.

La espira gira en torno de la barra con velocidad angular <math>\omega</math>, en el seno de un campo magnético uniforme <math>\mathbf{B}_0</math>, perpendicular a la barra. En <math>t=0</math> el plano de la espira es perpendicular al campo magnético.

# Calcule la corriente que circula en cada alambre como función del tiempo.
# Halle la energía disipada en un periodo de revolución. ¿En qué se va esta energía? ¿De donde procede?

[[Espira doble rotante|'''Solución''']]

===[[Circuito en torno a un solenoide]]===
[[Image:dosvoltimetros.gif|right]]Se tiene un solenoide largo de sección <math>S\,</math>, por el cual circula una corriente variable en el tiempo <math>K_0(t)</math>. Dos voltímetros miden el voltaje entre dos puntos <math>A\,</math> y <math>B\,</math>, diametralmente opuestos, de un circuito formado por dos resistencias <math>R_1\,</math> y <math>R_2\,</math>, tal como se ve en la figura. Halle las lecturas de los voltímetros. ¿Coincidirán éstas? ¿Por qué?

[[Circuito en torno a un solenoide|'''Solución''']]

===[[Espira circular en un campo variable]]===
Una espira circular de radio <math>a\,</math>, con autoinducción <math>L\,</math> y resistencia <math>R\,</math>, se encuentra sometida a un campo magnético uniforme en el espacio pero variable en el tiempo. El campo es perpendicular al plano de la espira.

Calcule la corriente que circula por la espira si el campo magnético varía en el tiempo, durante un largo intervalo, como

# <math>\mathbf{B}(t) = A t \mathbf{u}_{z}</math>
# <math>\mathbf{B}(t) = A t^2 \mathbf{u}_{z}</math>
# <math>\mathbf{B}(t) = A \mathrm{sen}(\omega t) \mathbf{u}_{z}</math>

[[Espira circular en un campo variable|'''Solución''']]

===[[Inducción mutua de dos anillos]]===
[[Image:Lijdosanillos.gif|left]]Se tienen dos anillos metálicos. Ambos anillos están centrados en el origen de coordenadas. Uno de ellos posee radio <math>b\,</math> y está situado en el plano <math>XY</math>. El otro, de radio <math>a\,</math>, está inclinado, de forma que su normal forma un ángulo <math>\theta\,</math> con el eje <math>z\,</math>. El radio <math>b\,</math> es mucho mayor que <math>a\,</math>.

# Determine el coeficiente de inducción mutua entre los dos anillos a partir del flujo del campo del anillo exterior a través del anillo interior (tenga en cuenta que éste es muy pequeño) cuando por el anillo exterior circula una corriente <math>I_1</math>.
# Halle el coeficiente de inducción mutua a partir del flujo del campo del anillo interior (que es prácticamente un dipolo) a través del anillo exterior cuando por el anillo interior circula una corriente <math>I_2</math>. ¿Son iguales los dos coeficientes?

[[Inducción mutua de dos anillos|'''Solución''']]

===[[Generador de CA de dos anillos]]===
Suponga la misma configuración geométrica del problema anterior Por el anillo exterior se hace circular una corriente constante <math>I_0</math>. El anillo interior se hace girar en torno al diámetro común, de forma que el ángulo <math>\theta</math> varía con velocidad constante <math>\omega</math>.

# Despreciando los efectos de la autoinducción, halle la corriente que circula por el anillo interior.
# Calcule la energía disipada en este anillo durante un periodo de revolución.

[[Generador de CA de dos anillos|'''Solución''']]

===[[Inducción mutua de dos solenoides cilíndricos]]===
[[Image:dosbobinas.png|right]]Dos solenoides cilíndricos muy largos se disponen concntricamente. Dichos solenoides poseen la misma longitud <math>h\,</math> y número de espiras <math>N_1</math> y <math>N_2</math>, respectivamente, las cuales están arrolladas en el mismo sentido. Los radios de las bobinas son, respectivamente, <math>a</math> y <math>b</math> (<math>a<b</math>).

# Determine la matriz de inducciones mutuas del sistema.
# Calcule la constante de acoplamiento entre las bobinas.
# Suponga que se conectan el extremo ''superior'' de la bobina interior con el extremo ''superior'' de la exterior. ¿Cuál es la autoinducción equivalente de la asociación?
# Suponga que se conectan en paralelo, ¿cuál es la autoinducción equivalente de la asociación?

[[Inducción mutua de dos solenoides cilíndricos|'''Solución''']]

===[[Inducción mutua de dos solenoides cuadrados]]===
[[Image:dosbobinascuadradas.gif|left]][[Image:interseccioncuadrados.gif|right]]Se tienen dos solenoides de sección cuadrada de lado <math>b\,</math> de un hilo ideal sin resistencia. La longitud de ambos solenoides es <math>h\,</math> (<math>h\gg b</math>) y el número de vueltas es <math>N_1=N</math> y <math>N_2=2N</math>, respectivamente. Ambos solenoides se colocan de forma que intersecan en una sección cuadrada de lado $a$, tal como muestra la figura.

# Halle los coeficientes de autoinducción, de inducción mutua y de acoplamiento.
# Sin mover los solenoides de sitio, el sistema se conecta a un circuito. Para el caso <math>a=b/3</math>, halle todas las posibles autoinducciones equivalentes que se pueden obtener con este sistema, teniendo en cuenta que los solenoides pueden conectarse entre sí, cortocircuitarse con un hilo ideal o dejarse en circuito abierto.

===[[Amperímetro de inducción]]===
[[Image:ampinduccion.gif|left]]Un amperímetro de inducción consiste en un solenoide toroidal (de resistencia despreciable y autoinducción <math>L\,</math>), que se sitúa en torno a la corriente que se pretende medir.

# Suponga un toroide de radio medio <math>b</math> y sección cuadrada pequeña de lado <math>a</math> (<math>a\ll b</math>), con <math>N</math> espiras arrolladas sobre un núcleo de permeabilidad <math>\mu</math> (en este problema, ello solo supone cambiar <math>\mu_0</math> por <math>\mu</math>). Calcule el coeficiente de autoinducción de este solenoide, a partir del campo que se crea en su interior cuando ''por el solenoide'' circula una corriente <math>I</math>. Suponga que dentro del solenoide <math>\mathbf{B}</math> es de la forma <math>\mathbf{B}=B_0\mathbf{u}_{\varphi}</math> con <math>B_0</math> uniforme.
# El solenoide anterior se coloca concéntricamente con un hilo rectilíneo por el cual circula una corriente <math>I_0\cos(\omega t)</math>. Calcule la fuerza electromotriz que el hilo induce en el solenoide.
# Despreciando la resistencia del solenoide (pero no su autoinducción), hállese la amplitud de la corriente que circula por el solenoide.
# Esta amplitud es proporcional a la de la corriente del hilo, ¿cuánto vale la constante de proporcionalidad para un toroide de radio medio 2cm, y lado 2mm, con 300 espiras y con un núcleo de permeabilidad <math>\mu=10^{-4}\,\mathrm{H}/\mathrm{m}</math>?

[[Amperímetro de inducción|'''Solución''']]

===[[Barra que cae en un campo magnético]]===
[[Image:barraquecae.gif|right]] La figura representa un carril metálico superconductor por el cual puede deslizarse una varilla horizontal, también superconductora. Esta varilla está inmersa en un campo uniforme <math>\mathbf{B}_0</math> y cae por la acción de la gravedad.

Inicialmente se encuentra en reposo y no circula intensidad por el circuito. En este momento se suelta. Determine la ecuación de movimiento y la posición de la varilla en función del tiempo si el circuito está cerrado por:
# Una resistencia <math>R\,</math>
# Un condensador <math>C\,</math>
# Una autoinducción <math>L\,</math>.

Estudie en cada caso el balance energético del sistema.

[[Barra que cae en un campo magnético|'''Solución''']]

===[[Solenoide que se mueve en el interior de otro]]===
[[Image:sintonizador.gif|left]]Dos estrechas bobinas cilíndricas de la misma longitud <math>h\,</math>, tienen radios <math>a\,</math> y <math>b\,</math>, mucho menores que su longitud <math>a<b\ll h</math>); las bobinas son coaxiales pero se hallan desplazadas una longitud <math>s\,</math>, y están formadas por la misma cantidad de espiras compactas <math>N=nh\,</math>, enrolladas en el mismo sentido. Las resistencias eléctricas de las bobinas son <math>R_1\,</math> para la bobina interior y <math>R_2\,</math> para la exterior.

# Despreciando los efectos de borde, determine sus respectivos coeficientes de autoinducción <math>L_1</math> y <math>L_2</math>, así como el de inducción mutua <math>M</math> y el de acoplamiento <math>k</math>.
# La bobina exterior se halla conectada a un generador de fuerza electromotriz en rampa <math>\mathcal{E} = A t</math>, mientras que la bobina interna se mantiene en circuito abierto. Obtenga el comportamiento en el tiempo de la intensidad <math>I_2(t)</math> en la bobina exterior (suponga una expresión de la forma <math>I_2 = kt + c</math>).
# Al mismo tiempo, la bobina interior se extrae con velocidad constante <math>v_0</math>, de forma que <math>s=v_0t</math>. Calcule la tensión <math>V_1(t)</math> entre los extremos de esta bobina para <math>t>0</math>.

[[Categoría:Problemas de inducción electromagnética]]

Problemas de Inducción electromagnética

Gcano — Fri, 06 Jun 2008 09:20:27 GMT

Gcano: /* Barra que se mueve en un campo uniforme */

===[[Barra que se mueve en un campo uniforme]]===
[[Image:barraenb.gif|right]]Una barra metálica de longitud <math>a=10\,\mathrm{cm}</math> se mueve en el interior de un campo magnético uniforme <math>\mathbf{B}_0</math> (<math>B_0=10\,\mathrm{mT}</math>) con velocidad constante <math>\mathbf{v}</math>, siendo <math>\mathbf{v}</math> perpendicular tanto al eje de la varilla como al campo magnético y de módulo <math>v=1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}</math>.

# Calcule la fuerza magnética sobre una carga <math>q\,</math> de la varilla. ¿Hacia donde se mueven las cargas positivas y negativas de la varilla?
# La separación de carga alcanza el equilibrio cuando la fuerza eléctrica debido a dicha separación compensa exactamente la fuerza magnética. Usando esto, halle el campo eléctrico en el interior de la varilla.
# Calcule el voltaje entre los extremos de la varilla.
# Calcule la f.e.m. inducida, de acuerdo con la ley de Faraday, a lo largo de una curva formada por la varilla y un cierre por el exterior del campo magnético. Compruebe que coincide con el voltaje calculado en el apartado anterior.

<center><math>\frac{1}{3}</math></center>

===[[Espira cuadrada rotante en un campo B]]===
[[Image:cuadradorotante.gif|right]]Una espira cuadrada de lado <math>a=2\,\mathrm{cm}</math>, de hilo de cobre de sección <math>A=0.5\,\mathrm{mm}^2</math> gira con frecuencia <math>f=400\,\mathrm{Hz}</math> en el interior de un campo magnético uniforme de módulo <math>B_0=200\,\mathrm{mT}</math>. El eje de giro es perpendicular al campo magnético.

# Determine la corriente que se induce en la espira.
# Calcule la potencia instantánea disipada en la espira y la energía total disipada en un periodo de giro.

[[Espira cuadrada rotante en un campo B|'''Solución''']]

===[[Conductor que se desplaza sobre otro]]===
[[Image:eles.gif|left]]Se construye un sistema con dos hilos metálicos doblados en forma de L. Ambos hilos son de un material de conductividad <math>\sigma\,</math> y sección <math>A\,</math>. Uno de los conductores ("1") es fijo, mientras que el segundo ("2") puede deslizarse manteniendo el contacto con el primero y su orientación, de forma que entre ambos conductores definen un rectángulo de base <math>a\,</math> y altura <math>b\,</math>, siendo <math>x=0</math>, <math>y=0</math> la esquina del conductor fijo. El conductor móvil se desplaza con velocidad constante, de forma que

<center><math>a = x_0+v_x t\qquad b=y_0+v_y t</math></center>

Todo el sistema está sometido a un campo magnético no uniforme <math>\mathbf{B}=Cxy\mathbf{u}_{z}</math>, perpendicular al plano de los conductores.

# Calcule la corriente que circula por el sistema en cada instante. Desprecie el efecto de la autoinducción.
# Halle la fuerza que se ejerce sobre el conductor móvil.

[[Conductor que se desplaza sobre otro|'''Solución''']]

===[[Barra deslizante sobre raíles]]===
[[Image:barraenrailes.gif|left]]Se tienen dos raíles paralelos, perfectamente conductores, de longitud <math>2L</math> separados una distancia <math>a</math>, tal como se indica en la figura. Los extremos de los raíles están conectados por sendas resistencias <math>R_1</math> y <math>R_2</math>. Sobre ellos se desliza una barra también perfectamente conductora de longitud $b$. La barra se desplaza con velocidad constante <math>\mathbf{v}=V\mathbf{u}_{x}</math>. En el espacio entre los raíles hay aplicado un campo magnético uniforme perpendicular al plano de los raíles, <math>\mathbf{B} = B_0\mathbf{u}_{z}</math>.

# Calcule la corriente que circula por la barra.
# Calcule la fuerza ejercida sobre la barra por el campo magnético.
# Halle la potencia disipada por efecto Joule.

===[[Frenado de espira cuadrada]]===
[[Image:cuadradoenB.gif|right]]Una espira cuadrada de lado <math>a=10\,\mathrm{cm}</math>, hecha de un hilo de cobre de sección <math>A=1\,\mathrm{mm}^2</math> penetra en un campo magnético uniforme perpendicular al plano de la espira y de módulo <math>B_0=30\,\mathrm{mT}</math>. La espira se mueve inicialmente con velocidad <math>v_0=0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}</math> tangente a uno de sus lados y perpendicular al campo magnético. En <math>t=0</math> la espira entra en el campo.

# Calcule la corriente que se induce en la espira cuando la espira ha avanzado una distancia <math>x\,</math> y se está moviendo con velocidad <math>v\,</math>.
# Halle la fuerza que el campo magnético ejerce con la espira.
# Si la velocidad de la espira se mantiene constante, halle la potencia disipada en la espira por efecto Joule. ¿De dónde proviene la energía disipada?
# Si se deja que la espira frene por acción del campo magnético, determine la evolución en el tiempo de la velocidad, así como la energía total disipada por efecto Joule.

[[Frenado de espira cuadrada|'''Solución''']]

===[[Espira doble rotante]]===
[[Image:doblerotante.gif|left]]Se construye una espira doble, soldando una barra a una espira cuadrada de lado <math>3a\,</math>. La barra une dos lados opuestos y está situada a una distancia <math>a\,</math> de uno de los lados. Tanto la barra como la espira
cuadrada están hechas de un alambre metálico de sección <math>A</math> y conductividad <math>\sigma</math>.

La espira gira en torno de la barra con velocidad angular <math>\omega</math>, en el seno de un campo magnético uniforme <math>\mathbf{B}_0</math>, perpendicular a la barra. En <math>t=0</math> el plano de la espira es perpendicular al campo magnético.

# Calcule la corriente que circula en cada alambre como función del tiempo.
# Halle la energía disipada en un periodo de revolución. ¿En qué se va esta energía? ¿De donde procede?

[[Espira doble rotante|'''Solución''']]

===[[Circuito en torno a un solenoide]]===
[[Image:dosvoltimetros.gif|right]]Se tiene un solenoide largo de sección <math>S\,</math>, por el cual circula una corriente variable en el tiempo <math>K_0(t)</math>. Dos voltímetros miden el voltaje entre dos puntos <math>A\,</math> y <math>B\,</math>, diametralmente opuestos, de un circuito formado por dos resistencias <math>R_1\,</math> y <math>R_2\,</math>, tal como se ve en la figura. Halle las lecturas de los voltímetros. ¿Coincidirán éstas? ¿Por qué?

[[Circuito en torno a un solenoide|'''Solución''']]

===[[Espira circular en un campo variable]]===
Una espira circular de radio <math>a\,</math>, con autoinducción <math>L\,</math> y resistencia <math>R\,</math>, se encuentra sometida a un campo magnético uniforme en el espacio pero variable en el tiempo. El campo es perpendicular al plano de la espira.

Calcule la corriente que circula por la espira si el campo magnético varía en el tiempo, durante un largo intervalo, como

# <math>\mathbf{B}(t) = A t \mathbf{u}_{z}</math>
# <math>\mathbf{B}(t) = A t^2 \mathbf{u}_{z}</math>
# <math>\mathbf{B}(t) = A \mathrm{sen}(\omega t) \mathbf{u}_{z}</math>

[[Espira circular en un campo variable|'''Solución''']]

===[[Inducción mutua de dos anillos]]===
[[Image:Lijdosanillos.gif|left]]Se tienen dos anillos metálicos. Ambos anillos están centrados en el origen de coordenadas. Uno de ellos posee radio <math>b\,</math> y está situado en el plano <math>XY</math>. El otro, de radio <math>a\,</math>, está inclinado, de forma que su normal forma un ángulo <math>\theta\,</math> con el eje <math>z\,</math>. El radio <math>b\,</math> es mucho mayor que <math>a\,</math>.

# Determine el coeficiente de inducción mutua entre los dos anillos a partir del flujo del campo del anillo exterior a través del anillo interior (tenga en cuenta que éste es muy pequeño) cuando por el anillo exterior circula una corriente <math>I_1</math>.
# Halle el coeficiente de inducción mutua a partir del flujo del campo del anillo interior (que es prácticamente un dipolo) a través del anillo exterior cuando por el anillo interior circula una corriente <math>I_2</math>. ¿Son iguales los dos coeficientes?

[[Inducción mutua de dos anillos|'''Solución''']]

===[[Generador de CA de dos anillos]]===
Suponga la misma configuración geométrica del problema anterior Por el anillo exterior se hace circular una corriente constante <math>I_0</math>. El anillo interior se hace girar en torno al diámetro común, de forma que el ángulo <math>\theta</math> varía con velocidad constante <math>\omega</math>.

# Despreciando los efectos de la autoinducción, halle la corriente que circula por el anillo interior.
# Calcule la energía disipada en este anillo durante un periodo de revolución.

[[Generador de CA de dos anillos|'''Solución''']]

===[[Inducción mutua de dos solenoides cilíndricos]]===
[[Image:dosbobinas.png|right]]Dos solenoides cilíndricos muy largos se disponen concntricamente. Dichos solenoides poseen la misma longitud <math>h\,</math> y número de espiras <math>N_1</math> y <math>N_2</math>, respectivamente, las cuales están arrolladas en el mismo sentido. Los radios de las bobinas son, respectivamente, <math>a</math> y <math>b</math> (<math>a<b</math>).

# Determine la matriz de inducciones mutuas del sistema.
# Calcule la constante de acoplamiento entre las bobinas.
# Suponga que se conectan el extremo ''superior'' de la bobina interior con el extremo ''superior'' de la exterior. ¿Cuál es la autoinducción equivalente de la asociación?
# Suponga que se conectan en paralelo, ¿cuál es la autoinducción equivalente de la asociación?

[[Inducción mutua de dos solenoides cilíndricos|'''Solución''']]

===[[Inducción mutua de dos solenoides cuadrados]]===
[[Image:dosbobinascuadradas.gif|left]][[Image:interseccioncuadrados.gif|right]]Se tienen dos solenoides de sección cuadrada de lado <math>b\,</math> de un hilo ideal sin resistencia. La longitud de ambos solenoides es <math>h\,</math> (<math>h\gg b</math>) y el número de vueltas es <math>N_1=N</math> y <math>N_2=2N</math>, respectivamente. Ambos solenoides se colocan de forma que intersecan en una sección cuadrada de lado $a$, tal como muestra la figura.

# Halle los coeficientes de autoinducción, de inducción mutua y de acoplamiento.
# Sin mover los solenoides de sitio, el sistema se conecta a un circuito. Para el caso <math>a=b/3</math>, halle todas las posibles autoinducciones equivalentes que se pueden obtener con este sistema, teniendo en cuenta que los solenoides pueden conectarse entre sí, cortocircuitarse con un hilo ideal o dejarse en circuito abierto.

===[[Amperímetro de inducción]]===
[[Image:ampinduccion.gif|left]]Un amperímetro de inducción consiste en un solenoide toroidal (de resistencia despreciable y autoinducción <math>L\,</math>), que se sitúa en torno a la corriente que se pretende medir.

# Suponga un toroide de radio medio <math>b</math> y sección cuadrada pequeña de lado <math>a</math> (<math>a\ll b</math>), con <math>N</math> espiras arrolladas sobre un núcleo de permeabilidad <math>\mu</math> (en este problema, ello solo supone cambiar <math>\mu_0</math> por <math>\mu</math>). Calcule el coeficiente de autoinducción de este solenoide, a partir del campo que se crea en su interior cuando ''por el solenoide'' circula una corriente <math>I</math>. Suponga que dentro del solenoide <math>\mathbf{B}</math> es de la forma <math>\mathbf{B}=B_0\mathbf{u}_{\varphi}</math> con <math>B_0</math> uniforme.
# El solenoide anterior se coloca concéntricamente con un hilo rectilíneo por el cual circula una corriente <math>I_0\cos(\omega t)</math>. Calcule la fuerza electromotriz que el hilo induce en el solenoide.
# Despreciando la resistencia del solenoide (pero no su autoinducción), hállese la amplitud de la corriente que circula por el solenoide.
# Esta amplitud es proporcional a la de la corriente del hilo, ¿cuánto vale la constante de proporcionalidad para un toroide de radio medio 2cm, y lado 2mm, con 300 espiras y con un núcleo de permeabilidad <math>\mu=10^{-4}\,\mathrm{H}/\mathrm{m}</math>?

[[Amperímetro de inducción|'''Solución''']]

===[[Barra que cae en un campo magnético]]===
[[Image:barraquecae.gif|right]] La figura representa un carril metálico superconductor por el cual puede deslizarse una varilla horizontal, también superconductora. Esta varilla está inmersa en un campo uniforme <math>\mathbf{B}_0</math> y cae por la acción de la gravedad.

Inicialmente se encuentra en reposo y no circula intensidad por el circuito. En este momento se suelta. Determine la ecuación de movimiento y la posición de la varilla en función del tiempo si el circuito está cerrado por:
# Una resistencia <math>R\,</math>
# Un condensador <math>C\,</math>
# Una autoinducción <math>L\,</math>.

Estudie en cada caso el balance energético del sistema.

[[Barra que cae en un campo magnético|'''Solución''']]

===[[Solenoide que se mueve en el interior de otro]]===
[[Image:sintonizador.gif|left]]Dos estrechas bobinas cilíndricas de la misma longitud <math>h\,</math>, tienen radios <math>a\,</math> y <math>b\,</math>, mucho menores que su longitud <math>a<b\ll h</math>); las bobinas son coaxiales pero se hallan desplazadas una longitud <math>s\,</math>, y están formadas por la misma cantidad de espiras compactas <math>N=nh\,</math>, enrolladas en el mismo sentido. Las resistencias eléctricas de las bobinas son <math>R_1\,</math> para la bobina interior y <math>R_2\,</math> para la exterior.

# Despreciando los efectos de borde, determine sus respectivos coeficientes de autoinducción <math>L_1</math> y <math>L_2</math>, así como el de inducción mutua <math>M</math> y el de acoplamiento <math>k</math>.
# La bobina exterior se halla conectada a un generador de fuerza electromotriz en rampa <math>\mathcal{E} = A t</math>, mientras que la bobina interna se mantiene en circuito abierto. Obtenga el comportamiento en el tiempo de la intensidad <math>I_2(t)</math> en la bobina exterior (suponga una expresión de la forma <math>I_2 = kt + c</math>).
# Al mismo tiempo, la bobina interior se extrae con velocidad constante <math>v_0</math>, de forma que <math>s=v_0t</math>. Calcule la tensión <math>V_1(t)</math> entre los extremos de esta bobina para <math>t>0</math>.

[[Categoría:Problemas de inducción electromagnética]]